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江苏高考圆锥曲线专题

发布时间:2014-02-13 17:09:51  

第10讲 圆锥曲线

历年高考分析:

回顾2009~2013年的高考题,在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用,在解答题中2010、2011、2012年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题,难度较高.在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小,这与考试说明中A级要求相符合.

预测在2014年的高考题中:

(1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主,三种圆锥曲线都有可能涉及.

(2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题,难度较高,还有可能涉及简单的轨迹方程的求解.

题型分类:

(1)圆锥曲线的几何性质,如a,b,c,p的几何性质以及离心率的值或范围的求解;

(2)解答题中简单的直线与椭圆位置关系问题;

(3)以椭圆为背景考查直线方程、圆的方程以及直线和圆的几何特征的综合问题;

(4)综合出现多字母等式的化简,这类问题难度较高.

x2y210例1:若椭圆+=1的离心率e=,则m的值是________. 5m5

解析:当m>5时,

例2:若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为3,则M到该抛物线焦点的距离为________.

13解析:设M的坐标为(x,2x)(x>0),则x2+2x=3,解得x=1,所求距离为1+=. 22

例3:双曲线2x2-y2+6=0上一个点P到一个焦点的距离为4,则它到另一个焦点的距离为________.

y2x2

解析:双曲线方程化为-=1.设P到另一焦点的距离为d,则由|4-d|=26得d=4+26,或d=4-6(舍去). 63

x2y2

例4:(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为5,则m的值为________. mm+4

解析:由题意得m>0,∴am,b=m+4,

m2+m+4c∴cm+m+4,由e==5得=5,解得m=2. amm-55-m10251025,解得m;当m<5时,=,解得m=3. 答案:3或 5353m5

x2y2

例5:已知椭圆?2?2?1???a?

b?0?的离心率e?4,则椭圆ab

的方程为 .

例x2y26:在平面直角坐标系xOy中,椭圆C1:?2?2?1???a?b?0?的左、右焦点分别为F1、F2,其中F2也ab

1

是抛物线C2

例7:(2011·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A,B两点,左焦点在以AB为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为________.

:y2?4x的焦点,点M为C1和C2在第一象限的交点,且MF2?5,则C1的方程为. 3

x2y2

例8:(2013南京二模)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:??1.设过点M(0,1)的直线与双曲线C交43

?????????

于A、B两点,若AM?2MB,则直线的斜率为_____.

x2y26例9:已知椭圆G:=1(a>b>0)的离心率为2,0),斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点,ab3以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).

(1)求椭圆G的方程;

(2)求△PAB的面积.

c6解:(1) 由已知得c=22,=.解得a=23,又b2=a2-c2=4. a3

x2y2

所以椭圆G的方程为+1. 124

(2) 设直线l的方程为y=x+m.

?y=x+m,由?x2y2

?124=1, 得4x2+6mx+3m2-12=0.①

设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB中点为E(x0,y0),

x1+x23mm则x0==-y0=x0+m=;因为AB是等腰△PAB的底边, 244

m2-4所以PE⊥AB.所以PE的斜率k=1.解得m=2. 3m-3+4

此时方程①为4x2+12x=0.解得x1=-3,x2=0.所以y1=-1,y2=2.

所以|AB|=32.此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离

d=

例10:(2011南京一模)直角坐标系xOy中,中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C上的点(22,1)到两焦点的距离之和为3.

(1)求椭圆C的方程;

→→(2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点,其中点A在x轴下方,且AF=3FB.求过O、A、B三点的圆的方程.

x2y2

解:(1) 由题意,设椭圆C:+=1(a>b>0),则2a=43,a=23. ab

2 |-3-2+2|3219PAB的面积S=d=. 2222

x2y281x2y2因为点(22,1)在椭圆+=1上,所以+=1,解得b=3,故所求椭圆方程为+=1. ab12b123

(2) 如图设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1<0,y2>0).点F的坐标为F(3,0).

?3-x1=3?x2-3?,?x1=-3x2+12,→→由AF=3FB,得?即?①

?-y1=3y2,?y1=-3y2,

又A、B在椭圆C上,

?-3x+12??-3y??1,?123所以?2xy2??12+3=1,

所以B?22 ?x2=10,3?解得?2?y=.2?3 102,代入①得A点坐标为(2,-2). ?33→→因为OA·AB=0,所以OA⊥AB.

