haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 小学教育 > 学科竞赛学科竞赛

《黄帝内经十二时辰养生法》CreateTime

发布时间:2014-02-13 13:00:52  

中医免费资料 http://www.zyy123.com/down

概率论与数理统计

课件制作:应用数学系 概率统计课程组

《概率论与数理统计》
前 言
概率统计是研究随机现象数量规律的数学

学科, 理论严谨, 应用广泛, 发展迅速. 目前, 不
仅高等学校各专业都开设了这门课程, 而且从

上世纪末开始,这门课程特意被国家教委定为
本科生考研的数学课程之一,希望大家能认真 学好这门不易学好又不得不学的重要课程.

主要教学参考书

教材
《概率论及其统计应用》
汪忠志等编

合肥工业大学出版社 2005年

国内有关经典著作
1.《概率论基础及其应用》
王梓坤著
陈希儒著 科学出版社 1976 年版 科学出版社 1981年版

概率统计专业

2.《数理统计引论》

首位中科院院士

国外有关经典著作
1.《概率论的分析理论》
P.- S.拉普拉斯著
1812年版

概率论的最早著作 数理统计最早著作

2. 《统计学数学方法》
H. 克拉默著
1946年版

本学科的 A B C
概率(或然率或几率) —— 随机事件出现 的可能性的量度—— 其起源与博弈问题有关. 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的 数学分支学科. 16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题;17世纪中叶,法国数学家B. 帕 斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方 法,研究了较复杂 的赌博问题, 解决了“ 合理 分配赌注问题” ( 即得分问题 ).

对客观世界中随机现象的分析产生了概率 论;使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠 基人是瑞士数学家J.伯努利;而概率论的飞速 发展则在17世纪微积分学说建立以后. 第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科. 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据,以对所考察的
问题作出推断或预测,直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的 数学分支学科.

统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识,如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数

学等等,但关系最密切的是概率论,故可以这 样说:概率论是数理统计学的基础,数理统计 学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科,并无从属关系.

本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有

科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个
部门中. 例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预 测都与 概率论 紧密相关;

2. 产品的抽样验收,新研制的药品能否在 临床中应用,均需要用到 假设检验;
3. 寻求最佳生产方案要进行 实验设计 和 数据处理;

4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制

与发射
都离不开 可靠性估计;

5. 探讨太阳黑子的变化规律时,时间序列 分析方法非常有用; 6. 研究化学反应的时变率,要以 马尔可夫 过程 来描述; 7. 在生物学中研究群体的增长问题时 提出
了生灭型 随机模型,传染病流行问题要用到多 变量非线性生灭过程;

8. 许多服务系统,如电话通信、船舶装卸、

机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、 购物排队、红绿灯转换等,都可用一类概率
模型来描述,其涉及到 的知识就是 排队论. 目前,概率统计理论 进入其他自然科学领 域的趋势还在不断发展. 在社会科学领域 ,特 别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长 等问题,都大量采用 概率统计方法. 正如法国 数学家 拉普拉斯所说 : “ 生活中最重要的问题, 其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”

第一章
1.1
1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4

随机事件及其概率
基本概念
随机现象 随机现象的统计规律性 样本空间 随机事件及其运算

生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质 上只是概率的问题 . -------拉普拉斯
我又转念,见日光之下,快跑的人未必能赢, 力战的未必得胜,智慧的未必得粮食,明哲的未 必得资财,灵巧的未必得喜悦,所临到众人的, 是在乎当时的机会. ---------传道书

第一章

随机事件及其概率

概率论是研究随机现象的规律性的数学 分支,为了对随机现象的有关问题作出明确 的数学描述,像其它数学学科一样,概率论 具有自己的严格的体系和结构。本章重点介 绍概率论的两个基本概念:随机事件和概率。

1.1 基本概念
1.1.1 随机现象
客观世界中存在着两类现象,一类是在一定的条件 下必然出现的现象,称之为必然现象:另一类是在一定 的条件下可能出现也可能不出现的现象,称之为随机现 象。

在重力的作用下,物体的位移随时间变化的函数 x(t), x " ?来描述,其中 t? ? g 由二阶微分方程 g为 重力加速度,这是确定的,必然的。

确定性现象 ⒈抛一石块,观察结局; ⒉导体通电,考察温度; ⒊异性电菏放臵一起,观察其关系; ……

随机现象 ⒈掷一枚硬币,观察向上的面; ⒉下一个交易日观察股市的指数上升情况; ⒊某人射击一次,考察命中环数; ⒋从一批产品中抽取一件,考察其质量; ……

1.1.2 随机现象的统计规律性
虽然随机现象中出现什么样的结果不能事先 预言,但是可以假定全部可能结果是已知的。在 上述例子中,抛掷一枚硬币只会有“正面”与 “反面”这两种可能结果,而股指的升跌幅度大 小充其 量假定它可能是任意的实数。可见“全部可能的 结 果的集合是已知的”这个假定是合理的,而且它会 给我们的

学习研究带来许多方便。

进行一次试验,如果其所得结果不能完全预 知,但其全体可能结果是已知的,则称此试验为 随机试验,一般地,一个随机试验要具有下列特 点: (1) 可重复性:试验原则上可在相同条件下 重复进行; (2) 可观察性:试验结果是可观察的,所有 可能的结果是明确的; (3) 随机性:每次试验将要出现的结果是不 确定的,事先无法准确预知。

由于随机现象的结果事先无法预知,初看起 来,随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一 随机现象在大量重复出现时,其每种可能的结果 出现的频率却具有稳定性,从而表明随机现象也 有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试 验所证明。

表1.1列出Buffon等人连续抛掷均匀硬币所得的结 果。从表中数据可以看到,当抛掷次数很大时, 正面出现的频率非常接近0.5,就是说,出现正面 与出现反面的机会差不多各占一半。
表1.1抛掷硬币试验
试验者
Buffon De Morgan

抛硬币次数

出现正面次数

出现正面频率

4040

2048 2048 4979 6019 12012 39699

4092 Feller 10000 12000 Pearson 24000 Pearson Lomanovskii 80640

0.5069 0.5005 0.4979 0.5016 0.5005 0.4923

上面的试验的结果表明,在相同条件下大量地 重复某一随机试验时,各可能结果出现的频率稳定 在某个确定的数值附近。称这种性质为频率的稳定 性。频率的稳定性的存在,标志着随机现象也有它 的数量规律性。概率论就是研究随机现象中数量规 律的数学学科。

1.1.3

样本空间

随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点, 因而一个随机试验的所有样本点也是明确的,它们 的全体,称为样本空间,习惯上分别用 ? 与 ? 表示 样本点与样本空间。 ? .w

样本点w

如果试验是将一枚硬币抛掷两次,则样 本空间由如下四个样本点组成:
其中
(H,H): (H,T): (T,H): (T,T):

第1次
H
H T T

第 2次
H
T H T

样本空间在如下 意义上提供了一个理 想试验的模型: 在每次试验中 必有一个样本点出 现且仅有一个样本 点出现 .

