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# 希望杯竞赛数学试题详解(1-10题)

（第十一届高二第一试第11题）

?0?a?b,?a?b??b?b?a,?x?y. 解法2 xxa?b?b??a，?a?b?b?a,??1,?x?y. ??yyb?b?aa?b?解法3 1111a?b?bb?b?a ?????xyaaa?b?bb??a

=a?b?b?a11?0,???0,?x?y. axy

,得a?b?b?a与2b的大小.由x?y?222

a?b??a)2?2(a?b?b?a)?4b，?a?b?b?a?2.

?a?b?b?a,?a?b??a?2b,?x?y.

A（b，b?a）、B（b?a，b）.

y. a?b?b图2

aa,b?0时，?1?a?b.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3对x,y的倒数作差再与0比较b

??2?11,y?2?1?，?3?22?1

?1?0，11?,?x?y.可再取两组特殊值验证，都有x?y.故答案为x?y. 3?22?1

A、x?y B、x?y C、x?y D、x?y

A、2 B、3 C、4 D、5

（第十一届高二第一试第7题）

???a?bb?ca?bb?c?a?bb?c?min

?b?ca?bb?ca?ba?b?b?cb?c?a?b?2+?，即a?c?2b时取等???4，且当a?bb?ca?bb?ca?bb?c

?a?c??a?c???a?c?n?．由a?bb?ca?bb?c?a?b?b?c?2

??2??

n?4，选C． 222??a?c?2??4，即???4，故由已知得?a?bb?c?min

?

?11?1??12??????a?b???b?c??????1?1??4， ?a?bb?c??a?bb?c?即??a?c??1???1????4，由题意，n?4．故选C． ?a?bb?c??min

?a?c??a?c?n?．记k?， a?bb?ca?bb?c则k?22??a?b???b?c??a?bb?c2

??2a?bb?c?a?bb?c2?4．由题意，n?4．故选C．

1144???．比较得n?4．故选C． a?bb?ca?b?b?ca?c

1??1若a?f?x?恒成立，则a?f?x?max,”?a?c??a?f?x?min；??的最小值就是所求n的最大值，?a?bb?c?

b

aa?2,a,b?R?”；解法2运用了b“?变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1运用了

?11??a?b?；解法3运用了；解法4运用了；解“?a?b?????4”“a?b?2aba,b?R?”“ab???”?ab??2?2??

?法5运用了1

a14?a,b?R?”．虽解法异彩纷呈，但却殊途同归． ba?b??

111111x2?y2?xy．?x?0,y?0， ???????a?bb?cc?axyx?yxyx?y?111???0． a?bb?cc?a

?11??11?11n????恒成立．也就是n??x?y??恒成立．????x?y?xy??x?y???4恒成立， xyx?y????

?由题意得n?4．故选C．

a2b2c2a?b?c???例 设a,b,c?R，求证：． b?cc?aa?b2?

（第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）

222?a2b2?a?b?ay?bx?a2b2?a?b? ①， ?????0，???xyx?yxyx?yxyx?y

?a?b?c??a?b?ca2b2c2?a?b?c2?a?b?c????????,即 xyzx?yzx?y?z2a?b?c2

a2b2c2a?b?ca2b2c2a?b?c???，?． ???b?cc?aa?b2xyz2

?n?1?． 111命题 若a1?a2???an?0，则?????a1?a2a2?a3an?1?ana1?an2

?n?xi???2nx1?,当且仅当x1?x2???xn时取等号”.故有xi,yi?R?(i?1,2,?,n),则?i??i?

ny1y2yni?1yiy?i

i?12

1?1???1?n?1???111??????． a1?a2a2?a3an?1?ana1?a2?a2?a3???an?1?ana1?an

?a1?a2???an?0，?a1?a2,a2?a3,?,an?1?an?0．故由柯西不等式，得 (1112 ????)?a?a?a?a???a?a??1?1???1????????1223n?1n????????a1?a2a2?a3an?1?an??n?1?个1

