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最近十年初二数学希望杯第15-24届试题汇总(含答案与提示)

发布时间:2014-02-10 12:44:45  

2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二 ................................................................................................................ 1

2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 ......................................................................................................... 5

2005年第十六届希望杯初二第1试试题 .............................................................................................................................. 11

2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 .......................................................................................................... 14

2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 .......................................................................................................... 19

2006年 第十七届“希望杯’’数学邀请赛第二试 .......................................................................................................... 22

2007年第十八届”希望杯“全国数学邀请赛第一试 .......................................................................................................... 28

2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 .......................................................................................................... 31

2008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题 ............................................................................................. 37

2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 .......................................................................................................... 40

2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 ............................................................................................................ 43

2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 ...................................................................................................... 50

2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 ...................................................................................................... 52

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试.................................................................................................... 57

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初二 第2试.................................................................................................... 59

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试 ............................................................................................................ 64

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试...................................................................................................... 72

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛 ............................................................................................................................... 78

第24届“希望杯”全国数学邀请赛初二第二试 ................................................................................................................. 81

2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二

初二 第1试

一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

1、小伟自制了一个小孔成像演示仪,如图1所示,在一个圆纸筒的两端分别用半透明纸和黑纸封住,并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置则他在半透明纸上观察到的像的形状是

(A) 2、代数式(A)

(B)

(C)

(B)

(C)

(D)F 的化简结果是

(D),那么

的“ F”形状的光源,

3、已知是实数,且

(A)31 (B)21 (C)13 (D)13或21或31 4、已知①

(>)是两个任意质数,那么下列四个分数 ; ②

; ③

; ④

中,总是最简分数的有

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 5、Given

are real numbers, and

is

, then the value of

(A)4 (B)6 (C)3 (D)4or6

6、某出版社计划出版一套百科全书,固定成本为8万元,每印制一套需增加成本20元。如果每套定价100元,卖出后有3成给承销商,出版社要盈利10%,那么该书至少应发行(精确到千位)

(A)2千套 (B)3千套 (C)4千套 (D)5千套

1

7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C,满足3∠A>5∠B,3∠C≤∠B,则这个三角形是 (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等边三角形 8、如图2,正方形ABCD的面积为256,点E在AD上,点F在AB△CEF的面积是200,则BF的长是

(A)15 (B)12 (C)11 (D)10

9、如图3,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,点E、F分中点,则

(A)(C)10、

(B)

(D)

BD的别是对角线AC、的延长线上,EC⊥FC,

表示不大于的最大整数,如[3.15]=3,[-2.7]=-3,[4]=4,则

(A)1001 (B)2003 (C)2004 (D)1002

二、A组填空题(每小题4分,共40分。含两个空的小题,每个空2分。)

11、计算:12、已知13、已知52,那么

是三个实数,且的平均数是

的平均数是127,

的和的三分之一是78,

的和的四分之一是

14、Given in the △ABC,a,b,c are three sides of the triangle, a=3, b=10 and perimeter of the triangle is multiple of 5,

(英汉小词典:side:边;perimeter:周长;multiple:倍数)

15、某学校有学生2000名,从中随意询问200名,调查收看电视的情况,结果如下表:

2

则全校每周收看电视不超过6小时的人数约为 。

16、如图4,等腰梯形ABCD的面积是49平方厘米,AD∥BC,

则BD= 平方厘米,AF= 平方厘米。

17、方程

18、已知或。 是三个互不相同的非零实数,设

是 。

19、已知均为实数,且

的大小关系 AF⊥BC,且AC⊥BD,

20、小明做数学题时,发现

按上述规律,第五个等式是 ;第n个等式是 。

三、B组填空题(每小题8分,共40分。每题两个空,每个空4分。)

21、一个三位自然数,当它分别被2、3、4、5、7除时,余数都是1,那么具有这个性质的最小三位数是最大三位数是

22、一个直角三角形的三条边长均为整数,已知它的一条直角边的长为15,那么另一条直角边的长有可能,其中最大值是 。

23、已知都是质数,且>40,那么满足以上条件的最小质数p=

24、用1、2、3、4、5这五个数字可以组成60个没有重复数字的三位数,那么这60个三位数的和是个和除以111,得到的商是 。

25、如图5,正方形BCDE和ABFG的边长分别为

阴影部分的面积是 ;CE和CG的大小关系是 。

,连接CE和CG,则图中

参考答案

一、

选择题:

3

二、 A组填空题:

三、 B组填空题:

4

2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试

一、选择题(每小题5分,共50分)

1.方程|x+1|+|x-3|=4的整数解有( )

(A)2个 (B)3个 (C)5个 (D)无穷多个

2.若等式对任意的x(x≠±3)恒成立,则mn=( )

(A)8 (B)-8 (C)16 (D)-16

3.若x>z,y>z,则下列各式中一定成立的是( )

(A)x+y>4z (B)x+y>3z (C)x+y>2z (D)x+y>z

4.规定[a]表示不超过a的最大整数,当x=-1时,代数式2mx3-3nx+6的值为16,

则[m-n]=( )

(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)4

5.如图1,在ABCD中,AC与BD相交于O,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,那么图中的全等三角形共有( )

(A)5对 (B)6对 (C)7对 (D)8对

6.如图2,在直角扇形ABC内,分别以AB和AC为直径作半圆,两条半圆弧相交于点D,整个图形被分成S1,S2,S3,S4四部分,则S2和S4的大小关系是( )

(A)S2<S4 (B)S2=S4 (C)S2>S4 (D)无法确定

5

7.Given m is a real number, and |1-m|=|m|+1,

simplify an algebraic expression, then

=( )

(A)|m|-1 (B)-|m|+1 (C)m-1 (D)-m+1

(英汉小词典simplify:化简;algebraic expression:代数式)

8.二(1)班共有35名学生,其中的男生和的女生骑自行车上学,那么该班骑自行车上学的学生的人数最少是( )

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

9.李编辑昨天按时间顺序先后收到A、B、C、D、E共5封电子邮件,如果他每次都是首先回复最新收到的一封电子邮件,那么在下列顺序:

①BAECD ②CEDBA ③ACBED ④DCABE中,李编辑可能回复的邮件顺序是( )

(A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)①和④

10.有A、B、C三把刻度尺,它们的刻度都是从0到30个单位(单位长度各不相同),设三把尺子的0刻度和30刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计,现用其中的一把尺子量度另两把尺子的长度.已知用C尺量度,得A尺比B尺长6个单位;用A尺量度,得B尺比C尺长10个单位;则用B尺量度,A尺比C尺( )

(A)长15个单位 (B)短15个单位 (C)长5个单位 (D)短5个单位

二、填空题(每小题5分,共50分)

11.若方程|1002x-1002|=1002的根分别是x1和x2,则x1+x2=______.

12.分解因式:a423+2a3b+3a2b2+2ab3+b4=______.

13.对于任意的自然数n,有f(n)=,则f(1)+f(3)+f(5)+?+f(999)=______. 14.x1,x2,x3,x4,x5,x6都是正数,且,,,

,,,则x1x2x3x4x5x6=______.

6

15.(Figure 3)In a trapezoid ABCD,AE=DE,CE⊥AD,CE is a bisector to ∠BCD,then the ratio of the area of a quadrilateral ABCE to that of a triangle CDE is _____.

(英汉小词典trapezoid:梯形;bisector:平分线;ratio:比值;quadrilateral:四边形)

16.已知a,b,c,d为正整数,且______. ,,则的值是______;的值是

17.一个直角三角形的三条边的长均为整数,已知它的一条直角边的长是18,那么另一条直角边的长有______种可能,它的最大值是______.

18.“神舟”飞船由返回舱、轨道舱和推进舱三个舱组成,已知三个舱中每两个舱的长度和分别为4859mm、5000mm、5741mm,那么这三个舱中长度最大的是_____mm,长度最小的是_____mm.

19.若(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36,则x+2y+3z的最大值是______,最小值是_____.

20.图4是某电台“市民热线”栏目一周内接到的热线电话的统计图,其中有关房产城建的热线电话有30个,那么有关环境保护的电话有_____个;如果每年按52周计算,每周接到的热线电话的数量相同,那么“市民热线”一年内接到的热线电话有______个.

三、解答题(每题10分,共30分)

21.民航规定:旅客可以免费携带a千克物品,若超过a千克,则

带物品的质量为b千克(b>a)时,所交费用为Q=10b-200(单位:

(1)小明携带了35千克物品,质量大于a千克,他应交多少费用?

(2)小王交了100元费用,他携带了多少千克物品?

(3)若收费标准以超重部分的质量m(千克)计算,在保证所交费用Q不变的情况下,试用m表示Q.

22.如图5,一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm,把顶点A和C叠合在一起,得到折痕EF.

(1)证明四边形AECF是菱形;

(2)计算折痕EF的长;

(3)求△CEH的面积.

7

要收取一定的费用,当携元).

23.如图6,用水平线与竖直线将平面分成若干个边长为1的正方形格子,点O、A、B均在正方形格子的顶点(格点)处,其中点O与点A位于同一水平线上,相距a格,点O与点B位于同一竖直线上,相距b格.

(1)若a=5,b=4,则△OAB中(包括三条边)共有多少个格点?

(2)若a,b互质,则在线段AB上(不包括A、B两点)是否有格点?证明你的结论.

(3)若a,b互质,且a>b>8,△OAB中(包括三条边)共有67个格点,求a,b的值.

参考答案

一、1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.B 10.A

二、11.2004 12.(a+b+ab) 13.5 14.6 15.7:9 16.21;7 17.2;80

18.2941;2059 19.15;-6 20.45;7800

三、21.(1)Q=35310-200=150(元);

(2)设小王携带了x千克物品,则

10x-200=100,解得x=30.

(3)已知最多可以免费携带a千克物品,则

10a-200=0,解得a=20.

所以m=b-a=b-20,

即b=m+20.

故所交费用Q=10b-200=10(m+20)-200=10m(元).

8

222

22.(1)如图1,因为AB∥CD,所以AF∥CE,CF∥HE,根据对称性,知∠CEH=∠AED,因为D、E、C三点共线,所以A、E、H三点共线,所以AE∥CF,所以四边形AECF是平行四边形.又AF=CF, 所以四边形AECF是菱形.

(2)设AF=x,则

CF=x,BF=9-x.

在△BCF中,CF=BF+BC,

所以x=(9-x)+3,

解得x=5,即CF=5,BF=4.

过E作EM⊥AB交AB于M,则

MF=BM-BF=CE-BF=CF-BF=1,

EM=3. 222222

所以.

(3)根据对称性,知△CEH≌△AED,

所以S△CEH=S△AED=DE2AD=(AF-MF)2AD=3433=6(cm). 2

23.(1)如图2,a=5,b=4,△OAB中(包括三条边)的格点的个数为1+2+3+4+6=16.

(2)若a,b互质,假设线段AB上存在某一点P(恰为格点),可设点P到点O的水平距离为x,竖直距离为y(x,y均为整数),则

S△AOB= S△AOP+S△BOP=ay+bx,

所以ab=ay+bx,

9

即ab=ay+bx,ay=b(a-x).

因为a,b互质,

所以a-x是a的倍数,它与a-x<a矛盾,

因此,假设不正确,即线段AB上(除A、B两点外)不存在其它格点.

(3)由(2)知,线段AB上(除A、B两点外)不存在其它的格点.

以OA、OB为边作一个矩形OACB,则在△CAB中格点的个数与△OAB中格点的个数相同,且只有A、B两点是公共的,而矩形OACB中格点的个数为(a+1)(b+1).

因此,(a+1)(b+1)+2=2367=134,

(a+1)(b+1)=132=23233311.

由a>b>8,得a+1=12,b+1=11,

即a=11,b=10.

10

2005年第十六届希望杯初二第1试试题

班级__________学号__________姓名______________得分______________

一、选择题(每小题4分,共40分)

1-2+3-4+?-14+15等于 ( ) -2+4-6+8-?+28-30

1111(A) (B)- (C) (D)- 4422

2.已知x=3是不等式mx+2<1-4m的一个解,如果m是整数,那么m的最大值是 1.

(A)?1

(A)1个

的平均数是

(A)(B)0 (B)3个 (C)1 (C)5个 (D)?2 (D)6个 ( ) 3.一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后,所得的数比原来的数大9,这样的两位数中,质数有 ( ) 4.有三组数x1,x2,x3;y1,y2,y3;z1,z2,z3,它们的平均数分别是a,b,c,那么x1+y1-z1,x2+y2-z2,x3+y3-z3a+b+ca+b-c (B) (C)a+b-c (D)3(a+b-c) 33

11115.已知A=3+3+3,则A与1的大小关系是 +?+422+12+22-1

(A)A>1 (B)A=1 (C)A<1 (D)无法确定的

3216.Given in the △ABC,a,b,c are three sides of the triangle,and =+,then ∠A is ( ) abc

(A)acute angle (B)right angle

(C)obtuse angle (D)acute angle or obtuse angle

(英汉词曲 acute angle:锐角;obtuse angle:钝角)

7.如图,点D是△ABC的边BC上一点,如果AB=AD=2,AC=4,BD∶DC=2∶3,

则△ABC是

C ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形

(C)钝角三角形 (D)锐角三角形或直角三角形

abc8.已知a<b<c<0,则,,的大小关系是 ( ) a+bb+cc+a

abcacb(A)<< (B)<< a+ba+bb+cc+ab+cc+a

baccba(C)<< (D)<< a+ba+bc+ab+cc+ab+c

19.某人月初用x元人民币投资股票,由于行情较好,他的资金每月都增加,即使他每月末都取出1000元用于日常开销,3

他的资金仍然在三个月后增长了一倍,那么x的值是 ( )

(A)9000 (B)10000 (C)11000 (D)11100

110.判断下列命题的真假:甲:在边长为1的正三角形中(包括边界)的任意四个点,必有两点的距离不大于;乙:在2

1边长为1,一个内角为60°的菱形中(包括边界)的任意六个点,必有两点的距离不大于.那么正确的结论是2

( )

(A)甲真乙真 (B)甲真乙假 (C)甲假乙真 (D)甲假乙假

二、A组填空题(每小题4分,共40分.含两个空的小题,每空2分.)

