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数学奥林匹克初中训练题13

发布时间:2014-02-17 18:08:20  

2008年第1期19

数学奥林匹克初中训练题(13)

第一

)

1.,2,m、).如n∈N+)的数的个数是(  m-n

(A)2008(B)2006(C)2007(D)20042.已知a、b、c满足

222|2a-4|+|b+2|+(a-3)b+a+c=2+2ac.

).则a-b+c的值为(  

(A)4 (B)6 (C)8 (D)4或83.如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,BC=12,AD⊥BC于点D,

B)13(C)15

7,共28分)x为实数,

x+2020-3

3

(030-x=54.

3

3

∠ABC的平分线分别交AC、AD于点E、F.过F作FG∥BC交AC于点G.则

)

.FG的长为(  

(A)10  (B)6

图1(C)8  (D)9

4.设m为整数.若关于x的方程2

mx+(2-2m)x+m-4=0

)个.有整数解,则m的可能值有(  

(A)1(B)2(C)3(D)45.如图2,五边形ABCDE中,∠A=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC=1,AE=DE=2.在BC、DE上分别找一点M、N,图2使得△AMN的周长最

).小.则△AMN的最小周长为(  

(A)2(B)2(C)4(D)5

n2048

6.已知2(n∈N+)能整除2007-1.

).则n的最大值是(  

则28x+2020+27030-x=

.

2.如图3,四边形ABCD的对角线相交于点O,∠BAD=∠BCD=60°,∠CBD=55°,∠ADB=50°.则∠AOB的度数为图3

.

2

3.已知n为自然数,9n-10n+2009能表示为两个连续自然数之积.则n的最大值为.

4.图4是一个挂在墙壁上时钟的示意图.O是其秒针的转动中心,M是秒针的另一端,OM=10cm,l是过点O的铅直直线.现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬图4行,蚂蚁P到点O的距离与M到l的距离始终

相等.1分钟的时间内,蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程(非蚂蚁在秒针上爬行的路程)是cm.

第二试

(20分)设k为常数,关于x的方程一、

2

2

x-2x+2=3-2k

x-2x-2k

有四个不同的实数根.求k的取值范围.

(25分)已知O是△ABC的外心,二、

∠BAC=45°,延长BC至D,使CD=BC,

2

AD∥OC.求∠ABC的度数.

20中等数学

(25分)过年时,祖母给三个孙子压三、

岁钱,总额400元.共有50元、20元、10元三种面额的纸币各若干张,供三个孙子选择,但每人只能拿同一种面额的钱,

其中一人所拿钱的张数恰好等于另两人所拿钱的张数之积.问有多少种选择面额及张数的方式?

故2a-4≥2.原等式化为2a-4+|b+2|+

(a-3)b2+(a-c)2=2,

即 |b+2|+

(a-3)b2+(a-c)2=6-2a.

参考答案

第一、若1,n

(m+1)(n-1)=0.解得m=-1或n=1.故当n=1,m>1时,==1.m-nm-1若=2,整理得m-n

(m+2)(n-2)=-3=3×(-1).解得m=1,n=1.

但m≠n,于是,2.

m-n

所以,2不能表示为形如的数.

m-n

若=a(a∈Z,a>2),即m-n

mn-am+an-1=0.

2

故(m+a)(n-a)=1-a

2

=(a1)×(-1).

2

m+a=a-1,

因此即

n-a=-1,2

m=a-a-1,n=a-1.显然,m≠n.

当m=a-a-1,n=a-1时,

2

==a.m-n(a2-a-1)-(a-1)2.D.

当b=0时,原等式化为

2

|2a-4|+(a-c)=0.解得a=c=2.所以,a-b+c=4.

2

当b≠0时,b>0,a≥3.

2

故6-2a≥0,即a≤3.

,3.

2

+2|(3-,c,a-b+c=3-(-2)+3=8.3.C.

在Rt△ABC中,由射影定理得2

AB=BD?BC.

22所以,BD===.

