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hhq面积问题评说(含答案)-

发布时间:2014-02-10 15:57:40  

面积问题评说

平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量,面积是平面几何中一个重要的概念,联系着几何图形中的重要元素边与角.

计算图形的面积是几何问题中一种常见问题,求面积的基本方法有:

1.直接法:根据面积公式和性质直接进行运算.

2.割补法:通过分割或补形,把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题.

3.等积法:根据面积的等积性质进行转化求解,常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化.

4.等比法:将面积比转化为对应线段的比.

熟悉以下基本图形中常见的面积关系:

注 等积定理:等底等高的两个三角形面积相等.

等比定理:(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比,同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比; (2)相似三角形面积之比等于对应线段的平方比.

例题求解

【例1】 在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD相交于点O,若AC=5,BD=12,中位线长为的面积为S1,△COD的面积为S2,则S1?S2

(2000年山东省竞赛题)

【例2】 如图,在△ABC中,已知BD和CE分别是两边上的中线,并且BD

⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面积等于( )

A.12 B.14 C.16 D.18(全国初中数学联赛试题)

【例3】如图,P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点,AP与CQ

相交于点E,且∠PAD=∠QAD,求证:S矩形ABCD=S△APQ. (重庆市竞赛题)

13,△AOB2

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【例4】 如图甲,AB、CD是两条线段,M是AB的中点,S△DMC、S△DAC、S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积,当AB∥CD时,有S△DMC =S?DAC?S?DBC· 2

(1)如图乙,若图甲中AB不平行CD,①式是否成立?请说明理由;

(2)如图丙,若图甲中A月与CD相交于点O时,问S△DMC和S△DAC和S△DBC有何种相等关系?试证明你的结论. (2001年安徽省中考题

)

注 有些几何问题,虽然题目中没有直接涉及面积,但由于面积关联着边角两个重要元素,所以我们可从面积角度思考问题,这就是常说的面积法.

用面积法解题的基本步骤是:

(1)用不同方法或从不同角度计算某一图形面积,得到一个含边或舍角的关系式.

(2)化简这个面积关系式,直至得到求解或求证的结果.

当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时,不妨用面积法试一试.

巩固训练

1.如图,是一个圆形花坛,中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米),如果每平方米种植鲜花20株,那么这个菱形图案中共有鲜花 株.

(第14届“希望杯”邀请赛试题)

2.如图,矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2,那么阴影部分的面积为.

(2003年上海市中考题)

(第1题) (第2题) (第3题)

SBD33.如图,在△ABC中,∠B=∠CAD,?,则?ABD S?CADAC2

(2000年重庆市竞赛题)

4.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=a,CD=b(a<b),对角线AC与BD相交于O,△BOC的面积为梯形ABCD的面积的2a,则 9b

5.如图,在四边形ABCD中,∠A=135°,∠B=∠D=90°,BC=23,AD=2,则四边形ABCD的面积为

( )

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A.42 B.43 C.4 D .6 (2001年湖北省荆州市中考题)

6.ABCD是边长为1的正方形,△BPC是等边三角形,则厶BPD的面积为( )

A.23?113?11 B. C. D. (2001年武汉市选拔赛题

) 8448

(第4题) (第5题) (第6题)

7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以AC、AB为边,在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB,作CK⊥AB分别交AB和GH于D和K,则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为

( )

A.S1=S2 B.S1>S2 C.S1<S2 D.不能确定,与

(2002年山东省竞赛题

) AC的大小有关 AB

(第7题) (第8题)

8.有一块缺角矩形地皮ABCDE(如图),其中AB=110m,BC=80m,CD=90m,∠EDC=135°.现准备用此块地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的教学大楼,以下四个方案中,地基面积最大的是

( )(2003年广州市中考题)

9.今有一块正方形土地,要在其上修筑两条笔直的道路,使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的4部分.若道路的宽度可忽略不计,请设计4种不同的修筑方案.

(2000年山东省竞赛题)

10.如图,已知梯形ABCD的面积为34cm2,AE=BF,CE与DF相交于O,△OCD的面积为11cm2,求蝶形(阴影部分)的面积.

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11.探究规律:

如图a,已知:直线m∥ n,A、B为直线n上两点,C、P为直线m上两点.

(1)请写出图a中,面积相等的各对三角形;

(2)如果A、B、C为三个定点,点P在m上移动,那么,无论P点移动到任何位置,总有ABC的面积相等.理由是: .

解决问题:

如图b,五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图.经过多年开垦荒地,现已变成如图c所示的形状,但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图c中折线CDE)还保留着.张大爷想过正点修一条直路,直路修好后,要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多,右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.请你用有关的几何知识,按张大爷的要求设计出修路方案.

(不计分界小路与直路的占地面积)

(1)写出设计方案,并在图c中画出相应的图形;

(2)说明方案设计理由. (2003年河北省中考题

)

12.如图,△ABC中,AD与BE相交于F,已知S△AFB=12cm2,S△BFD=9cm2,S△AFE=6cm2,那么四边形CDFE的面积为 cm2.(2000年我爱数学夏令营竞赛题

)

(第12题) (第13题) (第14题) (第15题)

13.如图,分别延长△ABC的三边AB、BC、CA至A′、B′、C′,使得AA′=3AB,BB′=3BC,CC′=3AC,若S△ABC=1,则S△A'B'C'

14.如图,设△ABC的面积是1,D是边BC上一点,且

的面积为BD1?,若在边AC上取一点,使四边形ABDEDC24AE,则的值为 . (2003年天津市竞赛题) 5EC

15.如图,从等边三角形内一点向三边作垂线,已知这三条垂线段的长分别为1、3、5,则这个等边三角形的边长为 . (全国初中数学联赛试题)

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16.如图,E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点,连结AF、CE,设AF与CE的交点为G,则

等于( )

A.3542 B. C. D. (2002年全国初中数学竞赛题

) 4653S四边形AGCDS矩形ABCD

(第16题) (第17题) (第18题)

17.如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积S是( )

A.50 B.62 C.65 D.68

(2000年山东省竞赛题)

18.如图,在△ADC中,EF∥BC,S△AEF=S△BCE,若S△ABC=1,则S△CEF等于( )

A.131 B. C.?2 D.3? (2002年四川省竞赛题) 425

19.已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边长的平方,则菱形的一个钝角的大小是( )

A.165° D.135° C. 150° D.120° (“希望杯”邀请赛试题)

20.如图,在锐角△ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点,P、Q、R分别是△ADF、△BDE、△CEF的三条中线的交点.

(1)求△DEF与△ABC的面积比;

(2)求△PDF与△ADF的面积比;

(3)求多边形PDQERF与△ABC的面积比.(第14届“希望杯”邀请赛试题)

21.如图,设凸四边形ABCD的一组对边AB、CD的中点分别为K、M,

求证:S四边形ABCD=S△ABM+S△DCK.

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22.如图,已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且AD、BE、CF相交于P点,AP=BP=CP=6,设PD =x,PE=y,PF=z,若xy+yz+ z x=28,求xyz的值.

23.如图,在△ABC中是否存在一点P,使得过P点的任意一直线都将△ABC分成等积的两部分?为什么

?

24.如图,以△ABC的三边为边向形外分别作正方形ABDE,CAFG,BCHK,连结EF,GH,KD,求证:以EF,GH,KD为边可以构成一个三角形,并且所构成的三角形的面积等于△ABC面积的3倍. (2003年北京市竞赛题

)

思考 如图,设G(也称重心)为△ABC三条中线AD、BE、CF的交点,则

证明.

AGBGCG???2,请读者GDGEGF

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