例1.1.1 抛掷两枚硬币观察其正面与反面出现的 情况。其样本空间由四个样本点组成。即 ? ={(正, 正),(正,反),(反,正),(反,反)}。这里, ? 比如样本点 =(正,反)表示第一枚硬币抛出正面 而第二枚抛得反面。 例1.1.2 观察某电话交换台在一天内收到的呼叫 ? 次数,其样本点有可数无穷多个: ? i次,i=0,1,2, , 样本空间为={0次,1次,2次, }

例1.1.3 连接射击直到命中为止。为了简洁地写 出其样本空间,我们约定以“0”表示一次射击未中, ? ? 而以“1”表示命中。则样本空间 ={1,01,001 , 0001, ? } 例1.1.4 观察一个新灯泡的

寿命,其样本点也有 0 ? t ? ?, 样本空间为: 无穷多个:t小时, ? ? ?t小时 | 0 ? t ? ???
寿命试验:测试在同一工艺条件下 生产出的灯泡的寿命。

课堂练习

写出下列各个试验的样本空间:

1 掷一枚均匀硬币,观察正面(H)反面(T)出现的情况;
2.将一枚硬币连抛三次,观察正面出现的情况; 3.某袋子中装有5个球,其中3个红球,编号A、B、 C,有2 个黄球,编号D、F,现从中任取一个球,观察颜色.若是 观察编号呢?

4.在掷骰子试验中,观察掷出的点数。

5.从自然数 1,2,3,…,N(N≥ 3)中接连随意取三个,每 取一个还原后再取下一个.若是不还原呢?若是一次就 取三个呢? 6.接连进行n次射击,记录命中次数.若是记录n次射击中 命中的总环数呢? 7.观察某条交通干线中某天交通事故的次数。

1.1.4

随机事件及其运算

A

B

?

我们时常会关心试验的某一部分可能结果是 否出现。称这种由部分样本点组成的试验结果为 ?, ?,? 随机事件,简称事件。通常用大写的字母 等表示。某事件发生,就是属于该集合的某一样 ? 本点在试验中出现。记 为试验中出现的样本 ? ?? 点,那么事件A发生当且仅当 时发生。由于 样本空间? 包含了全部可能结果,因此在每次 试验中 ?都会发生,故称 ? 为必然事件。相反, 空集 ? 不包含任何样本点,每次试验必定不发生, ? 故称 为不可能事件。

1.事件的包含 如果事件A发生必然导致B发生,即属于A的每一 个样本点一定也属于B,则称事件B包含事件A,或 称事件A包含于事件B。记作 ? ? ? 或? ? ?
2.事件相等 如果事件A包含事件B,事件B也包含事件A,则 称事件A与B相等。记作 A=B。 3.事件的并 “事件A与B至少有一个发生”这一事件称作 事件A与B的并,记作 ? ? ? .
?

BA

4. 事件的交 “ 事件A与B都发生”这一事件称作事件A与B ???或 ? 的交, 记作 。 ? ?? ? 5. 事件的差 B AB A “ 事件A发生而B不发生”这一事件称作 事件A与B的差, 记作 A-B . 6. 互不相容事件 A? B

事件A与B不能同时发生,也就是说AB是不可 能事件,即AB=空集则称A与B是互不相容事件. 7. 对立事件
“事件A不发生”这一事件称作事件 A的对立事件, _ _ ??? 记作 ,易见, .?? ?

完备事件组
A1

A2
A3

A4

S

为了帮组大家理解上述概念,现把集合论的有关结 论与事件的关系和运算的对应情况列举如下:
表1.2
符号
集合论 全集 空集 概率论 样本空间:必然事件 不可能事件

?

?

? ? ? ? 中的点(或称元素) 样本点

?? ?
???

单点集

基本事件 的子集A 事件A 事件A包含于事件B中 事件A与事件B相等

?

???

集合A包含在集合B

中 集合A与集合B相等

???
???

集合A与集合B的并
集合A与集合B的交 集合A的余集 集合A与集合B的差

事件A与B至少有一个发生
事件A与事件B同时发生 事件A的对立事件 事件A发生而B不发生 事件A与B互不相容(互斥)

???
?
_

???

? ? ? ? ? 集合A与B没有公共元素

注:
(1) A ? B ? AB .
?

( 2) A ? B ? A ? B ,
( 3) A ? B ? A ? B ,

B

AB A

推广:

? Ai ? ? Ai , ? Ai ? ? Ai
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

n

课堂练习

1.设事件A={甲种产品畅销,乙种产品滞销}, 则A的对立事件为( ④ ) ①甲种产品滞销,乙种产品畅销; ②甲、乙两种产品均畅销; ③甲种产品滞销; ④甲种产品滞销或者乙种产品畅销。 2.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置,试说明下列各对事件间的关系 ①A={|x-a|<σ },B={x-a<σ }(σ >0) A ? ②A={x>20},B={x≤20} A与B对立 ③A={x>22},B={x<19} A与B互斥

B

思考题: 设A、B、C为任意三个事件,试用它们 表示下列事件: (1) A、B出现,C不出现; (2) A、B、C中恰有一个出现; (3) A、B、C中至多有一个出现; (4) A、B、C中至少有一个出现.
解答: (1) ABC .

(2) AB C ? A BC ? A B C (3) A B C ? AB C ? A BC ? A B C
(4) A B C ? A ? B ? C

Application 1
Question What is the probability of rolling a) an even number with one dice? b) a number greater than 3 with one dice? Solution The sample space for rolling one dice is S = {1,2,3,4,5,6}. Lets say event A is rolling an even number and B is rolling a number greater than 3. then, A= {2,4,6} and B= {4,5,6} a) 1 3= P(A) = n( A) = n( S ) 2 b) 6 P(B)= n(B)/n(S) = 4/6 = 2/3

Application 2
? Question There are three white balls and 5 red balls in the plastic bag. What is the probability of choosing a) a white ball? (event A) b) two red balls? (event B) c) a white ball and three red balls? (event C) ? Solution (a) There are 8C1 ways to choose any one ball from the plastic bag. Since there are 3 white balls, there are 3C1 ways of choosing a white ball. Thus, P(A) = 3C1/ 8C1 = 3/8 (b) P(B) = 5C2 /8C2 = 5/14 (c) There are 8C4 ways of choosing 4 balls from 8. Also, there are 3C1 * 5C3 ways of choosing one white ball and three red balls. Thus, P(C) = (3C1 * 5C3 ) / 8C4 = 3/7

Check your understanding!!
Q.1 What is the probability of choosing a vowel from the alphabet? (★)

Q.2 There are two dice and they are rolled simultaneously. What is the probability of rolling (a) the same numbers, (b) the numbers whose sum is 7 (c) the numbers whose sum is less than or equal to 5. (★ ★) Q.3 A dice is rolled twice. What is the probability of having the second number that is greater than the first one? (★ ★★)

Q.4 There are 20 numbers on the board and a student is to pick 2 of them. There are 4 winning numbers that will give the student extra 3 marks on the test. What is the

probability of choosing 2 winning numbers? (★ ★★★) Q.5 The set A has elements of a1, a2, a3, a4, …..,a10. If I were to choose a subset, what is the probability of choosing the subset that includes a1, a2, a3 ? (all three of them as a group) (★★★★★)

LETS FIND OUT THE ANSWERS!!