11

719983+15)32000=______________. 37+352000

12.分解因式:ab(a+b)2-(a+b)2+1=____________.

11.计算:(

13.已知质数p与q满足3p+7q=41,则(p+1)(q-1)=_____________.

14.如图,将直径AB=1的半圆形纸片平放在桌面上,然后让它绕直径的一个端点旋转到某个位置,这时它扫

过的面积为

B

20002000

5?

,则AB旋转的角度为__________. 8

D H

15.如图,从一个边长为a的正方形纸片ABCD中剪去一个宽为b的长方

片中沿平行短边的方向剪去一个边长为c的正方形BFHG,若长方形比是3:2,那么

形CDEF,再从剩下的纸CDEF与AGHE的面积面积比是__________.

G

b

=___________;正方形BFHG与正方形ABCD的a

16.已知a是整数,x,y是方程x2-xy-ax+ay+1=0的整数解,则x-y17.A、B、C三种服装的进价分别是30元、40元、50元,售价分别是35

三种服装的销售量之比是________. 18、已知x=

=______或______. 元、m元、60元,经核

算,三种服装的总利润相同,且A、B两种服装的销售量之和是C服装销售量的4倍,则m=___________;A、B、C

a+ba-b

,y=(a≠±b),且19x2+143xy+19y2=2005,则x+y=__________或__________. a-ba+b

19、己知一个两位整数ab的五次方是一个六位数,且最高位的数字与个位数字都是3,那么ab=____________;中间的

四个数字之和是__________. 20、In figure 4,five points A、B、C、D、E are located on a line. When

pairs

are

listed

from

smallest

to

largest,the

list

the ten distances between

reads:2,4,5,7,8,k,13,15,17,19. Then the value of k is ___________. 三、B组填空题(每小题8分,共40分.每小题两个空,每空4分.)

21、在公式y=kx+b(k,b为常数)中,当-3≤x≤1时,1≤y≤9,则2k-b的值为________或_________.

a2+3a+1111122、己知方程x+=c+(c是常数,c≠0)的解是c或,那么方程x+=(a是常数,且a≠0)的

2ax4x-6cc

解是__________或__________.

23、已知△ABC的某两个内角的比是4∶7且AB=AC,BD⊥AC于D,BE平分∠ABC交AC于E,则∠EBD的大小是

__________或__________.

24、已知正△ABC的面积是1,P是平面上一点,并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等,那么满足条件的点P共有________

个;△PAB的面积是_________.

25.某靶场有红、绿靶标共100个,其中红靶标的数量不到绿靶标数量的

1

.若打中一个红靶标得10分,打中一个绿靶3

标得8.5分,小明打中了全部绿靶标和部分红靶标,在计算他所得的总分时,发现总分与红靶标的总数无关(包括打中的和没有打中的),则靶场有红靶标________个,打中的红靶标的个数为_________.

12

13

2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试

初二 第2试

2005年4月17日 上午8∶30至10∶30 得分

一、选择题(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.

1、若a,b均为正整数,m=ab(a+b),则( )

A.m一定是奇数 B.m一定是偶数

C.只有当a,b均为偶数时,m是偶数 D.只有当a,b一个为偶数,另一个为奇数时,m是偶数

2、设b?a?0,a2?b2?5a?b等于( ) ab,则2a?b

11A. B.- C.-3 D.3 33

3c3、Given a,b,c are positive integers,and a,b are prime numbers,a?b?a?2005,then the value of a?b?c

is( )

A.14 B.13 C.12 D. 11

(英汉词典 positive integers:正整数. prime numbers:质数)_

4、购买铅笔7支,作业本3个,圆珠笔1支共需3元;购买铅笔10支,作业本4个,圆珠笔1支共需4元,则购买铅笔11支,作业本5个,圆珠笔2支共需( )

A.4.5元 B.5元 C.6元 D.6.5元

5、计算机将信息转换成二进制数来处理.二进制是“逢二进一”,如二进制数(1101)2转换成十进制数是1323+1322+0321+1320=13,那么二进制数(111?111?????)2转换成十进制数是( )

2005个1

A.22004+1 B.22005 C.22005-1 D.22005+1

6、已知△ABC的三个内角的比是m∶(m+1) ∶(m+2),其中是m大于1的正整数,那么△ABC是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

7、已知△ABC的三条高的比是3∶4∶5,且三条边的长均为整数,则△ABC的边长可能是( )

A.10 B.12 C.14 D.16

8、已知两位数ab能被3整除,它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字,且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字。这样的两位数共有( )

A.1个 B.3个 C.4个 D.5个

9、放成一排的2005个盒子中共有4010个小球,其中最左端的盒子中放了a个小球,最右端的盒子中放了b个小球,如果任何相邻的12个盒子中的小球共有24个,则( )

A.a=b=2 B.a=b=1 C.a=1,b=2 D.a=2,b=1

10、已知整数x,y,z满足x≤y<z,且???x?y?y?z?z?x?4,那么x2+y2+z2的值等于( ) ??x?y?y?z?z?x?2.

A.2 B.14 C.2或14 D.14或17

二、填空题(每小题5分,共50分.含两个空的小题,前空3分,后空2分.)

14

11、如果|a|=3,|b|=5,那么|a+b|-|a-b|的绝对值等于.

12、已知112x?5xy?2y=. ??5,则xyx?2xy?y

13、某汽车从A地驶向B地,若每分钟行驶a千米,则11点到达,若每分钟行驶

还有10千米;如果改变出发时间,若每分钟行驶2a千米,则11∶20时距离B地33a千米,则11点到达,若每分钟行驶a千米,则11∶20时已经4

超过B地30千米。A、B两地的路程是 千米。

14、若M?abc321是一个六位数,其中a,b,c是三个互异的数字,且都不等于0,1,2,3,又M是7的倍数,那么M的最小值是 .

15、分解因式:(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x?.

16、若在凸n(n为大于3的自然数)边形的内角中,最多有M个锐角,最少有m个锐角,则M=; m=.

17、如图1,等腰Rt△ABC的直角边长为32,从直角顶点A作斜边BC的垂线交BC于D1,再从D1作D1D2⊥AC交AC于D2,再从D2作D2D3⊥BC交BC于D3,?,则AD1+D2D3+D4D5+D6D7+D8D9=

D1D2+D3D4+D5D6+D7D8+D9D10=.

21 3 5 D2 D4 图1 图

3 图

4 C A F C A 18、如图2,将三角形纸片ABC沿EF折叠可得图3(其中EF∥BC),已知图3的面积与原三角形的面积之比为3∶4,且阴影部分的面积为8平方厘米,则原三角形面积为 平方厘米。

19、如图4,△ABC中,BC∶AC=3∶5,四边形BDEC和ACFG均为正方形,已知△ABC与正方形BDEC的面积比是3∶5,那么△CEF与整个图形的面积比等于 .

20、如果正整数n有以下性质:n的八分之一是平方数,n的九分之一是立方数,它的二十五分之一是五次方数,那么n就称为“希望数”,则最小的希望数是 .

三、解答题(每题10分,共30分) 要求:写出推算过程.

21、图5是一个长为400米的环形跑道,其中A、B为跑道对称轴上的两点,

且A、B之间有一条50米的直线通道。甲、乙两人同时从A点出发,甲按

逆时针方向以速度v1沿跑道跑步,当跑到B点处时继续沿跑道前进,乙按

顺时针方向以速度v2沿跑道跑步,当跑到B点处时沿直线通道跑回A点处。

假设两人跑步时间足够长。求:

15

图2 甲 图5

⑴如果v1∶v2=3∶2,那么甲跑了多少路程后,两人首次在A点处相遇?

⑵如果v1∶v2=5∶6,那么乙跑了多少路程后,两人首次在B点处相遇?

22、⑴如果a是小于20的质数,且1可化为一个循环小数,那么a的取值有哪几个? a

1⑵如果a是小于20的合数,且可化为一个循环小数,那么a的取值有哪几个? a

23、如图6,正三角形ABC的边长为a,D是BC的中点,P是AC边上的点,连结PB和PD得到△PBD。求: ⑴当点P运动到AC的中点时,△PBD的周长;

⑵△PBD的周长的最小值。

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛 P 图6 参考答案及评分标准

初中二年级 第2试

一、选择题(每小题5分)

二、填空题(每小题5分,含两个空的小题,前空3分,后空2分)

16

三、解答题

21、⑴设甲跑了n圈后,两人首次在A点处相遇,再设甲、乙两人的速度分别为v1=3m,v2=2m,

由题意可得在A处相遇时,他们跑步的时间是

是400n (2分) 3m400n800?2m?n (3分) 3m3

800因为乙跑回到A点处,所以(4分) n应是250的整数倍,从而知n的最小值是15,3

所以甲跑了15圈后,两人首次在A点处相遇 (5分)

⑵设乙跑了250p?200米,甲跑了400q?200米时,两人首次在B点处相遇,设甲、乙两人的速度分别为v1=5m,v2=6m,由题意可得400q?200250p?2008q?45p?4,即 , (7分) ??5m6m56

所以48q?24?25p?20,即48q?4?25p(p,q均为正整数)。

所以p,q的最小值为q=2,p=4, (8分)

此时,乙跑过的路程为25034+200=1200(米)。 (9分)

所以乙跑了1200米后,两人首次在B点处相遇。 (10分)

22、⑴小于20的质数有2,3,5,7,11,13,17,19 (2分)

除了2和5以外,其余各数的倒数均可化为循环小数, (4分)

所以a可以取:3,5,7,11,13,17,19。 (5分)

⑵由⑴可知,只要合数a的因数中含有2或5以外的质数,那么该数的倒数均可化为循环小数,(8分)

所以a可以取:6,9,12,14,15,18。 (10分)

23、⑴如图1,当点P运动到AC的中点时,BP⊥AC,DP∥AB, (2分)

所以 BP?11a,DP?a,BD?a, (4分) 222

???a。 (5分) ?1?2???即△ABC的周长为BP+DP+BD=?

P

图2 图1

⑵如图2,作点B关于AC的对称点E,连结EP、EB、ED、EC,则PB+PD=PE+PD,因此ED的长就是PB+PD的最小值,即当点P运动到ED与AC的交点G时,△PBD的周长最小。 (7分) 1?1?2从点D作DF⊥BE,垂足为F,因为BC=a,所以BD?a,BE?2a??a??a。 2?2?

因为∠DBF=30°,所以DF?2311a, BD?a,BF?BD2?DF2?424

17

EF?BE?BF?337a,DE?DF2?EF2?a。 (9分) 42

171?a?a?a。 (10分) 222所以△PBD的周长的最小值是

18

2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试

初二 第1试

2006年3月19日 上午8:30至10:00

学校______________班__________学号__________姓名__________辅导教师________成绩__________

一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内.

1.实数m=20053-2005,下列各数中不能整除m的是( )

(A)2006

(A)30

(A)55种 (B)2005 (B)32 (B)45种 (C)2004 (C)34 (C)40种 (D)2003 (D)36 (D)30种 2.a,b,c,d是互不相等的正整数,且abcd=441,那么a+b+c+d的值是( ) 3.三角形三边的长都是正整数,其中最长边的长为10,这样的三角形有( )

4.已知m,n是实数,且满足m2+2n2+m-

(A)417n+=0,则-mn2的平方根是( ) 336(C)2 6(B)±2 61 6(D)±1 6

5.某校初一、初二年级的学生人数相同,初三年级的学生人数是初二年级学生人数的

二年级的女生人数相同,初三年级男生人数占三个年级男生人数的4.已知初一年级的男生人数与初51,那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的4

( )

1110910(A) (B) (C) (D)

211919

6.如图1,点E、F、G、H、M、N分别在△ABC的BC、AC、AB边上,且N→H→E→M→G→F爬行,白蚁沿路线F→B→A→C→F爬行,那么((A)黑蚁先回到F点

(C)两只蚂蚁同时回到F点

(A)14 (B)15 (B)白蚁先回到F点 ∥NF∥AC,GF∥EH∥AB.有黑、白两只蚂蚁,它们同时同速从F图1 (D)哪只蚂蚁先回到F点视各点的位置而定 7.一个凸多边形截去一个角后形成的多边形的内角和是2520°,则原多边形的边数是( ) (C)15或16 (D)15或16或17

8.Let a be integral part of 2 and b be its decimal part.Let c be the integral part of ? and d be the decimal part..if ad-

bc=m,then( )

(A)-2<m<-1 (B)-1<m<0 (C)0<m<1 (D)1<m<2

(英汉词典:integral part 整数部分;decimal part 小数部分)

?a2b,当a?b时,9.对a,b,定义运算“*”如下:a*b=?2已知3*m=36,则实数m等于( ) ab,当a<b时??

(A)23 (B)4 (C)±23 (D)4或±23

10.将连续自然数1,2,3,?,n(n≥3)的排列顺序打乱,重新排列成a1,a2,a3,?,an.若(a1-1)(a2-2)(a3-3)?

(an-n)恰为奇数,则n( )

(A)一定是偶数 (B)一定是奇数

(D)一定是2m-1(m是奇数) (C)可能是奇数,也可能是偶数

二、A组填空题(每小题4分,共40分)

19

11.已知a、b都是实数,且a=

x+32x+17

,b=,b<<2a,那么实数x的取值范围是_________. 433

12.计算2005200620072008+1-20062的结果是__________.

x2-2x-9

13.已知x=22+1,则分式3的值等于__________.

x-11x-15

14.一个矩形各边的长都是正整数,而且它的面积的数量等于其周长的量数的2倍,这样的矩形有__________个.

15.Suppose that in Fig.2,the length of side of square ABCD is 1,E and F are mid-points of CD and AD D

respectively ,BE and CF intersect at a point P.Then the length of line segment CP is __________.

(英汉词典:figure(缩写Fig.)图;length 长度;square 正方形;mid-point中点;intersect 相交;line segment 线段) 16.要使代数式

3-|x+|1

有意义,实数x的取值范围是____________.

x-|-12

B

A

C

FA

B

图2

F

E

图3

17.图3的梯形ABCD中,F是CD的中点,AF⊥AB,E是BC边上的一点,

(m为常数),则EF的长为__________.

