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初中数学培优竞赛讲座第25讲__奇数、偶数与奇偶分析

发布时间:2014-02-14 10:48:27  

第二十五讲 奇数、偶数与奇偶分析

整数按能否被2整除分为两大类:奇数和偶数,奇数与偶数有下列基本性质:

1.奇数≠偶数

2.两个整数相加(减)或相乘,结果的奇偶性如下表所示

3.若干个奇数之积是奇数,偶数与任意整数之积是偶数;偶数个奇数的和为偶数,若干个偶数的和为偶数.

4.设m、n是整数,则m土n,m?n的奇偶性相同.

5.设m是整数,则m与m,mn的奇偶性相同.

奇偶性是整数的固有属性,通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法.

例题

【例1】 三个质数之和为86,那么这三个质数是. (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 运用奇数、偶数、质数、合数性质,从分析三个加数的奇偶性人手.

注: 18世纪的哥尼斯堡,有7座桥把这儿的普雷格尔河中两个小岛与河岸联系起来,在这迷人的地方,人们议论着一个有趣的问题.一个游人怎样才能不重复地一次走遍7座桥,而最后又回到出发点.

1736年彼得堡院士欧拉巧妙地解决了这个问题.欧拉把一个复杂的实际问题化为一个简单的几何图形,他指出只要我们能从一点出发,不重复地一笔把这样的图形画出来,那么就可说明游人能够不重复地一次走遍这7座桥,这就是著名的“一笔画”问题的来历.

利用奇偶分析不难得到一般的结论:凡是能一笔画成的图形,它上面除了起点和终点外的每一个点总是一笔进来,一笔出去.因此,除了起点和终点外的每一个点都有偶数条线和它相连.

简单地说,当且仅当图形中的奇结点(每点出发有奇数字线)的个数不大于2时,这个图形才能一笔画.

【例2】 如果a、b、c是三个任意的整数,那么a?bb?cc?a( ). 222

A.都不是整数 B.至少有两个整数 C.至少有一个整数 D.都是整数

(2001年TI杯全国初中数学竞赛题)

思路点拨 举例验证或从a、b、c的奇偶性说明.

【例3】 (1)设1,2,3,?,9的任一排列为al,a2,a3?,a9.求证:(all一1)( a2 —2)?(a9—9)是一个偶数.

(2)在数11,22,33,44,54,?20022002,20032003,这些数的前面任意放置“+”或“一”号,并顺次完成所指出的运算,求出代数和,证明:这个代数和必定不等于2003.

思路点拨 (1)转换角度考察问题,化积的奇偶性为和的奇偶性来研究;(2)由于任意添“十”号或“一”号,形式多样,因此不可能一一尝试再作解答,从奇数、偶数的性质人手.

【例4】已知x1、x2、x3、?、xn都是+1或一1,并且x1?x2?x3???xn?1?xn?0,求证:n是4

x2x3x4xnx1

的倍数.

思路点拨 可以分两步,先证n是偶数2k,再证明k是偶数,解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发,挖掘隐含的一个等式.

【例5】 游戏机的“方块”中共有下面?种图形.每种“方块”都由4个l×l的小方格组成.现用这7种图形拼成一个7× 4的长方形(可以重复使用某些图形).

问:最多可以用这7种图形中的几种图形

?

1

思路点拨 为了形象化地说明问题,对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色,除“品字型”必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格,其余6个方格各占2个黑格2个白格.

注:对同一个数学对象,从两个方向考虑(n项和与积),再将这两个方面合在一起整体考虑,得出结论,这叫计算两次原理,通过计算两次可以建立方程,证明恒等式等.

在一定的规则下,进行某种操作或变换,问是否(或证明)能够达到一个预期的目的,这就是所谓操作变换问题,此类问题变化多样,解法灵活,解题的关键是在操作变换中,挖掘不变量,不变性.

一些非常规数字问题需要恰当地数学化,以便计算或推理.引入字母与赋值法是数学化的两种常用方式方法.

所谓赋值法就是在解题时,将问题中的某些元素用适当的数表示,然后利用这些数值的大小,正负性、奇偶性等进行推理论证的一种解题方法.

【例6】桌上放着七只杯子;杯口全朝上,每次翻转四个杯子:问能否经过若干次这样的翻动,使全部的杯子口都朝下?