Answer Key
Q.1 Among 26 alphabets, 5 of them are vowels. Therefore, P(A) = n(A)/n(S) = 5/26 Q.2 There are 36 outcomes in total as each dice has 6 numbers. (6C1 * 6C1). Part A: one can have (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Since n(A)=6, the P(A) = 6/36 = 1/6 Part B: There are 6 possible ways of getting a sum of 7. Thus, P(B) = 6/36 = 1/6 Part C: n(c) = 10 ( all the purple -coloured squares) 1 2 3 4 5 6 Thus, P(C) = 10/36 = 5/18
1
2 3 4

2
3 4 5

3
4 5 6

4
5 6 7

5
6 7 8

6
7 8 9

7
8 9 10

5
6

6
7

7
8

8
9

9
10

10
11

11
12

Q.3 Based on the chart, there are 5+4+3+2+1 outcomes for the event A. Since it involves rolling a dice twice, n(S) = 36. P(A) = 15/36 = 5/12 Q.4 There are 2C20 ways of picking any two numbers from the board (n(S)). Furthermore, the number of ways to pick two winning numbers is 4C20 (n(A)). P(A) = 4C2 / 2C20 = 3/95

First number

Second number

1 2 3, 4 5 6

2,3,4,5,6 3,4,5,6 4,5,6 5,6 6 ---------

Q.5 The total number of subset for A is 210. To calculate the number of subset that includes a1, a2, a3, we calculate the number of subsets of { a4, a5, a6….a10 }, and it is 27. This is because we can add a1, a2, and a3 to each subset of { a4, a5, a6….a10 }. Therefore P(A) = 27/ 210 = 1/23 = 1/8

1.2
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5

随机事件的概率
概率和频率 组合记数 古典概率 几何概率 主观概率

1.2

随机事件的概率

1.2.1 概率和频率
概率论研究的是随机现象的统计规律性。对 于随机试验,如果仅知道可能出现哪些事件是不 够的,更重要的是要知道各个事件发生可能性大 小的量的描述(即数量化).这种量的大小我们 称为事件的概率。 随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性, 但大量试验中,它的发生具有统计规律性,人们 可以确定随机事件发生的可能性大小。

若随机事件A在 n 次试验中发生了m ?0 ? m ? n? 次,则量 m / n 称为事件A在n 次试验中 发生的 m ? ? f ? f ? 频率,记作 n ,即: n .
m 它满足不等式: 0 ? n ? 1

n

如果A是必然事件,有m=n,则

m f n ? A? ? ? 1 n
f n ? A? ?

;
;

如果A是不可能事件,有m=0,则 就是说:

m ?0 n

必然事件的频率为1,不可能事件的频率为0。

表1-1可以看出,随着试验次数n的增加,A发生的频 率围绕0.5这个数值摆动的幅度越来越小。即随机事件

A发生的频率具有稳定性。一般地,在大量重复试验中, 随机事件A发生的频率,总是在某个确定值p附近徘徊,
而且试验次数越多,事件A的频率就越来越接近p,数p 称为频率的稳定中心,频率的稳

定性揭示了随机现象 的客观规律性,它是事件A在一次随机试验时发生可

能性大小的度量。

频率稳定性的实例 蒲丰( Buffon )投币 投一枚硬币观察正面向上的次数 n = 4040, nH =2048, 皮尔森( Pearson ) 投币 n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016 f n( H ) = 0.5069

n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005

如: Dewey G. 统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同: A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202 B: 0.0156 C: 0.0268 F: 0.0256 G: 0.0187 J: 0.0010 K: 0.0060 N: 0.0706 O: 0.0776 R: 0.0594 S: 0.0634 V: 0.0102 W: 0.0214 Z: 0.0006 D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016

概率的 统计定义: 在相同条件下重复进行的 n 次
试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一 常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越 小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A). 对本定义的评价 优点:直观 易懂 缺点:粗糙 不便 模糊 使用

1.2.2 组合记数 加法原理:完成一件事情有n 类方法,第 i 类 方法中有 mi 种具体的方法,则完成这件事情 n 共有 m

?
i ?1

i

种不同的方法. 乘法原理:完成一件事情有n 个步骤,第 i 个 步骤中有 mi 种具体的方法,则完成这件事情 n 共有 m

?
i ?1

i

种不同的方法.

排列: 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地)按一定的次序排成一排不同的 排法共有
m Pn ? n( n ? 1)( n ? 2)?( n ? m ? 1) n Pn ? n!

全排列:

可重复排列 : 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排, 不同的排法有

种.

nm

组合: 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地)组成一组, 不同的分法共有
m Cn

?n? n! ?? ?? ? m ? m!( n ? m )!

?

? n? 0! ? 1和? ?0? ? ?1 ? ?

重复组合: 从 n 个不同元素中每次取出一个, 放回后再取下一个,如此连续取r次所得的组合 n ? r ? 1? 称为重复组合,此种重复组合数共有 ? ? ?
?r ? ? ?

例如:
两批产品各50件,其中次品各5件,从这两批产品中各 抽取1件,

(1)两件都不是次品的选法有多少种?
(2)只有一件次品的选法有多少种? 解 (1) 用乘法原理,结果为

C .C ? 45
1 45 1 45

2

(2)结合加法原理和乘法原理得选法为:
1 1 1 1 C5 .C45 ? C45 .C5 ? 2 ? 5 ? 45 ? 450

1.2.3

古典概率

(1)古典概型 设Ω为试验E的样本空间,若 ①(有限性)Ω只含有限个样本点; ②(等概性)每个基本事件出现的可能性相等; 则称E为古典概型。 (2)古典概型概率的定义 设E为古典概型,Ω为E的样本空间,A为任意一个 事件,定义事件A的概率为:

事件A中包含的样本点数 k P(A) ? ? 样本空间?中样本点总数 n

注意:
(1) 古典概型的判断方法(有限性 、等概性);

(2) 古典概率

的计算步骤:
①弄清试验与样本点; ②数清样本空间与随机事件中的样本点数;

③列出比式进行计算。

概率的性质:
? 0 ? P??? ? 1 ? ?

非负性 规范性

P?? ? ? 1

P(?) ? 0

例1.2.1 将一颗骰子接连掷两次,试求下列事件的概率: (1)两次掷得的点数之和为8;(2)第二次掷得3点. 解:设 A 表示“点数之和为8”事件, B 表示“第二次掷得3点”事件. 则
? ? {(1,1), (1,2),?, (1,6), ( 2,1),?, ( 2,6),?, (6,1),?(6,6)} A ? {(2,6), ( 3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} B ? {(1,3), ( 2,3), ( 3,3), (4,3), (5,3), (6,3)}

所以
5 P ( A) ? 36 6 1 P( B) ? ? 36 6

例1.2.2 箱中有6个灯泡,其中2个次品4个正品,有放回 地从中任取两次,每次取一个,试求下列事件的概率: (1)取到的两个都是次品;(2)取到的两个中正、次 品各一个,(3)取到的两个中至少有一个正品. 解: 设A ={取到的两个都是次品},B={取到的两个中 正、次品各一个}, C={取到的两个中至少有一个正品}. (1)样本点总数为62,事件A包含的样本点数为22, 所以 P(A)=4/36=1/9 (2)事件B包含的样本点数为4×2+2×4=16, 所以P(B)=16/36=4/9 (3)事件C包好的样本点数为62-2×2=32, 思考:①若改为无放回地抽取两次呢 ? 所以P(C )=32/36=8/9 ②若改为一次抽取两个呢?

