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2000年第11届“希望杯”全国数学邀请赛试卷(初二第2试)

发布时间:2014-02-13 11:55:56  

2000年第11届“希望杯”全国数学邀请赛试卷(初

二第2试)

? 2011 菁优网

菁优网 一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分) 1、,﹣,﹣,﹣这四个数从小到大的排列顺序是( )

A、﹣<﹣<﹣<﹣ B、﹣<﹣<﹣<﹣

C、﹣<﹣<﹣<﹣ D、﹣<﹣<﹣<﹣

2、一个三角形的三条边长分别是a,b,c(a,b,c都是质数),且a+b+c=16,则这个三角形的形状是( )

A、直角三角形 B、等腰三角形

C、等边三角形 D、直角三角形或等腰三角形

3、已知25x=2000,80y=2000,则等于( )

A、2 B、1

C、 D、

4、设a+b+c=0,abc>0,则的值是( )

A、﹣3 B、1

C、3或﹣1 D、﹣3或1

5、设实数a、b、c满足a<b<c (ac<0),且|c|<|b|<|a|,则|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|的最小值是( )

A、 B、|b|

C、c﹣a D、﹣c﹣a

6、若一个等腰三角形的三条边长均为整数,且周长为10,则底边的长为( )

A、一切偶数 B、2或4或6或8

C、2或4或6 D、2或4

7、二元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( )

A、20001999个 B、19992000个

C、2001000个 D、2001999个

8、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=3AB,EF∥CD,EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分,则AE:ED等于(

A、2 B、

?2010 箐优网

菁优网 C、 D、

9、如图,一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合,另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上,那么这个正方形的面积是(

A、 B、

C、 D、

10、已知p+q+r=9,且,则等于( )

A、9 B、10

C、8 D、7

二、填空题(共10小题,每小题4分,满分40分) 11、化简:

2=. 212、已知多项式2x+3xy﹣2y﹣x+8y﹣6可以分解为(x+2y+m)(2x﹣y+n)的形式,那么的值是 _________ .

13、△ABC中,AB>AC,AD、AF分别是BC边上的中线和∠A的平分线,则AD和AF的大小关系是AD AF.(填“>”、“<”或“=”)

14、如图,锐角△ABC中,AD和CE分别是BC和AB边上的高,若AD与CE所夹的锐角是58°,则∠BAC+∠BCA的大小是 _________

15、设,,则a+b+c﹣ab﹣bc﹣ca的值等于 _________ . 444222222

16、已知x为实数,且x+2=3,则x+3的值是.

?2010 箐优网

菁优网 17、已知n为正整数,若是一个既约分数,那么这个分数的值等于.

18、如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,∠ACB=60°,将△ABC折叠,使点B和点C重合,折痕为DE,则△AEC的面积是

19、已知非负实数a、b、c满足条件:3a+2b+c=4,2a+b+3c=5,设S=5a+4b+7c的最大值为m,最小值为n,则n﹣m等于.

763220、设a、b、c、d为正整数,且a=b,c=d,c﹣a=17,则d﹣b等于 _________ .

三、解答题(共3小题,满分30分)

21、已知实数a、b满足条件|a﹣b|=<1,化简代数式(﹣)

a的形式.

22、如图,正方形ABCD中,AB=,将结果表示成只含有字母,点E、F分别在BC、CD上,且∠BAE=30°,∠DAF=15°,求△AEF

的面积.

23、将编号为1,2,3,4,5的五个小球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子中,每个盒子只放入一个, ①一共有多少种不同的放法?

②若编号为1的球恰好放在了1号盒子中,共有多少种不同的放法?

③若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入),共有多少种不同的放法?

