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金石为开2014寒假竞赛培训几何李建泉讲义

发布时间:2014-02-13 09:55:18  

几何讲义

李建泉

金石为开-成都2014.2

1.已知E,F,G,H分别为凸四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且满足AEBF?CGDH?1,

EBFCGDHA

点分别在凸四边形E1F1G1H1的边H1E1,E1F1,F1G1,G1H1

E1F1//EF,F1G1//FG,G1H1//GH,H1E1//HE,若E1A??,求FC的值。A,B,C,D

AH1上,且满足

1CG1

2.设D是?ABC的边BC上的一点,点P在线段AD上,过点D作直线,与线段AB,PB分别交于点M,E,与AC,PC的延长线分别交于点F,N,已知DE?DF,证明DM?DN。

?上一点,直线AA?与BD交于点P,直3.已知AA?,BB?是锐角?ABC的高线,D是?ABC外接圆弧BC

线BB?与AD交于点Q,证明直线A?B?通过线段PQ的中点。

4.设AB是?O的直径,直线l与?O切于点A,A,C,M,D为直线l上依次排列的三个点,且CM?MD,直线BC,BD分别与?O交于点P,Q,求证直线BM上存在一点R,使得RP和RQ均与?O相切。

5.设D,E,F分别是锐角?ABC的边BC,CA,AB上的点,满足EF//BC,D1是边BC上不同于D的点,过D1作D1E1//DE,D1F1//DF,其中E1,F1分别在边CA,AB上,作?PBC∽?DEF,且P,A在BC的同侧,求证EF,E1F1,PD1三线交于一点。

6.设D是?ABC的边BC内一点,?ABC,?ABD,?ACD的内心分别为I,I1,I2,?AII1和?ADI2的外接

2圆的第二个交点为E,?AII2和?AI1D的外接圆的第二个交点为F,证明若AI1?AI2,则EI?ED?EI1。

2FIFDFI2

7.设??I?是以?ABC的内心I为圆心的一个圆,由点I作垂直于BC,CA,AB的射线,与??I?分别交于点D,E,F,证明AD,BE,CF交于一点。

8.设T是?ABC内一点,且满足?ATB??BTC??CTA,证明直线AT,BT,CT分别关于BC,CA,AB对称的直线交于一点。

9.设锐角?ABC的垂心为H,A1,C1分别在线段AH,CH上,B1在BH的延长线上,且满足?A1B1C1∽?ABC,以AH,BH,CH为直径的圆与?A1B1C1的外接圆的新的交点分别为A2,B2,C2,若直线B1C1,B2C2交于点D,直线C1A1,C2A2交于点E,直线A1B1,A2B2交于点F,证明D,E,F三点共线。

10.一条直线l与?O不相交,O在l上的投影为E,M是l上任意异于E的点,从M作?O的两条切线,分别与?O切于点A,B,C,D分别为E在MA,MB上的投影,直线CD与OE交于点F,求证F的位置不依赖M的位置。

11.已知点A,B在以CD为直径的圆上,且在直线CD的异侧,圆?过点C,D,与线段AC交于点E?E?A,C?,与直线BC交于点F,过E作圆?的切线,与直线BC交于点P,Q是?CEP的外接圆上不同于E的点,且满足QP?EP。若EQ的中点为S,直线AB与EF交于点R,证明DR//PS。

?,CD?,DA?的中点,若AC?BD?EG?FH,12.已知四边形ABCD内接于?O,E,F,G,H分别为?AB,BC

1

证明AC,BD,EG,FH四线交于一点。

13.已知在?ABC中,BC?AB?AC,cosA?cosB?cosC?11,X是BC边上的点,Y是AC延长8

线上的点,且满足BX?AY?AB,?1?证明XY?AB;?2?若Z是?ABC外接圆弧?AB(不含点C)上的2

ZC一点,且满足ZC?ZA?ZB,求的值。

XC?YC

14.设K,L是以AB为直径的半圆上的两个点,AB的中垂线与KL交于点U,且A,K在这条中垂线的一侧,B,L在另一侧,AK,BL的交点C在AB上的投影为N,V是KL上的一点,且?VAU??VBU,证明NV?KL。