?
?

1.2.4 几何概型(等可能概型的推广)
(1)几何概型 设Ω为试验E的样本空间,若 ①试验Ω的样本空间是直线上某个区间,或者面、 空间上的某个区域,从而含有无限多个样本点 ; ②每个样本点发生具有等可能性 ; 则称E为几何概型。 (2)几何概型概率的定义 设试验的每个样本点是等可能落入区域Ω上的随 机点M,且D含在Ω内,则M点落入子域D(事件A)上 的概率为: m( D) P(A) ? m(? )

注:m?? ?及 m?D?在 ?是区间时,表示相应的长度;在

? 是平面或空间区域时,表示相应的面积或体积.
例1.2.3 某人的表停了,他打开收音机听电台报时, 已知电台是整点报时的,问他等待报时的时间短于 十分钟的概率.
10分钟

9点

10点

10 1 P( A) ? ? 60 6

几何概率的性质: ? ? ?

0 ? P??? ? 1 P?? ? ? 1
P (?) ? 0

非负性

规范性

? 可列可加性: 设 两两互不相容.

A1 , A2 ,? An

?

?? ? ? P? ? ? Ai ? ? ? ? P( Ai ) ? i ?1 ? i ?1

例1.2.4 两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头 的时间各不相干,而且到达码头的时间在一昼夜内 是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时 间分别是1 小时与2 小时,试求在一昼夜内,任一船 到达时,需要等待空出码头的概率. 解: 设船1 到达码头的瞬时为 x ,0 ? x < 24 船2 到达码头的瞬时为 y ,0 ? y < 24 设事件 A 表示任一船到

达码头时需要等待 空出码头.

? ? {( x, y ) 0 ? x ? 24 , 0 ? y ? 24 }
A ? {( x , y ) ( x , y ) ? ? , 0 ? y ? x ? 1, 0 ? x ? y ? 2} y=x

y 24

S? ? 24

2

1 2 S A ? 23 ? 222 2 SA P ( A) ? 1 ? ? 0.1207 S?

?

?

24

x

注:用几何概型可以回答例1.2.4中提出的“概率为1 的事件为什么不一定发生?”这一问题.

Y
1

如图,设试验E 为“ 随机地向边 长为1 的正方形内黄、蓝两个三 角形投点” 事件A 为“点投在黄、 蓝两个三角形内” , 求P ( A)

0 x

P( A) ?

S黄三角形 ? S蓝三角形 S正方形

1

1 1? 1 ? 1 ? 2 2 ? ?1 1? 1

由于点可能投在正方形的对角线上, 所以

事件A未必一定发生.

1.2.5 主观概率
概率的相对频率的解释是一种很有用的解释,但 有时它难以应用于必须估计其概率的特定的实际问题 . 可能没有合理的自然的“试验”能重复很多次,致使 我们可以计算某种结果出现的相对次数. 例如,有什么试验能让你来估计下一个十年中唐山 可能发生灾难性地震的概率呢?这里,不确定性在我 们的头脑里,并非在现实之中. 统计界的贝叶斯学派认为:一个事件的概率是人 们根据经验对该事件发生的可能性所给出的.这样给出 的概率称为主观概率.

1.3
1.3.1 1.3.2

概率的定义与性质
概率的公理化定义 概率的基本性质

1.3.1 概率的公理化定义
前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几 何概率的定义,它们在解决各自相适应的实际问题 中,都起着很重要的作用,但它们各自都有一定局 限性.

为了克服这些局限性,1933年,前苏联数学家 柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上,抓住概率 共有特性,提出了概率的公理化定义,为现代概率 论的发展奠定了理论基础.

概率的公理化的定义: 设 ? 是给定的实验E的样本空间,对其中的任意一

事件A,规定一个实数P(A),若P(A)满足: (1)非负性 0 ? P ?? ?
(2)规范性 P ?? ? ? 1 (3)可列可加性: 设 则
?? ? ? P ? ? Ai ? ? ? P ( Ai ) ? i ?1 ? i ?1

A1 , A2 ,? An ? 两两互不相容.

则称P(A)为事件A的概率.

1.3.2 概率的公理化定义
(1)P(φ)=0,P(Ω)=1,逆不一定成立. (2)若AB=φ,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广 到有限个互斥 事件的情形.即:若A1,A2,…,An两两互斥,则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) (3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(Ω-A)=1-P(A). 若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A);P(A)≤P(B); (4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 可推广到有限个事件的情形. 证明 A=(A-B)+AB,A-B 和AB为互斥事件 ,所以由(2)得 证明(3) :(4) P(A+B)=P[A+(B-AB)] =P(A)+P(B-AB) P(A)=P(A-B)+P(AB),即 P(A-B)=P(A)-P(AB). =P(A)+P(B)-P(AB) 类似可证其他.

例1.3.1 AB=φ,P(A)=0.6,P(A+B)=0.8, 求 B的

逆事件的概率。
解: 由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B) 得:P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2, 所以,P( B )=1-0.2=0.8

思考:

在以上条件下,P(A-B)=?

例1.3.2 设事件A发生的概率是0.6,A与B都发生的 概率是0.1,A与B都不发生的概率为0.15 ,求:A发生 B不发生的概率;B发生A不发生的概率及P(A+B). 解: 由已知得 ,P(A)=0.6,P(AB)=0.1, A B _ _ A B )=0.15, P( 则 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5 P(B-A)=P(B)-P(AB) P(A+B)=1-P(
A?B
______

)=1-P ( A B )

_ _

=1-0.15=0.85 又因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以, P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35 从而,P(B-A)=0.35-0.1=0.25

课堂练习 1. 2. P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A+B)=0.6,求P(A-B). P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(Ω-AB)

解答:(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1, 所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3 (2)P(Ω-AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)] =1-0.7+0.3=0.6

3. A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等, P(A)=p,求P(B).

解答

P ( BA )B ?CP ( AB ) ? P ( A B ) ? P( A B ) ? P( A B) ? P ( A ) ? 1 ? P ( A)

所以,P(B)=1-P(A)=1-p

4.某系一年级有l00名学生,统计他们考试的成绩: 政治、数学、物理、英语四门课程得优等成绩的人数 分别依次为85,75 70,80.证明:这四门课程全优的 学生至少有10人. 证明:见书12页例1.3.2.(略)

1.4

条件概率

1.4.1 引例 1.4.2 条件概率的定义 1.4.3 条件概率的性质 1.4.4 乘法公式 1.4.5 全概率公式

1.4.6 贝叶斯 Bayes公式

在实际问题中,往往会遇到求: 在事件B已经出现的条件下,事件A 发生的概率,记作P(A|B). 由于附加了条件,P(A)与 P(A|B) 意义不同,一般

P(A|B) ≠ P(A)
先看一个例子

1.4.1 引例:掷一颗均匀骰子

A={掷出2点}, B={掷出偶数点}, P(A|B)=? 解:掷一颗均匀骰子可能的结果有6种,且 它们的出现是等可能的。 掷骰子 P(A)=1/6 由于已知事件B已经发生,所 以此时试验所有可能结果只有3 种,而事件A包含的基本事件只 占其中一种,故有 P(A|B)= 1/3

上例中

P(A|B) ≠ P(A)

它们不相等的原因在于“事件B已发 生”这个新条件改变了样本空间.

