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初中数学竞赛辅导资料(34)反证法

发布时间:2014-02-16 18:25:53  

初中数学辅导资料——反证法

甲内容提要

1. 反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命

题,当一个命题不易直接证明时,釆取证明它的逆否命题。

2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题,可表示为:A→B?B?A

例如 原命题:对顶角相等 (真命题)

逆否命题:不相等的角不可能是对顶角 (真命题)

又如 原命题:同位角相等,两直线平行 (真命题)

逆否命题:两直线不平行,它们的同位角必不相等 (真命题)

3. 用反证法证明命题,一般有三个步骤:

① 反设 假设命题的结论不成立(即假设命题结论的反面成立)

② 归谬 推出矛盾(和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾)

③ 结论 从而得出命题结论正确

例如: 求证两直线平行。用反证法证明时

① 假设这两直线不平行;

② 从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;

③从而肯定,非平行不可。

乙例题

例1两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两直线平行

已知:如图∠1=∠2 A 1 B

求证:AB∥CD

证明:设AB与CD不平行 C 2 D

那么它们必相交,设交点为M D

这时,∠1是△GHM的外角 A B ∴∠1>∠2

这与已知条件相矛盾

∴AB与CD不平行的假设不能成立

∴AB∥CD C

例2.求证两条直线相交只有一个交点

证明:假设两条直线相交有两个交点,那么这两条直线都经过相同的两

个点,这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾,所以假设不

能成立,因此两条直线相交只有一个交点。

(从以上两例看出,证明中的三个步骤,最关键的是第二步——推出矛盾。

但有的题目,第一步“反设”也要认真对待)。

例3.已知:m2是3的倍数,求证:m 也是3的倍数

证明:设m 不是3的倍数,那么有两种情况:

112

m=3k+1或m= 3k+2 (k是整数)

当 m=3k+1时, m2=(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1

当 m=3k+2时, m2=(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1

即不论哪一种,都推出m2不是3的倍数,这和已知条件相矛盾,所以假设不能成立。

∴ m2是3的倍数时,m 也是3的倍数

例4.求证:2不是有理数 证明:假设2是有理数,那么

∵2=a (a,b是互质的整数), baa=2,∴()2=2, a2=2b2, ∴a2是偶数, bb

∵a2是偶数, ∴a也是偶数,

设a=2k(k是整数), a2=4k2,

∵由a2=2b2, 得 b2=122a=2k, b2是偶数, ∴b也是偶数 2

那么a、b都是偶数,这和“a,b是互质数”的条件相矛盾,故假设不能成立 ∴2不是有理数

例5.若n是正整数,则分数

没有公约数) 证明:设21n?4是既约分数(即最简分数,分子与分母14n?321n?4不是既约分数,那么它的分子、分母有公约数,设公约数14n?3

ak?4?n?21n?4?ak???21为k(k≠1), 且k,a,b都是正整数,即 ???14n?3?bk??bk?3n??14?

∴ak?4bk?3=, 3bk-2ak=1 , (3b-2a)k=1 2114

∵整数的和、差、积仍是整数,且只有乘数和被乘数都是±1时,积才能等于1 ∴3b-2a=±1, k=±1

∴分子、分母有公约数的假设不能成立 因此分数21n?4是既约分数 14n?3

丙练习34

1.写出下列各命题结论的反面:

113

2. 已知:平面内三个点A,B,C满足AB+BC=AC,

求证:A,B,C三点在同一直线上

3.求证:等腰三角形的底角是锐角

4. 求证:一个圆的圆心只有一个

5. 求证:三角形至少有一个内角大于或等于60度

6. 如果a2奇数,那么a也是奇数 (仿例3)

7. 求证:没有一个有理数的平方等于3 (仿例4)

8. 已知a,b,c都是正整数,且a2+b2=c2( 即a,b,c 是勾股数)

求证①a,b,c至少有一个偶数

② a,b,c中至少有一个能被3整除

9.求证二元一次方程8x+15y=50没有正整数解

10.求证 方程x2+y2=1991 没有整数解

11.把1600粒花生分给100只猴子,至少有4只猴子分得的花生一样多

12.已知:四边形ABCD中,AB+BD≤AC+CD 求证:AB<AC

15平面内7个点,它们之间的距离都不相等,求证不存在6个点到第7个点的距离都小于这6个点彼此之间的距离

16.已知:a,b,c为实数,a=b+c+1求证:两个方程:x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根(1990年泉州市初二数学双基赛题) 参考答案

练习34

1. ① a和b相交 ②m>n或m<n ④∠A是直角或钝角

⑤点A在⊙O外或在⊙O内 ⑥∠A,∠B,∠C都小于60

⑦m=5k±1,5k±2(k是整数)

114 ?

⑧方程有理数根b(a是整数,b是正整数,a,b互质) a

⑨没有一个方程是两根不相等

2. 设A,B,C三点不在同一直线上,证明AB+BC>AC

4.设有两个圆心O和O1,经过O和O1的直线和圆交于A,B则?? 5.

5. ①设3个都是奇数 ②设3个都不是3的倍数,可表示为3k±1

6. 设有正整数解x=m, y=n 那么 m=50?15n, 8

∵ m>0, ∴n=1,2,3 但这时m都不是整数,∴??

7. 设有整数解x=a, y=b

按奇数、偶数分类讨论

∵右边=1991是奇数,显然,a,b不能同偶数,也不能同奇数, 设a,b一奇一偶,a=2m, b=2n+1 (m,n 都是整数)

那么左边=(2m)2+(2n+1)2=4(m2+n2+n)+1

即左边是除以4余1,而右边是除以4余3,???

11.反设:最多只有3只猴子分得一样多,??

15.设点A和其他6个点B,C,D,E,F,G的距离都小于这6个点彼此这间的距离(如图) 在△ABC中,∵BC>AB且BC>AC,∠BAC>

同理∠CAD>60??? ?这与1周角=360相矛盾?? ?

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