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希望杯竞赛数学试题详解(21-30题)

发布时间:2014-02-11 09:53:24  

题21 若x,y?0,且x?2y?1,则u??x??

?1??1???y?的最小值是 . ???x??4y?

(第一届高二第一试第20题)

题22 已知a,b?R,且a?b?1,则?1???

?1??1???1??的最小值是 . a??b?

(第八届高二培训填空题第6题)

题23 设x,y?R,且x?y?1,则x?y?xy的最大值是,最小值是

(第六届高二培训解答题第2题、第八届高二第一试第23题)

题24 若3x?xy?3y?20,则8x?23y的最大值是.

(第十三届高二培训题第68题)

题25 函数y?222222sinx?cosx的最大值是____. 1?sinx

(第九届高二培训题第43题)

1212题26 函数y?sinx?cosx的值域是 .

(第十一届高二培训题第46题)

题27 设n?N?,则|n?1949|?|n?1950|???|n?2001|的最小值是

(第九届高二培训题第53题)

题28

s?1???,则s的整数部分是 ( ) A、1997 B、1998 C、1999 D、2000

(第八届高二第二试第10题)

题 29 求函数y?x4?32x?80?x2?4的最小值和取最小值时x的值

(第十三届高二培训题第81题)

题30 函数y?x2?3x?2?2?3x?x2的最大值是最小值是

(第十四届高二第二试第16题)

1

21.解法1 比较:当a,b?0,a?b?1时,?a??

?1??1?25,当且仅当 b?????a??b?4

a?b?1??1?1?1??1?12525111????y??x?2y????时取等号.可见,?x???,当且仅当时取x?,y?????2??24x4yx2y8224????????

等号.?umin?25. 8

?

?1??1?xy11?y??xy????1?xy?. ???x??4y4yx4xy4xy??

111?1?,即t?.可证函数f?t??1?t?在?0,?884t?8?解法2 u??x?令t?xy,?x?2y?1且x?0,y?0,?x?2y?22xy,即xy?

上单调递减,?t?11125?1?25时,f?t?min?f???.即当x?,y? 时,umin?. 8248?8?8

解法3 令x?tan?,2y?tan????,???0,2???,则tan??tan??1, ?????????

1?1??1?2?sin2??sin2??u??x???2y??.?sin2?sin2?????(当且仅当???时取等号).又2?x??2y?sin2?sin2?2??

sin2??sin2??2tan?2tan? ?1?tan2?1?tan2?

?2?2tan?tan??tan??tan??

1??tan??tan???2tan?tan??tan?tan?2222?2?1?tan?tan2??tan?tan2??1?tan??tan??tan?tan?2222

?2?2tan?tan?

1?1?tan?tan?22.由tan??tan??1,易得tan?tan??1(当且仅当???时取等号).于是4?1?tan?tan??

u?219?1??8(?????1???. ?sin2??sin2??5?4?161?1622?2?时取等号).故

?sin2??sin2????2??2?8?8????5?2?251125. .?当????arctan,即x?2y?时,umin?8228

评析 解法1的依据就是课本上一道习题的结论.本赛题就是这道课本习题的变题.利用现成的一些重要结论可以简化解题过程,尤其是解选择题、填空题时更可直接利用.

由于a、b?R?时,xy1ba后,??xy???2,当且仅当a?b时取等号,所以解法2将u展开成4yx4xyab

只能对

xy11使用上述公?使用上述公式(因为x?2y?1,所以必须使x?2y?时取等号).若也对xy?4yx4xy22

式就错了,因为由x?2y?111111,得x?,y?,此时xy?,并不相等.这是同一式子中几处?2,xy与84xy4xy224

k?k?0,x?0?不可能相等时,通常运用函数的单x同时使用基本不等式时必须注意的,是一个常见的易错点.x与

调性求x?kk的最小值(易证函数y

?x??x?0,k?0?在

上单调减,在??)上单调增). xx

?

?1??1?25”可作如下推广: ??b???a??b?4解法3运用三角代换法,虽然较繁,但仍可起到开阔视野,活跃思维的作用. 拓展 命题“若a,b?0且a?b?1,则?a?

推广1 若a,b,c?0且a?b?c?1则?a??

?1??1??1?1000. ??b???c???a??b??c?27

证明 ?a??

?1??1??1c??b???a??b??c1bcab???caab??c

??ab????abc?abc??abbcc?a?

?abc?1??1?11???abc?abc???3,当且仅当时取等a?b?c???3???abcabc3abc????

33111?a?b?c??1??1??1?号.?abc??,?abc?.又f?x??x?在?0,?及?0,?上都是减函数,?????3273x???3??27??3?

1?????abc???3??abc??????1??1??11???1000, 当且仅当abc?1时取等abc???27??3????2727??31?27abc????3??

号.??a??

?1??1??1?10001b?c?(当且仅当a?b?c?时取等号). ??????a??b??c?273

nn?1推广2 若ai?0(i?1,2,?,n),?ai?1,则??ai?aii?1?i?1

?1推广3 若ai?0(i?1,2,?,n),?ai?k,则??ai?aii?1?i?1nn??n2?1?????. n?????n2?k2?????. ??nk?nn

推广2、3的证明,叙述较繁,此处从略.

22.解法1

?a,b?R,且a?b?1,??a?b11?,?ab?. 224

111a?b12?1??1???1???1???1????1???1??1?8?9. ababababab?a??b?