其中封闭曲线 围成的一切点 的集合表示事件

设边长为1个单位 的正方形的面积 表示样本空间S

A



S

把图形的 面积理解 为相应事 件的概率

则 P(A)= A的面积/S的面积 =A的面积

当已知B发生的情况下,由原来的S 缩减为了B
如果B发生,那么使 得A发生当且仅当样 本点属于AB,因此 P(A|B)应为P(AB)在 P(B)中的“比重”

B

AB A

S

P(A|B)=AB的面积/B的面积 这就好象给了我们一个“情报”,使我 们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.

1.4.2

条件概率的定义

设 A , B 为两个事件, P ( B) ? 0 , 则称

P ( AB) / P ( B )为在事件 B 发生的条件下
事件A发生的 条件概率.

记作

P ( AB ) P( A B) ? P( B)

例1.4.1


白球 红球 小计 4 2 6 木球 3 1 4 塑球 7 3 10 小计 现从袋中任意取一球,问 ( 1 )它是木球的概率是多少? (2 )若已知取到的球是白球,问它是 木球的概率是多少?

古 典 概 型

解: 设 A 表示取得木球 B 表示取得白球 6 (1) P ( A) ? 10 ( 2) 所求概率称为

白 木 塑 小计 4 3 7

红 2 1 3

小计 6 4 10

在事件B发生的条件下事件 A发生的 条件概率 记作 P( A | B)
4 4 / 10 P ( AB ) ? P( A B) ? ? P( B) 7 7 / 10

例1.4.2 某人外出旅游两天, 需知道两天的天气情 况, 据预报, 第一天下雨的概率为 0.6,第二天下 雨的概率为0.3, 两天都下雨的概率为0.1. 求 第 一天下雨时, 第二天不下雨的概率. 解: 设A与B 分别表示第一天与第二天下雨

由题意 P ( A) ? 0.6 P ( B ) ? 0.3 P( AB) ? 0.1
P ( A B ) P ( A) ? P ( AB) ? 故 P ( B A) ? P ( A) P ( A)

0.6 ? 0.1 5 ? ? ? P ( B ) ? 0.7 0.6 6

一般地
上例中

条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系

P ( AB) 0.1 1 P ( B A) ? ? ? ? P( B) P ( A) 0.6 6

若B? A
P ( AB) P ( B ) P ?B A? ? ? ? P( B) P ( A) P ( A)

例1.4.2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽 出 2张 , 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞 , 求2 张都是假钞的概率. 解: 令 A 表示抽到2 张都是假钞 B表示2 张中至少有1张假钞 则所求概率是
2 P ( AB) ? P ( A) ? C 2 5 / C 20
1 1 2 P ( B) ? (C 2 ? C C ) / C 5 5 15 20

A? B

P ( A B ) ( 而不是 P( A) )

所以

P ( A B ) ? P ( AB) / P ( B )

? C /(C ? C C ) ? 10 / 85 ? 0.118
2 5 2 20 1 5 1 15

1.4.3 条件概率的性质
? 非负性
P( A B) ? 0
P (? B ) ? 1

? 规范性
? 可列可加性

?? ? ? ? ? ? P ? Ai B ? P? A B ? i ? ? ? i ?1 ? i ?1

其中A1,A2, ?两两互斥

? P ( A B) ? 1 ? P ( A B)

? P (( A1 ? A2 ) B ) ? P ( A1 B ) ? P ( A1 A2 B )
? 设 A 1 , A 2互不相容, 则

P (( A1 ? A2 ) B ) ? P ( A1 B ) ? P ( A2 B )
? 对任意事件 A 1 , A 2

P (( A1 ? A2 ) B) ? P ( A1 B) ? P ( A2 B) ? P ( A1 A2 B)

1.4.4 乘法公式

对任意事件 A , B
P ( AB ) ? P ( A ) P ( B A) ( P ( A) ? 0)

P ( AB ) ? P ( B ) P ( A B)
推广:

( P ( B ) ? 0)

P ( ABC ) ? P ( A) P ( B A) P ( C AB) ( P ( AB) ? 0)

P ( A1 A2 ? An ) ? P ( A1 ) P ( A2 A1 )? P ( An A1 A2 ? An?1 ) ( P ( A1 A2 ? An?1 ) ? 0)

例1.4.3 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两种 报警设备 , 已知设备 A 单独使用时有效的概率为 0.92, 设备 B 单独使用时有效的概率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有效的概率为 0.85, 求发生 意外时至少有一个报警设备有效的概率. 解: 设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效 已知 P ( A) ? 0.92 求

P ( B ) ? 0.93 P ?B A ? ? 0.85

P ? A ? B?

方法一

P ( B ) ? P ( AB ) 即 ? ? 1 ? P ( A) 0.93 ? P (

AB) P ( AB) ? 0.862 0.85 ? 0.08
由 P B A ?

故 方法二

P ( A ? B) ? P ( A) ? P ( B ) ? P ( AB)
? 0.92 ? 0.93 ? 0.862 ? 0.988

P( A ? B) ? P( A B ) ? P ( A ) ? P ( B A )

? P ( A ) ? [1 ? P ( B A )]
? 0.08 ? ?1 ? 0.85? ? 0.012

故 P( A ? B) ? 0.988

1.4.5 全概率公式
人们在计算某一较复杂的事件的概率时,有时根据 事件在不同情况或不同原因或不同途径下发生而将 它分解成两个或若干互不相容的部分的并,分别计 算概率,然后求和 .全概率公式是概率论中的一个基 本公式,它使一个复杂事件的概率计算问题化繁就 简,得以解决.

B1 AB1 B2

Bn

?B
i ?1

n

i

??

A
AB2
n

ABn

Bi B j ? ?

?

A ? ? ABi
i ?1

n

P ( A) ? ? P ( ABi )
i ?1 n
i ?1

( ABi )( AB j ) ? ?

全概率公式 ? ? P ( Bi ) ? P ( A Bi )

例1.4.4:设有分别来自三个地区的10名、15 名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为 3份、7份和5份. 随机地取一个地区的报名表, 求抽出一份是女生表的概率.