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菁优网 答案与评分标准

一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分) 1、,﹣,﹣,﹣这四个数从小到大的排列顺序是( )

A、﹣<﹣<﹣<﹣ B、﹣<﹣<﹣<﹣

C、﹣<﹣<﹣<﹣ D、﹣<﹣<﹣<﹣

考点:有理数大小比较。

专题:计算题。 分析:本题中各数的数值较大,如果先通分在比较大小则会引起繁琐的计算,故可利用

的原则进行比较. 解答:解:设为真分数,则b﹣a<0, ,再根据负数比较大小

∴﹣

=﹣==<0, ∴<, 于是<<<, ∴﹣<﹣<﹣<﹣.

故选A. 点评:本题考查的是有理数的大小比较,解答此题的关键是熟知有理数比较大小的方法,利用<是解题的关键.

2、一个三角形的三条边长分别是a,b,c(a,b,c都是质数),且a+b+c=16,则这个三角形的形状是( )

A、直角三角形 B、等腰三角形

C、等边三角形 D、直角三角形或等腰三角形

考点:三角形三边关系。

分析:把a,b,c中的两个字母的和当作一个整体,由于a+b+c=16,16是偶数,根据偶数+偶数=偶数,奇数+奇数=偶数,偶数+奇数=奇数,而2是唯一的偶质数,得出a,b,c中有一个是2,不妨设a=2,则b+c=14,且b、c都是奇质数,再根据三角形三边关系定理得出b、c的值,从而得出结果.

解答:解:∵a+b+c=16,a,b,c都是质数,

∴a,b,c中有一个是2,不妨设a=2.

∴b+c=14,且b、c都是奇质数,

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菁优网 又∵14=3+11=5+9=7+7,

而2+3<11,∴以2,3,11为边不能组成三角形;

2+5<9,∴以2,5,9为边不能组成三角形;

2+7>7,∴以2,7,7为边能组成三角形.

∴这个三角形是等腰三角形.

点评:本题考查了奇偶数、质数的有关知识及三角形三边关系定理.难度较大,其中对于奇偶数、质数的有关知识考查属于竞赛题型,超出教材大纲要求范围.

3、已知25=2000,80=2000,则

A、2 C、 B、1 D、 xy等于( )

考点:幂的乘方与积的乘方;同底数幂的乘法。

分析:因x、y为指数,我们目前无法求出x、y的值,

自然想到指数运算律. ,其实只需求出x+y、xy的值或它们的关系,

解答:解:由已知得=25,=80,

两式相乘,得=25×80=2000,

∴=1.

故选B.

点评:本题考查了同底数幂的乘法运算法则,将已知条件转化为分数指数是解题的关键.

4、设a+b+c=0,abc>0,则

A、﹣3 B、1

C、3或﹣1 D、﹣3或1

考点:分式的加减法;绝对值。

分析:由a+b+c=0,abc>0,可知a、b、c中二负一正,将b+c=﹣a,c+a=﹣b,a+b=﹣c代入所求代数式,

可判断,的值是( ) ,中二正一负.

解答:解:∵a+b+c=0,abc>0,

∴a、b、c中二负一正,

又b+c=﹣a,c+a=﹣b,a+b=﹣c, ∴

=++,

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菁优网 而当a>0时,=﹣1,当a<0时,=1, ∴,,的结果中有二个1,一个﹣1,

∴的值是1.

故选B.

点评:本题考查了分式的加减,绝对值的运算,判断a、b、c的符号是解题的关键.

5、设实数a、b、c满足a<b<c (ac<0),且|c|<|b|<|a|,则|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|的最小值是( )

A、 B、|b|

C、c﹣a D、﹣c﹣a

考点:绝对值;数轴。

专题:计算题。

分析:根据ac<0可知,a,c异号,再根据a<b<c,以及|c|<|b|<|a|,即可确定a,b,﹣c在数轴上的位置,而|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|表示数轴上的点到a,b,﹣c三点的距离的和,根据数轴即可确定.

解答:解:∵ac<0

∴a,c异号

∴a<0,c>0

又∵a<b<c,以及|c|<|b|<|a|

∴a<b<﹣c<0<c

|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|表示到a,b,﹣c三点的距离的和.当x在a,c之间时距离最小,即|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|最小,最小值是a与﹣c之间的距离,即﹣c﹣a.

