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2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B题

发布时间:2013-09-24 16:30:07  

车道被占用对城市道路通行能力的影响

摘 要

车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素,导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点,一条车道被占用,也可能降低路段所有车道的通行能力,即使时间短,也可能引起车辆排队,出现交通阻塞。如处理不当,甚至出现区域性拥堵。

对于问题一,

对于问题二,因为所占的车道不同,并且给的条件中有说明左转车流比例和右转车流比例不同,那只需验证两者是否存在显著性差异,运用配对样本t检验的方法就是要先满足这一方法的两个前提条件,首先必须验证是否满足正态分布,经过SPSS软件的验证可以得出符合正态分布。然后再进行配对,从配对的结果中可以看出存在显著性差异,再结合左右转的车流量比例,更加可以看出存在显著性差异。

对于问题三,主要是对所推出来的回归方程的判断和分析因变量和各因子之间的关系,在本问中要先求出排队长度,排队长度是根据堵塞密度,进出车辆数之间的差值来求解,再根据最小二乘法来判断所假设的这一模型是否符合多元线性回归关系,本问中得出符合多元线性回归关系。再在排队长度和最小二乘法的基础之上,运用SPSS软件,在进行结果分析时得出实际通行能力对于排队长度没有影响,所以可以剔除,而事故持续时间和上游车流量对排队长度都有明显的影响,然后得出他们的相关系数,求出最后的相关方程式。

对于问题四,题目中给出了事故发生点到上游路口的距离为140米,并且上游车流量为1500pcu/h,结合视频1中多次出现的120米这一个顶点,推算出120米内大概最大的堵塞车流量,然后按比例分配推算出140米的最大堵塞车流量,视频1中的可以通过加权平均来求出平均的实际通行能力,则事故持续时间就是要靠140米的最大堵塞车流量和平均实际通行能力来计算,最后得出事故持续时间为2.37min。

关键词: GREENSHIELD K-V线性模型 正态分布 配对样本t检验

最小二乘法 多元线性回归 最大堵塞车流量 平均实际

一、问题重述

车道被占用可以由很多因素引起,进而导致车道和横断面的通行能力在单位时间内降低,由于城市道路具有交通流密度大,连续性强等特点,一条车道被占用,也可能降低路段所有车道的通行能力,及时时间短,也可能引起车辆排队,出现交通堵塞。

车道被占用的情况种类繁多,复杂,正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度,将为交通管理部门正确引导车辆行驶,审批占道施工,设计道路渠化方案,设置路边停车位和设置费港湾式公交车站等提供理论依据。

视频1(附件1)和视频2(附件2)中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面,且完全占用两条车道。需要研究的问题是:

1. 根据视频1(附件1),描述视频中交通事故发生制撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。

2.根据问题1所得结论,结合视频2(附件2),分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。

3. 构建数学模型,分析视频1(附件1)中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。

4. 假如视频1(附件1)中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米,路段下游方向需求不变,路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零,且事故持续不撤离。请估算,从事故发生开始,经过多长时间,车辆排队长度将到达上游路口。

二、模型的假设与符号的约定

2.1模型的假设与说明

(1)排除下班高峰期的干扰;

(2)忽略视频中跳跃的部分对本题的影响;

(3)假设路面状况良好;

(4)假设所数的车辆在最小误差之内。

2.2符号的约定与说明

三、问题的分析与求解

3.1 问题一的分析

题目要求根据视频1(附件1),描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。

首先在方法一中,

其进行分类,并做标准化处理。根据所得到的车流量变化的数据,绘制折线图,并借助软件加以拟合。

方法二结合了GREENSHIELD K-V线性模型和经典型实际通行能力计算模型,对事故所处横断面的实际通行能力Cf1进行求解,得到具体范围。

3.2 问题一的求解步骤

Step1:根据视频1(附件一)提炼数据;

Step2:分段计算事故所处横断面的车流量变化并绘制图像; Step3:运用GREENSHIELD K-V线性模型求得Cp; Step4:结合经典型实际通行能力计算模型求得Cf1。

3.3方法一:计算车流量并绘制拟合图像

根据题目需求,我们数点出在同一时间段内,小型汽车、公交车、面包车和电瓶车的车辆数。表1中所记录的数据,是以1分钟为时间间隔,在发生交通事故至撤离这一时间段内,分别对四种型号的车型进行统计所得的。结合附录2交通量调查车型划分及车辆折算系数,即可得到标准化后的车辆数。经计算便可求得到各个时间段内的车流量。

表1 车流量变化数据表

根据车流量的变化可得如图3:车流量统计图所示的车流量与时间的关系,即为交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。

3.4方法二:对于Cf和Cf1的求解 3.4.1经典型实际通行能力计算模型的介绍

1) 计算基本通行能力 [1]

基本通行能力是指道路与交通处于理想情况下 ,每一条车道 (或每一条道路) 在单位时间内能够通过的 最大交通量.