解:设 Ai = {报名表是第i区} i=1, 2, 3

B= {抽到的报名表是女生表}

第一地区

第二地区

第三地区

10

3 15

7 25

5

由全概率公式
在第一地区的表格 中抽得女生表格的 概率 在第二地区的表格 中抽得女生表格的 概率 在第三地区的表格 中抽得女生表格的 概率

P(B)=

P(B|A1)=3/10

P(B|A2)=7/15

P(B|A3)=5/25

P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)

29 = 90

从三个地区中随机抽得一个的概率 P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3

思考题 人们为了了解一支股票未来一定时期内价 格的变化,往往会去分析影响股票的基本因素,比 如利率的变化.现在假设人们经分析估计利率下调的 概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,人们 估计,在利率下调的情况下该支股票价格上涨的概率 为80%,而在利率不变的情况下,其价格上涨的概率 为40%,求该支股票将上涨的概率. 解: 设 A 表示利率下调, 则 A 表示利率不变 设 B 表示股票价格上涨, 由题设

P ( A) ? 0.6
P ( B A) ? 0.8

P ( A ) ? 0.4

P ( B A ) ? 0 .4

解: 设 A 表示利率下调, 则 A 表示利率不变 设 B 表示股票价格上涨, 由题设

P ( A) ? 0.6
P ( B A) ? 0.8

P ( A ) ? 0.4
P ( B A ) ? 0 .4

于是 P ( B) ? P ( AB) ? P ( A B)
? P ( A) P ( B A) ? P ( A ) P ( B A )

? 0.6 ? 0.8 ? 0.4 ? 0.4
? 0.64

例1.4.5 某厂由甲,乙,丙三个车间生产同一种 产品,

每个车间的产量分别占 全厂的25% , 35% , 40% , 各车间产品的次品率分 别为5% , 4% , 2% ,求 全厂产品的次品率 解: 设 A1 , A2 , A3 分别表示产品来自甲,乙,丙车间
B 表示取到次品
P ( B ) ? ? P ( Ai ) ? P ( B Ai )
i ?1 3

? 0.25 ? 0.05 ? 0.35 ? 0.04 ? 0.4 ? 0.02

例1.4.6 设1000件产品中有200件次品,依



不放回地取 2件, 求第二次取到次品的概 率
解: 设 A, B 分别表示第一次 , 第二次取到次品

P ( B ) ? P ( A) ? P ( B A) ? P ( A) P ( B A)
200 199 800 200 1 ? ? ? ? ? 1000 999 1000 999 5

说明了抽签的公平性

思考题:袋中有一个白球及一个红球,一次 次地从袋中取球,如果取出白球,则除把白 球放回再加进一个白球,直至取出红球为止. 求取了n次都没有取到红球的概率.
解:记 A i ={第i次取得白球}, i=1, 2, …, n A={取了n次都没有取到红球} 则

A = A1 A2 ? An

第一次取得白球的条件下, 第二次取得白球的概率
第 1次

第一次取得白球 1 P(A1 ) = 2

2 P(A 2 | A1 ) = 3

第 2次

P(A1 A 2 ? An ) = P(A1 ) P(A 2 | A1 ) ?

P(An-1 | A1A2 ? An-2 ) P(An | A1 A 2 ? An?1 )
n-1个


第n-1次

前n-2次取得白球的条件 下,第n-1次取得白球

前n-1次取得白球的条件下, 第n次取得白球

P(An-1 | A1A2 ? An-2 ) =

n -1 n

P(An | A1A2 ? An-1 ) =

n n +1


第n次

n个

1 2 n -1 n 1 = ? ??? ? = 2 3 n n +1 n +1

1.4.6 Bayes公式
P ( AB ) i P ( Bi A) ? ? P ( A)
n

Bayes公式
P ( Bi ) P ( A Bi )

? P(B )P( A B )
j ?1 j j

称 P( Bi ) 为先验概率,它是由以往的经验得到的, 它是事件 A 的原因. 称 P( Bi A) 为后验概率,它是得到了信息 — A
发生, 再对导致 A 发生的原因发生的可能性大小 重新加以修正. 全概率----由因求果贝叶斯----执果求因

例1.4.7 数字通讯过程中,信源发射0、1两种状态信号,其 中发0的概率为0.55,发1的概率为0.45。由于信道中存在干 扰,在发0的时候,接收端分别以概率 0.9、0.05和 0.05接收 为 0 、 1 和“不清”。在发 1 的时候,接收端分别以概率 0.85 、 0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1” 的信号。问发端发的是0的概率是多少? 解:设A---发射端发射0, B--- 接收端接收到一个“1”的信号.
0.05 ? 0.55 P( B A ) P ( A ) P(A B ) = = = 0.067 0 . 05 ? 0 . 55 ? 0 . 85 ? 0 . 45 P ( B A ) P( A ) ? P ( B A ) P ( A )
0 (0.55) (0.9) 1 (0.45) (0.85)

0

清 1

(0.05)

1

清 0

(0.05)

不 (0.05)

不 (0.1)

条件概率 小
条件概率 缩减样本空间 乘法公式



定义式

全概率公式

贝叶斯公式

课堂练习

练习1

某厂由甲,乙,丙三个 车间生产同一种产品, 每个车间的产量分别占 全厂的25% , 35% , 40%, 各车间产品的次品率分 别为5% , 4% , 2%,求 (1) 全厂产品的次品率 ( 2) 从中任取一件恰好是次 品,它是乙车间生产 的概率

练习2

发报台分别以 0.6 和 0.4 发出信号“*”和“?”, 由于通信受到干扰 , 当发出信号“*”时 , 收报 台分别以概率 0.8 和 0.2 收到信号“*”和“?”, 又若发出信号为“? ”时 , 收报台分别以概率 0.9 和 0.1 收到信号“

?”和“*”,求当收报台 收到信号“*”时,发报台确实发出 信号“*” 的概率

练习3 袋中有十只球,其中九白一红,十人 依次从袋中各取一球(不放回),问第一个人

取得红球的概率是多少?第二、第三、…、
最后一个人取得红球的概率各是多少?

思考题 盒中装有5个产品,其中3个一等品,2个二等品,从 中不放回地取产品,每次1个,求: (1)取两次,两次都取得一等品的概率 (2)取两次,第二次取得一等品的概率 (3)取三次,第三次才取得一等品的概率 (4)取两次,已知第二次取得一等品,求: 第一次取得的是二等品的概率
解答:

设 Ai 表示第 i 次取到一等品

3 3 2 (1) P( A1 A2 ) ? P ( A1 ) P ( A2 A1 ) ? ? ? 5 4 10

(2) P( A2 ) ? P ( A1 A2 ? A1 A2 ) ? P ( A1 A2 ) ? P ( A1 A2 )
? P ( A1 ) P ( A2 A1 ) ? P ( A1 ) P ( A2 A1 )
2 3 3 2 3 ? ? ? ? ? 5 4 5 4 5

(2)直接解更简单

P( A2 ) ? 3 / 5

提问:第三次才取得一等品的概率, 是

P ( A3 A1 A2 ) 还是 P ( A1 A2 A3 ) ?
(3) P ( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
2 1 3 1 ? ? ? ? 5 4 3 10

(4)

P ( A2 ) ? P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 ) ? ? P ( A2 ) P ( A2 )

? 1?