18.A,n都是自然数,且A=n2+15n+26是一个完全平方数,则n等于19.一个长方体的长、宽、高均为整数,且体积恰好为2006cm3,现将它的

再切割成边长为1cm的小正方体,如果三面为红色的小正方体有178个,色的小正方体有________个.

20.一条信息可以通过如图4所示的网络按箭头所指方向由上往下传送,例

经过B1或B2送达,共有两条途径传送,则信息由A点传送到E1、E2、共有________条.

三、B组填空题(每小题8分,共40分.每小题两个空,每空4分.)

C

且AE=BE.若AB=m__________. 表面积涂上红色后,

ABCC

D1

2

23图4

那么恰好有两面为红

2

334

45

如到达点C2的信息可E3、E4、E5的不同途径

21.某学校有小学六个年级,每个年级8个班;初中三个年级,每个年级8个班;高中三个年级,每个年级12个班.现

要从中抽取27个班做调查研究,使得各种类型的班级抽取的比例相同,那么小学每个年级抽取________个班,初中每个年级抽取________个班.

22.矩形ABCD中,AB=2,AB≠BC,其面积为S,则沿其对称轴折叠后所得的新矩形的对角线长为__________或__________. 23.已知m,n,l都是两位正整数,且它们不全相等,它们的最小公倍数是385,则m+n+l的最大值是__________,最

小值是__________.

24.某工程的施工费用不得超过190万元.该工程若由甲公司承担,需用20天,每天付费10万元;若由乙公司承担,需

用30天,每天付费6万元.为缩短工期,决定由甲公司先工作m天,余下的工作由乙公司完成,那么m=________,完工共需要__________天.

25.将2006写成n(n≥3)个连续自然数的和,请你写出两个表达式:

(1)__________________________________;(2)__________________________________.

20

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛

答案2评分标准 初二 第1试

1.答案 (1)选择题

(2)A组填空题

(3)B组填空题 2.评分标准

(1)第 1~10题:答对得4分;答错或不答,得0分. (2)第11~20题:答对得4分;答错或不答,得0分.

(2)第21~25题:答对得8分,每个空4分;答错或不答,得0分

21

2006年 第十七届“希望杯’’数学邀请赛第二试 初二 第2试

2006年4月16日 上午8:30至lO:30 得分___________

一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.

1.下列四组根式中,是同类二次根式的一组是

( )

2.要使代数式有意义,那么实数x的取值范围是

( )

3.以线段a=13,b=13,

c=10,d=6为边作梯形,其中a,c为梯形的两底,这样的梯形( )

(A)能作一个. (B)能作两个. (C)能作无数个. (D)一个也不能作.

(英汉词典:Fig.figure的缩写,图;quadrilateral四边形;diagonal对角线;value数值;variable变量;to depend on取决于;position位置

)

(A)是完全平方数,还是奇数. (B)是完全平方数,还是偶数.

(C)不是完全平方数,但是奇数. (D)不是完全平方数,但是偶数.

6.将任意一张凸四边形的纸片对折,使它的两个不相邻的顶点重合,然后剪去纸片的不重合部分,展开纸片,再一次对折,使另外的两个顶点重合,再剪去不重合的部分后展开,此时纸片的形状是( )

(A)正方形. (B)长方形. (C)菱形. (D)等腰梯形.

7.若a,b,c都是大于l的自然数,且ac=252b,则n的最小值是( )

(A)42. (B)24.

(C)21 (D)15

(英汉词典:two-placed number两位数;number数,个数;to satisfy满足;complete square

22

全平方(数);total总的,总数)

9.下表是某电台本星期的流行歌曲排行榜,其中歌曲J是新上榜的歌曲,箭头“↑”或“↓”分别表示该歌曲相对于上星期名次的变化情况,“↑”表示上升,“↓”表示下降,不标注的则表明名次没有变化,已知每首歌的名次变化都不超过两位,则上星期排在第1,5,7名的歌曲分别是

( )

(A)D,E,H. (B)C,F,I. (C)C,E,I. (D)C,F,H.

10.设n(n≥2)个正整数a1,a2,?,an,任意改变它们的顺序后,记作b1,b2,?,bn,若P=(a1-b1)(a2-b2)(a3?b3)?(an一bn),则( )

(A)P一定是奇数. (B)P一定是偶数.

(C)当n是奇数时,P是偶数. (D)当”是偶数时,P是奇数.

二、填空题(每小题4分,共40分.)

11.消防云梯的长度是34米,在一次执行任务时,它只能停在离大楼16米远的地方,则云梯能达到大楼的高度是______米.

15.从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形,若m等于这个凸

4n边形对角线条数的,那么此n边形的内角和为_____. 9

16.某种球形病毒,直径是0.01纳米,每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒,假如这种病毒在人体中聚集到一定数量,按这样的数量排列成一串,长度达到1分米时,人就会感到不适,那么人从感染第一个病毒后,经过_______分钟,就会感到不适.(1米=109纳米

)

AP119.如图2,等腰△ABC中,AB=AC,P点在BC边上的高AD上,且?, PD2

BP的延长线交AC于E,若S?ABC=10,则S?ABE=______,S?

DEC=_______.

20.一个圆周上依次放有1,2,3,?,20共20个号码牌,随意选定一个号码牌(如8),从它开始,先把它拿掉,然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8,10,12,?),并一直循环下去,直到剩余两个号码牌时停止,则最后剩余的两个号码的差的绝对值是______或_______.

三、解答题(本大题共3小题,共40分.) 要求:写出推算过程.

23

21.(本小题满分10分)

如图3,正方形ABCD的边长为a,点E、F、G、H分别在正方形的四条边上,已知EF∥GH.EF=GH.

1 (1)若AE=AH=a,求四边形EFGH的周长和面积; 3

(2)求四边形EFGH的周长的最小值.

22.(本小题满分15分)

已知A港在B港的上游,小船于凌晨3:00从A港出发开往B港,到达后立即返回,来回穿梭于A、B港之间,若小船在静水中的速度为16千米/小时,水流速度为4千米/小时,在当晚23:OO时,有人看见小船在距离A港80千米处行驶.求A、B两个港口之间的距离.

23.(本小题满分15分)

2?32?57在2,3两个数之间,第一次写上?5,第二次在2,5之间和5,3之间分别写上?和122

5?3?4,如下所示:

2

第k次操作是在上一次操作的基础上,在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的

(1)请写出第3次操作后所得到的9个数,并求出它们的和;

(2)经过k次操作后所有数的和记为Sk,第k+1次操作后所有数的和记为Sk?1,写出Sk?1与Sk之间的关系式;

(3)求S6的值.

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛

参考答案及评分标准

初中二年级 第2试

一.选择题(每小题4分

)

二.填空题(每小题4分

) 1. k

24

三、解答题

21.(1)如图1,连结HF.由题知四边形EFGH是平行四 边形,所以

所以

所以

(3分

)

所以△AHE和△DHG都是等腰直角三角形,故∠EHG=900,四边形EFGH是矩形. 易求得

所以四边形EFGH的周长

4为22a,面积为a2.(5分

) 9

(2)如图2,作点H关于AB边的对称点H?,连结FH?,交AB于E?,连结 E?H.显然,点E选在E?处时.EH+EF的值最小,最小值等于FH?.

(7分)

仿(1)可知当AE≠AH时,亦有

(8分)

所以

因此,四边形EFGH周长的最小值为22a.

(10分)

22.设A、B两个港口之间的距离为L,显然

(1分)

25

(1)若小船在23:00时正顺流而下,则小船由A港到达下游80千米处需用

即19:00时小船在A港,那么在3:00到19:00的时间段内,小船顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同,而所用的时间与速度成反比,设小船顺流行驶用了t小时,则逆流行驶用了(16一t)小时,所以

解得 t=6 (5分)

即顺流行驶了

由于

所以A、B两个港口之间的距离是120千米.

(7分)

(2)若小船在23:00时正逆流而上,则小船到达A港需再用

即小船在

内顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同,而所用的时间与速度成反比,设小船顺流行驶用了t?小时,则逆流行驶用了小时,所以

解得

即顺流行驶了

由于

(12分)

所以A、B两个港口之间的距离可能是100千米或200千米. (14分)

综上所述,A、B两港口之间的距离可能是100千米或120千米或200千米. (15分)

23.(1)第3次操作后所得到的9个数为

它们的和为55 (4分) 2

(2)由题设知S0=5,则

(10分)

(3)因为

26

所以

(15分)

27

2007年第十八届”希望杯“全国数学邀请赛第一试

初二 第一试

一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写

1

. 下列运动属于平移的是( )

(A)乒乓球比赛中乒乓球的运动.

(B)推拉窗的活动窗扇在滑道上的滑行.

(C)空中放飞的风筝的运动. (D)篮球运动员投出的篮球的运动.

2. 若x=1满足2mx2-m2x-m=0,则m的值是( )

(A)0. (B)1. (C)0或1. (D)任意实数.

3. 如图1,将△APB绕点B按逆时针方向旋转90后得到△A?P?B?,若BP=2,那么PP?的长为( ) ?

(A) (B. (C)2 . (D)3.

?ax?4y?84.已知a是正整数,方程组? 的解满足x>0,y<0,则a的值是( ) 3x?2y?6?

(A)4 . (B)5 . (C)6. (D)4,5,6以外的其它正整数.

5.让k依次取1,2,3,?等自然数,当取到某一个数之后,以下四个代数式:①k+2;②k2; ③2 k;④2 k就排成一个不变的大小顺序,这个顺序是(

(A)①<②<③<④. (B)②<①<③<④.

(C) ①<③<②<④.

(D) ③<②<①

<④.

6.已知1个四边形的对角线互相垂直,且两条对角线的长度分别是8和10 , 那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是( )

(A)40 . (B) (C)20. (D)

7. Let a be the length of a diagonal of a square, b and c be the length of two diagonals of a rhombus respectively. If b:a=a:c,then the ratio of area of the square and rhombus is ( )

(A)1:1. (B)2.

(C)1 (D)1:2.

(英汉词典:length长度;diagonal对角线;square正方形;rhombus菱形;respectively分别地;ratio比;area面积)

8.直角三角形有一条边长为11,另外两边的长是自然数,那么它的周长等于( ).

(A)132. (B)121. (C)120. (D)111.

9.若三角形三边的长均能使代数式是x2-9x+18的值为零,则此三角形的周长是( ).

(A)9或18. (B)12或15 . (C)9或15或18. (D)9或12或15或18.

28

10. 如图2,A、B、C、D是四面互相垂直摆放的镜子,镜面向内,在镜面D上放了写有字母“G”的纸片,某人站在M处可以看到镜面D上的字母G在镜面A、B、C中的影像,则下列判断中正确的是( )

(A)镜面A与B中的影像一致 . (B)镜面B与C中的影像一致 .

(C)镜面A与C中的影像一致 . (D)在镜面B中的影像是“G”.

二、A组填空题(每小题4分,共40分)

11.如图3,在 △BMN中,BM=6,点A、C、D分别在MB、BN、MN上,且四边形ABCD是平行四边形,

?NDC=?MDA,则?ABCD的周长是 .

12.如果实数a ?b,且

13.已知x

=aM

的立方根,y?10a?ba?1,那么a?b的值等于 . ?10b?ab?1x的相反数,且M=3a-7,那么x的平方根是14.如图4,圆柱体饮料瓶的高是12厘米,上、下底面的直径是6厘米.上底面开有一个小孔供插吸管用,小孔距离上底面圆心2厘米,那么吸管在饮料瓶中的长度最多是= 厘米.

15.小杨在商店购买了a件甲种商品,b件乙种商品,共用213元,已知甲种商品每件7元,乙种商品每件19元,那么a?b的最大值是 .

16.?ABC

是边长为D在三角形内,到边AB的距离是1,到A点的距离是2,点E和点D关于边AB对称,点F和点E关于边AC对称,则点F到BC的距离是 .

17.如图5,小华从M点出发,沿直线前进10米后,向左转20,再沿直线前进10米后,又向左转20,??,这样下去,他第一次回到出发地M时,行走了 米.

18.关于x的不等式x?1?x?2?3的所有整数解的和是

19.已知点(1,2)在反比例函数y???a所确定的曲线上,并且该反比例函数和一次函数y?x?1 x

在x?b时的值相等,则b等于 .

20.如图6,大五边形由若干个白色和灰色的多边形拼接而成,这些多边形(不包括大五边形)的所有内角和等于 .

29

三、B组填空题(每小题8分,共40分,每一题两个空,每空4分)

21.解分式方程 25m会产生增根,则m= 或 . ??2x?11?xx?1

22.Let A?abcd be a four-digit number. If 400abcd is a square of an integer, then

或.

(英汉词典:four-digit number 四位数;square平方、平方数;integer整数)

23.国家规定的个人稿酬纳税办法是:①不超过800元的不纳税;②超过800元而不超过4000元的,超过800元的部分按14%纳税;③超过4000元的按全部稿酬的11%纳税.某人编写了两本书,其中一本书的稿酬不超过4000元,第二本书的稿酬比第一本书多700元,两本书共纳税915元,则两本书的稿酬分别是= 元和 元.

24.直线l

交反比例函数y?的图象于点A,交x轴于点B,点A、B与坐标原点o构成等边三角形,则直线l的函数解析式为 或 .

25.若n是质数,且分数n?4不约分或经过约分后是一个最简分数的平方,则n 或 . n?17

30

2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛第二试

初二 第二试

2007年4月15日 上午8:30至10:30

一、 选择题(本大题共10小题,每小题4分,菜40分。)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正

确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。

1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人胶将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前,如图1所示,红丝带重叠部分形成的图形是( )

(A)正方形 (B)矩形 C)菱形 (D)梯形

2、设a、b、C是不为零的实数,那么x?a|b|c的值有( ) ??|a|b|c|

(A)3种 (B)4种 (C)5种 (D)6种

3、?ABC的边长分别是a?m?1,b?m?1,c?2m?m?0?,则?ABC是( ) 22

(A)等边三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形

(D)锐角三角形

4、古人用天干和地支记序,其中天干有10个;甲乙丙丁戊己庚辛壬癸,地支有12个;子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥,将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行;

甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁??

子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥??