故选D.

点评:本题解决的关键是根据条件确定a,b,c,﹣c之间的大小关系,把求式子的最值的问题转化为距离的问题.

6、若一个等腰三角形的三条边长均为整数,且周长为10,则底边的长为( )

A、一切偶数 B、2或4或6或8

C、2或4或6 D、2或4

考点:等腰三角形的性质;三角形三边关系。

专题:计算题;分类讨论。

分析:设腰长为x,则底边为10﹣2x,根据三角形三边关系可得到腰长可取的值,从而不难求得底边的长. 解答:解:设腰长为x,则底边为10﹣2x.

∵10﹣2x﹣x<x<10﹣2x+x,

∴2.5<x<5,

∵三边长均为整数,

∴x可取的值为:3或4,

∴当腰长为3时,底边为4;当腰长为4时,底边为2;

故选D.

点评:此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用.

7、二元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( )

A、20001999个 B、19992000个

C、2001000个 D、2001999个

考点:二元一次方程的解。

专题:计算题。

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菁优网 分析:先设x=0,y+z=1999,y分别取0,1,2…,1999时,z取1999,1998,…,0,有2000个整数解;当x=1时,y+z=1998,有1999个整数解;,…当x=1999时,y+z=0,只有1组整数解,依此类推,然后把个数加起来即可. 解答:解:当x=0时,y+z=1999,y分别取0,1,2…,1999时,z取1999,1998,…,0,有2000个整数解; 当x=1时,y+z=1998,有1999个整数解;

当x=2时,y+z=1997,有1998个整数解;

当x=1999时,y+z=0,只有1组整数解,

故非负整数解的个数有2000+1999+1998+…+3+2+1=2001000(个),

故选C.

点评:本题考查了二元一次方程的解,解题的关键是确定x、y、z的值,分类讨论.

8、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=3AB,EF∥CD,EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分,则AE:ED等于(

A、2 B、

C、 D、

考点:相似三角形的判定与性质。

专题:计算题。

分析:根据EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分的性质可以求得EF与的长度,设CD=3,AB=1,设AE:ED=x,则根据梯形ABEF面积是梯形ABCD面积的一半即可解题.

解答:解:设梯形高为h,设CD=3,AB=1,设AE:ED=x

则梯形ABEF的面积为??h?[(CD﹣AB)+AB]=??(AB+CD)?h 解得x=,

∴AE:ED=.

故选 C.

点评:本题考查了梯形面积的计算,考查了相似梯形对应边比值相等的性质,本题中根据x的关系式求x的值是解题的关键.

9、如图,一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合,另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上,那么这个正方形的面积是( )

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A、 B、

C、 D、

考点:勾股定理;正方形的性质;相似三角形的判定与性质。

分析:如图,由△BEF的三边为3、4、5,根据勾股定理逆定理可以证明其是直角三角形,利用正方形的性质可以证明△FDE~△ECB,然后利用相似三角形的性质可以得到DE:CB=3:4,设DE为3x,则BC是4x,根据勾股定理即可求出x=2,也就求出了正方形的面积.

222解答:解:如图,∵△BEF的三边为3、4、5,而3+4=5,

∴△BEF为直角三角形,

∴∠FEB=90°,而四边形ABCD为正方形,

∴∠D=∠C=90°,

∴△FDE~△ECB,

∴DE:CB=EF:EB,即DE:CB=3:4,

∴设DE为3x,则BC是4x,

∴EC是x,

∵三角形EBC为直角三角形,

222∴EB=EC+BC,

22∴16=x+(4x),

∴x=2,

∵S正方形ABCD=(4x)=2cm. 2

故选D.

点评:此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理等知识,综合性比较强,对于学生的能力要求比较高.

10、已知p+q+r=9,且,则等于( )

A、9 B、10

C、8 D、7

考点:因式分解的应用;代数式求值。

专题:计算题。

分析:此题能够利用已知条件表示p、q、r,然后借助因式分解达到约分的目的.