思路点拨 这不可能.我们将口向上的杯于记为:“0”,口向下的杯子记为“1”.开始时,由于七个杯子全朝上,所以这七个数的和为0,是个偶数.一个杯子每翻动一次,所记数由0变为1,或由l变为0,改变了奇偶性.每一次翻动四个杯子,因此,七个之和的奇偶性仍与原来相同.所以,不论翻动多少次,七个数之和仍为偶数.而七个杯子全部朝下,和为7,是奇数,因此,不可能.

整数可以分为奇数和偶数两类.

【例7】在1,2,3,?,2005前面任意添上一个正号或负号,它们的代数和是奇数还是偶数?

思路点拨 两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同,只要知道1+2+3+?+2005的奇偶性即可. 因两个整数的和与差的奇偶性相同,所以,在1,2,3,?,2005中每个数前面添上正号或负号,其代数和应与1+2+3+?+2005的奇偶性相同,而1+2+3+?+2005=1(1+ 2005)×2005=1003 ×2005为奇数;2

因此,所求代数和为奇数.

注:抓住“a+b与a—b奇偶性相同”,通过特例1十2十3十?十2005得到答案.

【例8】“ 元旦联欢会上,同学们互赠贺卡表示新年的:良好祝愿.“无论人数是什么数,用来交换的贺卡的张数总是偶数.”这句话正确吗?试证明你的结论.

思路点拨 用分类讨论的思想方法,从“无论人数是什么数”入手,考虑人数为奇数或偶数的两种情况.

这句话是正确的.下面证明之.

若联欢会上的人数为偶数,设为2m (m为整数),则每个人赠送给同学们的贺卡张数为奇数,即(2m—

1).那么,贺卡总张数为2m(2m—1)=4m2-2m,显然是偶数.

若联欢会上的人数为奇数,设为2m+1(m为整数,则每个人赠送给同学们的贺卡张数应是2m,为偶数.贺卡总张数为(2m+1)·2m,仍为偶数.

故“用来交换的贺卡张数总是偶数”是对的.

注:按奇数和偶数分类考虑问题是常见的解决此类问题的策略之一.

【例9】桌面上放有1993枚硬币,第1次翻动1993枚,第2次翻动其中的1992枚,第3次翻动其中的1991枚,?,第1993次翻动其中一枚,试问:能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上?并说明理由.

思路点拨 若要把一枚硬币原先朝下的一面朝上,应该翻动该硬币奇数次.因此,要把1993

枚硬币原 2

先朝下的一面都朝上,应该翻动这1993枚硬币的总次数为奇数.现在1993次翻动的总次数为1+2+3+?+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997是个奇数,故猜想可以使桌面上1993枚硬币原先朝下的一面都朝上. 理由如下:按规定,1993次翻动的总次数为1+2+3+?+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997,所以翻动的次数为奇数,而且可见每个硬币平均翻动了997次.而事实上,只要翻动一枚硬币奇数次,就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上.按如下的方法进行翻动:

第1次翻动全部1993枚,

第2次翻动其中的1992枚,第1993次翻动第2次未翻动的那1枚,

第3次翻动其中的1991枚,第1992次翻动第3次未翻动的2枚,

第997次翻动其中的997枚,第998次翻动第997次未翻动的996枚.

这样,正好每枚硬币被翻动了997次,就能使每一枚硬币原来朝下的一面都朝上.

注:灵活、巧妙地利用奇俩性分析推理,可以解决许多复杂而有趣的问题,并有意想不到的效果.

【例10】在6张纸片的正面分别写上整数:1、2、3、4、5、6,打乱次序后,将纸片翻过来,在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数,然后,计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值,得出6个数.请你证明:所得的6个数中至少有两个是相同的.

思路点拨 从反面人手,即设这6个数两两都不相等,利用ai?bi与ai?bi (i=1,2,3,4,5,

6)的奇偶性相同,引入字母进行推理证明.

设6张卡片正面写的数是a1、a2、a3、a4、a5、a6,反面写的数对应为b1、b2、b3、b4、b5、b6,则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为a1?b1a2?b2a3?b3a4?b4a5?b5,a6?b6.设这6个数两两都不相等,则它们只能取0,1,2,3,4,5这6个值.