所以过O、A、B三点的圆就是以OB为直径的圆,

其方程为x2+y2-

102

-y=0. 33

典例1:

x2y2

(1)在平面直角坐标系xOy中,双曲线E:2?2?1(a?0,b?0)的左顶点为A,过双曲线E的右焦点F作与ab

实轴垂直的直线交双曲线E于B,C两点, 若?ABC为直角三角形,则双曲线E的离心率为 .

x2y2PF(2)已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e,若椭圆上存在点P,使得e,则该椭圆离abPF2

心率e的取值范围是________.

解析:(1)2 (2)PF2ae=e,∴PF1=ePF2=e(2a-PF1),PF1=PF21+e

2ae2ae2e又a-c≤PF1≤a+c,∴a-c≤a+c,a(1-e)≤≤a(1+e),1-e≤+e,解得e≥2-1. 1+e1+e1+e

又0<e<1,∴2-1≤e<1. 答案:[2-1,1)

x2y2

演练1:设F1?,?F2分别为椭圆C:?2?2?1???a?b?0?的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C 相交于A、Bab???????????

两点,直线l的倾斜角为60,F1到直线l的距离为如果AF2?2F2B,则椭圆C的方程为.

x2y2

典例2:(1)(2012·四川高考)椭圆+=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B.当△FAB的周长最大时,△FAB43

的面积是________.

(2)(2011·福建高考)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于________.

3

[解析] (1)法一:依题意得知,点F(-1,0),不妨设点A(2cos θ,3sin θ)(sin θ>0),

则有B(2cos θ3sin θ),|FA|=|FB|=2cos θ+1?+3sinθ=2+cos θ,|AB|=23sin θ,

π|FA|+|FB|+|AB|=4+2cos θ+23sin θ=4+4sinθ+6,

πππ3当θ+2kπ+,k∈Z,即θ=2kπ+k∈Z,2cos θ=1,3sin θ=△FAB的周长最大, 6232

1此时△FAB的面积等于×(1+1)×3=3. 2

法二:椭圆右焦点为F′(1,0).

由椭圆定义|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a.

则△FAB的周长l=|AF|+|BF|+|AB|=4a-(|F′A|+|F′B|)+|AB|=4a-||F′A|+|F′B|-|AB||≤4a.

1所以△FAB周长最大时,直线x=m经过F′(1,0),这时|AB|=3,此时S△FAB=×2×3=3. 2

(2)由题意可设:|PF1|=4m,|F1F2|=3m,|PF2|=2m,

c2c3m1当圆锥曲线是椭圆时,长轴长为2a=|PF1|+|PF2|=4m+2m=6m,焦距为2c=|F1F2|=3m,离心率e====; a2a6m2

c2c3m3当圆锥曲线是双曲线时,实轴长为2a=|PF1|-|PF2|=4m-2m=2m,焦距为2c=|F1F2|=3m,离心率e====a2a2m2

13[答案] (1)3 22

解决圆锥曲线上的点与焦点的距离问题,一般考虑用定义,在椭圆和双曲线的方程中要注意a,b,c之间关系的区别.

演练2:

x2y2(1)1的一个焦点坐标为(-3,0),则其渐近线方程为________; a2

(2)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.

解析:(1)由a+2=3,可得a=1,

y2y∴双曲线方程为x2=1,其渐近线方程为x=0,即y=2x. 22

(2)由y2=4x可知l2:x=-1是抛物线的准线,所以P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离.

动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为点F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离d答案:(1)y=2x (2)2

x2y22典例3:(2012·北京高考)已知椭圆C:=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为直线y=k(x-1)与椭圆C交ab2

于不同的两点M,N.

(1)求椭圆C的方程;

(2)当△AMN的面积为10时,求k的值. 3|4+6|2. 4+3( 4

?c2[解] (1)由题意得?=,a2?a=b+c,222a=2, 解得b=2,

x2y2

所以椭圆C的方程为+=1. 42

?y=kx-1?,(2)由?x2y2

4+2=1 得 (1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.

设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

2k2-44k2

则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=xx=, 1+2k121+2k所以MN= x2-x1+y2-y1= 1+k[x1+x2-4x1x2]=

|k|, 1+k2 1+k4+6k1+2k又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=

|k| 4+6k1所以△AMN的面积为S·d=. 21+2k由|k| 4+6k10=,化简得7k4-2k2-5=0,解得k=±1.

31+2k

本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系.解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题,一般是联立方程消元后转化为二次方程的问题.

演练3:已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且AB=9.求该抛物线的方程.

p5p解:直线AB的方程是y=2x-2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=4

由抛物线定义得AB=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x. (

x2y2

典例4:已知点P(4,4),圆C:(x-m)+y=5(m<3)与椭圆E:+=1(a>b>0)有一个公共点A(3,1),F1、F2分别是椭ab22

圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切.