作为理想的道路条件 , 主要是车道宽度应不小于 3. 65 m , 路旁的侧向余宽不小于 1. 75 m , 纵坡平缓并有 开阔的视野 、良好的平面线形和路面状况. 作为交通的理想条件 , 主要是车辆组成单一的标准车型汽车 , 在 一条车道上以相同的速度 , 连续不断的行驶 , 各车辆之间保持与车速相适应的最小车头间隔 , 且无任何方向 的干扰.

在这样的情况下建立的车流计算模式所得出的最大交通量 ,即基本通行能力 ,其公式如下 :

Cmax?

2) 计算可能通行能力 360036001000Vj??t0l/(Vj/3.6)l(辆/h) (1.1)

计算可能通行能力 Ck是以基本通行能力为基础考虑到实际的道路和交通状况 , 确定其修正系数 , 再以 此修正系数乘以前述的基本通行能力 , 即得实际道路 交通与一定环境条件下的可能通行能力. 影响通行能 、

力不同因素的修正系数为 :

a) 道路条件影响通行能力的因素很多 , 一般考虑影响大的因素 , 其修正系

数有 : ①车道宽度修正系数??; ②侧向净空的修正系数 ?? ; ③纵坡度修正系数 ?? ; ④视距不足修正系数 ?? ; ⑤沿途条件修正系数 ??.

b) 交通条件的修正主要是指车辆的组成 , 特别是混合交通情况下 , 车辆类

型众多 , 大小不一 , 占用道路 面积不同 , 性能不同 , 速度不同 , 相互

干扰大 , 严重地影响了道路的通行能力. 一般记交通条件修正系数为

??。

于是 ,道路路段的可能通行能力为

Ck = Cmax????????????(辆/h) (1.2)

3) 实际通行能力

实际通行能力 Ck通常可作为道路规划和设计的依据. 只要确定道路的可能通行能力 , 再乘以给定服务 水平的服务交通量与通行能力之比 , 就得到实际通行能力 , 即

Cp= Ck ×服务交通量 ÷通行能力(辆/h) (1.3)

3.4.2运用GREENSHIELD K-V线性模型求解Cp

基本通行能力即为在理想的道路、交通、驾驶员条件和满足基本安全需求的前提下,一条车道单位时间所能通过的最大的车辆数,本题记为Cb单位为pcu?h。 参见图1中的b点,设在完全理想条件下的最大自由车速为Vq(Km?h),

Cb?1000Vq

l?Vqt0/3.6 (1)

根据试验观测,对标准型的小客车,其最小车头间距为6.5~8.0m,驾驶员的反应时间通常在0.8~1.2s之间。考虑到问题一只要求描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横截面实际通行能力的变化,并且视频中涉及到的车型种类很多,因此,我们选取取l=8m,t0=1.2s,Vq=120Km?h,以方便计算。

将数据代入上式可求得基本通行能力为Cb=2500pcu?h由C曲线的性质可知,基本通行能力的最大值不会超过

Cmax36003600???3000pcu/h (2) t01.2

定义实际通行能力为在实际的道路、交通、驾驶员条件和满足基本安全的前提下,

h。

一条车道单位时间内所能通过的最大车辆数,记为Cp,单位亦为pcu?

图1

根据实际通行能力定义,当m点位于C曲线上方时,该点对应的最大交通量就不能作为实际通行能力。此时,实际交通流曲线必与C曲线相交于P点,由于P点的交通量是实际条件下满足基本安全要求的最大值,所以它才是欲求的实际通行能力。P点的车速为Vp。当m点位于C曲线或其下方时,该点对应的最大实际交通量满足基本安全要求,所以此时她就是实际通行能力。由此借用GREENSHIELD K-V线性模型[2],可得实际通行能力的计算公式为:

对应的临界车速为

?Vj?3.6l/t0?Vj?7.2l/t0??Vp??1 (3)

?Vj?Vj?7.2l/t0??2

相应的临界密度为

?3600

?Vt?Vj?7.2l/t0?Kp??j0 (3) ?500/lV?7.2l/t

?j0??

相应的临界车头间距为

1000??Vjt0/3.6?Vj?7.2l/t0?hp??? (4)

Kr

??2l?Vj?7.2l/t0?