BC123

故DC=BC-BD=12-=.33

由BF是∠ABC的平分线得

==3.FDBD

==.ADAF+FD4

=.DCAD

因为FG∥CD,所以,故FG=4.B.

=8.43

原方程化为m(x-1)=4-2x.

显然,x≠1.则m(x-1)==-2+.

x-1x-1

已知m、x均为整数,则为整数.

x-1

故x-1=±1,±2,即x=2,0,3,-1.

相应地,m的值分别为0,4,-,.22

所以,m的值为0或4.5.B.

如图5,延长AB至P,使PB=AB;延长AE至Q,使EQ=AE.联结PQ

图5

分别交BC、DE

2

2008年第1期21

于点M、N.则△AMN的周长最小,最小周长就是线段PQ的长.过P作PF⊥AE于F.

易知∠PAF=60°,PF=

AF=

AP=,2

AP=1.2

又AQ=2AE=4,则在Rt△PQF中,由

勾股定理得

PQ=

PF2

2

2

2

中cosA==.

2AP?PQ7

故BM<BC.

所以,点M在线段BC上.同理,点N在线段DE上.6.C.

令2007=a.则

204820482

2007-1=a-1

222

=(a+1)(a+1)…(a+1)? (a+1)(a-1).

10

9

1

2.80°.

如图6,过点C分别作AB、BD、AD的垂线,垂足依次为E、F、G.

易得∠ABD=70°,CBD=CBE=55°,

6CDG.

BC是BDG的平分线.

于是,CE=CF=CG.

从而,AC是∠EAG的平分线.

故∠AOB=∠CAD+∠ADB=80°.3.2007.

2

设9n-10n+2009=m(m+1),其中,m为自然数.则

22

9n-10n+(2009-m-m)=0.①

而对于正整数k,有

a

2

k

2

k

+1≡(-1)

2

k

+1≡2(mod4),

即a+1是2的倍数,不是4的倍数.而a+

1是8的倍数,不是16的倍数,a-1是2的倍数,不是4的倍数,所以,n的最大值为

10×1+3+1=14.二、1.2007.

33

设x+2020=a,2030-x=b.则a+b=4050.由题意得

a-b=54

将式①看作关于自然数n的一元二次方程,其判别式应为一个自然数的平方.不妨

2

设为Δ=t(t∈N),则

22

(-10)2-4×9(2009-m-m)=t.化简整理得

(6m+3)2-t2=72233,

即 (6m+3+t)(6m+3-t)=72233.

设6m+3+t=a,6m+3-t=b.则

t=(a-b).

2

当a=72233,b=1时,t有最大值.此时,t的最大值为36116.

2

又n=

==,

2×91818

当t取最大值36116时,n取值最大,其值为

=2007.

184.20π.

如图7,以点O为圆心、10cm为半径作⊙O.过M作MN⊥l于点N,

]a+b-2ab=542=2916]2ab=(a+b)-2916 =4050-2916=1134

](a+b)2=(a+b)+2ab =4050+1134=5184]a+b=72.由式①、②解得

3

3

a=63,b=9.

故28x+2020+27=2007.

030-x

过O作l的垂线交⊙O于点Q1、Q2.联结PQ1.则

MN∥OQ1,∠M=∠MOQ1.

图7

22中等数学

又因OM=OQ1,MN=OP,所以,△

OMN

△Q1OP.

故∠OPQ1=∠ONM=90°.

因此,点P在以OQ1为直径的圆上.同理,点P在以OQ2为直径的圆上.从而,蚂蚁P在1分钟的时间内被秒针

OMOQ1、OQ2.]∠ABE=∠AOE=30°

2

]∠ABC=30°+45°=75°.

记AD与⊙O的另一交点为A1,联结

A1B、A1C.则有∠BA1C=∠=45°.所

以,A1BC.180∠=45-°,=∠OCB=45°,

故 ∠A1BC=∠CAD=∠ACB-∠D=15°.因此,∠ABC的度数为75°或15°.