(1) 求m的值与椭圆E的方程;

→→(2) 设Q为椭圆E上的一个动点,求AP·AQ的取值范围.

解:(1) 点A坐标代入圆C方程,得(3-m)2+1=5.∵ m<3,∴ m=1.

圆C:(x-1)2+y2=5.

设直线PF1的斜率为k,则PF1:y=k(x-4)+4,即kx-y-4k+4=0. ∵ 直线PF1与圆C相切,∴ |k-0-4k+4|1115.解得k=或k 22k+11136当k=时,直线PF1与x轴的交点横坐标为 211

1当kPF1与x轴的交点横坐标为-4, 2

5

∴ c=4,F1(-4,0),F2(4,0).

2a=AF1+AF2=52+2=2,a=32,a2=18,b2=2.

x2y2椭圆E的方程为:1. 182

→→(2) AP=(1,3),设Q(x,y),AQ=(x-3,y-1),

→→AP·AQ=(x-3)+3(y-1)=x+3y-6.

x2y2∵ 1,即x2+(3y)2=18, 182

而x2+(3y)2≥2|x|·|3y|,∴ -3≤xy≤3.

则(x+3y)2=x2+(3y)2+6xy=18+6xy的取值范围是[0,36].

x+3y的取值范围是[-6,6].

→→∴ AP·AQ=x+3y-6的取值范围是[-12,0].

(注:本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决)

y2典例5:(2012·南师大信息卷)已知双曲线x2-1,椭圆与该双曲线共焦点,且经过点(2,3). 3

(1)求椭圆方程;

(2)设椭圆的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线l为椭圆的右准线,N为l上的一动点,且在x轴上方,直线AN与椭圆交于点M.

①若AM=MN,求∠AMB的余弦值;

②设过A,F,N三点的圆与y轴交于P,Q两点,当线段PQ的中点为(0,9)时,求这个圆的方程.

[解] (1)双曲线焦点为(±2,0),

x2y2

设椭圆方程为+=1(a>b>0). ab?a-b=4,

则?49?a+b=1.22 解得a2=16,b2=12.故椭圆方程为x2y21. 1612

(2)①由已知,A(-4,0),B(4,0),F(2,0),直线l的方程为x=8.设N(8,t)(t>0).

t∵AM=MN,∴M2,2.

由点M在椭圆上,得t=6.故点M的坐标为M(2,3). (????????????????

所以MA=(-6,-3),MB=(2,-3),MA·MB=-12+9=-3.

????????-365MBMA·cos ∠AMB==-6536+4+9| MA|·|MB|②设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A,F,N三点坐标代入,得

D=2,?16-4D+F=0,??4+2D+F=0,

??64+t2+8D+Et+F=0, ?72得?E=-t-t?F=-8.

72圆的方程为x2+y2+2x-t+ty-8=0,

6 (

72令x=0,得y2-t+ty-8=0.

设P(0,y1),Q(0,y2),

由线段PQ的中点为(0,9),得y1+y2=t+72=18. t(此时,所求圆的方程为x2+y2+2x-18y-8=

0.

本题是直线、双曲线、椭圆、圆的综合问题,主要考查待定系数法求曲线方程.

x2y23演练5:如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴ab2

长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知点P(0,1),Q(0,2).设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T.求证:点T在椭圆C上.

解:(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离,即b=c3b因为离心率e== a2a

x2y2

所以椭圆C的方程为+=1. 82

(2)证明:由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线PM的方程为y=直线QN的方程为y=y-2x+2. ② -x0y0-1x+1,① x0c1-a2=2. 2()21=a=22. 2

设T点的坐标为(x,y).

3y-4x联立①②解得x0=y0=2y-32y-32xx2113y-42y因为+=1,所以?2y-32+828?22y-3=1.

x23y-4?2x29y2x2y2

整理得(2y-3)2,所以-12y+8=4y2-12y+9,即+=1. 828282

所以点T的坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.

x2y2

典例6:已知抛物线D的顶点是椭圆C:+=1的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合. 1615

(1)求抛物线D的方程;

(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点.

①若直线l的斜率为1,求MN的长;

②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值?如果存在,求出m的方程;如果不存在,说明理由.

[解] (1)由题意,可设抛物线方程为y2=2px(p>0).由a2-b2=16-15=1,得c=1.

∴抛物线的焦点为(1,0),∴p=2.

∴抛物线D的方程为y2=4x.

(2)设M(x1,y1),N(x2

,y2).