从左向右数,第1列是甲子,第2列是乙丑,第3列是丙寅??,我国的农历纪年就是按这个顺序得来的,如公历2007年是农历丁亥年,那么从今年往后,农历纪年为甲亥年的那一年在公历中( )

(A)是2019年, (B)是2031年, (C)是2043年,

(D)没有对应的年号

5、实数 a、b、m、n满足a<b, -1<n<m, 若M?a?mba?nb,N?, 1?m1?n

则M与N的大小关系是( )

(A)M>N (B)M=N (C)M<N (D)无法确定的。

6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形,若最大的正方形的边长是7cm,则正方形A、B、C、D的面积和是( )

(A)14cm (B)42cm (C)49cm (D)64cm

2222

31

图2

?2a?3x?07、已知关于x的不等式组?恰有3个整数解,则a的取值范围是( ) 3a?2x?0?

(A)23434343≤a≤ (B)≤a≤ (C)<a≤ (D)≤a< 323232328 、The number of intersection point of the graphs of function

y?|k| and function y?kx(k?0) is( ) x

(A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2.

9、某医药研究所开发一种新药,成年人按规定的剂量限用,服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系近似满足如图3所示曲线,当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效,则服药一次治疗疾病有效的时间为(

(A)16小时 (B)15715小时 (C)15小时 (D)17小时 816

)

10、某公司组织员工一公园划船,报名人数不足50人,在安排乘船时发现,每只船坐6人,就剩下18人无船可乘;每只船坐10人,那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满,参加划船的员工共有( )

(A)48人 (B)45人 (C)44人 (D)42人

二、填空题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)

32

11、已知a?b?co 为?ABC三边的长,则化简|a?b?

c的结果是___

12、自从扫描隧道显微镜发明后,世界上便诞生了一间新科学,这就是“纳米技术”,已知1毫米微米,1微米纳米,那么2007纳米的长度用科学记数法表示为__米。

?2x?a?113、若不等式组?中的未知数x的取值范围是?1?x?1,那么(a?1)(b?1)的值等于___ x?2b?3?

14、已知a1?a2?a3???a2007是彼此互不相等的负数,且M?(a1?a2???a2006)(a2?a3???a2007),N?(a1?a2???a2007)(a2?a3???a2006)那么M与N的大小关系是M__N

ab15、∣|叫做二阶行列式,它的算法是:ad?bc,将四个数2、3、4、5排成不同的二阶行列式,则不同的计算cd

结果有__个,其中,数值最大的是___。

16、如图4,一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬,木板底端距离墙角0.7米,当小猫从木板底端爬到顶端时,木板底端向左滑动了1.3米,木板顶端向下滑动了0.9米,则小猫在木板上爬动了__米。

17、Xiao Ming says to Xiao Hua that my age add your age.add your age when Lwas your age is 48.The age of Xiao Hua is __ now.

(英汉词典:age年龄:add 加上;when 当??时)

18、长方体的长、宽、高分别为正整数a?b?c,且满足a?b?c?ab?bc?ac?abc?2006,那么这个长方体的体积为__。

19、已知a

为实数,且a?

1?都是整数,则a的值是__。 a

20、为确保信息安全,信息传输需加密,发送方由明文→密文(加密)。现规定英文26个字母的加密规则是:26年

33

字母按顺序分别对应整数0到25,例子如,英文a?b?c?d,写出它们的明文(对应整数0,1,2,3),然后将这4个字母对应的整数(分别为x1.x2,x3,x4)按x1?2x2?3x3?x1?2x1?3x1计算,得到密文,即a?b?c?d四个字母对应的密文分别是2.3.8.9.现在接收方收到的密文为35.42.23.12.则解密得到的英文单词为___。

三、解答题(本大题共3小题,共40分)要求:写出推算过程

21、(本题满分10分)

如图5,一个大的六角星形(粗实线)的顶点是周围六个全等的小六角星形(细线型)的中心,相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点,如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a,求:

(1) 大六角星形的顶点A到其中心O的距离

(2) 大六角星形的面积

(3) 大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值

(注:本题中的六角星形有12个相同的等边三角形拼接而成的)

22、(本题满分15分)

甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地,再返回A地,图6表示两车离A地的距离s(千米)随时间t(小时)变化的图象,已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回。请根据图象中的数据回答:

(1)甲车出发多长时间后被乙车追上?

(2)甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇?

(3)甲车从A地返回的速度多大时,才能比乙车先回到A地?

23、(本题满分15分)

平面上有若干个点,其中任意三点都不在同一直线上,将这些点分成三组,并按下面的规则用线段连接:①在同一组的任意两点间都没有线段连接;②不在同一组的任意两点间一定有线段连接。

(1) 若平面上恰好有9个点,且平均分成三组,那么平面上有多少条线段?

(2) 若平面上恰好有9个点,且点数分成2,3,4三组,那么平面上有多少条线段?

(3) 若平面上共有192条线段,那么平面上至少有多少个点?

34

答案:

三、解答题

21(1)连接CO,易知△AOC是直角三角形,?ACO?90,?AOC?30 所以AO?2AC?2a

(2)如图1,大六角星形的面积是等边△AMN面积的12倍 因为AM?(

2

?

?

AM22a2

a )?() 解得AM?322

1?a?2 2所以大六角星形的面积是S?12?

(3)小六角星形的顶点C到其中心A的距离为a,大六角星形的顶点A到其中心O的距离为2a,所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的4倍,所以,大六角星形的面积:六个小六角星形的面积和=2:3 22.(1)由图知,可设甲车由A地前往B地的函数解析式为s?kt 将(2.4,48)代入,解得k?20 所以s?20t

由图可知,在距A地30千米处,乙车追上甲车,所以当s?30千米时,

s30

。即甲车出发1.5小时后被乙车追上 ??1.5(小时)

2020

(2)由图知,可设乙车由A地前往B地函数的解析式为s?pt?m t?

35

将(1.0,0)和(1.5,30)代入,得??0?p?m?p?60,解得? ?30?1.5p?m?m??60

所以s?60t?60

当乙车到达B地时,s?48千米。代入s?60t?60,得t?1.8小时

又设乙车由B地返回A地的函数的解析式为s??30t?n

将(1.8,48)代入,得48??30?1.8?n,解得n?102

所以s??30t?102

当甲车与乙车迎面相遇时,有?30t?102?20t

解得t?2.04小时 代入s?20t,得s?40.8千米

即甲车与乙车在距离A地40.8千米处迎面相遇

(3)当乙车返回到A地时,有?30t?102?0 解得t?3.4小时

甲车要比乙车先回到A地,速度应大于48?48(千米/小时) 3.4?2.4

23.(1)平面上恰好有9个点,且平均分成三组,每组3个点,其中每个点可以与另外两组的6个点连接,共有线段6?9?27(条) 2

(2)若平面上恰好有9个点,且点数分成2,3,4三组,则平面上共有线段

1[2?(3?4)?3?(2?4)?4?(2?3)]?26(条) 2

(3)设第一组有a个点,第二组有b个点,第三组有c个点,则平面上共有线段

1[a(b?c)?b(a?c)?c(a?b)]?ab?bc?ac(条) 2

若保持第三组点数不变,将第一组中的一个点划归到第二组,则平面上线段的条数为

(a?1)(b?1)?(b?1)c?(a?1)c?ab?bc?ca?a?b?1

与原来线段的条数的差是a?b?1,即

当a?b时,a?b?1?0,此时平面上的线段条数不减少

当a?b时,a?b?1?0此时平面上的线段条数一定减少

由此可见,当平面上由点数较多的一组中划出一个点到点数较少的一组中时,平面上的线段条数不减少,所以当三组中点数一样多(或基本平均)时,平面上线段的条数最多

设三组中都有x个点,则线段条数为3x?192 解得x?8

所以 平面上至少有24个点

2

36

2008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试

试题

(2008年4月13日上午9:00—11:00)

一、选择题(每小题4分,满分40分) 1.将数字“6”旋转1800,得到数字“9”;将数字“9”旋转1800,得到数字“6”;那么将两位数“69”旋转1800,得到的数字是( )

A、69 B、96 C、66 D、99 2.关于x,y的方程组??

x?ay?1?0,有无数组解,则a,b的值为( )

?bx?2y?1?0

A、a?0,b?0 B、a??2,b?1 C、a?2,b??1 D、a?2,b?1

3.在平面直角坐标系内,有等腰三角形AOB,O是坐标原点,点A的坐标是(a,b),底边AB的中线在1、3象限的角平分线上,则点B的坐标为( )

A、(b,a) B、(?a,?b) C、(a,?b) D、?(a,b)

4.给出两列数:(1)1,3,5,7,?,2007;(2)1,6,11,16,?,2006,则同时出现在两列数中的数的个数为( )

A、201 B、200 C、199 D、198

5.If one side of a triangle is 2 times of another side and it has the largest possible area, then the ratio of its three sides is ( )

A、1:2:3 B、1:1:2 C、1:3:2 D、1:2:

(英汉小词典:possible 可能的;area面积;ratio比率、比值) 6.有面值为10元、20元、50元的人民币(每种至少一张),合计1000元,那么面值为20元的人民币有( )张

A、2或4 B、4 C、4或8 D、2到4之间的任意偶数

7.由1,2,3这三个数字组成四位数,在每个四位数中,这三个数字至少出现一次.这样的四位数有( ) A、33个 B、36个 C、37个 D、39个

8.如图1,矩形ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,将它折叠,使点D与点B重合,求折叠后DE的长和折痕EF的长分别是( ) A、5cm,cm B、5cm,3cm C、6cm,cm D、5cm,4cm

9.如图2,函数y?mx?4m的图象分别交x轴、y轴于点N、M,线点A、B在x轴上的垂足分别为A1、B1,若OA1?OB1?4,则?OA1A与?OB1B的面积S2的大小关系是( ) A、S1?S2 B、S1?S2 C、S1?S2 D、不确定的

3

图2

段MN上两的面积S1

10.已知a是方程x?3x?1?0的一个实数根,则直线y?ax?1?a不经过( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

37

二、填空题(每小题4分,满分40分)

32008?152008?7?11.化简:??,得到 . 200820087?35?3?

12.三位数3ab的2倍等于ab8,则3ab等于 .

13.当x?2时,化简代数式x?2x?1?

14.已知f(x)?1004x?2x?1,得 . 111,并且f(a)?0,则a等于 ??xx?1x?2

15.If the sum of a 4-digit natural number and 17,the difference between it and 72 are all square numbers ,then the 4-digit natural number is .

(英汉小词典:4-digit natural number四位自然数;difference差;square numbers完全平方数)

16.将等腰三角形纸片ABC的底边BC折起,使点C落在腰上,这时纸片的不重合部分也是等腰三角形,则∠A= .

17.将100只乒乓球放在n个盒子中,使得每个盒子中的乒乓球的上数都含有数字“8”,如当n=3时,箱子中的乒乓球的数目可以分别为8,8,84;若当n=5时,有且只有两个箱子中的乒乓球个数相同,那么各箱子中的乒乓球的个数分别是 .

18.已知一个有序数组(a,b,c,d),现按下列方式重新写成数组(a1,b1,c1,d1),使

a1?a?b,b1?a?c,c1?c?d,d1?d?a,

按照这个规律继续写出(a2,b2,c2,d2),?,(an,bn,cn,dn),若

1000?an?bn?cn?dn?200,则0n? . a?b?c?d图3 的点D,经的光线恰好19.如图3,一束光线从点O射出,照在经过A(1,0)、B(0,1)的镜面上AB反射后,反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面,要使最后经y轴再反射通过点A,则点D的坐标为 . 20.某条直线公路上有A1,A2,?,A11共11个车站,且

AiAi?2?12km(i?1,2,3,?,9),AiAi?3?17km(i?1,2,3,?,8),

若A1A11?56km,则A10A11?A2A7?.

三、解答题(共3个小题,满分40分)

21.(本题满分10分)如图,在Rt?ABC中,?ACB?90,AC=BC=10,CD是射线,?BCF?60,点D在AB上,AF、BE分别垂直于CD(或延长线)于F、E,求EF的长.

F

22.(本题满分15分)在平面直角坐标系中,ΔABC满足:∠C=900,AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时,点C随着在y轴上运动.

(1)当A在原点时,求原点O到点B的距离OB;

(2)当OA=OC时,求原点O到点B的距离OB;

(3)求原点O到点B的距离OB的最大值,并确定此时图形应满足什么条件?

38

00

23.(本题满分15分)已知m,n(m?n)是正整数.

(1)若3与3的末位数字相同,求m?n的最小值;

(2)若3与3的末两位数字都相同,求m?n的最小值;

mnmn

第十九届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案与评分标准

初二 第2试

39

2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试

初二 第1试

一、选择题(每小题4分,共40分)

1.在一次视力检查中,初二(1)班的50人中只有8人的视力达标.用扇形图表示视力检查结果,则表示视力达标

的扇形的圆心角是( )

A.64.8o B.57.6o C.48o D.16o

k 2.如图,已知点B在反比例函数y=B分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A、C.若△ABCx的面积是4,则反比例函数的解析式是( ) 8 8 4 4 A.y=- B.y C.y=- D.y= xxxx

3.如果a+2 ab+b=2 ,且b是有理数,那么( )

A.a是整数 B.a是有理数

C.a是无理数 D.a可能是有理数,也可能是无理数

4.复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等,它们有如下的关系:将上一个型号(例如A3)的复印纸在长的方向

对折后得到两张下一型号(A4)的复印纸,且各种型号的复印纸的长与宽的比相等,那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为( )

A.1.141∶1 B.1∶1 C.1∶0.618 D.1.732∶1

?x-2a≥0,5.The number of integer solutions for the syetem of inequalities ? about x is just 6,then the range of value for ?3-2x>-1

real number a is ( )

A.-2.5<a≤-2 B.-2.5≤a≤-2 C.-5<a≤-4 D.-5≤a≤-4

(integer solutions 整数解 syetem of inequalities 不等式组 the range of value 取值范围)

|x|-26.若分式的值是负数,则x的取值范围是( ) 3x-2

2 2 A.x<2 B.x>x<-2 33

2 2 C.-2<x<2且x≠ D.x<2或x<-2 33

7.在100到1000的整数中(含100和1000),既不是完全平方数,也不是完全立方数的有( )

A.890个 B.884个 C.874个 D.864个

8.如图,在正方形ABCD中,E是CD边的中点,点F在BC上,

∠EAF=∠DAE,则下列结论中正确的是( )

A.∠EAF=∠FAB B.BC=3FC

C.AF=AE+FC D.AF=BC+FC

9.计算:(11?4)?3

(11?47)3,结果等于( )

A.58 B.7 C.247 D.327

10.已知在代数式a+bx+cx2中,a、b、c都是整数,当x=3时,该式的值是2008;当x=7时,该式的值是2009,

这样的代数式有( )

A.0个 B.1个 C.10个 D.无穷多个

二、A组填空题(每小题4分,共40分)

40

11.某地区有20000户居民,从中随机抽取200户,调查是否已安装电话,结果

如右表所示,则该地区已安装电话的户数大约是 .

