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发布时间:2014-02-14 09:46:15  

旋转在初中数学竞赛中的应用

旋转是几何图形运动变化的基本形式之一。所谓旋转,就是把一个图形绕着一个定点按一定方向旋转某个角度而得到另一个图形,这种变换叫做旋转变化,简称旋转。 旋转变化的基本性质

性质1 经过旋转变化后,对应直线的交角等于旋转角。

性质2 经过旋转变化后,所得图形与原图形是全等形。

在初中数学各级各类竞赛中,我们常碰到的是旋转角等于60°、90°或180°。 一、60°的旋转

例1 如图1,在凸四边形中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC。

求证:BD=AB+BC 。 (2002年江苏省数学奥林匹克培训题)

【演变1】 如图2,已知ΔABC是等边三角形,E是AC

延长线上任意一点,选择一点D,使得ΔCDE是等边三角形,

如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点。

求证:ΔCMN是等边三角形。(第十三届江苏省数学竞赛

试题)

提示:将ΔAPB绕着点B逆时针旋转60°。

图1 D C A B 222E C

C N P

D

B 图3 A

- 1 - M A B 图2

【演变2】 如图3,P是等边三角形ABC中一个点,PA=2,PB=2,PC=4,则BC的长是 。(96年“希望杯”全国数学邀请赛——初二)

提示:将ΔCAP绕着点C按顺时针旋转60°。

B

二、90°的旋转 M

例2 如图4,在等腰ΔRtABC中∠BAC=90°,M、

N分别是BC上的两点,若BM=3,MN=5,NC=4,则

∠MAN的度数为( )。

(A) 32° (B)45° (C)60° (D)75°

(第三届吴中杯初二数学竞赛决赛试题) A 图4 C N P

【演变1】 如图5,在四边形ABCD中AD=DC,∠ADC=∠ABC=90°,DE⊥AB于E,若四边形ABCD的面积为8,则DE的长为( )。(96年度四川省初中数学联赛)

(A)2 (B)22 (C)3 (D)32

提示:过点D作DP⊥BC的延长线于P。

【演变2】 如图6,正方形ABCD的边长为a,DF=b,EB=c,EF=DF+EB,那么用a、b、c表示正方形的面积是。(第二届吴中杯初二数学竞赛决赛试题)

提示:延长EB到点P,使BP等于DF,连结AP。

E A D F D C G P

C E

- 2 - D H A E 图5 B A 图6 B B F 图7 C

【演变3】 如图7,正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分别分割成四个小矩形,P是EF与GH的交点,若矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍,试确定∠HAF的大小并证明你的结论。(98年度北京初二年级数学竞赛)

提示:由题目的已知条件可知DH+BF=FH,故延长FB到M,使BM=DH,连结AM。 三、180°的旋转

【例3】 如图8,D是ΔABC的BC边的中点,

过D作两条互相垂直的射线,分别交AB于E,交AC

于F,求证:BE+CF>EF 。 (1997年天津市初三数学

竞赛题)

【演变1】 如图9,一个三角形的三条中线AD、AEFDPCB

CF、BE长分别为5,12,13,且交于点O,则该三角形的面积。(江苏省1999年未面世竞赛题)

A

O

DCB

提示:延长OD到P,使DP=OD,连结CP。

【演变2】 如图10,AB=4,DB⊥AB,EA⊥AB,DB=3,EA=6,又点M是DE的中点,则BM的长为 。(第12届“希望杯”初二培训题)

- 3 -

AE

M

D

提示:延长BM交AE于P。 B

【演变3】 已知四边形ABCD中,AB=2,CD=3,M、N分别是边AD,BC的中点,则线段MN的长的取值范围是( )。

(A)1<MN<5 (B)1<MN≤5 (C)0.5<MN<2.5 (D)0.5<MN≤2.5

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