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初中数学培优竞赛讲座第20讲__线段

发布时间:2014-02-11 09:53:32  

第二十讲 线段

平面几何是研究平面图形(plane flgure)的性质的一门学科,主要是研究平面图形的形状、大小及位置关系.

构成平面图形的基本元素是点和线,在线中,最简单、最常见的就是线段、射线或直线,它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础.

几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来,它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质,但却为现实问题的解决提供了有力的工具,使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究.

解决与线段相关的问题,常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法.

例题

【例1】 平面内两两相交的6条直线,其交点个数最少为 个,最多为 个. ( “希望杯”邀请赛) 思路点拨 画图探求,从简单情形考虑,从特殊情形考虑.

注:几何原意是“测地术”,相传起源于四千多年前的土地测量、面积计算、器皿制

造、房屋建筑、天文历算等实践活动的需要,公元前三百年左右,古希腊数学家欧基里德总结和整理了前人和当时的几何知识,写成了巨著《几何原本》.

当今,几何巳形成结构严密的科学体系,成为数学中的一个重要分支,是训练逻辑思维能力与空间想象能力的最有效学科之一.

求满足一定条件的某种几何图形的个数叫几何图形的计数,常用到穷举、归纳、逆推等方法,读者思考以下典型问题:

(1) 线段上有n个点(含两个端点)共有多少条线段?

(2)n条直线两两相交的直线最多有几个交点?

(3)n条直线最多能把平面分成几个区域?

【例2】 如图,已知B是线段AC上的一点,M是线段AB的中点,N是线段AC的中点,P为NA的中点,Q为MA的中点,则MN:PQ等于( ). (“五羊杯”邀请赛)

A.1 B.2 C.3 D.4

思路点拨 利用中点,设法把MN、PQ用含相同线段的代数式表示.

【例3】 如图,C是线段AB的中点,D是线段AC的中点,已知图中所有线段的长度之和为23,求线段AC的长度.

思路点拨 引人未知数,通过列方程求解.

【例4】 摄制组从A市到B市有一天的路程,计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭,由于堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一,过了小镇,汽车赶了400千米,傍晚才停下来休息,司机说,再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了,问A、B两市相距多少千米?

(“华杯赛”试题)

思路点拨 条件中只有路程,而没有给出时间与速度,所以应当集中注意于名

段路程之间的关系,画线段图分析,借助图形思考.

【例5】 (1)如图a,已知A、B在直线l的两侧,在l上求一点P,使PA+PB最小;

(2)如图b,已知A、B在直线l的同侧,在l上求一点P,使PA+PB最小;

(3)如图c,有一正方体的盒子ABCD—A1B1ClDl,在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛,而在对角的顶点C处有一只苍蝇.蜘蛛应沿着什么路径爬行,才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在Cl处不动)

思路点拨 联想到“两点之间,线段最短”性质,通过对称、考察特殊点等方法,化曲为直.

1

注: 恰当设元,运用方程思想,将线段、角的计算问题代数化,是解与线段、角相关计算问题的重要方法.

数学既研究数,也研究形,许多数学问题既可以从代数角度来思考,也可以从形的角度加以解决. “谋定而后动”,解题方法的选择建立在分析的基础上,切忌“慌不择路”,扎进“死胡同”.

分类思想是一种科学思想,在数学学习中的各阶段都要运用到,几何学运用分类思想时,总是与图形位置关系,数量关系相关的.

【例6】 摄制组从且市到月市有一天的路程,计划上午比下午多走100km到C市吃午饭.由于堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一,过了小镇,汽车赶了400km,傍晚才停下来休息,司机说,再走C市到这里路程的一半就到达目的地.问A、B市相距多少千米?

思路点拨 画出线段图进行分析.

如图13—1所示,设小镇为D点,傍晚在正点休息.

2BC 3

12∵AD=AC,∴DC=AC. 33

22∵DC+CE=(BC+AC)=AB 33

2∴DE=AB,又DE=400km; 3∵GE=2EB,∴GE=

∴ AB=600 km.

注: 线段图形比较直观,在实际问题中有着广泛的应用.同学们想一想,“计划上午比下午多走100km”这个条件是必需的吗?如果把司机的话改成“再走C市到这里路程的1就到达目的地”,需要前面的条件吗?3

请同学们自己试完成解答.

【例7】 如图13-7所示,在一条河的两岸有两个村庄,现要在河上建一座小桥,桥的方向与河流垂直,设河的宽度不变,试问:桥架在何处,才能使从A到B的距离最短?