7

?y=x-4,①直线l的方程为:y=x-4,联立?2 ?y=4x,

整理得x2-12x+16=0,则x1+x2=12,x1x2=16,

所以MN= x1-x2+y1-y2=410.

x+4y?22,过E作直线x=a的垂线,垂足为H, ②设存在直线m:x=a满足题意,则圆心E?

设直线m与圆E的一个交点为G.可得GH2=EG2-EH2,

x1-4?2+y2-x1+42x1+4?212x1-421?即GH=EA-EH=-=y1++a(x1+4)-a2 -a44?2?4222

=x1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2.

当a=3时,GH2=3,此时直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长恒为定值23.

因此存在直线m:x=3满足题意.

以探究“是否存在”为目标的开放性问题,是高考的一个热点,解决此类问题的方法类似于反证法,即先假设存在并设出参数.建立方程,若有符合题意的解,则说明存在,否则说明不存在.

演练6:已知椭圆C的离心率e=2,一条准线方程为x=4,P为准线上一动点,直线PF1、PF2分别与以原点为圆心、2

椭圆的焦距F1F2为直径的圆O交于点M、N.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)探究是否存在一定点恒在直线MN上?若存在,求出该点坐标;若不存在,请说明理由.

c2a2

解:(1)由题意得=4,解得c=2,a=22, a2c

x2y2

则b=a-c=4,所以椭圆的标准方程为+=1. 84222

(2)由(1)易知F1F2=4,所以圆O的方程为x2+y2=4.

t设P(4,t),则直线PF1方程为y=(x+2), 6

?x+y=4,

由?ty=+2?,?6

222 2?t2-36?得(t+36)x+4tx+4(t-36)=0,解得x1=-2,x2=-, t+36222222?t-36?2?t-4?-8t24t,所以M?,同理可得N??t+36t+36?t+4t+4.

2?t2-36?2?t2-4?①若MN⊥x轴,则-=,解得t2=12,此时点M,N的横坐标都为1,故直线MN过定点(1,0); t+36t+4

②若MN与x轴不垂直,即t2≠12,

-8t24tt+4t+36-8t此时kMN== 2?t-4?2?t-36?t-12t+4t+36

-8t-8t?2?t2-4?x-所以直线MN的方程为y-, t+4t+4t-12?

-8t即y=x-1),所以直线MN过定点(1,0). t-12

综上,直线MN过定点(1,0).

8

专题技法归纳:

(1)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法.而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2+ny2=1(mn≠0),这样可以避免对参数的讨论.

c(2)求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系,然后把b用a,c代换,求的值. a

b2

(3)在双曲线中由于e=1+,故双曲线的渐近线与离心率密切相关. a2

课后练习(十)

x2y2

1.已知方程+1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是________;若该方程表示双曲线,则m的m-12-m

取值范围是________.

m-1>0,??解析:若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则?2-m>0,

??2-m>m-1,

得m<1或m>2.

3答案:1,2 (-∞,1)∪(2,+∞)

x2y2

2.点P为椭圆=1(a>b>0)上一点,F1,F2为椭圆的焦点,如果∠PF1F2=75°,∠PF2F1=15°,则椭圆的离心率为ab________.

解析:由题意得∠F1PF2=90°,PF1=2c cos 75°,PF2=2c sin 75°,所以2c(sin 75°+cos 75°)=2a,e=

63

3.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为________.

pp解析:直线AB的方程为y=x-,即x=y+,代入y2=2px得,y2-2py-p2=0. 22

则yA+yB=2p=4,p=2,准线方程为x=-1.

x2y24.(2011·天津高考)已知双曲线1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准ab

线上,则双曲线的方程为________.

x2y2λ4λ解析:由题设可得双曲线方程满足3x-y=λ(λ>0),即=1.于是c2=+λ=33

322 3解得1<m(m-1)(2-m)<0,解2()1sin 75°+cos 75°

9

4λ又抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,因为双曲线的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则c2==36,于是λ=3

27.

x2y2所以双曲线的方程-=1. 927

????????5.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且BF=2FD,则C的离心率为________.

????????

解析:不妨设椭圆C的焦点在x轴上,中心在原点,B点为椭圆的上顶点,F(c,0)(c>0)为右焦点,则由BF=2FD,

????????a2a2

得D点到右准线的距离是B点到右准线距离的一半,则D点横坐标xD=,由BF=2 FD知,c=22cc,得3c2=2c()

a2,e=3. 3

1x2y2

6.(2011·江西高考)若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点1,2作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线ABab()

恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是____ ____.

|-2k+1|1解析:由题可设斜率存在的切线的方程为y-=k(x-1)(k为切线的斜率),即2kx-2y-2k+1=01,解24k+4

343得k=-x2+y2=1的一条切线方程为3x+4y-5=0,求得切点A5,5,易知另一切点B(1,0),则直线AB的方4

x2y2

程为y=-2x+2.令y=0得右焦点为(1,0),令x=0得上顶点为(0,2).∴a=b+c=5,故得所求椭圆方程为1. 54222()

x2y2x2y27.已知双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲ab169

线的方程为___ _____.

