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【2013】希望杯竞赛数学试题详解(11-20题)

发布时间:2014-02-10 15:54:40  

题11 使不等式2?a?arccosx的解是?x1?x?1的实数a的取值范围是( ) 2

A、1??125?22? B、 C、 D、?? ??222623

(第十一届高二第一试第6题)

解法1 由已知可知2?arccosx?a的解集是??,1?.在此区间上函数f?x??2x?arccosx是单x?1?

?2?

调增的.因此a的值应当满足关系f??12?1???a, 2???a?2?22??1??.选B. ?arccos????3?2?2

x解法2 原不等式同解于a?2?arccosx,因为?1?x

?1,所以?2x?2, 22

?2?22?22?.故选B. ??2x?arccosx?2,?a????arccosx?0,从而32323

评析 上述两种解法的实质是一回事.

关于此题,刊物上有数篇文章的观点值得商榷,现摘其部分加以分析.

一篇文章认为:“由已知不等式得a?2?arccosx,欲使其解为?x1?1??x?1,实际上是对x???,1?2?2?

1时,2x的任何x,a?2?arccosx恒成立,而y?2?arccosx在??,1?上是增函数,所以当x??x?1?

?2?

ymin?2?1

222??1?.故选B.” ??arccos????23?2?

另一篇文章在介绍了“设m?f?x??n,则a?f?x??a?f?x?max?n;a?f?x?? a?f?x?min?m”后分析道:“令f?x??2x?arccosx,当?

?2,又a?

f?x?,故a?122??x?1时,??f?x? 2232?,选B. ” 3

1?x?1的实数a的取值范围是( ) 2 还有一篇文章干脆将题目改为: 使不等式2?a?arccosx的解是?

A、???,1?x?

???2?? B、????

??22??? ?23??

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