当且仅当a?b???1??1??1时取等号.???1???1????9. 2??a??b??min

3

解法2

?1?

??

1??1??a?b??a?b??b??a?1??1?1??1?1?1?1?????????????a??b??a??b??a??b?=9,当且仅当

??1??1??ba1

??1,即a?b?时取等号. ???1???1????9. ab2??a??b??min

解法3 ?1?

??

1??1??a?b??a?b??b??a??ba?

1??1?1??2?2??5?2??????????????? a??b??a??b??a??b??ab?

??1??1??ba1

??1,即a?b?时取等号. ???1???1????9. ab2??a??b??min

5?2?2?9,当且仅当

评析 求条件最值离不开利用条件.如何利用条件a?b?1?解法1把?1?解法2与3将

?

?1??1?

??1??展开后将a?b用1代,a??b?

11

与中的1用a?b代,其目的都是为了能利用均值不等式或基本不等式求最值. ab

2

拓展 此题可作如下推广:

?n?2??1??1?

推广1 若a,b,n?R,且a?b?n,则?1???1??的最小值是??.

?n??a??b?

?

证明?a,b,n?R,?n?a?b?2ab,于是

?

14

?2, abn

2

a?b?1n?14(n?1)?n?2??1??1?

1?1??1??1??1????????2

ababn?a??b??n??n?2??1??1?

??1???1??的最小值是??.

nab??????

2

,当且仅当a?b?

n

时取等号,2

推广2 若a1,a2,?,an?R,且a1?a2???an?1,则

?

?1??1??1?n?1???1????1??的最小值是(n?1). ?a1??a2??an?

证明 ?a1,a2,?,an?R,a1?a2???an?1,

?

1a1?a1?a2???an(n?1)n?1a1a2?an

?1???.

a1a1a1

11??,1??同理1?.故

a22ann?1??1??11?1??1??????aa1??2???an

??(n?1)n ,当且仅当 ??

12n?

?1??1??1?1n

?1?1??1?a1?a2???an?时取等号. ??的最小值是(n?1). ????

n?a1??a2??an?

4

推广3 若k,m,ai?R(i?1,2,?,n),且??11?,则a?m???ik

i?1i?1?ainn??的最小值是 ?

?nk??1?k?. ?m?n

?

n1?n证明 由均值不等式得???n?ai?1ai??i?i?1???n?n????,

??m???

pnk1pp?n??Cn?CnCn?k?(p?1,2,?,n), ?kkk

1?i1?i2???ip?nai1ai2?aip?m??1从而??1?kaii?1?n

k

1?n1?Cn?k?mnn?1111?1??????? ?????kkkkkkkaaaaa?aai?1i1?i1?i2?ni1i21?i1?i2???in?1?ni1i2i?1in?1i?2n?1k?nk?n?n??Cn?k???1?k?, ?m??m?nnkk?2?n?n?1?n???Cn?k????Cn?k???m??m?

??nk?1?m当且仅当ai?(i?1,2,?,n)时取等号.故??1?k?的最小值是?1?k?. ai?ni?1??m?nn

推广4 若k,m,ai?R(i?1,2,?,n),且??k1?,则a?m(0?m?n)?ai?k?的最小 ??iai?i?1?i?1nn?mknk?值为?k?k?. m??n

推广4的证明与推广3类似,留给读者. 运用这些推广,读者可做练习:

1、 已知a,b?R,且a?b?1,求: ?n

?1??1?(1)?1????1??的最小值; ?a??b?

?1??1?(2)?1????1??的最小值; ?a??b?

(3)?nn22?1??1??1?1??2?的最小值. 2?a??b?

?2、已知a,b,c?R,且a?b?c?1,求?1?

???1??1??1???1???1??的最小值. a??b??c?3、已知a1,a2,?,an?R,且a1?a2???an?1,求

5

??1??1?1?1??1????1???的最小值. ????aaa?1??2?n??

4、求22211的最小值. ?2222sin?cos?cos?sin?

22222 (提示:sin??cos?cos??cos?sin??1, 原式?111.) ??sin2?cos2?cos2?cos2?sin2?

?5、已知a1,a2,a3,a4?R,且a1?a2?a3?a4?1,求

1111的最小值. ???a2?a3?a4a1?a3?a4a1?a2?a4a1?a2?a3

答案:1、(1)18 (2)2?3 (3)9 2、64 3、n(n?1) 4、9 5、

23.解法1 ?x?y?1,??1?x,y?1,?x?1?0,y?1?0.

由(x?y)?2(x?y)?2,有?2?x?y?22222n216 32,

?2(x?1)(y?1)?(x?1)2?(y?1)2?x2?y2?2(x?y)?2?1?22?2?3?22.

记u?x?y?xy?(x?1)(y?1)?1,立得u??1和u?1?2.故当x??1或y??1时,umin??1,当2

x?y?21时,umax??2. 22

解法2 由题意,设x?rcos?,y?rsin?,0?r?1,??[0,2?).

则x?y?xy?rcos??rsin??rcos?sin??2??11?sin?????r2sin2??,当且仅当r?1且4?22?

???

4,即x

?y?21时取等号.?(x?y?xy)max?.又 22

2r2

x?y?xy?r(sin??cos?)?rsin?cos??r(sin??cos?)?[(sin??cos?)2?1]2.令

r2

21s??ci??t,to?[n?2,2],则x?y?xy?rt?(t?1)?[(rt?1)2?1?r2].易知当rt?1?0时,22

[(rt?1)2]min?0,(?r2)min??1.此时,r?1,t??1,即x??1或y??1时,(x?y?xy)min??1.