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菁优网 解答:解:设

222=k, 则p=(x﹣yz)k,q=(y﹣zx)k,r=(z﹣xy)k.

已知p+q+r=9,

则(x﹣yz)k+(y﹣zx)k+(z﹣xy)k=9,

222即k(x﹣yz+y﹣zx+z﹣xy)=9. 原式==k(x﹣yz+y﹣zx+z﹣xy)=9. 222222

故选A.

点评:此题考查了因式分解的运用,在遇到等比的时候,要善于用设k的方法.

333222注意:x+y+z﹣3xyz=(x+y+z)(x﹣yz+y﹣zx+z﹣xy).

二、填空题(共10小题,每小题4分,满分40分) 11、化简:=.

考点:二次根式的化简求值。

专题:计算题。

分析:本题可对根号内的项进行配方,转换成平方形式,然后进行开方,化简即可.

解答:解:原式==

=

=

=

=1

2点评:本题考查二次根式的化简求值,计算时结合(a+b),注意配方结合各项之间的关系.

12、已知多项式2x+3xy﹣2y﹣x+8y﹣6可以分解为(x+2y+m)(2x﹣y+n)的形式,那么22的值是 m=﹣2,n=3 . 考点:因式分解的意义。

专题:计算题;因式分解。

22分析:由题意多项式2x+3xy﹣2y﹣x+8y﹣6可以分解为(x+2y+m)(2x﹣y+n)的形式,将整式(x+2y+m)(2x﹣y+n)

相乘,然后根据系数相等求出m和n,从而求解.

22解答:解:∵多项式2x+3xy﹣2y﹣x+8y﹣6可以分解为(x+2y+m)(2x﹣y+n)的形式,

222222∴(x+2y+m)(2x﹣y+n)=2x+3xy﹣2y+(2m+n)x+(2n﹣m)y=2x+3xy﹣2y﹣x+8y﹣6=2x+3xy﹣2y﹣x+8y﹣6,

∴2m+n=﹣1,2n﹣m=8,mn=﹣6,

解得m=﹣2,n=3, ∴==﹣,

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菁优网 故答案为:﹣.

点评:此题主要考查因式分解的意义,紧扣因式分解的定义,是一道基础题.

13、△ABC中,AB>AC,AD、AF分别是BC边上的中线和∠A的平分线,则AD和AF的大小关系是AD.(填“>”、“<”或“=”)

考点:三角形三边关系;三角形的外角性质。

分析:设AB的中点是E,连接DE.根据三角形的中位线定理,得DE∥AC,DE=AC,结合已知条件,得DE<AE,则∠ADE>∠DAE,又∠ADE=∠CAD,则∠CAD>∠DAE,故AF在AD的右侧,根据大角对大边即可证明. 解答:

解:设AB的中点是E,连接DE.

根据三角形的中位线定理,得DE∥AC,DE=AC,

又AB>AC,

则DE<AE,

∴∠ADE>∠DAE,

又∠ADE=∠CAD,

∴∠CAD>∠DAE,

故AF在AD的右侧,则AD>AF.

故答案为>.

点评:此题综合运用了三角形的中位线定理和大角对大边、大边对大角的性质.

14、如图,锐角△ABC中,AD和CE分别是BC和AB边上的高,若AD与CE所夹的锐角是58°,则∠BAC+∠BCA的大小是 122°

考点:三角形的外角性质。

专题:计算题。

分析:根据直角三角形的两个锐角互余,求得∠BAD=∠BCE=90°﹣58°=32°,根据三角形的外角的性质,求得∠DAC+∠DCA=58°,从而求解.

解答:解:∵AD和CE分别是BC和AB边上的高,

∴∠BAD=∠BCE=90°﹣58°=32°,

又∠DAC+∠DCA=58°,

∴∠BAC+∠BCA=32°×2+58°=122°.

故答案为122°.

