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【2013】希望杯竞赛数学试题详解(1-10题)

发布时间:2014-02-10 15:54:45  

题1 已知0?a?b,x?a?b?b,y???a,则x,y的大小关系是 .

(第十一届高二第一试第11题)

解法1 x?a?b?b?

aa

,y?b?b?a?.

a?b?b?b?a

?0?a?b,?a?b?b?b??a,?x?y.

解法2

xa?b??b?ax

??,?a?b?b?a,??1,?x?y. yy??aa?b?11??xy

11

??

a?b?bb??a

a?b?b?b?a

?

aa

解法3

=

a?b??a11

?0,???0,?x?y.

axy

解法4 原问题等价于比较

(x?y)2

a?b?b?a与2的大小.由x?y?,得

2

2

2

a?b?b?a)2?2(a?b?b?a)?4b,?a?b??a?2. ?a?b?b?a,?a?b??a?2b,?x?y.

解法5 如图1,在函数y?

x的图象上取三个不同的

A

(b?a,?a)、B(b,)、C(a?b,a?b)

由图象,显然有kBC

a?b???a

??kAB,即,

(a?b)?bb?(b?a)

即a?b?b??b?a,亦即x?y.

解法6 令f(t)?

,?f(t)?

a

a?t?t

图1

调递减,

而b?b?a,?f(b)?f(b?a),即a?b??b??a,?x?y.

解法7 考虑等轴双曲线x?y?a(x?0). 如图2,其渐近线为y?x.在双曲线上取两点 A(,b?a)、B(b?a,). 由图形,显然有kAB?1,即

2

2

??a

?1,从而x?y.

a?b?b

图2

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