关于x?y?xy的最大值,还有下列解法.

6

x2?y21解法3 ?2xy?x?y,x?y?1,?(x?y)?2(x?y)?2,xy??, 222222222

x2?y212时取等号. ?x?y?xy?2(x?y)??2?,当且仅当x?y?22222

?(x?y?xy)max?2?1. 2

11?x2?y21111解法4

x?y????(x2?y2)???1?1, 222222x2?y2112?x?y?2.又xy?时取等号.故?,?x?y?xy?2?,当且仅当x?y?2222

(x?y?xy)max?2?

21. 22222评析 解法2由x?y?1考虑到三角换元,这是很自然的事.解法3运用基本不等式(x?y)?2(x?y)

x2?y2

22及xy?,再由x?y?1,分别求出x?y与xy的最大值(注意:必须是x与y取相同值时x?y与xy2

同时取得最大值),从而得到x?y?xy的最大值.解法4与解法3路子不同,实质一样.但解法3、4都只能解决题中的最大值问题,如何求最小值是本题的难点.解法1中将x?y?xy变形为(x?1)(y?1)?1,并由已知得出x?1?0,y?1?0,是突破这一难点的关键.

第九届高二第一试第15题:“实数x,y适合条件1?x?y?2,则函数2x?3xy?2y的值域是 .”其形式与实质都与本题一样.以三角代换法求解最为简捷.(答案为[,7])

拓展 由题引伸,可以得到:

定理1 设??0,x?y?1,z?x?y??xy, 22222212

则(1)当??2?1?时,???z?2?; 222?2

???2??z?2?. 222

22(2

)当0???证明 设x?a?b,y?a?b,则a?b?21.又设a?rcos?,b?rsin?, 0?r?,则22

z?x?y??xy?2a??(a2?b2)?2rcos???(r2cos2??r2sin2?)

?2r2?(cos??

121)??r2?.??1?cos??1,? 2r?2?7

1、当11时, ??1,即??2r22r

?

(1)z??11?211时取等号. ??r2???(?0?r?),当且仅当cos?????2?2?222r?2?

21?1?2?22??r??r??2r??(2

)z?2?r?1?时取等号. cos??1,r??2r?2?22??2、当11时 ??

1,即0???2r2r?

2?时,zmax??2. 22

22(1)当cos??1,r???(2)当cos???1时,z?

?2r?r?.又函数y??2x?x?,???0,,当x??0,时是减函数,22??

??

故?2r?r???2?2?

2. 综上所述,当??2?1?时,??时, ?z

?2?;当0???2222?2

?2??

2?z?2??

2.

进一步引伸,可得

定理2 m,n?0,若x?y?1,z?m(x?y)?nxy,则 22

nm2nn2?z?2m?; (1)当?时,??m222n2

(2

)当0?nnn?时,?2m??z?2m?. m222

?

?n?nxy?.令t?x?y?xy,再由定理1即可得证. m?m简证 z?m?x?y?

再引伸,还可得到

定理3 设x1,x2,?,xn?R,且x1?x2???xn?S(m?N?),则有

?mmm

x1?x2???xn?x1x2?xn?? mm证明 ?x1,x2,?,xn?R,x1?x2???xn?S(m?N?)及平均值不等式

m

?x?x???x?x1?x2???xn????nn??

8 m1m2mn1m

?S??S??x1?x2??

?xn?n????x1x2?xn?????n??n?1mnm

?x1?x2???xn?x1x2?xn? y1?22y2?t2

21224.解法1 引入参数t,?xy?tx???tx?2??x?2y, t2?t?22t

t2

21222又?xy?3x?3y?20,?x?2y?3x?3y?20, 22t22

t2

3??t2?2?1?2?8,解得t2?4或??3??x??3?2?y?20.考虑到待求最值的二元式是8x2?23y2,故令12?2t???3?2232t

t2??

2x?2?1?2222(舍去),故只需令t?2,即可得?3?2?x??3??y?20.因此,8x?23y?160,当且仅当23?8?y22?160. ,即y?4x时取等号.??8x?23y?max2

?1x?y??,2?1?352206??y?解法2 已知条件式即?x?y??.

6363??y??,??x????,??即?代入待求式,并化简, ?y??.??

得8x?23y?

160. 222232112822321128?sin?2???????160.故当且仅当y?4x时,8x2?23y2有最大值21212121

?,?tcos解法3 令8x?23y?t.从而

有即x??,y??.代入已知等式,

得?,

?tsin222

3t223t2

2cos??cos??sin2??

20, 823?t2?20

cos2?2??sin2?8232?20?36820?368??160. 93?47cos2???93?47即8x?23y?160. 2

9

116x2?y2

22解法4 ?xy??4x?y??,而xy?3x?3y?20, 48

16x2?y2

?3x?3y?20?,即8x2?23y2?160. 822

解法5 设x?m?n,y?m?n,代入条件得5m?7n?20.

22

令m?2cos?,n?22?,则8x2?23y2?8?m?n??23?m?n? ?31m2?

30mn?31n2?62cos2??620212??sin???744?376cos?2???????77 ?1?744?376??160. 7

22 解法6 设8x?23y?s,则s3x?xy?3y2?2??20?8x2?23y2?,

2即?3s?160?x?sxy??3s?460?y?0①.由题设x,y不同时为0,故不妨设y?0,则将①式两边同除以y,得22

2?x??x??3s?160????s????3s?460??0.当3s?160?0时,

?y??y?