点评:此题综合运用了三角形的内角和定理的推论:直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相

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菁优网 邻的两个内角的和. 15、设,,则a+b+c﹣ab﹣bc﹣ca的值等于 5 . 444222222

考点:因式分解的应用;代数式求值。

专题:计算题。

分析:把所给代数式整理为和a﹣b,b﹣c,a﹣c有关的形式,把相关数值代入求值即可. 解答:解:∵∴①+②得:a﹣c=2, 22222222①;②;

∴原式===5,

故答案为5.

222222点评:考查代数式的求值,把所给代数式整理为和a﹣b,b﹣c,a﹣c有关的形式是解决本题的关键.

16、已知x为实数,且x+

考点:完全平方公式。

专题:计算题。

分析:根据x+22=3,则x+3的值是

. =3,可求出+x的值,把x+3变形为含有x+2与+x的形式即可.

解答:解:∵x+2=﹣2=3, 故+x=±,

又∵x+3=(x+)(x﹣1+2)=±×2

=±2. 故答案为:±2.

点评:本题考查了完全平方公式,属于基础题,关键是利用完全平方公式进行变形求解.

17、已知n为正整数,若考点:分式的等式证明。

分析:首先把分式的分子分母进行因式分解,发现有公因式(n﹣2),又知

n的值,进而得到分式的值.

?2010 箐优网 是一个既约分数,那么这个分数的值等于

是一个既约分数,故可解得

菁优网 解答:解:n+3n﹣10=(n﹣2)(n+5),

2n+6n﹣16=(n﹣2)(n+8)

分子分母有公因子(n﹣2),

又知

只能n﹣2=1,

即n=3, 故==. 是一个既约分数, 故答案为.

点评:本题主要考查分式等式证明的知识点,解答本题的关键是熟练掌握即约分数的概念,此题难度一般.

18、如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,∠ACB=60°,将△ABC折叠,使点B和点C重合,折痕为DE,则△AEC

的面积是

考点:翻折变换(折叠问题)。

专题:计算题。

分析:连接AD,判断出△ADC为正三角形,进而判断出△ABC为直角三角形,通过翻折不变性得出△AEC≌△DEC、△BED≌△DEC,

从而得到△AEC和△ABC的面积比,求出△ABC的面积即可求出△AEC的面积.

解答:解:连接AD,

∵AC=DC=2,∠ACB=60°,

∴△ADC是等边三角形.

∵BD=DC=DA,∠ADC=60°,

∴∠BAD=30°,

∴∠BAC=90°.

在Rt△AEC和Rt△DEC中,

∵AC=DC,EC=EC,

∴△AEC≌△DEC(HL).

根据翻折不变性可知,

∴△BED≌△DEC,

于是S△AEC=S△DEC; 又∵AB==2,

∴S△AEC=S△DEC=×AC?AB=S△AEC=S△DEC=××2×2=.

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菁优网 故答案为

点评:此题考查了翻折变换,涉及正三角形的判定、直角三角形的判定和性质等内容,构思巧妙,是一道好题.

19、已知非负实数a、b、c满足条件:3a+2b+c=4,2a+b+3c=5,设S=5a+4b+7c的最大值为m,最小值为n,则n﹣m等于.

考点:一次函数的性质。

专题:计算题。

分析:已知,3a+2b+c=4,2a+b+3c=5,可通过转化用c表示出a、b,a=6﹣5c,b=7c﹣7,又已知非负实数a、b、c,所以可得,a≥0,b≥0,即6﹣5c≥0,7c﹣7≥0,得c的取值范围是1≤c≤,再用c表示出S=10c+2,根据c的取值范围,可求出S的最大值和最小值,解答即可.

解答:解:已知,3a+2b+c=4…①,2a+b+3c=5…②,

②×2﹣①得,a+5c=6,a=6﹣5c,

①×2﹣②×3得,b﹣7c=﹣7,b=7c﹣7,

又已知a、b、c为非负实数,

所以,6﹣5c≥0,7c﹣7≥0, 可得,1≤c≤,

S=5a+4b+7c,

=5×(6﹣5c)+4×(7c﹣7)+7c,

=10c+2,

所以10≤10c≤12,

12≤10c+2=S≤14,

即m=14,n=12,

n﹣m=﹣2,

故答案为﹣2.

