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初二奥数第五节

发布时间:2014-02-13 12:57:39  

第五节 反比例函数

一、反比例函数的基本性质有:

1、双曲线向坐标轴无限延伸,但不能接近坐标轴;

k2、双曲线解析式y?中的系数k的正负性,决定双曲线大致位置及y随x在x

每一象限内的变化情况;

3、双曲线上的点是关于原点O成中心对称,在k>0时,函数的图像关于直线y?x 轴对称,在k< 0时函数的图像关于直线y??x轴对称

赛点1:反比例函数的图像与性质

当k?0时,y?k的图像位于一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小,x

双曲线关于直线y?x轴对称;

当k?0时,y?k的图像位于二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大,x

双曲线关于直线y??x轴对称;

例1、如图,在直角坐标系中,O为坐标原点,已知反比例函数9.如图,在直

k角坐标系中,O为坐标原点.已知反比例函数y?(k>0)的图象经过点A(2,x

1m),过点A作AB⊥x轴于点B,且△AOB的面积为. 2

(1)求k和m的值;

(2)点C(x,y)在反比例函数的图象上,求当1≤x≤3时函数值y的取值范围.

k(3)过原点O的直线l与反比例函数y?的图象交于P、Q两点,试根据图象x

直接写出线段PQ长度的最小值.

5?k变式训练:已知正比例函数y?kx的图像与反比例y?(k为常数,k≠0)x

的图象有一个交点的横坐标是2.

(1)求这两个函数的解析式;

(2)求这两个函数图象的交点坐标;

(3)若点A(x1,x2),B(x2,y2)是反比例函数y?

试比较y1与y2的大小.

5?k图象上的两点,且x1?x2,x

赛点2:反比例函数与一次函数综合

1 x

的图象交于两点A、B,过点A作AC⊥x轴于点C,连接BC,则△ABC的面积S是( )

A.S=1 B.1<S<2 C.S=2 D.S>2

k变式训练:已知反比例函数y?和一次函数y=2x-1,其中一次函数的图象经2x

过(a,b)和(a+1,b+k)两点

(1)求反比例函数的解析式;

(2)已知A在第一象限,是上述两个函数的交点,求A点的坐标.

例2、正比例函数y?kx(k>0)与反比例函数的图象与反比例函数y?

赛点3:反比例函数与几何的综合

k图象上两点,点C、D、E、F分别在坐标x

轴上,且与点A、B、O构成正方形和长方形.若正方形OCAD的面积为6,则长方形OEBF的面积是( )

A.3 B.6 C.9 D.12 例3、如图,如图,A、B是函数y?

例3 变式训练图

变式训练:.如图,正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点B在函数y?k x

k(k>0,x>0)图象上的x

任意一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F,并设两个四边形OEPF和OABC不重合部分的面积之和为S.

(1)求B点坐标和k的值;

9(2)当S=时,求点P的坐标. 2

(3)写出S与m的函数关系式.

(k>0,x>0)的图象上,点P(m、n)是函数y?

赛点4:反比例函数的应用

某班师生组织植树活动,上午8时从学校出发,到植树地点植树后原路返校,如图为师生离校路程s与时间t之间的图象.请回答下列问题:

(1)求师生何时回到学校?

(2)如果运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发,与师生同路匀速前进,早半小时到达植树地点,请在图中,画出该三轮车运送树苗时,离校路程s与时间t之间的图象,并结合图象直接写出三轮车追上师生时,离学校的路程;

(3)如果师生骑自行车上午8时出发,到植树地点后,植树需2小时,要求14时前返回到学校,往返平均速度分别为每时10km、8km.现有A、B、C、D四个植树点与学校的路程分别是13km、15km、17km、19km,试通过计算说明哪几个植树点符合要求.

变式训练:通过市场调查,一段时间内某地区特种农产品的需求量y(千克)与

100000市场价格x(元/千克)存在下列函数关系式:y?;?6000(0<x<100)x

又已知该地区农民的这种农产品的生产数量z(千克)与市场价格x(元/千克)成正比例关系:z=400x(0<x<100),现不计其它因素影响,如果需求数量y等于生产数量z时,即供需平衡,此时市场处于平衡状态.

(1)根据以上市场调查,请你分析当市场处于平衡状态时,该地区这种农产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少?

(2)受国家“三农”政策支持,该地区农民运用高科技改造传统生产方式,减少产量,以大力提高产品质量.此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变,而需求函数关系未发生变化,当市场再次处于平衡状态时,市场价格已上

涨了a(0<a<25)元,问在此后的相同时间段内该地区农民的总销售收入是增加了还是减少了,变化多少?

二、课后练习

4x1、如图,反比例函数y??的图象与直线y??的交点为A,B,过点A作yx3

轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C,则△ABC的面积为( )

A. 8 B.6 C. 4 D. 2

第1题 第2题

22、如图,直线y=kx(k>0)与双曲线y??交于A,B两点,若A,B两点的x

坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则3x1y2-8x2y1的值为( )

B. -5 C.5 D.10

23、已知A、B是反比例函数y?的图象上的两点,A、B的横坐标分别是3,5.设x

O为原点,则△AOB的面积是

14、如图,若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y?(xx

>0)的图象上,则点E的坐标是( ) A.-10

??1?1??A.??2,2?' B.

??

?5?15?1??C.??2,2? D.

????1?1????2,2?' ????1?1????2,2?

??

5、如图,两个反比例函数y?k1k和y?2(其中k1>k2>0)在第一象限内的xx

图象依次是C1和C2,设点P在C1上,PC⊥x轴于点C,交C2于点A,PD⊥y轴

于点D,交C2于点B,则四边形PAOB的面积为( )

A.k1+k2 B. k1-k2 C. k1?k2 D.k

1 k2

第5题 第6题

6、如图,如图:等腰直角三角形ABC位于第一象限,AB=AC=2,直角顶点A在直线y=x上,其中A点的横坐标为1,且两条直角边AB、AC分别平行于x

k轴、y轴,若双曲线y?(k≠0)与△ABC有交点,则k的取值范围是( ) x

A.1<k<2 B.1≤k≤3 C.1≤k≤4 D.1≤k<4

7、如图,一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点,则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是( )

A.x<-1 B.x>2

C.-1<x<0,或x>2 D.x<-1,或0<x<2

第7题 第8题

8、如图,点A,C都在函数y?3(x>0)的图象上,点B,D都x轴上,且使x

得△OAB,△BCD都是等边三角形,则点D的坐标为 .

2k9、如图,已知函数y?(x>0),y?(x<0),点A在正y轴上,过点A作BCxx

∥x轴,交两个函数的图象于点B和C,若AB:AC=1:3,则k的值是( )

A.6 B.3 C.-3 D.-6

第9题 第10题

10、如图,已知:正△OAB的面积为4,双曲线y?(m>0)在双曲线y?k经过点B,点P(m,n)xk上,PC⊥x轴于点C,PD⊥y轴于点D,设矩形OCPDx

与正△OAB不重叠部分的面积为S.

(1)求点B的坐标及k的值;

(2)求m=1和m=3时,S的值.

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