2??n?1?，即(1112????)?a1?an???n?1?．?a1?an?0， a1?a2a2?a3an?1?an

2?n?1?． 111??????a1?a2a2?a3an?1?ana1?an

?1?1??4．由 题意，11???a?b?c，?a?b?0,b?c?0,a?c?0，?a?bb?ca?b?b?ca?c2

n?4．故选C．

，n?，则m与n的大小关系是 ( ) m????a1?a2a2?a3a200?a1?a20010a2001

A、m?n B、m?n C、m?n D、m?n

22题3 设实数m,n,x,y满足m?n?a，x2?y2?b，则mx?ny的最大值为 ( )

11 A、?a?b? B、22a2?b2 D、aba?b C、222

（第十一届高二培训题第5题）

22

b2b2bm?n?b,又x2?y2?b,?(mx?ny)?aaab

mx? a

bny?b2(m?n2)?(x2?y2)??b

?a?b?b.?mx?ny

a

22

?

bb?ab,?

x?y,即my?nx时取等号，?（mx?ny)max?ab. a

??m2?n2??x2?

y2??ab,?mx?ny?当且仅当my?nx时取等号，故?

mx?ny?max?.

?

?

????解法4 设p??m,n?,q??x,y?,则p?q?p?q?cos???p?q?

,??p?q?2??2p?q?2

,

??m2

?n

2

??x

2

?y

2

??ab,

??

mx?ny?max.

?k?mx?ny??

mx?ny?max?解法6 设z1?m?ni,z2?x?yi,则z1z2??m?ni???x?yi???mx?ny???nx?my?i,?

z1?z2?

?

?mx?ny?mx?ny,?mx?ny?z1z2

?

z1?z2

??当且仅当my?nx

X2?2?mx?ny?X?x2?y2

?4?m2?n

2

??x

2

?y2?

?

4?mx?ny?2

?4ab?0,即mx?ny???mx?ny?max?ab.

?n2

?a,x2

?y2

?b还可构造图形（如图），

C?B?9A?

??

,

Bm?

, n

AB2,?x?y?

b,，从而得mx?ny，当且仅当my?nx且mx?0时取等号．??

mx?ny?max?．

a2?b2

22解法2运用基本不等式ab?将mx?ny放大为关于m?n与x2?y2的式子，再利用条件2

2222m2?x2n2?y2?m?n???x?y?a?ba?b．故选A．错误mx?ny????,??mx?ny?max?22222

2222解法7运用的是构造函数法．为什么构造函数f?X??m?nX?2?mx?ny?X?x ??

?y2呢？主要基于两点：①f(X)为非负式（值大于等于0），②由于f?X??0，故有??0，而?沟通了已知与未知的关系，故使问题得到解决．

?anbn?max

?

i?bi?i?1,2,?,n?时取得最大值）. 222???222?q. 证明

a1?a2???an?p?????1??2??n?????

?a1b1?a2b2???

anbn?1?b1?2?b2????n?bn?? ?

?

??

??

????

?

?q2?22

a?a???a22212n

b1?b2???bn?p?p

????q?22?????

??

?q?

??p?p?pq?

??

q?22?????

pq,

q

ai?bi?i?1,2,?,n?时取等号，??a1b1?a2b2???anbn?m?ap

pq.

a1

??a1b1?a2b2???anbn?2??a12?a22???an2???b12?b22???bn2（当且仅当

b1

a?2b?3c?4,

?

?

aa2

???n时b2bn

123???8.最大值． xyz2

a?2b?3c?42

bc

2

2

123

,??

??8? xyz

22

＝8

?

???

?

??1即ax?by?cz?时取等号．

2??42. max

（第十三届高二培训题第63题）

2

?x2?1?0?x2?1?0?x2?1?0?x2?1?02

?x?1?0????

m?2m?21?2?1?2?2x?1?0??x?1?x?1x?1?x?1????