15.已知等腰?ABC满足AC?BC,M是BC边上一点,N为AM延长线上一点,且AN?AC。

?上,直线AB,CP交于点Q,证明?MCN与?ABC的外接圆交于点C,P,其中P在不包含点A的BC

?QMB??QMN。

16.已知?O1,?O2外切于点M,点A是?O2上的动点,且满足O1,O2,A三点不共线,过点A作?O1的切线AB,AC,切点分别为B,C,直线MB,MC与?O2的另一个交点分别为E,F,过点A作?O2的切线,与直线EF交于点D,证明点D在一条定直线上.

17.已知?ABC不是等腰三角形,M是BC的中点,CD,BE分别为AB,AC边上的高线,MD,ME的中点分别为L,K,T为直线LK上一点,且满足AT//BC,证明TA?TM。

18.已知E,F是?AOB内的两点,且满足?AOE??BOF,E,F在OA上的投影分别为E1,F1;E,F在OB上的投影分别为E2,F2,直线E1E2与F1F2交于点P,证明OP?EF。

19.已知E,F是?ABC的边AB,AC的中点,边AB,AC上的高分别为CM,BN,EF与MN交于点P,O,H分别是?ABC的外心和垂心,证明AP?OH。

20.设?ABC的三个旁切圆分别与边BC,CA,AB切于点A?,B?,C?,?AB?C?,?A?BC?,?A?B?C的外接圆与?ABC的外接圆的第二个交点分别为A1,B1,C1,证明?A1B1C1与?ABC的内切圆在三边上的切点构成的三角形相似。

21.在?ABC中I2,I3分别是?B,?C内的旁切圆,?I2?与?I2关于边AC的中点对称;?I3?与?I3关于边AB的中点对称,证明经过?I2?与?I3?交点的直线平分?ABC的周长。

22.已知?ABC的重心为G,?1?证明AG,BG,CG分别关于?A,?B,?C的角平分线对称的三条直线交于一点P;?2?若P在三条边BC,CA,AB上的投影分别为D,E,F,证明P为?DEF的重心。

23.设?ABC的外心、内心分别为O,I,AI,BI,CI与?BIC,?CIA,?AIB的外接圆的不同于I的交点分别为D,E,F,过点D,E,F分别作BC,CA,AB的垂线la,lb,lc,证明?1?直线la,lb,lc交于一点K;?2?K,O,I三点共线。

24.在锐角?ABC中,A,B,C在三边BC,CA,AB上的投影分别为D,E,F,A,B,C在EF,FD,DE上

2

的投影分别为P,Q,R,证明p?ABC?p?PQR??p2?DEF?,其中p?T?表示三角形T的周长。

25.在锐角?ABC中,AB?AC,H为垂心,M为BC的中点,点D,E分别在边AB,AC上,并满足AD?AE,D,H,E三点共线,证明HM垂直于?ABC和?ADE的外接圆的公共弦。

26.设?ABC的所有角均大于45?,小于90?,证明?1?可以按照下列方法将三个正方形放入?ABC:?i?三个正方形的大小相同;?ii?这三个正方形在?ABC内有公共点K;?iii?任意两个正方形除了点K外,没有公共点;?iv?每个正方形有两个相对的顶点在?ABC的边界上,而其它顶点在?ABC的内部。?2?设以AB为一边在?ABC的外部所作的正方形的中心为P,直线l与CK关于?BCA的角平分线对称,证明点P在直线l上。

27.已知M为?ABC内一点,由M分别向BC,CA,AB作垂线,垂足分别为A?,B?,C?。由 A,B,C分别向B?C?,C?A?,A?B?作垂线,证明这三条垂线交于一点M?。若?A?B?C?的外心为O,则M?,O,M三点共线,且O是线段MM?的中点。

