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分类枚举

发布时间:2014-02-15 18:32:38  

? 枚举也叫列举,是在解答问题中,根据条 件把可能出现的情况,先进行分类,把每 一类的几种情况一一列举出来,从列举的 所有情况中发现所求问题的答案,这是解 答数学问题的重要方法。

例[1] 下图中有多少个三角形?

第一类:6个 第二类:6个

第三类:3个

解: 6+6+3=15(个)答:图中有15个三角 形。

例[2] 右图中有多少个正方形?
? 第1类:由1个小正方形组成的 正方形有24个;
? 第2类:由4个小正方形组成的 正方形有13个; ? 第3类:由9个小正方形组成的 正方形有4个; ? 第4类:由16个小正方形组成的 正方形有1个;

解:24+13+4+1=42。 答:图中有42个正方形。

例[3] 在算盘上,用两粒珠子可以表示 几个不同的三位数:分别是哪几个数? 分析 上珠一个表示5,下珠一个表示1。 根据 两粒珠子的位置,我们可将它们分成3类:
第1类:两粒珠子都在上档,可以组成505,550; 第2类:两粒珠子都在下档,可以组成101,110,200; 第3类:一粒在上档,另一粒在下档,可以组成 510,501,150,105,600。

解:可以表示101,105,110,150,200,501, 505,510,550,600共10个三位数。

例[4] 用数字7,8,9可以组成多少个不同的三 位数?分别是哪几个数?

分析 根据百位上数字的不同,我们可以将它们分成三类: 第1类:百位上的数字为7,有789,798; 第2类:百位上的数字为8,有879,897; 第3类:百位上的数字为9,有978,987。 解答: 可以组成789,798,879,897,978,987共6个 三位数。

例[5] 往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停 靠常州、无锡、苏州三站。问:铁路部门要为这趟车准 备多少种车票? 分析 我们可以根据列车的往与返把它们分成两大类(注: 为了方便,我们将上述地点简称为宁、常、锡、苏、沪):

第1类:从宁出发:宁 常,宁 锡,宁 苏, 宁 沪, 4种;
第2类:从常出发;常 锡, 常 第3类:从锡出发:锡 第4类:从苏出发:苏 苏, 锡 沪,1种。 苏, 常 沪,3种;

沪, 2种;

解: (4+3+2=1)×2=20(种) 答:铁路部门要准备20种车票。

操作体验 1、十位上数字是个位上数字的倍数关系 的两位数一共有多少个?
分类别:个位是1的:11、21、31、41、51、61、71、81、91 个位是2的:22、42、62、82 个位是3的:33、63、93 个位是4的:44、84 个位是5的:55 个位是6的:66 个位是7的:77 个位是8的:88 个位是9的:99 解:9 +4+3+2+1×5=23(个) 答:这样的两位数一共有23个。

2、 在算盘上,用两颗珠子可以表示多少个不同 的四位数?
? 【分析解答】上珠一个表示5,下珠一个表示1。 分三类枚举: ? (1)两颗珠都是上珠时,可表示5005,505

0, 5500三个数; ? (2)两颗珠都是下珠时,可表示1001,1010, 1100,2000四个数; ? (3)一颗上珠、一颗下珠时,可表示5001, 5010,5100,1005,1050,1500,6000七个数。 ? 答:一共可以表示 3+4+7=14(个)四位数。

1.下图中有多少个三角形?

2.已知一个两位数的各位数字之和是8, 这样的两位数一共有几个?请你写下来。
【分析解答】 理题意:十位数字+个位数字=8,这样的两位数有几个 分类别:(1)8=8+0 (2)8=7+1 (3)8=6+2 (4)8=5+3 (5)8=4+4 按顺序:按照我们分类别的顺序, 算式(1)的两个数字组成的两位数为:80 (2)的两个数字组成的两位数为:71和17 (3)的两个数字组成的两位数为:62和26 (4)的两个数字组成的两位数为:53和35 (5)的两个数字组成的两位数为:44 答:这样的两位数一共有8个。 找完了我们在检查一下,看有没有遗漏的。

3、把15个玻璃球分成数量不同的4堆,共有 多少种不同的分法?
【分析解答】

15 = 1+2+3+9 = 1+2+4+8 = 1+2+5+7 = 1+3+4+7 = 1+3+5+6 = 2+3+4+6

答:共有6种不同的分法。

4、3个自然数的乘积是18,问由这样的3个数所组成的 数组有多少个?如:(1,2,9)就是其中的一个,而 且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组,如(1, 2,9)和(2,9,1)是同一数组。
答:按要求可以组成的数组有:(1,1,18)、 (1,2,9)、(1,3,6)、(2,3,3)

回顾与反思
? ? 分类枚举的关键是正确分类,为此,必须注意 两点: 分类要全、枚举要清。分类不全,就会造成遗 漏。如上面例1中,如果一不小心,把第3类丢 了,就会造成差错。当分类确定之后,要把每 一类中每一个符合条件的对象都列举出来。 分类要清。因为如果分不清,使第1类中有第2 类,第2类中有第3类,互相包含,那么就会有 重复。这样结果也就很难正确了。

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