由?=s?4?3s?160??3s?460??0,解得2x45368?s?160;当3s?160?0时,??. y87

综上, 368?s?160.故?8x2?23y2?max?160. 7

22解法7 8x?23y?83x??2x?y?3y??2126?x28?x?y?y??8?20??4x?y1460.故当x?y时, 2

?8x2?23y2?max?160.

评析 破解此题的关键是消去条件式中的xy项.

y,再运用基本不等式,从而得到t

t2

3??t2?2?1?222?8,从而使问题获解,极其巧妙.3?x?3?y?208x?23y.而要求的是的最大值,故令???2?22t????3?2232t命题组给出的解法1,通过引入参数t,将xy变形为tx?

此法还具有普遍性,是解决此类问题的通法.

1?35220?22y?解法2将3x?xy?3y?20变为?x?y??,从而为三角代换创造了条件,进而运用三角函6363??

数的有界性求得最值.此法也具一般性,且对于求式中含xy项时同样适用.

解法5通过对称换元消去了已知式中的乘积项.当式中x项与y项系数相等时这也是一种通法. 222

10

19x2?y2

22解法4的技巧性特强.要知道,若xy?(3x?y)?,由xy?3x?3y?20, 36

9x2?y2

22得3x?3y?20?,即9x?17y?120,则仍然不能解决问题. 622

解法6运用整体思想及方程思想,由二次方程有实根的条件使问题获解,这也是一种常用的方法.

解法7巧用配方法,使得问题的解决极其简洁.可能有人要说这是不是碰巧了,换个题目此法就不灵了,其实不然,请看下面的问题:

例1 若x,y?R,且x?2xy?y?7, 则x?y的最小值是________.

(第十届高二培训题第66题)

2y 解

7?x?2x?22222y?22(?x

22??y?2(2?1)x?y2(? 2?

1)y????y)?1)?x???2?y2),即x2?y2?

?

?22

x?y

再看一例:

例2 实数x,y适合1?x?y?2,则函数2x?3xy?2y的值域是.

(第九届高二第一试第15题)

解 (1)1?x?y?22x?3xy?2y222222?22??3?x2?2xy?y2?

12?2?2x2?3xy?2y2??3?x?y??2?2x2?3xy?2y2?.?2x2?3xy?2y2?. 2

7232723222222(2)2x?3xy?2y??x?y???x?2xy?y???x?y???x?y? 2222

7?1???2?0?7.故所求值域为?,7?. 2?2?

到底如何配方,读者可从上面的例子中体会.配方法是高考明确要求学生掌握的一种数学方法,在解决一些竞赛问题时也有较广泛的应用.我们必须切实掌握好.

请用配方法解决下列问题:

1.实数x,y满足x?3xy?y?2,则x?y的值域是 .(答:[,+∞))

(第六届高二第二试第17题)

2.若x,y?R,且2222451?1??x2?y2?2,则x2?2xy?4y2的取值范围是 .(答:?,3?) 2?4?

22223.已知x,y满足x?xy?y?1,求x?xy?y的取值范围.(答:?,3?) ?3?

4.已知x?xy?2y?1,求表达式x?

2y的最大值与最小值.(答:

11 2222?1?8?8?,) 77

???(1?y)2?1?sin(x??)?y?1sinx?cosx?25.解法1 由y?,得(1?y)sinx?cosx?y,即?sin??,21?sinx(1?y)?1??1?y?cos??2?(1?y)?1?

?sin(x??)?y

(1?y)?12.?sin(x??)?1,?y(1?y)?12?1,解得y?1.故ymax?1.

2t1?t2

?221?2t?t2x2解法2 令t?tan,则y?,化为(1?y)t?(2y?2)t?(y?1)?0,??x?R,22t21?2t?t1?1?t2

??t?0,即(2y?2)2?4(y2?1)?0,解得y?1.故ymax?1.

解法3 由cosx?1,得sinx?cosx?sinx?1(cosx?1时取等号),?1?sinx?0,?1?sinx?0,?sinx?cosx?1,故ymax?1. 1?sinx

1?sinx?cosx?1cosx?1解法4 y? .??1?cosx?1,?1?sinx?1,??2?cosx?1?0,?1?1?sinx1?sinx

0?sinx?1?2.?当cosx?1时,ymax?1.

解法5 由y?sinx?cosx,得(1?y)sinx?cosx?y,1?sinx

2?y2??(1?y)sinx?cosx??(1?y)2?12(sin2x?cos2x),?y2?(1?y)2?12,解得y?1.?ymax?1.

解法6 y???sinx?cosxcosx?1cosx?1 .令u?,它表示动点(sinx,cosx)与定点(?1,1)的连线的?1?1?sinxsinx?1sinx?1

斜率,即u表示单位圆上的点与点(?1,1)的连线的斜率,由图易知umax?0,?ymax?1.

解法7 显然,sinx??1.由y?sinx?cosx22得(1?y)sinx?cosx?y?0①,又sinx?cosx?1②.1?sinx

22由①、②可知点(sinx,cosx)是uov坐标系中的直线(1?y)u?v?y?0与圆u?v?1的公共点,圆心(0,0)到

直线①的距离不大于圆的半径1

,即d??1,解之得y?1,?ymax?1.