12.若14x+5-21x2=-2,则6x2-4x+5= . 13.不等式x-1> x的最大整数解是.

14.已知m是整数,以4m+5、2m-1、20-m这三个数作为同一个三角形三边的长,则这样的三角形有

21 1 1 1 x 15.当x依次取1,2,3,?,2009,,,?, . 23420091+x

16.由直线y=x+2、y=-x+2和x轴围成的三角形与圆心在点(1,1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等

于 .

17.在Rt△ABC中,∠C=90o,斜边AB边上的高为h,则两直角边的和a+b与斜边及其高的和c+h的大小关系是

a+bc+h(填“>”、“=”、“<”).

18.The figure on the right is composed of square ABCD and triangle BCE,where ∠BEC is right angle.Suppose the length

of CE is a,and the length of BE is b,then the distance between point A and line CE equals to

(be composed of 由?组成 right angle 直角 length 长度 distance 距离)

B

C D

19.如图,在△ABC中,AB>BC,BD平分∠ABC,若BD将△ABC的周长分为4∶3的两部分,则△ABD与△BCD

的面积比等于 .

20.如果将n个棋子放入10个盒子内,可以找到一种放法,使每个盒子内都有棋子,且这10个盒子内的棋子数都

不同;若将(n+1)个棋子放入11个盒子内,却找不到一种放法,能使每个盒子内都有棋子,并且这11个盒子内的棋子数都不同,那么整数n的最大值等于 ,最小值等于 .

三、B组填空题(每小题8分,共40分)

21.如果自然数a与b(a>b)的和、差、积、商相加得27,那么a=b=

2a+2b+c a b c 22.若,则 或 . b+cc+aa+ba+b-3c

2(a+1) 1 a 23.若关于x的方程a= 或 或 . x-12-xx-3x+2

24.对于正整数k,记直线y=-

+S3+S4= . k 1 x与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk,则Sk= ,S1+S2k+1k+1

1 1 1 1 25.将这99个分数化成小数,则其中的有限小数有 个,纯循环小数有 个(纯234100

循环小数是指从小数点后第一位开始循环的小数).

41

42

2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛第二试

初二 第二试 试题

一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆

括号内.

1.篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章.印章的文字刻成凸状的称为“阳文”,刻成凹状的称为“阴文”.如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果,此印章是下列选项中的(阴影表示印章中的实体部分,白色表示印章中镂空的)( )

2.如果x?y??1,那么代数式y?1y?的值是( ) x?1x

(A) 0 (B) 正数 (C)负数 (D)非负数

3.将x的整数部分记为[x],x的小数部分记为{x},易知x?[x]+{x}(0??x??1).若x?

那么[x]等于( )

(A) ?2 (B)?1 (C) 0 (D)1

4.某种产品由甲、乙、丙三种元件构成.根据图2,为使生产效率最

高,在表示工人分配的扇形图中,生产甲、乙、丙元件的工人数量

所对应的扇形圆心角的大小依次是( )

(A)120°,180°,60° (B)108°,144°,108°

(C)90°,180°,90° (D) 72°,216°,72°

5.面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数,则它的周长等于 ( )

(A)20 (B) 28 (C) 36 (D)40

6.In the rectangular coordinates,abscissa and ordinate of the intersection point ofthe lines y?

x?k

43

3?5?3?,

and y?kx?2 are integers for imteger k,then the number of the possible values of k is( )

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

(英汉小词典:abscissa 横坐标;ordinate 纵坐标;intersection point 交点;integer 整数)

7.将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开,得到四张小纸片,如图3

一定可以拼成( )

(A)梯形 (B)矩形 (C)菱形 (D)平行四边形 所示.用这四张小纸片

8.若不等式组?

(A)m???x?4m?x?10的解集是x?4,则( ) ?x?1?m99 (B)m?5 (C)m? (D)m?5 22

的长等于9.如图4,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ABC=60°,AD=4,CD=10,则BD

( )

(A) 4 (B)8 (C)12 (D)103

10.任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式,对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n?p?q(p?q)可称为正整数n的最佳分解,并规定F(n)?p3.如:12=1×12=2×6=3×4,则F(12)?. q4

则在以下结论 ①F(2)?13 ②F(24)? 28

③若n是一个完全平方数,则F(n)?1

④若n是一个完全立方数,即n?a(a是正整数),则F(n)?

中,正确的结论有( )

(A) 4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个

二、填空题(每小题4分,共40分) 31. a

11.将一根钢筋锯成a段,需要b分钟,按此速度将同样的钢筋锯成c段(a,b,c都是大于1的自然数),需要

分钟.

12.给机器人下一个指令[s,A](s?0,0?A?180),它将完成下列动作:

44

??

①先在原地向左旋转角度A;②再朝它面对的方向沿直线行走s个单位长度的距离.

现机器人站立的位置为坐标原点,取它面对的方向为x轴的正方向,取它的左侧为y轴的正方向,要想让机器人移动到点(?5,5)处,应下指令: .

13.已知实数x,y,z满足xyzx?y?z,则x?y?z?____或_____. ???x?1y?2z?33

14.已知实数x,y满足2x?3y?4,并且x?0,y?1,则x?y的最大值是 ,最小值是 .

15.汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施:取消养路费,同时汽油消费税每升提高0.8元.若某车一年的养路费是1440元,百公里耗油8升,在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的

别如图5中的l1、l2所示,则l1与l2的交点的横坐标m?不考虑除养路

油费以外的其它费用) 关系分费和燃

16.Given f(x)?ax?bx?cx?d,if when x takes the value of its inverse number,the corresponding

value of f(x) is also the inverse number,and f(2)?0,then

相反数) 32c?d(英汉小词典:inverse number ?a?b

17.8人参加象棋循环赛,规定胜1局得2分.平1局得1分,败者不得分,比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分

之和相同,那么第二名得 分.

18.若正整数a,b使等式a?(a?b)(a?b?1)?2009成立,则a?b? 2

19.如图6,长为2的三条线段AA'、BB'、CC'交于O点,并且

?B'OA??C'OB??A'OC?60°,则这三个三角形的面积的和S1?S2?S3

“=”、“>”)

20.已知正整数x,y满足2?49?y,则x?,y?.

三、解答题(每题都要写出推算过程)

21.(本题满分10分)

在分母小于15的最简分数中,求不等于x2.(填“<”、22但与最接近的那个分数.

55

45

22.(本题满分15分) 如图,一次函数y??3x?的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC,且使∠ABC=30°.

(1)求△ABC的面积;

(2)如果在第二象限内有一点P(m,

△ABC面积相等时m的值; 3),试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积,并求当△APB与2

(3)是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q?若存在,请写出点Q所有可能的坐标;若不存在,请说明理由.

23.(本题满分15分)

点A(4,0),B(0,3)与点C构成边长分别为3,4,5的直角三角形,如果点C在反比例函数y?

上,求k可能取的一切值.

k的图象x

46

第二十届“希望杯”全国数学邀请赛

参考答案及评分标准

初二 第2试

一、选择题(每小题4分)

二、填空题(每小题4分,含两个空的小题,每空2分)

三、解答题

21.设所求的最简分数是

m25m?2nm

??,?m,n??1,0?m?n,n?15, 则 , n55nn

因为

m2

?,且m,n是正整数, n5

所以 5m?2n?1.

(1)当5m?2n?1时,有5m?2n?1(当所以 m?

m2m2

,或5m?2n??1(当?时), ?时)

n5n5

2n?12n?1

或m?. 55

由m是整数,知2n+1或2n-1(n<15)是5的倍数.(5分)

47

要使m21最小,则n应最大. ??n55n

m21.(8分) ??n565由2n+1或2n-1(n<15)是5的倍数,知n最大取13,对应的m=5,此时

(2)当5m?2n?1时,因为n<15,m,n是正整数, 所以m25m?2n211??≥. ??n55n5?143565

综上可知,m21?的最小值是,此时对应的m=5,n=13, n565

故52是最接近,但分母小于15的最简分数. (10分) 135

22.(1)依题意,函数y=?3x+的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,

当y=0时,x=1;当x=0时,y=3,所以点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(0,3) 于是 AB=OA?OB=2.

在Rt△ABC中,∠ABC=30o,AB=2. 22

2设AC=x,则BC=2x,由勾股定理,得x?2?(2x),得x?222234,x?. 33

所以 AC=2, 3

S△ABC=231AB2AC=. (5分) 32

?

????, 2??(2)点P在第二象限内,且P?m,

则m<0,S四边形AOPB= S△AOB+S△BOP=11?1?m?. 3133+33(-m)=222

又S△APB= S四边形AOPB- S△AOP=3?1?m??1?1?=?1?2m?, 2224

?1?2m??2,解得 m??5. (10分) 436

48 由△APB与△ABC的面积相等,得

(3)这样的点存在,一共有6个,分别是:

以AB为底边的等腰三角形有两个,这时,Q点的坐标是(-1,0)或(0,3); 3

以AB为一条腰的等腰三角形有四个,这时,Q点的坐标是

(0,3?2),(0,?2),(0,?),(3,0). (15分)

23.点A和点B之间的距离是5,所以它们之间的连线是直角三角形的斜边,

设点C的坐标是(a,b),则

2222????a?4??b?9,??a?4??b?16, ① 或者? ② (5分) ?2222???a??b?3??16.?a??b?3??9.

22?1?a?b?8a?16?9, 对于①,有?2 两式相减,得 ,因此 b?(4a?7), 8a?6b?14?023?a?b?6b?9?16.?

将它代入①的第二个式子,得 1(a?4)(25a?28)?0, 9

解得 a?4,或a?21?2821?28,对应的b的值是3或?,所以点C的坐标是(4,3)或?,??. 2525?2525?对应的k的值是12或?588. (10分) 625

22?4?a?b?8a?16?16,对于②,有?2 两式相减,得 ,因此 b?a, 8a?6b?023??a?b?6b?9?9.

1a(25a?72)?0, 9

7296解得 a?0,或a?,对应的b的值是0或. 2525将它代入②的第一个式子,得

因为原点不可能在反比例函数的图象上,所以点C的坐标是??7296??, 2525??

对应的k的值是6912. 625

5886912或. (15分) 625625综上所述,k的值是12或?

49

2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第一试

初二 第1试

2010年3月14日 上午8:30至10:00 得分

一、选择题 (每小题4分,共40分) 以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答

案前的英文字母写在下面的表格内。

1. 下列图案都是由字母m组合而成的,其中不是中心对称图形的是

(A) (B) (C) (D)

2. 若a2?a3?0,则 (A) a?a (B) a?a (C) a?a<1 。

2010?x有意义,则x的取值范围是 (A) x?

2010 (B) x?2010,且x??2009 |x|?2009

(C) x?2010,且x?2009 (D) x?2010,且x? ?20092 。

4. 正整数a,b,c是等腰三角形三边的长,并且a?bc?b?ca=24,则这样的三角形有 (A) 1个

(B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 。

5. 顺次连接一个凸四边形各边的中点,得到一个菱形,则这个四边形一定是 (A) 任意的四边

形 (B) 两条对角线等长的四边形 (C) 矩形 (D) 平行四边形 。

6. 设p=a?1?7b?1?7c?1?7d?1,其中a,b,c,d是正实数,并且a?b?c?d=1,则

(A) p>5 (B) p<5 (C) p<4 (D) p=5 。

7. Given a,b,c satisfy c<b<a and ac<0,then which one is not sure to be correct in the following

bcb?aa?cb2a2

inequalities? (A) > (B) >0 (C) > (D) <0 。 ccaacac

(英汉词典:be sure to 确定;correct 正确的;inequality 不等式)

8. 某公司的员工分别住在A、B、C三个小区,A区住员 工30人,B区住员工15人,C区住员工10人,三个

小区在一条直线上,位置如图所示。若公司的班车只设 区 A区

一个停靠点,为使所有员工步行到停靠点的路程总和最

短,那么停靠点的位置应在 (A) A区 (B) B区 (C) C区 (D) A、B、C区以外的一个位置 。

ADAC29. ?ABC的内角A和B都是锐角,CD是高,若=(),则?ABC是 (A) 直角三角形 DBBC

(B) 等腰三角形 (C) 等腰直角三角形 (D) 等腰三角形或直角三角形。

10. 某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下,用了24秒;若他站在自动扶梯上不动,

从楼上到楼下要用56秒。若扶梯停止运动,他从楼上走到楼下要用 (A) 32秒 (B) 38秒

(C) 42秒 (D) 48秒 。

二、A组填空题 (每小题4分,共40分。)

11. 四个多项式:? ?a2?b2; ? ?x2?y2; ? 49x2y2?z2;? 16m4?25n2p2,其中不能用平方差公

式分解的是。(填写序号)