点评:本题主要考查了一次函数的性质,要掌握它们的性质才能灵活解题;本题用非负实数c表示出a、b,并求出s的取值范围,是解答本题的核心.

763220、设a、b、c、d为正整数,且a=b,c=d,c﹣a=17,则d﹣b等于 601 .

考点:整数问题的综合运用。

专题:计算题;转化思想。

7632分析:将a=b,c=d转化为关于同一底数幂的形式,再代入c﹣a=17中试解即可.

7667解答:解:因为a=b,所以a只能是m,b只能是m.

23同理c=n,d=n.

由c﹣a=17,得

26n﹣m=17,

33(n+m)(n﹣m)=17,

33故n+m=17,n﹣m=1,

所以n=9,m=2.

因此a=64,b=128,c=81.d=729,

d﹣b=601.

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菁优网 点评:此题考查了整数问题的综合运用,将题目条件进行转化,再进行试解是解题的关键,体现了转化思想在解题中的应用.

三、解答题(共3小题,满分30分)

21、已知实数a、b满足条件|a﹣b|=<1,化简代数式(﹣),将结果表示成只含有字母a的形式.

考点:二次根式的化简求值。

专题:综合题。

分析:由已知可得a﹣b﹣1=(a﹣b)﹣1<0,据此把代数式化简,又因为要将结果表示成只含有字母a的形式,根据

|a﹣b|=,分情况讨论,得出用a表示b的代数式,代入化简即可.

解答:解:∵|a﹣b|=<1,

∴a、b同号,且a≠0,b≠0,

∴a﹣b﹣1=(a﹣b)﹣1<0, ∴(﹣)=(﹣)[1﹣(a﹣b)]=.

①若a、b同为正数,由<1,得a>b,

∴a﹣b=,a﹣ab=b

,解得b=2, ∴(﹣)== =﹣?=﹣ =﹣;

②若a、b同为负数,由<1,得b>a,

∴a﹣b=﹣,a﹣ab=﹣b,解得b=2, ∴()==

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菁优网 =

=.

综上所述,当a、b同为正数时,原式的结果为﹣;当a、b同为负数时,原式的结果为. 点评:此题考查二次根式的化简求值,利用了(a≥0)的性质,要充分利用已知条件,难度较大.

22、如图,正方形ABCD中,AB=,点E、F分别在BC、CD上,且∠BAE=30°,∠DAF=15°,求△AEF

的面积.

考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;旋转的性质。

专题:计算题。

分析:将△ADF绕A点顺时针方向旋转90°到△ABG的位置,得到△ABG,求证:△AEF≌△AEG,要求△AEF的面积求△AEG即可,且AB为底边上的高,EG为底边.

解答:解:将△ADF绕A点顺时针方向旋转90°到△ABG的位置,

∴AG=AF,∠GAB=∠FAD=15°,

∠GAE=15°+30°=45°,

∠EAF=90°﹣(30°+15°)=45°,

∴∠GAE=∠FAE,又AE=AE,

∴△AEF≌△AEG,∴EF=EG,

∠AEF=∠AEG=60°,

在Rt△ABE中,AB=,∠BAE=30°,

∴∠AEB=60°,BE=1,

在Rt△EFC中,∠FEC=180°﹣(60°+60°)=60°,

EC=BC﹣BE=﹣1,EF=2(﹣1),

∴EG=2(﹣1),S△AEG=EG?AB=3﹣,

∴S△AEF=S△AEG=3﹣.

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点评:本题考查了全等三角形的证明,考查了正方形各边各内角均相等的性质,解本题的关键是巧妙地构建△ABG,并且求证△AEF≌△AEG.