将不同的自由车速值代入式(2)~(5),可算得相应的实际通行能力及临界车速等值见表1。

表1 不同情况下的实际通行能力

3.4.3结合两模型求得Cf和Cf1

记本题的道路实际通行能力为Cf,事故所处横断面的实际通行能力为Cf1;本题中道路的实际宽度为3.25?3,即??=2.76且事故发生后汽车完全占用了两条车道即

???=1。基于以上分析,我们可以得出如下结论:

3

Cf=

9.75

×Cp

3.65

Cf1=

表2Cf1

1

×Cf3

Cf

的关系结构

80 2100 5796 1953

60 1800 4968 1656

40 1250 3450 1150

20 625 1725 575

自由车速Vj/Km?h?1 实际通行能力Cp/pcu?h?1 本题道路实际通行能力为

120 2400 6624 2074.7

100 2280 6292 2097

Cf pcu?h?1

事故所处横断面的实际通行

Cf1

pcu?h?1

四、问题二的分析和求解

4.1 问题二分析

问题二是要根据问题一的结论和视频2来分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对横断面实际通行能力影响的差异。

根据附录3可知,在上游路口,左转流量比例,直行流量比例和右行流量比例分别为35%,44%,21%,又因为题目中告诉我们发生交通事故占用了两个车道,那么就要分析左转流量和右转流量所占的比例对实际通行能力的影响的差异。

基于以上分析,所采用的方法确定为配对样本t检验,在使用这一方法之前,首先要分析数据是否符合配对样本t检验的前提条件---数据符合正态分布,然后再根据配对样本t检验的方法,判断视频1中的车道占用和视频2中的车道占用对实际通行能力的结果的是否存在显著性差异。

4.2 配对样本t检验简介

统计知识指出:配对样本是指同一样本进行两次测试所获得的两组数据,或对两个完全相同的样本在不同条件下进行测试所得的两组数据。在本问中,可以把两个视频中所得出来的标准车辆数据进行配对,进而得出一个显著概率,再通过显著概率和显著水平的比较即可得出是否存在显著差异。

配对样本t检验可检测配对双方的结果是否存在显著差异,因此就可以检验出配对

双方(视频1和视频2)对实际通行能力影响是否存在差异性。

配对样本t检验具有的前提条件为: (1) 两样品必须配对

(2) 两样品来源的总体应该满足正态性分布。

配对样品t检验的原理是:求出每对的差值如果两种处理实际上没有差异,则差值的总体数应当为0,从该总体抽出的样本其均数也应当在0附近波动;反之,如果两种处理有差异,差值的总体均数就应当远离0,其样本均数也应当远离0.这样,通过检验该差值总体均数是否为0,就可以得知两种处理有无差异,该检验相应的假设为: H0:?d?0,两种处理没有差别,H0:?d?0两种处理存在差别。

4.3 正态分布检验

由于配对样本t检验的前提条件中第一个条件已经满足,考虑到车流量是否满足正态分布,我们需要对其进行检验。

Step 1 :先将视频2的数据进行整理,得出一组完整的数据表格 单位:(辆/分钟)

表3视频2各类别车车流量统计数据

Step 2 :对表1和表3进行正态分布检验,通过软件SPSS得出表1和表3都是属于正态分布,如图1所示

图2视频1数据表的正态分布结果

图3视频2数据表的正态分布结果

Step 3 :结果分析

由以上两张表可以看出视频1和视频2的数据均符合正态分布,则我们可以进行下一步的配对样本t检验,进而得出所占车道不同对实际通行能力的影响。

4.4 标准车流量配对样本检验

Step1 :从图2可知视频1中标准车流量总体X1服从正态分布N??1,?2?,从图3也

可知视频2中的标准车流量总体X2服从正正态分布N??2,?2?,分别从两总体中获得抽样样本?11,12,???116?和?21,22,???216?,对其进行配对,配对结果如表4所示:

Step2 :引进一个新的随机变量Y?X1?X2,对应的样本为?y1,y2,???y27?,将配对样本的t检验转化为单样本t统计量。

Step3 :建立零假设H0:??0,构造t统计量;

Step4 :利用SPSS进行配对样品t检验分析,并对结果做出推断。

4.5 显著性差异结果分析

由SPSS软件对配对样本进行t检验之后,得出结果,如图 所示

图4 显著性差异结果分析

从成对样本相关系数这张结果图中可以看出两者的相关系数r=0.542,对应的概率为P=0.03<0.05,通过检验说明配对样本双方有相关关系。

从成对样本检验这张图中可以看出两配对样本的均值是-3.2813,差值是4.5423,相对应的概率P=0.011<0.05,故不能拒绝原假设,说明两者存在显著性差异,并且题目中有明显的一个条件就是左转车流量比例和右转车流量比例明显不同,所占车道对车流量的通过率都有一定的影响,结合以上的数据证明和比例差异,更加说明堵塞车道的不同对横断面积的实际通行能力存在着显著的差异。