于是a1?b1+a2?b2+a3?b3+a4?b4+a5?b5+a6?b6=0+1+2+3+4+5=15是个 奇数. 另一方面,ai?bi与ai?bi (i=1,2,3,4,5,6)的奇偶性相同.所以

a1?b1+a2?b2+a3?b3+a4?b4+a5?b5+a6?b6与(a1一b1)+(a2一b2)+(a3一b3)+(a4一b4)+(a5一b5)+(a6一b6)= (a1?a2?a3?a4?a5?a6)一(b1?b2?b3?b4?b5?b6) =(1+2+3+4+5+6)一

(1+2+3+4+5+6)=O的奇偶性相同,而0是个偶数,15是奇数,两者矛盾.

所以,a1?b1,a2?b2,a3?b3,a4?b4,a5?b5,a6?b6这6个数中至少有两个是相同的. 注:反证法是解决奇、偶数问题中常用的方法.

【例11】有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间,问:

(1)若最初小船是在左岸,往返若干次后,它又回到左岸,那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数? 如果它最后到了右岸,情况又是怎样呢?

(2)若小船最初在左岸,它过河99次之后,是停在左岸还是右岸?

思路点拨 (1)小船最初在左岸,过一次河就到了右岸,再过一次河就由右岸回到左岸,即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸,都过了两次河.因此,小船由左岸开始,往返多次后又回到左岸,则过河的次数必为2的倍数,所以是偶数.同样的道理,不难得出,若小船最后停在右岸,则过河的次数必为奇数.

(2)通过(1),我们发现,若小船最初在左岸,过偶数次河后,就回到左岸;过奇数次河后,就停在右岸.现在小船过河99次,是奇数次.因此,最后小船该停在右岸.

注 关键是对过河次数的理解:一个单程,即由左岸到右岸(或由右岸到左岸)就过河一次;往返一个来回就过河两次.

3

【例12】黑板上写了三个整数,任意擦去其中一个,把它改写成另两个数的和减去1,这样继续下去,得到1995、1996、1997,问原来的三个数能否是2、2、2?

思路点拨 如果原来的三个整数是2、2、2,即三个偶数,操作一次后,三个数变成二偶一奇,这时如果擦去其中的奇数,操作后三个数仍是二偶一奇.如果擦去的是其中的一个偶数,操作后三个数仍是二偶一奇.因此,无论怎样操作,得到的三个数都是二偶一奇,不可能得到1995、1996、1997. 所以,原来的三个数不可能是2、2、2.

注 解决本题的诀窍在于考查数字变化后的奇偶性.

【例13】(苏州市中考题)将正偶数按下表排成五列:

第1列 第2列 第3列 第4列 第5列

第1行 2 4 6 8

第2行 16 14 12 10

第3行 18 20 22 24

? ? 28 26

根据上面的排列规律,则2000应位于( )

A.第125行,第1列 B.第125行,第2列

C.第250行,第1列 D.第250行,第2列

思路点拨 观察表格,第1行最右边的数为8,第2行最左边的数为16,第3行最右边的数为24,于是可猜测:当行数为奇数时,该行最右边的数为8×行数;当行数为偶数时,该行最左边的数为8×行数.通过验证第4行、第5行、第6行知,上述猜想是正确的,因为2000=8×250,所以2000应在第250行,又因为250为偶数,故2000应在第250行最左边,即第250行第1列,故应选C.

注:观察、寻找规律是解决这类问题的妙招.

【例14】(2000年山东省竞赛题)如图18—1,两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转,旋转停止时,每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字.若左轮子上方的箭头指着的数字为a,右轮子上方的箭头指着的数字为b,数对(a,b)所有可能的个数为n,其中a+b恰为偶数的不同数对的个数为m,m等于( ) n

1153 A. B. C. D. 26124则

思路点拨 依题意可知所有的数对n=4×3=12,其中a+b恰为偶数的数对m=3×1+1×2=5.因此,m5=,故选C. n12

【例15】(第江苏省竞赛题)已知a、b、c中有两个奇数、一个偶数,n是整数,如果S=(a+2n+1)(b+2n十2)(c+2n十3),那么( )

A.S是偶数 B.S是奇数

C.S的奇偶性与n的奇偶性相同 D. S的奇偶性不能确定

思路点拨 弄清a+2n+1,b+2n+2,c+2n+3的奇偶性即可.

依题得:(a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1).

∵a+b+c为偶数,6(n+1)为偶数,

∴a+b+c+6(n+1)为偶数

∴a+2n+1,b+2n+2,c+2n+3中至少有一个为偶数,∴S是偶数.故选A.

注:三个数的和为偶数,则至少有一个为偶数;三个数中有一个为偶数,则三数之和为偶数.

4

学力训练

1.若按奇偶性分类,则12+22+32+?+20022002是 数.