评析 类似本题分子、分母中含有sinx、cosx的一次式的函数的最值问题,总可以通过去分母、移项变为asinx?bcosx?c的形式,进而变为a2?b2sin(x??)?c(其中tan??

得最值,解法1正是这样做的,也是解决这类问题的通法.

万能公式可将角x的各种三角函数表示成b)的形式,再由sin(x??)?1求axx的正切,这在实质上起到了消元的作用.故解法2令t?tan后,22便将原函数转化成t的二次分式函数,进而运用判别式法解决了问题.

解法3直接利用分子sinx?cosx不大于分母sinx?1,从而分式之值不大于1,简捷之至.解法4则是将已 12

知函数变为y?1?cosx?1后,分别求出分子、分母的范围,进而确定y的范围. 1?sinx

解法5将已知函数式变为(1?y)sinx?cosx?y,考虑到左边(1?y)sinx?1?cosx的形式,联想到柯西不等式,巧妙地利用sinx?cosx?1而建立了关于y的不等式,进而求出最大值,可说是匠心独具.

解法7将已知函数式变为(1?y)sinx?cosx?y?0后,将(sinx,cosx)看作坐标系uov中直线22

(1?y)u?v?y?0上的点,而点(sinx,cosx)又在单位圆u2?v2?1上,故直线与圆应有公共点,从而圆心到直线的距离不大于圆的半径,由此求出了y的最大值.综合运用了方程思想,转化思想,数形结合思想,充分揭示了数学不同内容之间的内在联系.

解法6则是把已知函数式变形为y?1?cosx?1cosx?1后,将看作单位圆上的点(sinx,cosx)与定点sinx?1sinx?1

(?1,1)的连线的斜率,故将求y的最大值问题转化为求此斜率的最大值问题,本题中此斜率的最大值可由图象直观地得到,若不能直观地看出,则可设斜率为k,写出过点(?1,1)且斜率为k的直线方程.由圆心到直线的距离不大于圆的半径便可求出k的最大值.解法6也是求函数y?

通法. acosx?basinx?b(ac?0)或y?(ac?0)的最值的csinx?dccosx?d

2sinx?4的最值 ?3cosx?9

2sinx?42sinx?2sinx?222解 y?.令u?,则u是单位圆x?y?1上的点(cosx,sinx)与点???cosx?3?3cosx?93cosx?3例 求函数y?

(3,2)的连线的斜率.设此斜率为k,则连线的方程为y?2?k(x?3),即kx?y?2?3k?0①.由单位圆圆心(0,0)到直线①的距离应当不大于单位圆半径1,即2?3kk2?1?1,解得3?33?3?k?,即k的最小值与最44

大值分别为23??33?33?323?33?3???,从而y的最大值与最小值分别为??、,即,. 44343466

33233226.解法1 由均值定理,知 3?1??1??1??1??1??1?4444??3sinx?,cosx???3cosx??sinx????????????????. 44444???????????4?3

两式相加,得sinx?cosx?31314422sinx?cosx??1?2sinxcosx???1616??16? 16

311?1. ?sin22x??.当x?时以上不等式同时取等号.故ymin?432832321212

又sinx,cosx???1,1?,?y?sinx?cosx?sinx?cosx?1.?ymax?1. 121222

故所求值域为??1?,1?. 32??

解法2 由柯西不等式,知

13

2111121266sinx?cosx??1?1??sinx?cosx???sinx?cosx??(sin4x?cos4x? 2221212

1?31??sinxcosx)??1?sin22x??. 2?4?322222

又由sinx,cosx???1,1?,知sin12x?cos12x?sin2x?cos2x?1. 故所求值域为??1?,1?. ?32?

12解法3 ?

sinx?cosx??sinx?

12??1211111??11???????cos12x??? 6464646464??6464111?10515??????6?5?sin2x?cos2x?? 646464?6432232?6651?1?121222,又sinx?cosx??sinx?cosx??1,?y??,1?. ??323232?32?

2解法4 ?sinx?cosx?1,且sinx?0,cosx?0,?可设sinx?

66322221?t, 23111??1?1??1??1??1?cosx??t,??t?,?y???t????t????t2?t????t2?t??2??? 222?2??2??4??4???42

t23?111?1??1?222y?2?,由所设,故当时,;当时, ?3??t2?t2?t?00?t?t?min???44?4?32?4?3

?1?ymax?1.?所求值域为?,1?. ?32?

x评析 因为sin,cx?o?s??1,1以sinx,cosx??0,1? ,由指数函数单调性,易知,所22

sin12x?cos12x?sin2x?cos2x?1,故求得了y的最大值1.如何求y的最小值是本题的难点,破解的关键在于如何将sinx?cosx降次,最好直接与sinx?cosx建立联系.解法1运用均值定理,解法2运用柯西不等式,都达到了目的,解法3与解法1为同一解法,但显得格外简捷,运用均值定理一步到位地解决了问题.解法4通过对称换元将三角函数的值域问题转化为整式函数的值域问题加以解决,起到了化难为易的作用. 解法3显得特别优美,但运用均值定理,必须注意配凑技巧的运用.为什么将sinx? 12121222

11111??11111?10?cos12x配凑成?sin12x????????cos12x???????呢?这里有两个问6464646464??6464646464?64?

