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初中数学竞赛辅导资料(60)

发布时间:2014-02-11 17:01:50  

初中数学竞赛辅导资料(60)

解三角形

甲内容提要

1. 由三角形的已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解三角形. 2. 解直角三角形所根据的定理 (在Rt△ABC中,∠C=Rt∠). ① 边与边的关系: 勾股定理----――c2=a2+b2. ② 角与角的关系:两个锐角互余----∠A+∠B=Rt∠ ③ 边与角的关系:(锐角三角函数定义)

SinA=

abab

, CosA=, tanA=, CotA=. ccba

?

④ 互余的两个角的三角函数的关系:

Sin(90-A)= CosA, Cos(90-A)= SinA, tan(90-A)= CotA, Cot(90-A)= tanA. ⑤

?

?

?

;余弦、余切随着角度的增大而减小(即减函数).

3. 解斜三角形所根据的定理 (在△ABC中)

① 正弦定理:

abc

??=2R. (R是△ABC外接圆半径). SinASinBSinC

② 余弦定理: c2=a2+b2-2abCosC; b2=c2+a2-2ca CosB; a2=c2+b2-2cbCosA. ③ 互补的两个角的三角函数的关系:

Sin(180-A)= sinA, Cos(180-A)= - cosA , tan(180-A)=-cotA, cotA(180-A)=-tanA. ④ S△ABC=

?

?

?

?

111

absinC=bcsinA=casinB. 222

217

4. 与解三角形相关的概念:水平距离,垂直距离,仰角,俯角,坡角,坡度,象限角,方位角等. 乙例题

例1. 已知:四边形ABCD中,∠A=60,CB⊥AB,CD⊥AD,CB=2,CD=1.

求:AC的长.

解:延长AD和BC相交于E,则∠E=30.

在Rt△ECD中,∵sinE=∴CE=

?

?

CD

, CE

11

=1÷=2. EB=4. ?

2sin30

AB

在Rt△EAB中, ∵tanE=,

EB

43

∴AB=EBtan30=.

3

B

根据勾股定理AC=224322

21. )=33

又解:连结BD,设AB为x,AD为y.

根据勾股定理 AC2=x2+22=y2+12.

根据余弦定理BD2=x2+y2-2xyCos60=22+12-2×2×1Cos120.

?

?

22??x?y?3?0,

得方程组 ?2 2

??x?y?xy?7?0.

解这个方程组, 得 x=

4. (以下同上一解) 3

例2. 已知:如图,要测量山AB的高,在和B同一直线上的C,D处,分别测得对A的仰

角的度数为n和m,CD=a. 试写出表示AB的算式. 解:设AB为x,BD为y.

在Rt△ABD和Rt△ABC中,

?y?xcotm,

?

?y?a?xcotn.

xCotm=xCotn-a .

B

a

.

Cotn?Cotm

a

答:山高AB=.

Cotn?Cotm

∴ x=

218

例3. 已知:四边形ABCD中,∠ABC=135,∠BCD=120,CD=6,AB=6,

BC=5-.

求:AD的长. (1991年全国初中数学联赛题) 解:作AE∥BC交CD于E, BF⊥AE于F, CG⊥AE于G..

在Rt△ABF中,

BF=6Sin45=, AF=BF=3. 在Rt△CGE中, GE=CGtan30=3×

??

??

=1, 3

∴CE=2, ED=4.

∴AE=+5-+1=6, ∠AED=120. 在△AED中,根据余弦定理,得 AD2=62+42-2×6×4Cos120=76.

?

?

∴AD=2.

例4. 如图,要测量河对岸C,D两个目标之间的距离,在A,B两个测站,测得平面角∠CAB=30,∠CAD=45,∠DBC=75,∠DBA=45,AB=3. 试求C,D的距离.

解:在△ABC中,

∵∠ACB=∠CAB=30,

?

?

?

?

?

∴BC=AB=3, ∴AC=23cos30=3. 在△ABD中,∠ADB=60由正弦定理,

?

?

ADAB

=,

sin45?sin60?

AD=

AB32?

×sin45=÷×=2. sin60?22

在△ACD中,由余弦定理,得

CD2=32+(2)2-2×3×2Cos45=5

?