11112. 若a=,b=,c=,则a与d的大小关系是a d。(填“>”、“=”或“<”) 1?d1?b1?c

22x5113. 分式方程2??的解是x= 。 x?1x?1x?1

14. 甲、乙两人从A点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步,过一段时间后,甲在跑道上离

A点200米处,而乙在离A点不到100米处正向A点跑去。若甲、乙两人的速度比是4:3,

则此时乙至少跑了

15. 已知等腰三角形三边的长分别是4x?2,x?1,15?6x,则它的周长是。

294516. 若a= ?,b= ?,则a3?6ab?b3。

37373. 若代数式

50

595x?与x轴、y轴的交点分别为A、B,则线段AB上(包括端点A、B)横坐标和纵 44

坐标都是整数的点有

1a2?3x?>(2?a)x的解是x> ?1,则a= 。 18. 已知关于x的不等式3?4

2(a?1)1a19. 当a分别取?2,?1,0,1,2,3,…,97这100个数时,关于x的分式方程?=2 x?12?xx?3x?2

有解的概率是。

20. 十位数2010888abc能被11整除,则三位数abc最大是。

(注:能被11整除的自然数的特点是:奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的 整数倍)

三、B组填空题 (每小题8分,共40分。)

21. 一个矩形的长与宽是两个不相等的整数,它的周长与面积的数直相等,那么这个矩形的长 与宽分别是和

22. 用[x]表示不大于x的最大整数,如[4.1]=4,[?2.5]= ?3,则方程6x?3[x]?7=0的解是 或。

23. As in right figure,in a quadrilateral ABCD,we have its diagonal AC bisects ?DAB,and AB=21,AD=9,BC=DC=10,then the distance from point C to line AB is ,and the length of AC is (英汉词典:quadrilateral 四边形;bisect 平分)

24. 如图,Rt?ABC位于第一象限内,A点的坐标为(1,1),两条 直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴,AB=4,AC=3,若反 k 比例函数y= (k?0)的图象与Rt?ABC有交点,则k的最大 x

值是 ,最小值是 。 25. 设A0,A1,…,An?1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点, 考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形,如四边形A3A4A5A6、七边形An?2An?1A0A1A2A3A4 等,如果所有这样的凸多边形的面积之和是231,那么n的最大值是,此时正n边形 的面积是

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛答案2评分标准

初二 第1试

1. 答案

(1) 选择题

1. B; 2. B; 3. B; 4. C; 5. B; 6. A; 7. C; 8. A; 9. D; 10. C;

(2) A组填空题

49 11. ?; 12. =; 13. ?2; 14. 750; 15. 12.3; 16. ?8; 17. 5; 18. 0; 19. ; 50

20. 990;

(3) B组填空题

198361 21. 6,3; 22. x= ?,x= ?; 23. 8,17; 24. ,1; 25. 23,1; 3648

2. 评分标准

(1) 第1~10题;答对得4分;答错或不答,得0分。

(2) 第11~20题;答对得4分;答错或不答,得0分。

(3) 第21~25题;答对得8分,每空4分;答错或不答,得0分。

17. 直线y=

51

2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第二试

初二 第2试

(2010年4月11日 上午9:00至11:00)

得分____

一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.

1.计算2?5,得数是( )

(A)9位数. (B) 10位数. (C) 11位数. (D) 12位数.

2.若1299x?y?18xy的值( ) ??1,则代数式9x?y?1823

(A)等于7557. (B)等于. (C)等于或不存在. (D)等于或不存在. 5775

?3(x?a)?2?2(1?2x?a)?3. The integer solutions of the inequalities about x ?x?bb?x are1,2,3, then the number of integer ??2?3

pairs (a,b) is( )

(A)32. (B)35. (C)40. (D)48.

(英汉词典:integer整数)

4.已知三角形三个内角的度数之比为x:y:z,且x+y<z,则这个三角形是( )

(A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)等腰三角形.

5.如图1,一个凸六边形的六个内角都是120°,六条边的长分别为

a,b,c,d,e,f,则下列等式中成立的是( )

(A)a+b+c=d+e+f. (B)a+c+e=b+d+f. (C)a+b=d+e. (D)a+c=b+d.

6.在三边互不相等的三角形中,最长边的长为a,最长的中线的长为m,最长的高线的长为h,则( )

(A)a>m>h. (B)a>h>m. (C)m>a>h. (D)h>m>a.

7.某次足球比赛的计分规则是:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得O分,某球队参赛15场,积33分,若不

考虑比赛顺序,则该队胜、平、负的情况可能有( )

(A) 15种. (B)11种. (C)5种. (D)3种.

52

afbde图1

8.若xy??0,x?y??0,11?与x+y成反比,则(x?y)2与x2?y2 ( ) xy

(A)成正比. (B)成反比. (C)既不成正比,也不成反比. (D)的关系不确定.

9.如图2,已知函数y?2k(x?0),y?(x?0),点A在正y轴上,过点A作BC//x轴,交两个函数的图象于点xx

B和C,若AB:AC?1:3,则k的值是( )

(A)6. (B)3. (C)一3. (D)一6.

10. 10个人围成一圈做游戏.游戏的规则是:每个人心里都想一个数,并把目己想的数告许与他相邻的两个人,然

后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来,若报出来的数如图3所示,则报出来的数是3的人心里想的数是( )

(A)2. (B)一2. (C)4. (D)一4.

二、填空题(每小题4分,共40分.)

11.若x?27x?2?0,则x4—24x2

12.如图4,已知点A(a,b),0是原点,OA=OA1,OA?OA1,则点A1的坐标是

13.已知ab??0,并且a?b?0,则

22ab11??.(填“?”、“?”、“?”或“?”) abb2a2a?ba?b14.若a?b?2a?2b?2?0,则代数式a?b的值是

15.将代数式x?(2a?1)x?(a?2a?1)x?(a?1)分解因式,得16.A、B、C三辆车在同一条直路上同向行驶,某一时刻,A在前,C在后,B在A、C正中间. 10分钟后,C追上

B;又过了5分钟,C追上A.则再过分钟,B追上A.

17.边长是整数,周长等于20的等腰三角形有18.如图5,在△ABC中,AC=BD,图中的数据说明?ABC?

3222

53

19.如图6,直线y??x?1与x轴、y轴分别交于A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角3

1△ABC,?BAC?90?.在第二象限内有一点P(a,),且△ABP的面积与△ABC的面积相等.则△ABC的面积2

是 ;a=

20. Given the area of △ABC is S1 ,and the length of its three sides are3113,9,10 respectively. And the perimeter of 1313

△A′B′C′ is 18 , its area is S2. Then the relationship between S1 and S2 is S1S2 . ( fill in the blank with ">"," = " or "<")

(英汉词典:area面积;length长度;perimeter周长)

三、解答题每题都要写出推算过程.

21.(本题满分10分) 解方程:

22.(本题满分15分)

如图7,等腰直角△ABC的斜边AB上有两点M、N,且满足MN?BN?AM,将△ABC绕着C点顺时针旋转90°后,点M、N的对应点分别为T、S.

(1)请画出旋转后的图形,并证明△MCN≌△MCS

(2)求?MCN的度数.

2222x?344?x3???? 42x?334?xBNMCA

图7

54

23.(本题满分15分)

已知长方形的边长都是整数,将边长为2的正方形纸片放入长方形,要求正方形的边与长方形 的边平行或重合,且任意两个正方形重叠部分的面积为0,放人的正方形越多越好.

(1)如果长方形的长是4,宽是3,那么最多可以放人多少个边长为2的正方形?长方形被覆盖 的面积占整个长方形面积的百分比是多少?

(2)如果长方形的长是n(n≥4),宽是n-2,那么最多可以放人多少个边长为2的正方形?长方 形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少?

(3)对于任意满足条件的长方形,使长方形被覆盖的面积小于整个长方形面积的55%.求长方 形边长的所有可能值.(已知0.55?0.74)

55

56

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试

2011年3月13日 上午8:30至11:30 得分_______________

一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案前的英语字母写在下

( ) A、a(1?10%)?(a?x)(1?15%) B、a?10%?(a?x)?15%

C、a?10%?x?a?15% D、a(1?10%)?x(1?15%)

2、一辆汽车从A地匀速驶往B地,如果汽车行驶的速度增加a%,则所用的时间减少b%,则a,b的关系是( )

100a100a100a

B、b? C、b? D、b?

1?a%1?a%1?a100?a

3、当x?1时,不等式|x?1|?x?1?m?|x?2|恒成立,那么实数m的最大值是( )

A、b?

A、1 B、2 C、3 D、4

4、在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点,已知k为整数,若函数y?2x?1与y?kx?k的图象的交点是整点,则k的值有( )

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

5、The sum of all such integers x that satisfy inequality 2?|2x?1|?6 is ( ) A、8 B、5 C、2 D、0

(英汉词典:sum 和;integer 整数;satisfy 满足;inequality 不等式) 6、若三角形的三条边的长分别为a,b,c,且ab?ac?bc?b?0,则这个三角形一定是( ) A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等三角形 D、等腰直角三角形

7、As shown in figure 1,point C is on the segment BG and quadrilateral ABCD is a square. AG intersects BD and CD at points E and F, respectively. If AE=5 and EF=3, then FG=( ) A、

2

2

2

3

168

B、 C、4 D、5 33

15

(英汉词典:square 正方形;intersect?at? 与?相交于?) 8、2?1能分解成n个质因数的乘积,n的值是( ) A、6 B、5 C、4 D、3

?x?ay?1?0

9、若关于x,y的方程组?没有实数解,则( )

bx?2y?a?0?

A、ab??2 B、ab??2且a?1 C、ab??2 D、ab??2且a?2

10、如图2,∠AOB=45°,OP平分∠AOB,PC⊥OB于点C, 若PC=2,则OC的长是( )

A、7 B、6 C、2?22

D、2?3 二、A组填空题(每小题4分,共40分) 11

、化简:

2 图2

figure 1

9?42?5

?2?;

12、若关于x,y的方程组?

?3x?2y?k?1

的解使4x?7y?2,则k的取值范围是

2x?3y?2?

k?3

13、如图3,平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个

三角形和一个四边形,已知△AMN和四边形MBCN的周长相 等,则BC与MN的长度之比是 4:3 ;

14、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律,每运转5分钟,

57

图3

停机15分钟,再运转5分钟,再停机15分钟,??,又知8月份

这台冰箱的耗电量是24.18度 (1度=1千瓦时),则这台冰箱的压缩

机运转时的功率是 130 瓦;

15、已知自然数a,b,c,满足a?b?c?42?4a?4b?12c和a?a?2?0,则代数式

16、已知A、B是反比例函数y?2222111 ??的值是abc2的图象上的两点,A、B的横坐标分别是3,5.设O为原点,则△AOB的面积是x

16

17、设完全平方数A是11个连续整数的平方和,则A的最小值是;

18、将100个连续的偶数从小到大排成一行,其中第38个数与第63个数的和为218,则首尾两个数的和是

19、A、B两地相距15km,甲、乙两人同时从A出发去B。甲先乘汽车到达A、B之间的C地,然后下车步行,乙全程骑自行车,结果两人同时到达。已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的一半,乙骑自行车的速度是甲乘汽车速度的一半,那么C地与A地相距 10 km;

20、已知b?ca?ca?b???k,则直线y?kx?k必经过点abc(?1,0);

三、B组填空题(每小题8分,共40分)

21、等腰三角形的两个内角之比是2:5,则这个三角形的最大内角的度数是

22、已知10个数x1,x2,x3,?,x10中,x1?10,对于整数n>1,有xn?n

xn?1,则x1x2?2,

x2x3?x10?384;

23、从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中选出一名男生和一名女生,则所有可能出现的结果有种;恰好

1; 6

bbb2224、若关于x的方程x??a?的解是x1?a,x2?,那么方程x?的解是x1??a?xaax?1a?1

a?3; x2?选中男生甲和女生A的概率是a,

25、若两个自然数的差是一个数码相同的两位数,它们的积是一个数码相同的三位数,那么这两个自然是 ;

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第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初二 第2试

一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正

确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.

1. Given A:B=2:3,A=2,C=29. The size relationship between B and C is 10

(A) B>C (B) B=C (C) B<C (D) uncertain

1a2?4a?12. 已知a?a=7,则代数式.2?2的值是 a?2a?2a?1a?12

(A) 3 (B) 7 (C) 4 (D) 5 2

3. 一个凸四边形的四个内角可以

(A) 都是锐角 (B) 都是直角 (C) 都是钝角 (D) 有三个是直角,另一个是锐角或钝角 .

4. 如果直线y=2x?m与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积等于4,则m的值是

(A) ?3 (B) 3 (C) ?4 (D) 4

5. 若n?1=20102?20112,则2n?1= (A) 2011 (B) 2010 (C) 4022 (D) 4021

6. 有四个命题:

? 若两个等腰三角形的腰相等,腰上的高也相等,则这两个等腰三角形全等

? 有一条边相等的两个等腰直角三角形全等

? 有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等

? 两边以及另一边上的高对应相等的两个三角形全等

其中,正确的命题有

(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个

7. 如图1,Rt△ABC两直角边上的中线分别为AE和BD,

则AE2?BD2与AB2的比值为

(A) 图1 B 353 (B) 1 (C) (D) 442figure 2 D 8. As shown in figure 2, ABCD is a rectangle and AD=12, AB=5, P is any point on AD and PE?BD at point E, PF?AC at point F.

Then PE?PF has a total length of

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C

(A)

486070 (B) (C) 5 (D) 131313

9. 如图3,正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上,C(2,1),D(1,1). 反比例函数y=

k

的图像与边BC交于点E,与边CD交于点F.已知 x

BE:CE=3:1,则DF:FC等于

(A) 4:1 (B) 3:1 (C) 2:1 (D) 1:1

10. 如图4,a,b,c,d,e分别代表1,2,3,4,5中的一个数. 若b?a?c及d?a?e除以3都余1,则不同的填数方法有 (A) 2种 (B) 4种 (C) 8种 (D) 16种 . 二、填空题 (每小题4分,共40分) 11. 右表为甲、乙两人比赛投篮球的记录, 以命中率(投进球数与投球次数的比值) 来比较投球成绩的好坏,若他们的成绩 一样好.现有以下关系式:

? a?b=5; ? a?b=18; ? a:b=2:1; ? a:18=2:3; 其中正确的是(只填序号).

图3

b d

a c

图4

e

?2x?y?4?x?mk

12. 已知方程组?的解为?,又知点A(m,n)在反比例函数y=的图像上,则k的值

x?x?y?5?y?n

是.

13. 等腰三角形的两个内角的度数之比为a:b (a<b),若这个三角形是钝角三角形,则 范围是14. 定义f (x)=

b

的取值 a

1

(x?1),那么f(f(f(?f(2011)?))).