三、设三人所拿钱的张数分别为xy、x、y,面额分别为a元、b元、c元,x≥1,y≥1.则axy+bx+cy=400.

(1)当a=b=c,即三人所选面额相同时,则

xy+x+y=,

a

=.第二试

一、令y=x-2x-2k.则原方程化为

2

y+2k+=3-2k

y

2

]y2+(4k-3)y+3k2-9k=0](y+3k)(y+k-3)=0

]y=-3k或y=-k+3]x2-2x+k=0①

2

 或x-2x-k-3=0.②已知原方程有四个不同的实数根,因此,Δ1=(-2)2-4×1×k>0,Δ2=(-2)-4×1×(-k-3)>0.解得-4<k<1.由y≠0,知k≠0或3.

又因方程①与方程②的根不同,所以,

-k≠k+3,即k≠-.2

故k的取值范围是

-4<k<1且k≠0和-.

2

二、如图8,联结OA、OB,延长BO交AD于点E.由

∠BAC=45°]∠BOC=90°

]∠OBC=∠OCB=45°.由AD∥OC

]OE⊥AD,==2

OE

CD

图8

2

即 (x+1)(y+1)=+1.

a

(i)若a=50,则

(x+1)(y+1)=9=3×3.

解得x=2,y=2.

所以,三人中,每人选50元面额的张数分别为2,2,4.此时,有一种选择方式.

(ii)若a=20,则

(x+1)(y+1)=21=3×7.解得x=2,y=6.

所以,三人选择20元有一种选择方式.(iii)若a=10,则(x+1)(y+1)=41.此时,x、y无正整数解.

(2)当a、b、c中有两个值相等时,根据选择无顺序性,可分为a=b≠c,b=c≠a两种情形.

当a=b≠c时,axy+ax+cy=400,

即 (ax+c)(y+1)=400+c(y+1≥2).

(i)若a=50,c=20

,则(50x+20)(y+1)=420,即 (5x+2)(y+1)=42=7×6.

2008年第1期23

数学奥林匹克初中训练题(14)

第一试

、7分)

1.yx1).体自然数x的和是(  

(A)5(B)6(C)12(D)22

2.方程|x|-=实数根的个数为

x

x

x,y1,2+,y3=-

x+122

这三个函数中的最小值.则函数y的最大值

).是(  

(A)4(B)6(C)8(D)

7

5.在自变量x的取值范围59≤x≤60内,二次函数y=x+x+

2

(  ).

(A)1

的函数值中整数2

(D)60

(B)2(C)3

3.如图1,∠XOY=90°,OW平分∠XOY,PA⊥OX,PB⊥OY,PC⊥OW.若OA+OB+OC=1,则OC

).=(  

(A)2-(C)-2

(D)4

).的个数是(  

(A)59(B)120(C)1186.如图2,⊙O1、

⊙O2交于点E、F,

AB、CD是两条公切

图1

(B)-1(D)2-3

线,直线EF分别交

AB、CD于点P、Q.则AB、PQ、EF的关系是(  ).

图2

  解得x=1

,y=5.

此时,有一种选择方式.(ii)若a=50,c=10,则(50x+10)(y+1)=410,即 (5x+1)(y+1)=41(质数).上式无正整数解.

(iii)若a=20,c=50,则(20x+50)(y+1)=450,即 (2x+5)(y+1)=45=9×5=15×3.

解得x=2,y=4或x=5,y=2.

所以,有两种选择面额及张数方式.同理可得:

(iv)若a=20,c=10,无正整数解.

(v)若a=10,c=50,有两种选择面额及

张数方式.

(vi)若a=10,c=20,有五种选择面额及张数方式.

(3)当a、b、c两两不相等时,同理可得:(i)若a=10,b=20,c=50,有一种选择面额及张数方式.

(ii)若a=20,b=10,c=50,有一种选择面额及张数方式.

(iii)若a=50,b=10,c=20,无正整数解.

综上,选择面额及张数方式共有14种.

(谢文晓 湖北省黄冈中学,438000)

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