23、将编号为1,2,3,4,5的五个小球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子中,每个盒子只放入一个, ①一共有多少种不同的放法?

②若编号为1的球恰好放在了1号盒子中,共有多少种不同的放法?

③若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入),共有多少种不同的放法?

考点:计数方法。

分析:①先放入,有5种不同的的方法,再放第二个球,这时以4种不同的放法,依此类推,可以求出不同的放法, ②一个小球固定1号盒,其余的四个球随意放,它们依次有4、3、2、1种不同的放法,于是可以求出不同的放法, ③解法一:在这120种放法中,排除掉全部不对号的放法,剩下的就是至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数,解法二:从五个球中选定一个球,有5种选法,将它放入同号的盒子中(如将1号球放入1号盒子),其余的四个球随意放,有24种放法,这样共有5×24=120种放法,然后去掉重复的放法的种数就是至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数.

解答:解:①将第一个球先放入,有5种不同的的方法,再放第二个球,这时以4种不同的放法,依此类推,放入第三、四、五个球,分别有3、2、1种放法,所以总共有5×4×3×2×1=120种不同的放法.

②将1号球放在1号盒子中,其余的四个球随意放,它们依次有4、3、2、1种不同的放法,这样共有4×3×2×1=24种不同的放法.

③(解法一)

在这120种放法中,排除掉全部不对号的放法,剩下的就是至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数. 为研究全部不对号的放法种数的计算法,设A1为只有一个球放入一个盒子,且不对号的放法种数,显然A1=0,A2为只有二个球放入二个盒子,且不对号的放法种数,∴A2=1,A3为只有三个球放入三个盒子,且都不对号的放法种数,A3=2,,An为有n个球放入n个盒子,且都不对号的放法种数.

下面我们研究An+1的计算方法,考虑它与An及An﹣1的关系,

如果现在有n个球已经按全部不对号的方法放好,种数为An.取其中的任意一种,将第n+1个球和第n+1个盒子拿来,将前面n个盒子中的任一盒子(如第m个盒子)中的球(肯定不是编号为m的球)放入第n+1个盒子,将第n+1个球放入刚才空出来的盒子,这样的放法都是合理的.共有nAn种不同的放法.

但是,在刚才的操作中,忽略了编号为m的球放入第n+1个盒子中的情况,即还有这样一种情况,编号为m的球放入第n+1个盒子中,且编号为n+1的球放入第m个盒子中,其余的n﹣1个球也都不对号.于是又有了nAn﹣1种情况是合理的.

综上所述得An+1=nAn+nAn﹣1=n(An+An﹣1).

由A1=0,A2=1,得A3=2(1+0)=2,A4=3(2+1)=9,A5=4(9+2)=44.

所以至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数为全部放法的种数减去五个球都不对号的放法种数,即120﹣44=76种.

(解法二)

从五个球中选定一个球,有5种选法,将它放入同号的盒子中(如将1号球放入1号盒子),其余的四个球随意放,有24种放法,这样共有5×24=120种放法.

但这些放法中有许多种放法是重复的,如将两个球放入同号的盒子中(例如1号球和2号球分别放入1号盒子、2

23号盒子中)的放法就计算了两次,这样从总数中应减去两个球放入同号的盒子中的情况,得120﹣C5P3=120﹣60

(种).

很明显,这样的计算中,又使得将三个球放入同号的盒子中(例如1号球、2号球和3号球分别放入1号盒子、2号盒子和3号盒子中)的放法少计算了一次,于是前面的式子中又要加入C5P2=20种,

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菁优网 再计算四个球、五个球放入同号盒子的情况,于是再减去四个球放入同号盒子中的情况C5P1,最后加上五个球放

5入同号中的情况C5.

2332415整个式子为120﹣C5P3+C5P2﹣C5P1+C5=120﹣60+20﹣5+1=76(种).

点评:本题主要考查计数方法的知识点,解答本题的关键是掌握计数原理,特别是第三问的解法不止一种,请同学们熟练掌握.

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