???????1?x

2011個f

15. 函数y=ax与函数y=

2

x?b的图像如图5所示,则关于x,y的 3

?ax?y?0

方程组?的解是 .

3y?2x?3b?

16. 若a,b是自然数,且a>b,2011=a(a?1)?b.那么ab17. 一个骰子,六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.两次掷这个骰子,朝上一面的数依

?mx?ny?1

次记为m,n.则关于x,y的方程组?,有解的概率为 .

2x?y?3?

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图6

18. 如图6边长为2?的正方形ABCD内有一点P,且?PAB=30?,PA=2,

在正方形ABCD的边上有一点Q,且△PAQ为等腰三角形,则符合条件

的点Q有个.

19. 已知a,b,c为实数,并且对于任意实数x,恒有 | x?a |?| 2x?b |=| 3x?c |,

则a:b:c20. 一个自行车轮胎,若安装在前轮,则行驶5000千米后报废;若安装在后轮,则行驶3000

千米后报废.现有一辆新自行车,在行驶一定路程后,交换前后两轮的轮胎,再继续行驶,

使得两个轮胎同时报废,那么该车最多行驶.

三、解答题 每题都要写出推算过程.

21. (本题满分10分)

平面直角坐标系中,正方形ABCD四个顶点的坐标分别为(?1,?1),(1,?1),(1,1),(?1,1).设正方形ABCD在y=| x?a |?a的图像以上部份的面积为S,试求S关于a的函数关系式,并写出S的最大值.

22. (本题满分15分)

若直线l:y=x?3交x轴于点A,交y轴于点B.坐标原点O关于直线l的对称点O’在反比例函数y=

(1) 求反比例函数y=k的图像上. xk的解析式; x

(2) 将直线l绕点A逆时针旋转角? (0?<? <45?),得到直线l’,l’交y轴于点P,过点P作x轴的并行线,与上述反比例函数y=k3的图像交于点Q,当四边形APQO’的面积为9?时,求? 的值. 2x

23. (本题满分15分)

给定m (m?3)个数字组成的一列数a1,a2,…,am,其中每一个数ai (i=1,2,…,m)只能是1或0.在这一列数中,如果存在连续的k个数和另一组连续的k个数恰好按次序对应相等,则称这一列数是“k阶可重复的”.例如由7个数组成一列数:0,1,1,0,1,1,0,因为a1,a2,a3,a4与a4,a5,a6,a7按次序对应相等,所以称这列数为“4阶可重复的”.

(1) 分别判断下面的两列数是否是“5阶可重复的”?如果是,请写出重复的这5个数;

? 0,0,0,1,1,0,0,1,1,0; ? 1,1,1,1,1,0,1,1,1,1.

(2) 如果一列数a1,a2,…,am一定是“3阶可重复的”,求m的最小值.

(3) 假设一列数不是“5阶可重复的”且第4个数是1,但若在这列数最后一个数再添加一个0或

1,均可使新的一列数是“5阶可重复的”,那么原来的数列中的最后一个数是什么?说明理由。

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第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试

2012年3月11日 上午8:30至10:00 得分_______

一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案前的英文字母写在

下面的表格内.

1.如果0<m<1,那么m一定小于它的( )

(A)相反数 (B)倒数 (C)绝对值 (D)平方

775544332.在2,3,5,6这四个数中,最大的数是( )

77 554433(A)2 (B)3 (C)5 (D)6

a2?b2?2b?13.若a+b=2012,b≠a十1,则2的值等于( ) 2a?b?a?b

(A)2012 (B)2011 (C)

4.方程20122011 (D) 20112012121?2?( ) x?1x?13

(A)只有一个根x=1 (B)只有一个根x=2 (C)有两个根x1=l,x2=2 (D)无解.

rz+,+o=10,

?x?y?z?10?5.方程组?3x?y?z?50 ( )

?2x?y?40?

(A)无解 (B)有1组解 (C)有2组解 (D)有无穷多组解.

6. As in the figure 1, there are four circle with radius of 2. The four circles are apart from each other. Link their centers to form a quadrilateral, thenthe total area of the shaded parts in the figure is( )

(A) 2π (B) 4π (C) 6π (D) 8π

7.在平面直角坐标系中.先将直线y=3x-2关于x轴作轴对称变换,再将所得直线关于y轴作轴对称变抉,则经两次变换后所得直线的表达式是( )

(A)y=2x一3 (B)y=3x一2 (C)y=2x+3 (D)y=3x+2

228.一次函数y=(m一4)x+(1一m)和y=(m+2)x+(m—3)的图象分别与y轴交于点P和Q,这两点关于x轴对称,则

m的值是( ) (A)2 (B)2或一1 (C)l或一1 (D)-1

9.如图2,在周长是lOcm的□ABCD中,AB≠AD,AC、BD相交于点O,点E在AD边上,且OE⊥BD,则△ABE的周长

是( )

(A)2cm (B)3cm (C)4cm (D)5cm

10.x1,x2,x3,?,x100是自然数,且x1<x2<x3<?x100,若x1+x2+?+x100=7001,那么x1+x2+?+x50的最大值是( )

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(A)2225 (B)2226 (C)2227 (D)2228

二.A组填空题(每小题4分,共40分)

11.有下列命题:

①矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形; ②平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形;

④等腰梯形是轴对称图形,不是中心对称图形;

④有一个锐角是30°的直角三角形不是中心对称图形,也不是轴对称图形.

其中正确命题的序号是______________.(把所有正确的命题的序号都填上)

12.若n是正整数,且x=5 , 则2x2n?3n2???4x?=______________. 2n

13.已知整数a,b满足6ab=9a一10b+16.则a+b的值是____________.

14. The original railway from A to B is 310 km, and now a 280km long high-speed railwayis built. The train speed on the high -speed railway is twice the original speed, so the traveling time from A to B is 2 hours shorter. Then the original train speed on the original railway is_________km/hottr.

15.如图3,已知△ABC中,AD平分∠BAC.∠C=20°,AB+BD=AC,则∠B的度数是____________.

16.若△ABC的三个内角满足3∠A>5∠B,3∠C<2∠B,则△ABC必是___________三角形.(填“锐角”、“直角”

或“钝角”)

mx?11??2有整数解,m的值是_____________________. x?22?x

abc11122218.已知a十x=2011,b+x=2012,c+x=2013,且abc=24,则?????=______________. bcacababc17.若关于x的分式方程

19.若x是自然数,x+13和x-76都是完全平方数,那么x=_____________.

20.如图4,在□ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,点P在线段GF上,则△PHE与□ABCD的

面积的比值是_____________.

三、B组填空趣(每小题8分,共40分.)

21.直线y=3x+k+2与直线y=-x+2k的交点在第二象限,且k是正

整数,则k的值是_____________;交点的坐标是__________.

22.一个三角形的三条边的长分别是5,7,10,另一个三角形的三条边的长分别是5,3x一2,2y+1,若这两个三角

形全等,则x+y的值是__________或_____________.

23.点A和B在直线y??3x?6上,点A的横坐标是2,且AB=5.当线段AB绕点A顺时针旋转90°后,点B的4

坐标是____________或____________.

24.等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,点D和E在AB边上,AD=3,BE=4,∠DCE=45°,则DE=_______或_________.

25.袋中有红、黄、黑三种颜色的球各若干个,黄色球上标有数字5,黑色球上标有数字6,红色球上标的数字看不清.现从袋中拿出8个球,其中黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数.已知8个球上的数字和是39,那么红色球上标的数字是______________;拿出黑色球的个数是_________________.

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第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二

2012年4月8日 上午9:00至11:00 第2试 得分

一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写

在后面的圆括号内。

1a?b?c?d;○2a?d?b?c;○3c?d,则a,b,c,d的大小关系是( ) 1. 实数a,b,c,d满足:○

(A)a?c?d?b (B)b?c?d?a

(C)c?d?a?b (D)c?d?b?a

2.下列等式中不恒成立的是( ) (A)a?ba?ba?ba?b ???abab

(B)abab ???a?1b?1a?1b?1aa(C)a?2 ?a2?2a?1a?1a3?b3a?b?(D)3 a?(a?b)3a?(a?b)

3.一组数据由五个正整数组成,中位数是4,且唯一的众数是7,则这五个正整数的平均数等于( )

(A)4.2或4.4 (B)4.4或4.6 (C)4.2或4.6 (D)4.2或4.4或4.6

4.化简:4?7?4?7?( )

(A)1 (B)2 (C) (D)2

5.Put 8 identical balls into 3 different boxes, each box has at least 2 balls. How many different ways to put the balls?( )

(A)6 (B)12 (C)18 (D)36

(英汉词典:identical完全相同)

6.如图1,在平面直角坐标系内,A、B、C三点的坐标分别是(0,0),(4,0),(3,-2),以A、B、C三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

k图象上的两点,AC、BD都垂直于x

是C、D。连接OA、OB,若OA交BD于点E,且?OBF的面积是2011,则梯7.如图2,设点A、B是反比例函数y?

( )

(A)2009 (B)2010 (C)2011 (D)2012

8.如图3,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,P是AD上的动点,PE?BD

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y轴,垂足分别形AEDC的面积是于F,则PE+PF

的值

是( )

(A)4.6

(B)4.8 (C)5 (D)7

9.设a,b是实数,且

(A)3 1111?b1?a,则的值是( ) ???1?a1?bb?a1?a1?b(C)3(b?a) (D)无法确定的 (B)-3

10.循环节长度是4的纯循环小数化成最简分数后,分母是三位数,这样的循环小数有( )

(A)798个 (B)898个 (C)900个 (D)998个

二、填空题(每小题4分,共40分)

11.若a?0,计算:a2012?a2011?a?

12.若以x为未知数的方程2x?a??1的根是负数,则实数a的取值范围是 x?2

213.若n(n?0)是以x为未知数的方程x?mx?5n?0的根,则m-n的值是

14.正整数a,b满足等式

15.已知x?13ab??,那么a? ,b? 153511的值是 ?6(0?x?1),则x?xx

16.已知点A(4,m),B(-1,n)在反比例函数y?

则点D的坐标是 8的图象上,直线AB与x轴交于C,如果点D在y轴上,且DA=DC,x

在BC上,从D作BC17.如图4,等腰直角?ABC中,?A?90,底边BC的长为10,点D

的垂线交AC于点E,交BA的延长线于点F,则DE+DF的值是

18.如图5,在边长为6的菱形ABCD中,DE?AB于点E,并且点E

段AC上运动,则EF+FB的最小值是 ,最大值是

19.若实数a,b,c满足?是AB的中点,点F在线abbccaabc的值是 ?3,?4,?5,则a?bb?cc?aab?bc?ca

20.Suppose M?abc321 is a 6-digit number, a,b,c are three different 1-digit numbers, and not less than 4. If M is a multiple of 7, then the minimum value of M is

(英汉词典:multiple倍数)

三、解答题

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每题都要写出推算过程

21.(本题满分10分)

如图6,直线y?x?b(b?0)交坐标轴于A、B两点,交双曲线y?

DE,垂足分别为C、E,连接BC、OD。

(1) 求证:AD平分?CDE。

(2) 对任意的实数b(b?0),求证:AD2BD为定值。

(3) 是否存在直线AB,使得四边形OBCD为平行四边形?若存在,

线的解析式;若不存在,请说明理由。 求出直2于点D,从点D分别作两坐标轴的垂线DC、x

22.(本题满分15分)

如图7,在一条平直的公路的前方有一陡峭的山壁,一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去。

(1) 若汽车的行驶速度是30m/s,在距离山壁925m处时汽车鸣笛一声,则经过多长时间后司机听到回声?

(2) 某一时刻,汽车第一次鸣笛,经过4.5s再次鸣笛,若司机听到两次鸣笛的回声的时间间隔是4s,求汽车的

行驶速度。

(已知声音在空气中的传播速度是340m/s)

23.生产某产品要经过三道工序,同一个人在完成这三道工序时所用的时间相同,甲、乙二人同时开始生产,一段时间后,甲恰好完成第k个产品的生产,此时,乙正好在进行某个产品的第一道工序的操作,若甲、乙的生产效率比是6:5,问此时乙至少生产了多少产品?

参考答案

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三、解答题 21.(1)因为A、B是直线y?x?b(b?0)和坐标轴的交点,所

由??y?x?b?y?x?b及?

?y?0?x?0

得A(-b,0),B(0,b)

所以?DAC?

?OAB?45

又DC⊥x轴,DE⊥y轴

所以∠CDE=90

因此?ADC?45

即AD平分?CDE

(2)由(1)知?ACD和?BDE都是等腰直角三角形,所以 ???

AD?2CD,BD?2DE,AD?BD?2CD?DE?2?2?4

即AD?BD为定值。

(3)若存在直线AB,使得四边形OBCD为平行四边形,则

AO=AC,OB=CD

由(1)知AO=BO,AC=CD。

并且B(0,b)

所以得D(-2b,-b)

因为?b?2,b??1(正数舍去) ?2b

即存在直线AB:y=x-1,使得四边形OBCD为平行四边形。

22.(1)如图1,设经过ts后司机听到回声,则有30t+340t=23925,解得t=5. 所以,经过5s后司机听到回声。

(2)设汽车的行驶速度是v1,声音传播的速度是v2,汽车两次鸣笛的时间间隔是?t1;汽车第一次鸣笛t1时间后,司机第一次听到回声;汽车第二次鸣笛t2时间后,司机第二次听到回声;汽车第一次鸣笛时距离山壁为s. 如图2,如果司机先听到第一次鸣笛的回声,则有

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?2s?v1t1?v2t1 ??2(s?v1?t1)?v1t2?v2t2

两式相减,得

2v1?t1?(v1?v2)(t1?t2) 即t1?t2?2v1?t1 v1?v2

司机两次听到回声的时间间隔是

?t2??t1?t2?t1??t1?(t1?t2)?

代入数据,得 v2?v1?t1 v1?v2

4?340?v1?4.5 v1?340

解得v1?20m/s

如图3,如果司机先听到第二次鸣笛的回声,同理,得 t1?t2?2v1?t1 v1?v2

司机两次听到回声的时间间隔是

?t2?(t1?t2)??t1?