1?原因就在于只有凑成6项的和,运用均值定理时才会64

1121222出现六次根号内sinx?cosx?与5个数的积,从而才会出现sinx?cosx?1(常数).至于为什么各加5个,64题:一是为什么各凑成6项的和?二是为什么都加5个

14

是因为运用均值定理时要使两处的“?”中都取等号,必须sin2x?cos2x?才会有 11,而只有sin12x?cos12x?时264

sin2x?cos2x?1. 2

2n1?nx?cos2nx?n?N??的值域是?2,1???. 拓展 仿照解法3,我们可以证明下面的 定理 函数y?sin

????111??证明 y?sin2nx?cos2nx?sin2nx?n?n?????n? ?222??????????1??n?1个

?2?

????111?cos2nx?????????2n?2?nn nnn?n?2222?????????1??n?1个n?2?

?2n?22n?22n2n?221?n221?n1?n. ?n?2sinx?cosx?????2,?y?2??minnnnnn22222

2n1?nx?cos2nx??sin2x?cos2x??1,即ymax?1.故函数y?sin2nx?cos2nx?n?N??的值域为?2,1???. 又sinn

据此定理,我们易知函数y?sin100?49x?cos100x的值域为??2,1??.

27.解 可从绝对值的几何意义上去想,以|n?1|?|n?2|?|n?3|?|n?4|为例,如图:

所给的式子的几何意义是数轴上坐标为n的点N与坐标为1、2、3、4的4个点的距离的和.显然,当N在线段AB之外时,和大于N在线段AB上时的和;当N在线段AB上时,N接近AB的中点,和就逐渐变小,N重合于AB的中点时,和达到最小.因为n?N?,所以当n取2或3时,

|n?1|?|n?2|?|n?3|?|n?4|最小.

对于和式S=|n?1949|?|n?1950|???|n?2001|,设数轴上的点A、B分别表示1949、2001,则线段AB的中点的坐标是1949?2001?1975,?S最小?|1975?1949|?|1975?1950| 2

(26?1)?26?702. ???|1975?2001|?(26?25???1)?(1?2???26)?2?2

评析 本题运用了数形结合的思想方法,根据两数差的绝对值的几何意义,很直观地解决了问题.

拓展 运用同样的思想方法,可以得到下面的

定理1 对于函数f(x)??|x?a

i?1ni|(a1?a2???an),

15

n?12t?1

若n是奇数,则当x?an?1时,f(x)取得最小值

2

?a??a

j

j?n?32

n

n

t

若n是偶数,则当x?[an,an]时,f(x)取得最小值

2

2?1

nj??12

?a??a

j

t?1

n2

t

例1 求函数y?|x?4|?|x?3|?|x?7|?|x?10|的最小值.

解 ?n?4为偶数,-4<3<7<10,?当x?[3,7]时,y取得最小值(7+10)-(-4+3)=18. 例2 求函数y?|x?10|?|x?5|?|x?3|?|x?6|?|x?7|的最小值.

解 ?n?5为奇数,-10<-5<3<6<7,?当x?3时,y取得最小值(6+7)-(-10-5)=28. 例3 已知x,y?R,且y?{1,3},求函数

f(x,y)?|x?7|?|x?3|?|x?2|?|x?y2?4y?7|?|x?3y2?12y?16|的最小值.

解 f(x,y)?|x?(?7)|?|x?(?3)|?|x?2|?|x?(y?4y?7)|

2

?|x?(?3y2?12y?16)|,

?y2?4y?7?(y?2)2?3?3, ?3y2?12y?16=?3(y?2)2?4??4.?y?{1,3}, ??3y2?12y?16??7.?(2?y2?4y?7)?(?7?3y2?12y?16)?4y2?16y?32 ?4(y?2)2?16?16.故当且仅当x=-3且y=2时,f(x,y)取得最小值16.

若定理1中的“a1,a2,?,an”中有一组或几组相同的值,则定理仍然成立.但当n为偶数且an?an时,定

2

2?1

理中的“x??an,an?”应该改为“x?an”.

?1

??

??

222

例4 求函数y?|x?1|?2|x?2|?2|x?3|的最小值.

解 已知函数就是y?|x?1|?|x?2|?|x?2|?|x?3|?|x?3|,n=5为奇数,

?1?2?2?3?3,?当x?2时,y取得最小值(3?3)?(?1?2)?5.

例5 求函数y?|x?10|?|x?2|?|x?1|?3|x?3|?4|x?5|的最小值. 解 n=10为偶数,?10??2??1?3?3?3?5?5?5?5.故当x?3时,

y取得最小值(3?5?4)?(?10?2?1?3?3)?30.

更一般地,还有下面的

16

n

定理2 设函数f(x)?

n

?a|x?b|(a,b?R,i?1,2,?,n,x?R),则

i

i

i

i

i?1

(1) 当

?a

i?1n

i

?0时,f(x)有最小值min{f(b1),f(b2),?,f(bn)},但无最大值.

(2) 当

?a

i?1

i

?0时,f(x)有最大值max{f(b1),f(b2),?,f(bn)},最小值

min{f(b1),f(b2),?,f(bn)}.

(3) 当

?a

i?1

n

i

?0时,f(x)有最大值max{f(b1),f(b2),?f(bn)},但无最小值.