28.设?ABC的三边长分别为BC?a,CA?b,AB?c,且a,b,c互不相等,AD,BE,CF分别为?A,?B,?C的角平分线,其中点D,E,F分别在边BC,CA,AB上,若DE?DF,证明

abc??;?2??A?90?。?1?b?cc?aa?b

29.设点A是?O外一点,过点A作?O的切线,切点分别为B,C,?O的切线l与AB,AC分别交于点P,Q(?O为?APQ的内切圆),过点P且平行于AC的直线与BC交于点R,证明无论l如何变化,直线QR恒过一个定点。

30.已知半径相等的圆?O1,?O2交于点P,Q,O是PQ的中点,过P作两条割线AB,CD,其中A,C在?O1上,B,D在?O2上,AD,BC的中点分别为M,N,已知O1,O2不在?O1,?O2的公共部分内,点M,N均不与点O重合,证明M,N,O三点共线。

31.证明若凸四边形ABCD内任意一点P到四条边AB,BC,CD,DA的距离之和为定值,则ABCD是平行四边形。

32.设点D为等腰?ABC的底边BC上一点,F为过A,C,D三点的圆在?ABC内的弧上一点,过B,D,F三点的圆与边AB交于点E,证明CD?EF?DF?AE?BD?AF。

33.在锐角?ABC中,A,B在BC,CA上的投影分别为Ha,Hb,?A,?B的角平分线与BC,CA的交点分别为Wa,Wb,证明?ABC的内心I在线段HaHb上当且仅当?ABC的外心O在线段WaWb。

34.设?ABC的内切圆与三边AB,BC,CA分别切于点P,Q,R,证明BC?CA?AB?6。

PQQRRP

35.已知F为?ABC内一点,且满足?AFB??BFC??CFA,直线BF,CF与边AC,AB分别交于点

3

D,E,证明AB?AC?4DE。

36.已知凸四边形ABCD有内切圆?O,?O与边DA,AB,BC,CD分别切于点K,L,M,N,?AKL,?BLM,?CMN,?DNK的内切圆分别为?O1,?O2,?O3,?O4,证明?O1,?O2的不同于AB的外公切线,?O2,?O3的不同于BC的外公切线,?O3,?O4的不同于CD的外公切线,?O4,?O1的不同于DA的外公切线围成的四边形是一个菱形。

37.设O是锐角?ABC的外心,?B??C,直线AO与边BC交于点D,?ABD,?ACD的外心分别为点E,F,延长BA和CA,在延长线上分别取点G,H,使得AG?AC,AH?AB,证明四边形EFGH是矩形的充分必要条件是?ACB??ABC?60?。

38.已知?ABC中,?A,?B,?C的角平分线与?ABC的外接圆分别交于点L,M,N,F是边AB上一点,过F作AL的平行线与过B且垂直于BM的直线交于点D;过F作BM的平行线与过A且垂直于AL的直线交于点E,证明LD,ME,NF三线交于一点。

39.已知点D,E,F是锐角?ABC的边BC,CA,AB上的点,?AEF,?BFD,?CDE的外接圆交于一点P,证明若PD

PE?BDPECEPFAF,则,?,?AEPFBFPDCDAD,BE,CF为?ABC的三条高线。

40.已知O,H分别是?ABC的外心和垂心,E,F分别是边AC,AB上的点,证明?BOF??COE?180?的充分必要条件是?BHF??CHE?180?。

41.设非等腰锐角?ABC的外心为O,内切圆?I与边BC切于点D,?AID的外接圆与直线AO的第二个交点为E,证明AE等于?I的半径。

42.已知A1,B1,C1分别是?ABC的边BC,CA,AB上的点,且满足AB1?AC1?CA1?CB1?BC1?BA1,设?AB1C1,?BC1A1,?CA1B1的外心分别为OA,OB,OC,证明?OAOBOC的内心与?ABC的内心重合。

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