?x2?1?0

,所以1?x?2或3?1?x?1或x?1，即x?(3?1,2). ?

?2x?1?0

2当x?1?0，即x??1时，f(m)是m的一次函数，因为m?1，即?1?m?1时不等式恒成立，????

?f(?1)??x2?1?2x?1?0?x2?2x?2?0所以f(m)在??1,1?上的图象恒在m轴的下方，故有?，即?2，2?f(1)?x?1?2x?1?0?x?2x?0

(第十一届高二培训题第45题)

a?xx(a?x)2x2

??2 ①,又有解法1 当0?x?a时, ??2 ②, ②+①×2,得22xa?xx(a?x)

118a2?x22ax?x2a2a2?(a?x)2a2a2

,,,即.由????6?1??6??8222222222x(a?x)ax(a?x)x(a?x)x(a?x)

8?2,得0?a?2,?amax?2. a2

?1a?xx2a?x1181?42, 即, 当且仅当???), ?2?2???()2222?xa?xxx(a?x)aax(a?x)??

? 8?2,0?a?2. 于是amax?2. a2

?0. 由 “两个正数?1 ,由 0?x?a,可知?0,xa?x2

2?1, 即a?2即可, 故0?a?2, 于是x?(a?x)的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需

amax?2.

1?x2?0②就能使①恒成立.由②式，得x2(a?x)2?1，x(a?x)?1，2(a?x)

a?(0,a)，由二次函数的性质，当x?(0,a)时，要③式恒成立，则2?a只要满足?x2?ax?1?0③.由于对称轴x?

??a2?4?0?0?a?2 ?amax?2.

121?sin2?11sin4??cos4?82?sin22?122???=.??(sin2??2)(sin2?－1）?242442421asin?asin?cos?asin2?asin42?16

2?nsi22??1(当n?0，即2－sin2??sin2?，则si4nsi2?242于是2??1时取等号)，118，??222x(a?x)a

11(X?0,Y?0),则 解法6 设X?,Y?xa?x X2?Y2?2表示在XOY坐标系第一象限内以原点为圆心，

44aXY?X?Y?2XY,?XY?2,它表示双曲线XY?2aa

XY?422(X?0)与圆弧X?Y?（2X?0，Y?0）相切或2aO 位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意，双曲线相离，从而8?2，即0?a?2 ?amax?2. a2

22xnx12x2解法7 运用结论“如果xi,yi?R(i?1,2,?,n)，则????? y1y2yn?x(x1?x2???xn)2xx时取等号.”(?),当且仅当1?2???n?k（常数）?0?x?a，?a?x?0.y1y2yny1?y2???yn

2(a81142118x??2，得0?a?2 得，当且仅当时取等号，由?)?(),??2222222aax(a?x)x(a?x)a

?amax?2.

111(n?1)2

?1?11?1?a1,a2,?,an成等差数列时取等号.”2?2??2?? ?2?22??x(a?x)??(x?0)(a?x)?16a1181??(3?1)2??1x???.，当且仅当，即时取等号.???x?a?x????a?0?22222ax(a?x)a?x?0a?x???

11?的最小值成x2(a?x)2的最小值（关于a的式子）大于等于2的解.因而在0?x?a的条件下，如何求

n311????2，当且仅当推广1 若0?x1?x2???xn?1?a，则2?22a(x2?x1)(a?xn?1)x11

x1,x2,?,xn?1,a成等差数列时取等号.

?1?11

???不等式及解法7运用的不等式（?）,有n?2? 22?(x?x)(a?x)21n?1?x1?