证明 不失一般性,设b1?b2???bn,则 ?ax??ab(x?b),

i

ii

1

i?1

i?1

nn

f(x)=(

?a

j?1n

i

j

?

j?i?1n

?a

n

j

)x?(?ajbj?

j?1

i

j?i?1

?ab)(b

jj

n

i

?x?bi?1,i?1,2,?,n?1),

?ax??ab(x?b),

i

ii

n

i?1

i?1

由此可见,函数f(x)的图象是左右两侧两射线和中间的(n-1)条线段依次连结而成的“折线形”.

(1)若

?a

i?1

n

i

?0,则函数f(x)的图象中的左右两射线分别由点(b1,f(b1,))和点(bn,f(bn))向上无限延伸,

中间是(n-1)条线段依次连结的折线,因此f(x)有最小值min{f(b1),f(b2),?,f(bn)},但无最大值.

(2)若

?a

i?1

n

i

?0,则函数f(x)的图象中的左右两射线分别由点(b1,f(b1,))和点(bn,f(bn))向左右沿平

行于x 轴方向无限延伸,中间是(n-1)条线段依次连结的折线,因此

f(x)有最大值max{f(b1),f(b2),?f(bn)},最小值min{f(b1),f(b2),?f(bn)}.

(3)若

?a

i?1

n

i

?0,则函数f(x)的图象中的左右两射线分别由点?b1,f(b1,)?和点?bn,f(bn,)?向下无限延伸,

中间是(n-1)条线段依次连结的折线,因此f(x)有最大值max?f(b1),f(b2),?,f(bn)?,但无最小值.

根据定理1,不难知道本赛题所求最小值为(1976+1977+?+2001)-(1949+1950+?+1974)=702(当n=1975时取得).

想一想下面的问题:

假设有一座大楼,从第1949层到第2001层,每层指定1人集中到该楼第k层(1949?k?2001)的会议室开会,为使参会人员上、下楼梯所走的路程总和最小,求k及最短路程(假定每相邻两层楼之间的楼梯长均为1).

17

这一问题与本赛题实质是否是同一问题?

下面的问题供读者练习:

1、 求f(x)?|x|?2|x?1|?2|x?1|(x?R)的最小值.

2、

求f(x)?|6|?|3|?|16|的最大值.

3、 求f(x)?|x?1|?|x?2|?|x?3|?|x?4|???|x?1998|?|x?1999|(x?R)

的最小值.

答案:1、-3 2、5 3、999

28.解 若{an}是等差数列, an>0,则

1

an?an?1?an?an?1an?an?1?an?an?1d(n?2,n?N?,d是公差).由此,得

s?12 ??1?????1???

??1?11? ?1?2??????2?1?66663?2??1??1??2??2

?1?2???

1?

1

2??

1

3??????1

??1?2?1?1999. ???2

2?1?2

3?2???2

??166?又知s?1??16=

2?1?6?1998.?1998?s?1999,?s??1998,?选B.

评析 s显然是数列????1?6?的前10项的和,直接求和,无法可依.能否用裂项相消法将每一项拆成异号的两?n?

项之和呢?考虑到1

n?n?1?n?n?1,于是将1n变为2n?n,再放大为2

n

?n?1,或缩小为

. 这是一道用“放缩法”求解不等式问题的好题目。但用“放缩法”解题,必须把握好放缩的“度”.就以此题

为例,若将s?1??

???????2[???? 2???3?2????6?6?1]?2000,就得1998?s?2000,这样就没法确定?s?到底是1998?还是1999了.若做到这里,我们便应考虑到题中的1不作变形,问题就会得到解决. 18

此题来源于高中代数下册(必修)P132第33题:用数学归纳法证明1?1

2?1

3???1

n

?n,?n?1?.1992年全国高考“三南”试题:证明不等式:

1?1

2?1

???1

n?2n,?n?N??.

???n?N??. ?1此结论就是n?s?2n.

当n?10时,1000?s?2000,A、B、C三个选择支都合适,要正确选择答案,必须对s的上、下界作更精确的估计.事实上,由n?1?n?2n?6n?n?1,得2n?1?n? ?

1

n

1

2?2n?n?1.按常规,令n?1,2,?,n,得n个式子,再相加,得2n?1?1?1? 1316?2n.取n?106,得1998.0004?s?2000,?s?=1998或1999,没法确定选B还是选C.??????

故令n?2,3,?,n,得n?1个式子,再相加,得

2n?1?2??1

2?1

3???1

n?2n?1.取n?106,得 ?

26?1?2?s?1?2?1000?1?.由

于199?7

.??s??1998,故选B. 199?s8?199?,1?19972?s?1?1998,即

运用这种放缩思想,同样可以解决第十三届高二培训题第26题:

s?1

?1

5?

117???199?的整数部分是解 ?

1

22k?12k?3?2k?1?1

2k?1?2k?1,即?

2

?.?取k?1,2,?,49,得49个式子,并相加,得?? 2

1

3?1

?1

7???1

??1.显然1

3?1

?1

7???1

在8与9之间,故

?1111?????????8. ?? 19

拓展 将题中106改为n2,得 推广1 当n为大于1

的自然数时,1?

的整数部分是2(n?1). ???推广2 当n为大于1

的自然数时,

1?

?

??的整数部分是3(n?1).

证明

?

3

??

2

2

,2

?

3

2

2

2

?3

?

3

2

?3

?3

.(k?1)

令k?1,2,?,n

,相加得

3

n3

3

1?k??

n3

1?1,即

?

3?n?1??

k?1

?3?n?1??

1,

?1m?1

m?1

???

m?1

的整数部分是3(n?

1).

由于?

???

m?1

?