五、问题三的分析和求解

5.1 问题三的分析

对于问题三,需要先分析出交通事故的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间,路段上游车流量三者之间的关系,综合多方面的资料和数学模型,选定多元线性回归这一模型。

在选定模型之前先将我们所需的排队长度求出来,排队长度就是根据上游路口进来的车辆和事故发生点出去的车辆的差值,堵塞程度较深的那一段的堵塞密度,堵塞程度较浅的那一段堵塞密度来算出。然后假设排队长度和横断面实际通行能力,事故持续时间,路段上游车流量的回归方程,然后运用最小二乘法判断这个回归方程是否成立,运

用SPSS软件得出这一回归方程成立,再根据多元线性回归的原理,结合SPSS软件,将所需的相关系数都求出来,可以得出一个回归方程,就是用这个回归方程来表达排队长度和事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量的多元线性关系。

5.2 模型简介

开始判断对于本问所假设的多元线性回归方程是否成立,选用最小二乘法并结合SPSS软件对这一回归方程进行分析。

5.2.1 排队长度的计算公式:(yi?xi)?kjs1?km(L?s1) 5.2.2 最小二乘法的原理

最小二乘法是一种数学优化技术,是为了解决如何从一组测量值中寻求可信赖值得问题。最小二乘法的基本原理是:成对等精度地测得一组数据xi,yi?i?1,2,3???,n?,试找出一条最佳的拟合曲线,使得这条拟合曲线的各点的值与测量值的差的平方和在所有拟合曲线中最小。

5.2.3 多元线性回归原理

多元线性回归就是分析一个自变量和若干个因变量的相关关系。回归分析是一种处理变量的统计相关关系的一种数理统计方法。回归分析的基本思想是:虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系,但是可以设法找出最能代表他们之间关系的数学表达形式。

多元线性回归模型的一般形式:y??0??1x1??2x2??3x3??????kxk?i?1,2,???,n? 其中,影响y的因素有x1,x2,???xk,k个因素。y为可观察的随机变量,称为因变量。

x1,x2,???xk为非随机的可精确观察的变量,称为自变量或因子,?0,????k为k+1个未知参

数,??N?0,?2?为随机误差。为了估计未知参数?0,????k及?2,我们对y与x1,x2,???xk同时作n次观察(试验)得n组观察值?yt,xt1???xt?,t=1,2,、、、,n(n>k+1)它们满足关系式

yt??0??1xt1??2xt2??????kxtk??t?t?1,2,???,n?

其中?1,???,?n互不相关且均是与?同分布的随机变量,我们称公式(2 2 )为多元线性回归模型。建立在多元线性回归模型基础上的统计分析称为多元线性回归分析。有的模型通过数量变换即可变为线性化的回归模型,如

xt1?? yt??0??1xt1??22 t

该模型只要通过数量变换x2t?x12t,即可化为线性回归分析模型,从而在扰动项满足古典假设条件下,是可以进行普通最小二乘法估计的。

5.3 排队长度的计算

排队长度计算公式:

(Y(t)?X(t))?kjs1?km(L?s1)

通过进出口的车辆数之间的差值,再加上堵塞密度来求出排队长度,kj=3,km=1.5, L=240米

5.4 最小二乘法判定假设方程是否符合多元线性回归

Step1 :先在视频1中采取所需的数据源,选取的时间间隔是30s,同时也要采取上游路段车流量的数据,则可以得出一张在特定的时间段内,排队长度,横断面实际通行能力,持续时间,上游路段车流量之间的关系。如表5 所示,(注:时间是从16:42:47开始选取,取一分钟的正中间)

然后假设我们所认为的多元线性回归方程yt?a?bx1?cx2?dx3

Step2 :运用SPSS模型进行最小二乘法的运算,得出结果,如图5 所示,

图 5 最小二乘法的结果

由上图 可以看出Sig 这个值是等于0.013<0.05,借此可得出前面的假设成立,排队长度和横断面的实际通行能力,持续时间,路段上游车流量是属于多元线性回归,有一个特定的多元线性回归方程。

5.5 多元线性回归方程的求解

由于最小二乘法当中已经验证出所假设的方程是一个多元线性回归方程 ,运用SPSS软件进行分析,将所求得的结果进行进一步的详细述说。

5.6 多元线性回归结果分析

Step1:两种模型进行比较,如图 6 所示

:

图6 多元线性回归方程的两种模型

从上图中可以看出模型2的调整R方=0.709>0.6,而模型1的调整R方比0.6 要小,所以模型2更符合多元线性回归方程。

Step2:因为在上图6 所示模型2更符合回归方程,下图7 中模型2里的常量的Sig=0.891>0.05,所以模型2中的常量要剔除。

图7 系数表

Step3 :从以上两幅图就可以得出持续时间和上游车流量对排队长度的影响具有显著性,而实际通行能力不具有很大程度的影响。

所以最后得出持续时间的相关系数和上游标准车流量的相关系数分别为0.704,0.403 最后所得的多元性先回归方程为y?54.593?0.135x2?4.821x3

六、问题四的分析和求解

6.1 问题四的分析

问题四中把事故的发生点所处的横断面到上游路口的距离给了一个具体值,距离就是140米,路段下游方向需求不变,路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零,且事故持续不撤离,然后要求求出车辆从事故发生点开始计时,直到车辆都排到了上游路口为止所需的时间。

在视频1中,会多次出现120米,在这个120米中,大概推算出在发生堵塞时,排队所能达到的最大车辆数,经过多次比较,估算出在120米中排队所达到的最大车辆数是90pcu。再通过第一个问题中所求的实际通行能力求平均值,得到横断面的平均实际通行能力,然后根据140米的最大堵塞车辆数来求出上游车辆数,最后求解出当队伍排到上游路口时所需的时间。

6.2 模型简介

140米内最大堵塞量:F=(H-h)*t H为上游车辆数 h为横断面实际通行能力 t为事故持续时间

F=7/6M M为120米最大堵塞量

H=(1500/60)*t

6.3 问题四的求解步骤

Step1 :根据视频1中多次出现的120米,来估算出在这120米中所能达到的最大堵塞量,经过估算得出M=90pcu/min

Step2 :结合第一个问题所求出来的实际通行能力,由于每个时间段的实际通行能力不同,要取一个中性值,所以取第一问所得出来的所有实际通行能力的平均值,得到一个平均实际通行能力h=7.5pcu/min。

Step3 :结合前两个步骤,建立一个类推方程,

1. F=(H-h)*t

2. F=7/6M

3. H=(1500/60)*t

最终求出事故持续时间为2.37min。

七、型的评价与推广

模型优点

1.建立的模型原理简单易懂,并且简化了算法,并且在操作中切身可行。

2.该模型的实用性强,对日常生活有较强的指导意义。

3.模型中采用spss等软件进行数据分析,所得的数据误差较小,数据准确合理。

4.

5.该模型在结果判别中与题目所给实际情况相同,所分析的结果比较准确。

6.将数据公式化,是模型的建立更加准确。

模型缺点

1. 本模型中运用软件的次数比较多,模型的逻辑性不够紧密。

2数据在采集的过程中会存在一定的误差,导致结果会存在一定的误差。

3.数据的采集来自同一个地点时间段内,导致模型可能存在一定的主观性。

4.标准车在换算过程中将一些不同的车归到同一类,会导致数据的差异性。

5.由于在数据的优化中对数据进行了一些处理,可能会导致一些小误差。

模型推广

1.模型详细的陈述了在发生事故的情况下,拥堵情况与横截面实际通行能力,持续时间等之间的关系,在实际的生活中有较大的参考价值。

2.问题一推出了在发生事故时的实际交通量的变化情况,可以在一定情况下帮助

交警处理事故路段车辆疏导的问题。

3.问题二中所用的配对样本T检验可以用于数据分析领域中,分析样本之间 差异性。

4.问题三采用最小二乘法和多元线性回归,可以分析生活中的一些事物之间的关 联度。

5 .该模型很好的展现了在发生事故的情况下的处理阻塞问题的方法,以及解决拥堵的问题。

八、参考文献

[1] 道路通行能力的计算方法,河南大学学报(自然科学版):第32 卷 第2期2002 年6 月;

[2] 服务水平与服务交通量的确定原理与方法研究,中国公路学报: 第14卷第2期 2001年4月;

[3] 05_道路通行能力分析(新),土木工程与力学学院:ppt; [4] 道路交通事故的影响范围算法, 城市交通:文章编号:1672-5328(2008)03-0082-05 第6卷第3期2008年5月Vol.6 No.3 May 2008;

九、附录:

表1 车流量变化数据表

附录3:配对样本t检验数据

附录4 不同类别车的车流量

附录5

视频1和视频2的配对结果

附录6:

附录七: 问题三结论

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