2.能不能在下式, 的各个方 框中分别填入“+”号或“一”号,使等式成立?

答: .

3.已知三个质数a、b、c满足a+b+c+abc=99,那么a?b?b?c?c?a的值等于

4.已知n为整数,现有两个代数式:(1)2n+3,(2)4n一1,其中,能表示“任意奇数”的( )

A.只有(1) B.只有(2) C.有(1)和(2) D.一个也没有

5.如果a,b,c都是正整数,且a,b是奇数,则3a+(b一1)2c是( ).

A.只当c为奇数时,其值为奇数 B.只当c为偶数时,其值为奇数

C.只当c为3的倍数,其值为奇数 D.无论c为任何正楚数,其值均为奇数

6.已知a,b,c 三个数中有两个奇数、一个偶数,n是整数,如果S=(a+n+1)(b+ 2n+2)(c+3n+3),那么( ).

A. S是偶数 B.S是奇数 C.S的奇偶性与n的奇偶性相同 D.S的奇偶性不能确定

(第16届江苏省竞赛题)

7.(1)是否有满足方程x2-y2=1998的整数解x和y?如果有,求出方程的解;如果没有,说明理由.

(2)一个立方体的顶点标上+1或一1,面上标上一个数,它等于这个面的4个顶点处的数的乘积,这样所标的14个数的和能否为0?

8.甲、乙两人玩纸牌游戏,甲持有全部的红桃牌(A作1,J,Q,K分别作11,12,13,不同),乙持有全部的黑桃牌,两人轮流出牌,每次出一张,得到一对牌,出完为止,共得到13对牌,每对牌彼此相减,问这13个差的乘积的奇偶性能否确定?

9.在1,2,3,?,1998之前任意添上“十”或“一”号,然后相加,这些和中最小的正整数是. 10.1,2,3,?,98共98个自然数,能够表示成两整数平方差的数的个数是

(全国初中数学联赛试题)

11.在一次象棋比赛中,每两个选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分,平局每个选手各记1分,今有4个人统计百这次比赛中全部得分总数,由于有的人粗心,其数据各不相同,分别为1979,1980,1984,1985,经核实,其中有一人统计无误,则这次比赛共有名选手参加.

12.已知p、q、pq+1都是质数,且p一q>40,那么满足上述条件的最小质数p=q= .

(第15届“希望杯”邀请赛试题)

13.设a,b为整数,给出下列4个结论:

(1)若a+5b是偶数,则a一3b是偶数; (2)若a十5b是偶数,则a一3b是奇数;

(3)若a+5b是奇数,则a一3b是偶数; (4)若a+5b是奇数,则a一3b是奇数

其中结论正确的个数是( ).

A.0个 B.2个 C.4个 D. 1个或3个

14.下面的图形,共有( )个可以一笔画(不重复也不遗漏;下笔后笔不能离开纸) .

A.0 B.1 C .2 D.3 ( “五羊杯”竞赛题)

15.π的前24位数值为3.14159265358979323846264?,在这24个数字中,随意地逐个抽取1个数字,并依次记作a1,a2,?a24,则(a1一a2)( a3一a4)?(a23一a24)为( ).

A.奇数 B.偶数 C.奇数或偶数 D.质数

5

16.没标有A、B、C、D、C、F、G记号的7盏灯顺次排成一行,每盏灯安装一个开关,现在A、C、E、G 4盏灯开着,其余3盏灯是关的,小刚从灯A开始,顺次拉动开关,即从A到G,再从A始顺次拉动开关,即又从A到G?,他这样拉动了1999次开关后,问哪几盏是开的?

17.有1997枚硬币,其中1000枚国徽朝上,997枚国徽朝下.现要求每一次翻转其中任意6枚,使它们的国徽朝向相反,问能否经过有限次翻转之后,使所有硬币的国徽都朝上?给出你的结论,并给予证明. (太原市竞赛题)

18.对一个正整数作如下操作:如果是偶数则除以2,如果是奇数则加1,如此进行直到1时操作停止,求经过9次操作变为l的数有多少个?

( “华杯赛”决赛题)

19.高为50cm,底面周长为50cm的圆柱,在此圆柱的侧面上划分(如图所示)边长为lcm的正方形,用四个边长为lcm的小正方形构成“T”字形,用此图形是否能拼成圆柱侧面?试说明理由.

(汉城国际数学竞赛题

)

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参考答案

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