思路点拨 虽然A、B两点在河两侧,但连结AB的线段不垂直于河岸.

如图13-8,关键在于使AP+BD最短,但AP与BD未连起来,要用线段公理就要想办使P与D重合起来,利用平行四边形的特征可以实现这一目的。

如图13-9,建立在PD处符合题意.

注:两点之间线段最短,但许多实际问题没这么简单,需要我们将一些线段进行转化,即用与它相等的线段替代,从而转化成两点之间线段最短的问题.目前,往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化,以后还会学习一些线段转化的方法.

学力训练

1.如图,已知B、C是线段AD上的两点,M是AB的中点,N是CD的中点,MN=a,BC=b,则线段

2.从哈尔滨开往A市的特快列车,途中要停靠两个站点,如果任意两站间的票价都不相同,那么有 (黑龙江省中考题

)

2

3.如图,AB=a,BC=b,CD=c,DE=d,EF=e,以A、B、C、D、E、F为端点的所有线段长度的和为.

(“数学新蕾”邀请赛试题)

4.在同一平面内有4点,过每2点画一条直线,则直线的条数是( ).

A .1条 B.4条 C 6条 D.1条或4条或6条

5.如图,若C是线段AB的中点,D是线段AC上的任一点(端点除外),则( ).

A.AD.DB<AC.BC B.AD.DB=AC.BC

C. AD.DB>AC.BC D.它们的大小关系不能确定 (广州节中考题)

6.线段AB=1996厘米,P、Q是线段AB上的两个点,线段AQ=1200厘米,线段BP=1050厘米,则线段PQ=( )厘米.

A.254 B.150 C.127 D.871

7.如图,线段AB=2BC,DA=3 AB,M是AD中点,N是AC中点,试比较MN和AB十NB的大小. 2

8.已知A、B、C三点在同一直线上,若线段AD=60,其中点为M;线段BC=20,其中点为N,求MN的长.

9.线段AB上有P、Q两点,AB=26,1P=14,PQ=11,那么.

10.将长为20cm的一条线段围成一个六边形,则围成的六边形中最长边的取值范围是

11.如图,C是线段AB上的一点,D是线段CB的中点.已知图中所有线段的长度之和为23,线段AC的长度与线段CB的长度都是正整数,则线段AC的长度为 .

(“希望杯”邀请赛试题)

12.五位朋友a、b、c、d、e在公园聚会,见面时握手致意问候.已知:

a握了4次,b握了1次,e握了3次,d握了2次.到目前为止,e握了( )次.

A.1 B.2 C. 3 D.4 (重庆市竞赛题)

13.平面内有n条直线(n≥2),这n条直线两两相交,最多可以得到a个交点,最少可以得到b个交点,

则a+b的值是( ).

n2?nn2?n?2 A.n(n一1) B.n一n+1 C. D. 222

14.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们之间有网线相联,连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,由单位时间内传递的最大信息量为( ). (全国高考数学试题)

A.19 B.20 C .24 D.26

15.某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区,A区有30人,BN有15人,C区有10人.三个区在一条直线上,位置如图所示,公司的接送车打算在此间只设一个停靠点,为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少,那么停靠点的位置应在( ). (江苏省竞赛题)

A.A区 B.B区 C.C区 D.A、B两区之间

3

16.(1)一条直线可以把平面分成两个部分(或区域),如图,两条直线可以把平面分成几个部分?三条直线可以把平面分成几个部分?试画图说明.

(2)四条直线最多可以把平面分成几个部分?试画出示意图,并说明这四条直线的位置关系.

(3)平面上有n条直线。每两条直线都恰好相交,且没有三条直线交于一点,处于这种位置的n条直线分一个平面所成的区域最多,记为an,试研究an与n之间的关系. (山东省聊城市中考题)

17.如图,设A、B、C、D为4个居民小区,现要在四边形ABCD内建一个购物中心,试问应把购物中心建在何处,才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小?说明理由.

18.一条河两岸有A、B两地,要设计一条道路,并在河上垂直于河岸架一座桥,用来连接A、B两地,问路线怎样走,桥应架在什么地方,才能使从A到B所走的路线最短?

19.在线段AB上,先在A点标注0,在B点标注2002,这称为第一次操作,然后在AB的中点C处标注0?2002

2?1001,称为第二次操作;又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注对应线段两端0?10011001?2002与所标注的数字和的一半,即,称为第三次操作,照此下去,那么经过11次操

22

作之后,在线段AB上所有标注的数字的和是多少? (第13届“希望杯”邀请赛试题)

A

4 B

参考答案

5

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