3

10 5

3

? 0.5

1.5
1.5.1

事件的独立性与相关性
两个事件的独立性与相关性

1.5.2
1.5.3

有限个事件的独立性
相互独立事件的性质

1.5.4 Bernoulli概型

1.5.1

两个事件的独立性与相关性

例如 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件 正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品. 记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则 7 P( B | A) ? P( B) ? 10 由乘法公式即得 P(AB)=P(A)P(B) 从问题的实际意义理解,就是说事件A和事件B出现的 概率彼此不受影响.

定义:

若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立,简称A与B独立。

注意:从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出 现的概率不受另一个事件出现与否的影响.
推论1: A.B为两个事件,若P(A)>0, 则A与B独立等价于P(B|A)=P(B). 若P(B)>0, 则A与B独立等价于P(A|B)=P(A). 证明:A.B独立<=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) <=>P(B|A)=P(B)

推论2:在 A与 B, A 与 B,A与 B ,与 A B 这四对事件中, 若有一对独立,则另外三对也相互独立。

证明

不妨设A.B独立,则
? P( A )( 1 ? P( B )) ? P( A )P( B )

P( AB ) ? P( A ? B ) ? P( A ) ? P( AB ) ? P( A ) ? P( A )P( B )

其他类似可证. 注意: 判断事件的独立性一般有两种方法: ① 由定义判断,是否满足公式;



由问题的性质从直观上去判断.

例1.5.1 某高校的一项调查表明:该校有30%的学生 视力有缺陷. 7%的学生听力有缺陷,3%的学生视力与 听力都有缺陷,记 P ( A) ? 0.30 A =“学生视力有缺陷”, P ( B ) ? 0.07 B =“学生听力有缺陷”, P ( AB )

? 0.03 AB =“学生听力与视力都有缺陷”, 现在来研究下面三个问题: (1)事件 A 与 B 是否独立? 由于 P ( A) P ( B ) ? 0.03 ? 0.07 ? 0.021 ? P ( AB )

所以事件 A 与 B 不独立,即该校学生视力与听力
缺陷有关联.

(2)如果已知一学生视力有缺陷,那么他听力也有缺 陷的概率是多少? 这要求计算条件概率 P ( B A) ,由定义知
P ( AB ) 0.03 1 P ( B A) ? ? ? P ( A) 0.30 10

(3)如果已知一学生听力有缺陷,那么他视力也有缺 陷的概率是多少? 类似地可算条件概率
P ( AB ) 0.03 3 P( A B) ? ? ? P ( B ) 0.07 7

设 0 ? P ( A) ? 1,0 ? P ( B ) ? 1, 称 P ( AB ) ? P ( A) P ( B ) ?( A, B ) ? P ( A)(1 ? P ( A)) P ( B )(1 ? P ( B )) 为事件 A 与 B 的相关系数 定义 定理1.5.1 (1)?( A, B ) ? 0 当且仅当 A 与 B 相互独立; (2) ?( A, B ) ? 1 ; (3) ?( A, B ) ? 0 ? P ( A B ) ? P ( A) ? P ( B A) ? P ( B ).

?( A, B ) ? 0 ? P ( A B ) ? P ( A) ? P ( B A) ? P ( B ).

1.5.2

有限个事件的独立性

定义 (n个事件的相互独立性) 设有n个事A1,A2,…,An, 若对任何正整数m(2≤m≤n)以及 1 ? i1 ? i2 ? ? ? im ? n, 都有 P(Ai1 Ai2 ? Aim ) ? P(Ai1 ) P( Ai2 ) ? P( Aim ) 则称这n个事件相互独立. 若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立. 注意: 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一 个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否 的影响.

例1.5.2 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数,B 表示2号骰子向 上一面出现奇数,C 表示两骰子出现的点数之和为奇 数. 则

P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 1 / 2



P( AB) ? P( BC ) ? P(CA) ? 1 / 4 ? P( A) P( B) ? P( B) P(C ) ? P(C ) P( A) P( ABC ) ? 0 ? 1 / 8 ? P( A) P( B) P(C )
A, B, C 两两独立 A, B, C 相互独立

本例说明: 不能由

1.5.3

相互独立事件的性质
m(1 ? m ? n个事件改为相应的对立事 )

性质1: 如果n个事件 A1 , A2 ,?, An 相互独立,则 将其中任何
n 件,形成新的 个事件仍然相互独立 .

性质2: 如果 n 个事件 A1 , A2 ,?, An 相互独立,则有
P ( ? Ai ) ? 1 ? ? P ( Ai ) ? 1 ? ? (1 ? P ( Ai ))
i ?1 i ?1 i ?1 n n n

例1.5.3 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电 的概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独 立,求电路断电的概率是多少? 解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 , A表示电路断电, 则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3, P(A)=P(A1+A2+A3)= 1 ? P( A1 ? A2 ? A3 )

? 1 ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )
=1-0.168=0.832

例1.5.4 证:

已知事件 A, B, C 相互独立,证明:事件
事件

P?A ( B ? C )? ? P( B ? C ) ? P? A( B ? C )?
? ?P( B) ? P(C ) ? P( BC )? ? ?P( AB) ? P( AC ) ? P( ABC )?

A



B ? C 也相

互独立.

? P( A )?P( B) ? P(C ) ? P( BC )?
? P( A ) P( B ? C )

例1.5.5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为 0.4%, 求来自不同地区的100个人的血清混合液中 含有肝炎病毒的概率. 解:设这100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为 事件 A, 第 i 个人的血清中含有肝炎病毒为事 件 Ai (i =1,2,…,100 ). 则

A ? ? Ai
i ?1

100

P( A) ? 1 ? ? ?1 ? P( Ai )?
i ?1

100

? 1 ? (1 ? 0.004)

100

? 0.33

若Bn表示 n 个人的血清混合液中含有肝炎病毒,则

P ( Bn ) ? 1 ? (1 ? ? ) , n ? 1,2,?
n? ?

n

0???1

lim P ( Bn ) ? 1

注意:不能忽视小概率事件,小概率事件迟早要 发生.

例1.5.5

系统的可靠性问题

一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件 (或系统)的可靠性. 系统由元件组成,常见的元件连接方式: 串联 并联

1
1

2

2

设两系统都是由 4 个元件组成,每个元件正常工作 的概率为 p , 每个元件是否正常工作相互独立.两 系统的连接方式如下图所示,比较两系统的可靠性.

A1
S 1: B1

A2
B2

P(S1 ) ? P( A1 A2 ) ? P( B1B2 ) ? P( A1 A2 B1B2 )

? 2 p ? p ? p (2 ? p )
2 4 2 2

S2:

A1 B1
2

A2 B2

P( S 2 ) ? ? P( Ai ? Bi ) ? 2 p ? p
i ?1

?
2

2 2

?