??

?

?

??

m

m

?

m?1

?

m?2

,故又得

k?1).同理, ???推广3 当

m、n为大于1的自然数时,129.解法1 改写x为a,改写y为s,则

m(n?1).

s?a4?32a?80?a2?4?(a

2?8)

2?(4a?4)2?(a2?4)2?(4a)2

?4.

a22

因而s等于动点P(a,)到两个定点M(1,2)和N(0,1)的距离之和的4倍.动点P的轨迹是抛物线x?

4y,

4

20

N(0,1)恰好是它的焦点,准线是y??1.因此PN?PA(P到准线y??1的距离).

s?4(PM?PN)?4(PM?PA)

?4MD.所以smin?4[2?(?1)]?12.此时a?1.即x?1时, y取得最小值12.

解法2 由已知函数式,得x4?32x?80?(y?4)?x2,两边平方并整理,得

2(y?4)x2?32x?(64?8y?y2)?0,看作关于x的方程,由x?R,知?x?0,即

322?8(y?4)(64?8y?y2)?0,得?42?y?42①或y?12②,因为

x4?32x?80?(x2?4)2?8(x?2)2?32?42,即y?(x2?4)?4?4?42,故舍去①,只取②:y?12,将y?12代入已知函数式,得x?1,即当且仅当x?1时,y有最小值12.

解法3 因为y?(x2?8)2?(4x?4)2?(x2?4)2?(x2?8)?(4x?4)i?

x2?4?(x2?8)?(4x?4)i?(x2?4)??12?(4x?4)i?(?12)2?(4x?4)2?12故当且仅当x?1时,y有最小值12.

??22解法4 因为y?(x?8)?(4x?4)?(x?4),所以设a?(x?8,4x?4),b?(x?4,0),则22222

????y?a?b?a?b?(x2?8,4x?4)?(x2?4,0)?

(?12)2?(4x?4)2?12,故当且仅当x?1时,y有最小值12.

评析 高中数学课本中并未讨论过求题中函数最值的通法,因此,必须灵活运用所学知识设法解决问题,化生为熟是关键!上述四种解法都是运用转化思想解决问题的.解法1转化为两点距离问题,解法2转化为二次函数问题,解法3、4分别转化为复数模,向量模的问题,而转化后的问题都是我们所熟悉的问题,也可见,化生为熟的同时,问题也由难变易了.

30.解法1 由y?x2?3x?2?2?3x?x2,得y2?(x2?3x?2)

.显然,当?2(x2?3x?2)(2?3x?x2)?(2?3x?x2)?4?24?(x2?3x)2

时,y2maxx2?3x?0?4?24?8;当4?(x2?3x)2?0时,y2min?4?2?0?4.又因为y?0,所以

ymax?22,ymin?2.

222 解法2 因为(x?y)?2(x?y),?x?y?2(x2?y2),所以y

?x2?3x?2

??故ymax?22.又

y2?4y?4?2x?3x?2?2?3x?x,所以x?3x?2?2?3x?x??0

,解得 22222

21

y?2或y??2(舍去),所以ymin?2?

解法3 注意到(x?3x?2)?(2?3x?x)?4, 设X?2222x2?3x?2,Y?2?3x?x2,则有

X2?Y2?4(X?0,Y?0),y?X?Y,,即Y??X?y.

问题转化为在直角坐标系XOY中,过圆弧X?Y?4(X?0,Y?0)上的点且斜率为-1的直线在Y轴上的截距的最值.如图所示,显然有ymax?22,ymin?2.

2222 解法4 因为(x?3x?2)?(2?3x?x)?4,所以可设x

?3x?2?2cos?, 222

?????2sin?,???0,?,则有y?2sin??2cos??22sin(??),所以 4?2?ymax?22,ymin?2.

解法5 易求得已知函数的定义域为?

所以f(3?x)??3??2??3??,1???2,?.因为f(x)?2???x2?3x?2?2?3x?x2,(3?x)2?3(3?x)?2

x2?3x?2?2?3x?x2,所以f(x)?f(3?x),故已知函数的图象关于直线?2?3(3?x)?(3?x)2?

x??3?3对称,从而只需求出函数在闭区间?2?2?,1?上的最大值与最小值即可.由

?

f(x)?x2?3x?2?2?3x?x2,得f'(x)?2x?3

2x2?3x?2??2x?3

22?3x?x2.令f'(x)?0,得x?0或

?3??'',0?时,f(x)?0;当x??0,1?时, f(x)?0;所以当x?0时,ymax?22,又x?3(舍去).当x????2?

f(1)?f(3?)?2,?ymin?2. 2

评析 无理函数的最值问题除用导数直接求解外,一般没有固定的初等方法求解,主要靠

抓住具体函数的特征,再采取相应措施解决问题.换元,转化是常用的思想方法.

本题函数的主要特征是两个根号内的x?3x与3x?x互为相反数,因而解法1将函数式两边平方后得22

y2?4?24?(x2?3x)2,解决了问题.解法2运用基本不等式(x?y)2?2(x2?y2)直接得到y?22.注意到(x?3x?2)?(2?3x?x)?4,解法3通过换元,将原问题转化为解析几何问题直观地解决问题;解法4则通过三角换元,将原函数转化为y?asin??bcos??

22 2222a2?b2sin(???) 形式的函数,运用三角函数的有界

性解决问题.形形色色的解法体现了本题蕴含着丰富的数学思想.

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