代入数据,得 v1?v2?t1 v1?v2

4?

v1?340?4.5 v1?340

解得v1?5780m/s

这样的速度不切合实际。

所以,汽车的行驶速度是20m/s

23.设甲生产一个产品所用的时间为t,则乙生产一个产品所用的时间为

用[a]表示不大于a的最大整数,{a}=a-[a],如

[3.14]=3,{3.14}=0.14 6t。 5

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???kt??5k?甲生产k个产品所用的时间为kt,此时乙生产了?????个产品

?6t??6???5??

由题知,乙正在进行某个产品的第一道工序的操作,所以

?5k?10???? ?6?3

而?11125?5k?可能取值是,,,,,0,(见下表)

?663236??

从表中可以看出,满足0???5k?1??的最小的k的值是5, 6??3

因此,乙至少已经生产了??5?5?=4个产品。 ??6?

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第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第1试试题

2013年3月17日 上午8:30至10:00

一、选择题(每小题4分,共40分)

1.有下列五个等式:( )

①y?3x?1;②y?x?1;③y?22x;④y?x;⑤y?x;其中,表示“y是x的函数”的有( )

(A)1个. (B)2个. (C)3个. (D)4个.

2.点??7,m?和点??8,n?都在直线y??2x?6上,则m和n的大小关系是( )

(A)m?n. (B)m?n. (C)m?n. (D)不能确定的.

3.下列命题中,正确的是( )

(A)若a?0,则a?12. (B)若a?a,则a?1. a

2(C)若0?a?1,则a?a. (D)若a?a,则a?0.

4.若定义“⊙”:a⊙b?ba,如3⊙2?23?8,则3⊙

(A)1等于( ) 2113. (B)8. (C). (D). 862

5.以下关于平行四边形的判定中,不正确的是( )

(A)两组对角分别相等的四边形是平行四边形. (B)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

(C)对角线相等的四边形是平行四边形. (D)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

6.用一根长为a,并且没有伸缩性的线围成面积为S的等边三角形.在这个等边三角形内任取一点P,则点P到等边三角形三条边的距离之和为( )

(A)2S4S6S8S. (B). (C). (D). aaaa

7.若?199?x?199,且m?x?100的值为整数,则m的值有( )

(A)100个. (B)101个. (C)201个. (D)203个.

8.已知x?2?,且x8?1?x4?6y?8?,则y的值是( )

(A)10. (B)15. (C)20. (D)30.

9.If a right triangle has edge lengths a?b,a,and a?b(a and b are both positive integers),then the perimeter of the triangle might be( )

(A)60. (B)70. (C)80. (D)90.

(英语小词典:right triangle 直角三角形;positive integers 正整数;perimeter 周长)

10.小王与小李约定下午3点在学校门口见面,为此,他们在早上8点将自己的手表对准,小王于下午3点到达学校门口,可是小李还没到,原来小李的手表比正确时间每小时慢4分钟.如果小李按他自己的手表在3点到达,则

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小王还需要等( )(正确时间)

(A)26分钟. (B)28分钟. (C)30分钟. (D)32分钟.

二、A组填空题(每小题4分,共40分)

11.若52x?1?125,则?x?2?2012?x?

12.计算:22013?22012?22011???22?2?1?.

13.用边长为1cm的小正方形在桌面上摆放成如图1所示的塔状图形,则第n次所摆图形的周长是.(用关于n的代数式表示)

?2?,学生乙因抄错c而得出14.有两个函数y?ax?b和y?cx?5,学生甲求出它们图象的交点的正确坐标?3,

交点坐标??,则函数y?ax?b的解析式是 .

?31?

?44?

15.如图2,三个正比例函数的图象分别对应解析式:①y?ax,②y?bx,③y?cx,若将a,b,c从小到大排列,则应当是 .

16.如图3,在正方形ABCD中,E、G、F分别是AB、AD、BC边上的点,若BE=2AE,AG=1,BF=2,?GEF?90?,则GF的长是 .

17.一个三角形的三条边的长分别是3,5,7,另一个三角形的三条边的长分别是3,3x?2,2x?1.若这两个三角形全等,则x的值是 .

18.有甲、乙、丙三种商品,购甲3件,乙7件,丙1件,需3.15元;购甲4件,乙10件,丙1件,需4.20元.若购甲、乙、丙各1件,则需 元.

19.设a,b是实数,且1111?b1?a,则的值时 . ???1?a1?bb?a1?a1?b

20.将不大于20的正偶数分成两组,使得第一组中数的乘积能被第二组

中数的乘积整除,则商的最小值是 .

三、B组填空题(每小题8分,共40分)

21.数学老师用10道题作为一次课堂练习,课代表将全班同学的答题情

况绘制成条形统计图,如图4所示.观察此图可知,每位同学答对的题的

个数组成的样本众数是 ,中位数是 .

22.方程x?2x?1?3的解是.

23.若关于x的方程

24.Let x?y?2mx3有增根,则m? 或 . ?2?x?2x?4x?2?

?1???2013,x and y are both positive integers,then the largest value of x?y is ,the x?

smallest value of x?y (英语小词典:value 值)

79

25.已知a?b?c?0,a?b?c,a?0,则

c

的最大值是 ,最小值是 . a

附加题(每小题10分,共20分)

1.A商品的单价是50元,B商品的单价是60元,几所学校各付款1220元购买了这两种商品,任意2所学校购买的A商品的数量都不同.则参加这次采购的学校最多有 所.

2.十进制中,右边的数码比左边的数码大的数叫做上升数,如134,258.那么三位数中的上升数有在三位上升数中,3的倍数有 个.

答案

80

第24届“希望杯”全国数学邀请赛初二第二试

2013年4月15日 上午8:30至10:30

二、 选择题(本大题共10小题,每小题4分,菜40分。)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正

确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。

1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人胶将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前,如图1所示,红丝带重叠部分形成的图形是( )

(A)正方形 (B)矩形 C)菱形 (D)梯形

2、设a、b、C是不为零的实数,那么x?a|b|c的值有( ) ??|a|b|c|

(A)3种 (B)4种 (C)5种 (D)6种

3、?ABC的边长分别是a?m?1,b?m?1,c?2m?m?0?,则?ABC是( ) 22

(A)等边三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形

(D)锐角三角形

4、古人用天干和地支记序,其中天干有10个;甲乙丙丁戊己庚辛壬癸,地支有12个;子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥,将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行;

甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁??

子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥??

从左向右数,第1列是甲子,第2列是乙丑,第3列是丙寅??,我国的农历纪年就是按这个顺序得来的,如公历2007年是农历丁亥年,那么从今年往后,农历纪年为甲亥年的那一年在公历中( )

(A)是2019年, (B)是2031年, (C)是2043年,

(D)没有对应的年号

5、实数 a、b、m、n满足a<b, -1<n<m, 若M?a?mba?nb,N?, 1?m1?n

则M与N的大小关系是( )

(A)M>N (B)M=N (C)M<N (D)无法确定的。

6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形,若最大的正方形的边长是7cm,则正方形A、B、C、D的面积和是( )

(A)14cm (B)42cm (C)49cm (D)64cm

81

2222

图2

?2a?3x?07、已知关于x的不等式组?恰有3个整数解,则a的取值范围是( ) 3a?2x?0?

(A)23434343≤a≤ (B)≤a≤ (C)<a≤ (D)≤a< 323232328 、The number of intersection point of the graphs of function

y?|k| and function y?kx(k?0) is( ) x

(A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2.

9、某医药研究所开发一种新药,成年人按规定的剂量限用,服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系近似满足如图3所示曲线,当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效,则服药一次治疗疾病有效的时间为(

(A)16小时 (B)15715小时 (C)15小时 (D)17小时 816

)

10、某公司组织员工一公园划船,报名人数不足50人,在安排乘船时发现,每只船坐6人,就剩下18人无船可乘;每只船坐10人,那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满,参加划船的员工共有( )

(A)48人 (B)45人 (C)44人 (D)42人

二、填空题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)

82

11、已知a?b?co 为?ABC三边的长,则化简|a?b?

c的结果是___

12、自从扫描隧道显微镜发明后,世界上便诞生了一间新科学,这就是“纳米技术”,已知1毫米微米,1微米纳米,那么2007纳米的长度用科学记数法表示为__米。

?2x?a?113、若不等式组?中的未知数x的取值范围是?1?x?1,那么(a?1)(b?1)的值等于___ x?2b?3?

14、已知a1?a2?a3???a2007是彼此互不相等的负数,且M?(a1?a2???a2006)(a2?a3???a2007),N?(a1?a2???a2007)(a2?a3???a2006)那么M与N的大小关系是M__N

ab15、∣|叫做二阶行列式,它的算法是:ad?bc,将四个数2、3、4、5排成不同的二阶行列式,则不同的计算cd

结果有__个,其中,数值最大的是___。

16、如图4,一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬,木板底端距离墙角0。7米,当小猫从木板底端爬到顶端时,木板底端向左滑动了1.3米,木板顶端向下滑动了0.9米,则小猫在木板上爬动了__米。

17、Xiao Ming says to Xiao Hua that my age add your age.add your age when Lwas your age is 48.The age of Xiao Hua is __ now.

(英汉词典:age年龄:add 加上;when 当??时)

18、长方体的长、宽、高分别为正整数a?b?c,且满足a?b?c?ab?bc?ac?abc?2006,那么这个长方体的体积为__。

19、已知a

为实数,且a?

1?都是整数,则a的值是__。 a

20、为确保信息安全,信息传输需加密,发送方由明文→密文(加密)。现规定英文26个字母的加密规则是:26年字母按顺序分别对应整数0到25,例子如,英文a?b?c?d,写出它们的明文(对应整数0,1,2,3),然后将这4

3x3?x1?2x1?3x1计算,得到密文,即a?个字母对应的整数(分别为x1.x2,x3,x4)按x1?2x2?b?c?d四个字母对应的密

83

文分别是2.3.8.9.现在接收方收到的密文为35.42.23.12.则解密得到的英文单词为___。

三、解答题(本大题共3小题,共40分)要求:写出推算过程

21、(本题满分10分)

如图5,一个大的六角星形(粗实线)的顶点是周围六个全等的小六角星形(细线型)的中心,相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点,如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a,求:

(4) 大六角星形的顶点A到其中心O的距离

(5) 大六角星形的面积

(6) 大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值

(注:本题中的六角星形有12个相同的等边三角形拼接而成的)

22、(本题满分15分)

甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地,再返回A地,图6表示两车离A地的距离s(千米)随时间t(小时)变化的图象,已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回。请根据图象中的数据回答:

(1)甲车出发多长时间后被乙车追上?

(2)甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇?

(3)甲车从A地返回的速度多大时,才能比乙车先回到A地?

23、(本题满分15分)

平面上有若干个点,其中任意三点都不在同一直线上,将这些点分成三组,并按下面的规则用线段连接:①在同一组的任意两点间都没有线段连接;②不在同一组的任意两点间一定有线段连接。

(4) 若平面上恰好有9个点,且平均分成三组,那么平面上有多少条线段?

(5) 若平面上恰好有9个点,且点数分成2,3,4三组,那么平面上有多少条线段?

(6) 若平面上共有192条线段,那么平面上至少有多少个点?

答案:

四、选择题(每小题4分)

84

六、解答题

21(1)连接CO,易知△AOC是直角三角形,?ACO?90,?AOC?30 所以AO?2AC?2a

(2)如图1,大六角星形的面积是等边△AMN面积的12倍 因为AM?(

2

?

?

AM22a2

a )?() 解得AM?322

1?a?a?2 23

所以大六角星形的面积是S?12?

(3)小六角星形的顶点C到其中心A的距离为a,大六角星形的顶点A到其中心O的距离为2a,所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的4倍,所以,大六角星形的面积:六个小六角星形的面积和=2:3 22.(1)由图知,可设甲车由A地前往B地的函数解析式为s?kt 将(2.4,48)代入,解得k?20 所以s?20t

由图可知,在距A地30千米处,乙车追上甲车,所以当s?30千米时,

s30

。即甲车出发1.5小时后被乙车追上 ??1.5(小时)

2020

(2)由图知,可设乙车由A地前往B地函数的解析式为s?pt?m t?

?0?p?m?p?60

将(1.0,0)和(1.5,30)代入,得?,解得?

30?1.5p?mm??60??

所以s?60t?60

当乙车到达B地时,s?48千米。代入s?60t?60,得t?1.8小时 又设乙车由B地返回A地的函数的解析式为s??30t?n

85

将(1.8,48)代入,得48??30?1.8?n,解得n?102

所以s??30t?102

当甲车与乙车迎面相遇时,有?30t?102?20t

解得t?2.04小时 代入s?20t,得s?40.8千米

即甲车与乙车在距离A地40.8千米处迎面相遇

(3)当乙车返回到A地时,有?30t?102?0 解得t?3.4小时

甲车要比乙车先回到A地,速度应大于48?48(千米/小时) 3.4?2.4

23.(1)平面上恰好有9个点,且平均分成三组,每组3个点,其中每个点可以与另外两组的6个点连接,共有线段6?9?27(条) 2

(2)若平面上恰好有9个点,且点数分成2,3,4三组,则平面上共有线段

1[2?(3?4)?3?(2?4)?4?(2?3)]?26(条) 2

(3)设第一组有a个点,第二组有b个点,第三组有c个点,则平面上共有线段

1[a(b?c)?b(a?c)?c(a?b)]?ab?bc?ac(条) 2

若保持第三组点数不变,将第一组中的一个点划归到第二组,则平面上线段的条数为

(a?1)(b?1)?(b?1)c?(a?1)c?ab?bc?ca?a?b?1

与原来线段的条数的差是a?b?1,即

当a?b时,a?b?1?0,此时平面上的线段条数不减少

当a?b时,a?b?1?0此时平面上的线段条数一定减少

由此可见,当平面上由点数较多的一组中划出一个点到点数较少的一组中时,平面上的线段条数不减少,所以当三组中点数一样多(或基本平均)时,平面上线段的条数最多

设三组中都有x个点,则线段条数为3x?192 解得x?8

所以 平面上至少有24个点

2

86

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