?1?n2?11?n4n3111

???????2. ????????2,故2?22

xx?xa?xaaa(x?x)(a?x)x1??21n?1??121n?1

k?1

k?1

2

2

b1

k?1k

x1

?

abibn(b1?b2???bn)k?1b2

，当且仅当时取等号. a?????in

(x2?x1)k(a?xn?1)kak

?bi

i?1

n

?b)

ii?1

n

k?1

,由已知得ai?0

k?1

n

aib1n

(i?1,2,?,n)且?ai?a,令ci?，则?ci=?ai?1.由均值不等式，ik?

aai?1cii?1i?1

Mci?Mci???Mci?(k?1)kMbi

?????????

k个

kk?1

b,即ik

ci

k?1

?kMci?(k?1)(b1?b2???bn)k?bi，则

nn

bik?1

?kM?ci?(k?1?)(bi?k

i?1cii?1i?1n

n

k?1

nnn

bik?1bik?1k?1k

)??k?(?bi)，即a?k?(?bi)k?1，

i?1i?1cii?1i?1ai

n

bik?1

?ki?1ai

n

?n?

(?bi)??ai?abii?1

??，当且仅当时取等号. b?a??i?1iiknnn?b???bi??i?a???i?i?1?i?1??i?1?

k?1

?

b1

k?1k

x1

?

b2

k?1k

x2

bn(b1?b2???bn)k?1?. ???kk

a(a?xn?1)

????sin??cos???，设a?f??， 22????

k

b?f

sin2??

sin??cos??，c?f???，那么a、b、c的大小关系是 （ ）

?sin??cos??

A、a?c?b B、b?c?a C、c?b?a D、a?b?c

（第八届高二第一试第10题） 解法1 设sin??p，cos??q.?

p?q

?2

pq，而f?x?是减函数，

?p?q??f???f?2?

2pq?p?qpq，即a?b.?pq???p?q?pqp?q，?pq?， 22?2pq?pq.?f??p?q???f

??pq，即c?b.故a?b?c.选D. ?

1sin??cos?1?3is?

?，解法2 由题意，令??，则n cos?，cos???62242?

1sin2?2sin?cos?3?3，?sin????0,1?，?f?x?是减函数，又??2sin??cos?sin??cos?2

1?33??sin??cos??，?f?????f4222??

D. ?sin2??cos?f??，即a?b?c.故选?sin??cos???

?f?x1??f?x2??.因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的.

C、而选D的.

sin??cos?? cos??0.?a?b?logsin?sin??cos??logsin?2

logsin?sin??cos??logsin?1?0，?a?b.又b?c?logsin???cos?? ?coslogsin?sin2?sin?cossin??cos??logsin??logsin??logsin?1?0，即 2sincossin??cos?2sin?cos?

sin??cos?

x?1b?c，?a?b?c.选D. 1?2?题7 已知a?，不等式???3?2loga?9的解是 . 4

（第三届高二第二试第13题）

?2?解 原不等式即???3?logax?1?2?????3??21?2?.?指数函数??是减函数，a?，?原不等式化为32??

?2x

log1

x?1??2，即log12x?1?log?1?????2??12?1?.又?

1

?2x??2，解得?1?x?3.?对数函数log的定义域是x?1的实数，?原不等式的解是?1?x?1

⑴若0?a?1,则a

⑵若a?1,则af?x?f?x??ag?x??f?x??g?x?； ?ag?x??f?x??g?x?；

f?x?⑶若0?a?1,则loga

⑷若a?1,则logaf?x??logag?x??f?x??g?x??0； ?logag?x??0?f?x??g?x?.

⑴a?clogca（a?0,c?0,且c?1）；（化为指数式）

⑵a?logcca（c?0,且c?1）.（化为对数式）

（第十一届高二培训题第40题）

12lgx?lgx?0,lg2x?4lgx?0,lgx?0或lgx?4,?0?x?1或x?104.故所求解集是4

?0,1???104,???.

⑴x?a?a?0?的解集是?； ⑵x?a?a?0?的解集是??a,a?； ⑶x?a?a?0?的解集是R；

⑷x?a?a?0?的解集是???,?a???a,???. 下列题目供练习：

???

⑴已知常数???0,?，则不等式?tan??