解析:由题意知,椭圆的焦点坐标是7,0),离心率是

x2y2

=3,故所求双曲线的方程是-=1. 43

228.已知双曲线C:x?y?1(a?0,b?0)的右顶点、右焦点分别为A、F,它的左准线与x轴的交点为B,若A是线段22727c故在双曲线中c=7,e=,故a=2,b2=c2-a244aab

BF的中点,则双曲线C的离心率为x2

9.设P点在圆x2+(y-2)2=1上移动,点Q在椭圆+y2=1上移动,则PQ的最大值是________. 9

解析:圆心C(0,2),PQ≤PC+CQ=1+CQ,

于是只要求CQ的最大值.设Q(x,y),

∴CQ= x+y-2?= 9?1-y+y-2?= -8y-4y+13,

1∵-1≤y≤1,∴当y=-时,CQmax= 4

∴PQmax=1+36. 22736= 22

10.(2012·辽宁高考)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________

解析:不妨设点P在双曲线的右支上,因为PF1⊥PF2,所以(22)2=|PF1|2+|PF2|2,又因为|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得2|PF1|·|PF2|=4,则(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=23.

10

x2y2311.(2011·四川高考)过点C(0,1)的椭圆+=1(a>b>0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(-a,0).过点Cab2

的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.

(1)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;

????????OQ为定值. (2)当点P异于点B时,求证:OP·

c3x2

解:(1)由已知得b=1,=a=2,所以椭圆方程为+y2=1. a24

椭圆的右焦点为(3,0),此时直线l的方程为y=-3x+1, 3

83代入椭圆方程化简得7x2-83x=0.解得x1=0,x2=, 7

131代入直线l的方程得y1=1,y2=-,所以D点坐标为?,-. 77?7

故|CD|=?830?2+?7?(1-17)216. 7

1(2)证明:当直线l与x轴垂直时与题意不符.设直线l的方程为y=kx+1k≠0且k≠2.

代入椭圆方程化简得(4k2+1)x2+8kx=0.解得x1=0,x2=-8k 4k+1()

-8k1-4k2?1-4k2?代入直线l的方程得y1=1,y2=D点坐标为,4k+1?4k+14k+1?.

1+2kx又直线AC的方程为+y=1,直线BD的方程为y=(x+2), 22-4k

?x=-4k,联立解得?因此Q点坐标为(-4k,2k+1). ?y=2k+1.

????????11OQ=-k,0·又P点坐标为-k,0,所以OP·(-4k,2k+1)=4.

????????OQ为定值. 故OP·()()

x2y2212.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,一条准线l:x=2. ab2

(1)求椭圆C的方程;

(2)设O为坐标原点,M是l上的点,F为椭圆C的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P,Q两点.

①若PQ6,求圆D的方程;

②若M是l上的动点,求证点P在定圆上,并求该定圆的方程.

?c=2?a2解:(1)由题设:?2a??c2, ?a2∴?,∴b2=a2-c2=1, ?c=1

x22∴椭圆C的方程为y=1. 2

(2)①由(1)知:F(1,0),设M(2,t),

t则圆D的方程:(x-1)2+y-2(2

t2

=1+,直线PQ的方程:2x+ty-2=0, 4

11

∵PQ6,∴2 (2t1+t?2+

4-?|2-2|?

??2=6,

4+t?

∴t2=4,∴t=±2.

∴圆D的方程:(x-1)2+(y-1)2=2或(x-1)2+(y+1)2=2. ②证明:法一:设P(x0,y0),

?(t

由①知??x0-1?2+y0-222=1+t

4???2x?2x2=0,

0+ty0-2=0 即?x20+y20-2x0-ty0=0, 0+ty0-

消去t得x20+y20=2

∴点P在定圆x2+y2=2上.

法二:设P(xFP的斜率为ky0,y0),则直线FP=x0-1. ∵FP⊥OM,∴直线OM的斜率为kx-1

OM=y 0∴直线OM的方程为y=-x-12?x0-1?

y?

0x,点M的坐标为M??2,-y0?. ????????

∵MP⊥OP,∴OP·MP=0,

∴x0(x0-2)+y-1?

0??y2?x

0+y?=0 0?

∴x20+y20=2,∴点P在定圆x2+y2=2上.

12

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