? p (2 ? p) ? p (2 ? p )
2 2

2

P( S 2 ) ? P( S1 )

例1.5.6 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次 击中目标的概率是0.6,求:概率最大的击中目标次数. 解:击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,设 Bi(i=0,1,…,5)表示击中目标i次,事件Ai表示第i次射 中,(i=1,2,...,5), 则Ai (i=1,2,...,5)相互独立, P(B0) P( A1 A2 A3 A4 A5 ) = 0 0 5 5 5 ? C ? 0 . 6 ? ( 1 ? 0 . 6 ) =(1-0.6) =0.4 5 P(B1)= P( A1 A2 A3 A4 A5 ? A1 A2 A3 A4 A5 ? A1 A2 A3 A4 A5
? A1 A2 A3 A4 A5 ? A1 A2 A3 A4 A5 )

=5×0.6×(1-0.6)4 ? C51 ? 0.6 1 ? ( 1 ? 0.6 )4

例1.5.6 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次 击中目标的概率是0.6,求:概率最大的击中目标次数. 解: 击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,设 Bi(i=0,1,…,5)表示击中目标i次,事件Ai表示第i次射 中,(i=1,2,...,5), 则Ai (i=1,2,...,5)相互独立, P(B2) ? C52 ? 0.6 2 ? ( 1 ? 0.6 )3 类推得 P(B3) ? C53 ? 0.6 3 ? ( 1 ? 0.6 )2 P(B4) ? C54 ? 0.6 4 ? ( 1 ? 0.6 )1 P(B5) ? C55 ? 0.6 5 ? ( 1 ? 0.6 )0 即
i P(Bi ) ? C 5 ? 0.6 i? (1 ? 0.6) 5?i

(i=0,1,2,3,4,5)

易计算:概率最大的击中目标次数为3.

一般地:设射击次数为n,每次射击击中目标 的概率为p,则: 当(n+1)p为整数时,概率 最大的击中目标次数为(n+1)p和(n+1)p-1; 当(n+1)p不为整数时,概率最大的击中目标 次数为(n+1)p的整数部分.

1.5.4 Bernoulli概型
若某个试验由n次基本试验构成,且具有以下特点:
(1) 每次基本试验有且只有两个可能结果:成功、失败;

(2) 每次基本试验中每个结果出现的概率不变; (3) 基本试验之间相互独立; (4) 在相同条件下,试验可以重复进行. 则称此试验为独立重复试验或贝努里(Bernoulli)试验;由 于该试验由n次基本试验构成,故亦称之为n重贝努里试验.

贝努里公式: 在n重贝努里试验中,如果“成功”在 每次试验中出现的概率为p,令Bk=“在n 次试验中“成 k k n?k 功”出现k 次” ,B 则 P( ) ? C p ( 1 ? p ) (k ? 0,1,2,?, n) k n

例1.5.7

同时掷四颗均匀的骰子,试计算:

(1) 恰有一颗是6点的概率;
(2) 解: 至少有一颗是6点的概率. 这是一个4重贝努里试验,

掷每一颗骰子就是一个基本试验.
每次基本试验中6点出现的概率是1/6,所以 (1) 恰有一颗是6点的概率为 1 4?1 1 1 1 1 1 1 5 3 C4 ( ) (1 ? ) ? C4 ( ) ( ) 6 6 6 6 (2) 至少有一颗是6点的概率为
1 0 1 4?0 5 4 0 1 0 5 4 1 ? C ( ) (1 ? ) ? 1 ? C4 ( ) ( ) ? 1 ? ( ) 6 6 6 6 6
0 4

例1.5.8 八门炮同时独立地向一目标各射击一发 炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就被击 毁.如果每门炮命中目标的概率为0.6, 求目标被 击毁的概率. 解:设一门炮击中目标为事件A, P(A)=0.6 设目标被击毁为事件B, 则

P( B) ?

1 k k 8? k k k 8? k ? C8 0.6 0.4 ? 1 ? ? C8 0.6 0.4 k ?2 k ?0

8

? 0.9914

例1.5.9 从1,2, ?,10十个数字中有放回地任取5个 数字, 求取出的5个数字中按由小 到大排列, 中间 的那个数等于 4 的概率. 解: 设取出的5个数按由小到大排列为

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5
令 ( x3 ? 4) 表示所求的事件

( x3 ? 4) ? ( x3 ? 4) ? ( x3 ? 3)

( x3 ? 4) :

1,1,2,3,3; 1,1,2,3,4; 1,1,4,4,5; 1,1,4,5,8; ? ?

所取的5个数字中至少有3个数字不大于4

令 Ak 表示所取的5个数字中恰有k 个不大于4 则

P ( Ak ) ?

k? C5 ?

4? ? 6? ? ? ? ? 10 ? ? 10 ?

k

5? k

( x3 ? 4) ? ? Ak
k ?3

5

Ak Am ? ?, k ? m

P ( x3 ? 4) ? ? P ( Ak )

5

? ?

k ?3 5

k ?3

k? C5 ?

4? ?6? ? ? ? ? 10 ? ? 10 ?

k

5? k

由于

( x3 ? 3) ? ( x3 ? 4)

P ( x3 ? 4) ? P ( x3 ? 4) ? P ( x3 ? 3)
? ?
5 k ?3 k? C5 ?

4? ? ? 10 ?

k

?6? ? ? ? 10 ?

5? k

??

5

k ?3

k? C5 ?

3? ? ? 10 ?

k

?7? ? ? ? 10 ?

5? k

? 0.1544

?、事件独立性的应用
1、加法公式的简化:若事件A1,A2,…,An相互 独立, 则
P{ A1 ? A2 ? ... ? An ) ? 1 ? P( A1 ).... P( An )
2、在可靠性理论上的应用 如图,1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的 概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立,求L至R是通 路的概率。

设A---L至R为通路,Ai---第i个继电器通,i=1,2,…5
P( A | A3 ) ? P( A1 A4 ? A2 A5 )

? 2p ? p
2

4

P( A | A3 ) ? P{( A1 ? A2 )( A4 ? A

5 )} P( A | A3 ) ? P( A1 ? A2 ) P( A4 ? A5 )
? (2 p ? p 2 ) 2

由全概率公式
P( A) ? P( A | A3 ) P( A3 ) ? P( A | A3 ) P( A3 ) ? 2 p 2 ? 2 p 3 ? 5 p 4 ? 2 p 5

课堂练习 1.某型号火炮的命中率为0.8,现有一架敌机 即将入侵,如果欲以 99.9 % 的概率击中它,则 需配备此型号火炮多少门? 解答: 设需配备 n 门此型号火炮 设事件 A 表示第 i 门火炮击中敌机

P(? Ai ) ? 1 ? ?1 ? P( Ai )? ? 1 ? 0.2n ? 0.999
n i ?1

n

i

ln 0.001 n? ? 4.29 ln 0.2
故需配备 5 门此型号火炮.

EX2:一个学生欲到三家图书馆借一本参考书.每 家图书馆购进这种书的概率是1/2,购进这种书 的图书馆中该书被借完了的概率也是1/2.各家 图书馆是否购进该书相互独立.问该学生能够借 到书的概率是多少?


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com