?4?

x2?3x?10

??cot??

x?8

?????2⑵若函数f?x???log2???log2?的定义域是不等式?log1

?????2

x

2

x4?

x??7log1x?3?0的解集，则f?x??2

（第十届高二第一试第23题）

2

⑶不等式log2x2?x2x?log2x2?xx2的解集是.

（第九届高二培训题第23题）

⑷不等式

x?2?3?1的解是 （ ）

2

?x?2 （B）x?6或x?2 3

（C）x?6 （D）x?2

（A）x?6或答案 ⑴???,?2???5,

3?74??1?

? ⑵ ；2 ⑶?,2? ⑷A

4?13??2?

(第一届高二第一试第18题)

?x2?x?t两边平方并整理得2x2?2tx?t2?1?0,此方程无实根,故

??4t2?8t2?1??4t2?8?0,t2?2.又t?0,?t?2.故填

??

2,??.

?

t?2.故填

2,??.

?

2

x?co?s,???0,??,则已知不等式就是

sin??cos??t,即t?sin??cos?.

???????3????sin??cos??2sin????,又???????,?,??

sin??cos???[?.由题意得t?2. 4??4??44??

1时,不等2

3112式t??x2?x就有解(比如x?就是其一个解),而t?时,不等式?x2?x?t即?x?x?522

(1) 若t?f(x)恒成立,则t?a.

(2) 若t?f(x)恒成立,则t?b.

(3) 若t?f(x)的解集是?,则t?b.

(4) 若t?f(x)的解集是?,则t?a.

(5) 若t?f(x)有解,则t?b.

(6) 若t?f(x)有解,则t?a.

1.

?t的解集是?，则实数t的取值范围是

2.

?t的解集是?，则实数t的取值范围是 ．

3.

?t有解，则实数t的取值范围是 ．

4.

?t有解，则实数t的取值范围是

5.

??t恒成立，则实数t的取值范围是

6.

?t恒成立，则实数t的取值范围是．

2.??,

3.??? 4.???,2?

5.??, 6.?2,??? ????2题9 不等式x?2?x?4x?3?0的解集是 （ ）

A、??3?5?5??3?5??,, B、??? 2?2??2?2

???5?3?5?3???5?5??,??? D、?,C、??,???? ?2222??????

（第十三届高二第二试第8题）

2解法1 当x?4x?3?0，即x?1或x?3时，原不等式就是x?2?x2?4x?3?0,即

x2?5x?5?0，解得5?55?5?5. ?x?.?3?x?222

22当x2?4x?3?0,即即x?3x?1?0，解得1<x<3时，原不等式就是x?2?x?4x?3?0，

x

?3?5或x??x?3.

2???3?55?5??综上，所求解集为???,即?2,2?.故选A. ??????

2解法2 如图，作函数y?x?2和y?x?4x?3的图象.要求的解集就是y1?y2，即y1在y2上方

y2?1??x?2?.由1??x?2??x?2可解得22

xA?3?2.当x?3时，y2??x?2??1,由2

?5?，?所求不等式2A B

1 3 的解集?x?2?2?1?x?2可解得xB

2解法4 当x?1.5时，x?2?x?4x?3?0时，故1.5不是原不等式的解，从而排除含1.5的B、

C、D，故选A.

（第十一届高二培训题第41题）

2000即原不1999?y2?4x?2?4(3?x)?4(4x?2)(3?x)?10?4?4x2?14x?6?10,?y??

1通过平方化为有理不等式去解呢？显然，常规方法已难以解决问题，怎么办呢？考虑到不等式中的x∈[，2

20003]，从而左边??，故解集就是定义域，这就启示我们，当常规思维受阻或难以奏效时，就应积1999以想象该有多么复杂，若将题目改为“4x?2?23?x?

1、 2sinx+3cosx>4;

2、 x?6?1?22x?3;

3、 x?4?log3(x?1)?34?x;

4、 sinx-cosx<x2?3.