∴CD=5.

219

例5. 已知:O是凸五边形ABCDE内的一点且

∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8. 求证:∠9和∠10相等或互补

(1985年全国初中数学联赛题)

证明:根据正弦定理,得

OAOBOBOCOCOD????? sin10sin1sin2sin3sin4sin5

ODOEOEOA

???=. sin6sin7sin8sin9

∴sin10=sin9

∴∠9和∠10相等或互补.

例6. 已知:二次方程mx2-(m-2)x+

1

(m-1)=0两个不相等的实数根,恰好是直角三4

角形两个锐角的正弦值.

求:这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比. 解:作Rt△ABC斜边上的高CD.

CDCD

则sinA=, sinB=.

ACBC

∵sinA和 sinB是方程的两根,

根据韦达定理,得

m?2

sinA+ sinB=; (1)

mm?1

sinA sinB= . (2)

4m

CDCDm?1即=. (3) ACBC4m

m?22m?1

(1)2-2(2)得: (sinA)2+(sinB)2=()-.

2mm

∵sinB=cosA, 且 (sinA)2+( cosA)2=1, ∴(

m?22m?1

)-=1,

2mm

m2+7m-8=0,

∴m=1, m=-8.

CDCDCDCDm?1

=由(3)==.

ACBCABCDAB4m

2

AB4m

=. CDm?1

AB32

=. CD9

当 m=1 时,没有意义; 当m=-8时,

即直角三角形斜边与斜边上的高的比是32∶9.

220

丙练习

1. 填空:

① 如果从点A对着点B测得仰角是60,那么从点B对着点A测得的俯角是__度. ② 点C在点D的南偏东25,那么点D在C的方向是______.

③ 斜坡AB的坡角是30,那么AB的坡度i=1∶___.

④ 锐角A>45,那么下列函数的取值范围是:

SinA_____, CosA_____, tanA_______,cotA________.

⑤ 已知:30<∠A<60,那么如下的函数的取值范围是

∠A的余弦________,∠A的正切_______.

2. 已知:△ABC中,∠B=45,AC=7,点D在BC上,CD=3, D=5. ???????

求AB的长.

3. 如图观测塔AB的高为a米,从塔顶A测得地面上

同一方向上的两个目标C,D的俯角分别是30和45, ??

求CD的距离.

4. 船A在船B的正北,它们同时向东航行,时速分别是15和20海里,3小时后,船B在船A的东南,问这时两船相距多远?

?5. 一只船向南航行,出发前在灯塔A的北偏东30,相距15海里,2小时后,灯塔在船

的北偏西60,求船的航行速度.

6. 如图要测量建筑物AB的高,先在楼下C测得对顶端A的

仰角为45,然后在楼上D测得对A的仰角为30,已知

楼高CD=m米,求AB.

7. 已知:△ABC中,a=21, b=17, c=10.

求:S△ABC.

8. 已知:△ABC中,SinA∶ SinB∶SinC=3∶5∶7.

求:△ABC的最大角的度数.

????

BC9. 船B在艇A的方位角120 ,相距24海里处,发出呼救,报告说:它沿着方位角240的

方向前进,速度是每小时9海里. A艇以最快的时速21海里赶去营救,问应沿什么方向,要经过几小时才能靠近船B? 10. 已知:锐角三角形ABC的外接圆直径AE交BC于D.

求证:tanB×tanC=AD∶DE

提示:作BC边的高AF(h)并延长交圆于G,连结GE

221 ?

11. 已知:△ABC中,∠A=45,AB=6,BC=2,不用正弦定理能解答这个三角形吗?

如不能,说明理由;如能请解这个三角形.

(1981年福建省初中数学联赛题)

12. 如图已知:ABCD为圆内接四边形,过AB上一点M引MP,MQ,MR分别垂直于BC,CD,AD,连结PR和MQ交于N. 求证:?PNBM?. NRMA

(1983年福建省初中数学联赛题)

13. 如图已知:锐角△ABC 中,AC=1,AB=c,△ABC的外接圆半径R≤1.

求证: Cos<c≤CosA+3SinA . (1984年全国初中数学联赛题)

222

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