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文数学提高题2

发布时间:2014-02-18 18:24:13  

.文科数学提高题(2)

f?x?对任意x?1恒成立,求x?11已知函数f?x??ax?xlnx的图象在点x?e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3. ⑴求实数a的值;⑵若k?Z,且k?

k的最大值。

2已知函数f(x)?ln(x?a),g(x)?13x?b,直线l:y?x与y?f(x)的图象相切. 6

(1)求实数a的值;

(2)若方程f(x)?g(x)在(0,??)上有且仅有两个解x1,x2;

①求实数b的取值范围; ②比较x1x2?1与x1?x2的大小.

3已知f?x?是定义在区间?-11且f?1?=1,若m,n???1,1?,m+n?0,?上的奇函数,时,有?1?f?x+??f?1?x?; ?2?

(2)若(fx)?t2?2at?1对所有x???1,1?、a???1,1?恒成立。求实数t的取f(m)?f(n)?0。(1)解不等式m+n值范围。

4设a?R,函数f(x)?lnx?ax.

(1) 若a?2,求曲线y?f(x)在P?1,?2?处的切线方程;

(2) 若f(x)无零点,求实数a的取值范围;

(3) 若f(x)有两个相异零点x1,x2,求证: x1?x2?e2.

文科数学提高题(2)答案

1解:(1)a?1.

(2)由(1)知,f?x??x?xlnx,

f?x?x?xlnx对任意x?1恒成立,即k?对任意x?1恒成立. x?1x?1

x?xlnxx?lnx?2令g?x??, 则g??x??, 2x?1?x?1?所以k?

1x?1??0, xx

所以函数h?x?在?1,???上单调递增.因为h?3??1?ln3?0,h?4??2?2ln2?0, 令h?x??x?lnx?2?x?1?, 则h??x??1?所以方程h?x??0在?1,???上存在唯一实根x0,且满足x0??3,4?.

当1?x?x0时,h(x)?0,即g?(x)?0,当x?x0时,h(x)?0,即g?(x)?0, 所以函数g?x??

所以??g?x???minx?xlnx在?1,x0?上单调递减,在?x0,???上单调递增. x?1x?1?lnx0?x0?1?x0?2??g?x0??0??x0??3,4?. x0?1x0?1

所以k???g?x???min?x0??3,4?. 故整数k的最大值是3.

?11?x?a?12解:(1)设切点P(x0,y0),f?(x)?,??0 x?a?y?ln(x?a)?x00?0

?x0?y0?0 a?1

13x?ln(x?1)?b 6

(x?1)(x2?2x?2) 则h?(x)?有 已知h?(x)在(0,1)上,h?(x)?0, 2(x?1)

在(1,??)上,h?(x)?0?h(x)在(0,1)上递减,在(1,??)上递增. 1?h(1)??b?ln2?0?6?1①依题意有:?h(0)?b?0 解得0?b?ln2? 6?x???时,h(x)?0??

②依题意有0?x1?1,x1?1 ?x1x2?1?(x1?x2)?(x1?1)(x2?1)?0 (2)令h(x)?g(x)?f(x)?

?x1x2?1?x1?x2.

3解:(1)任取x1,x2???1,1?,且x1?x2,则

f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(?x2)?f(x1)?f(?x2)?(x1?x2)?0,(4分) x1?(?x2)

?1?,(5分)?f?x+??f?1?x? ?f(x1)?f(x2),?f(x)在?-11,上是增函数??2?

1??1?x??1?2?1?1??1????1?1?x?1即0?x?即不等式f?x+??f?1?x?的解集为?0? 4?2??4??1?x??1?x2?

(2)由于f(x)在?-11,?f(x)的最大值为f(1)=1,,上是增函数?

?f(x)?t2?2at?1对a???1,1?,x???1,1?恒成立

?1?t2?2at?1对任意a???1,1?恒成立

?0?t2?2at对任意a???1,1?恒成立 。。所即:以

把?y?t2?2at看作a的函数,由a???1,1?知其图像是一段线段。

22??t?2?(?1)t?0??t?2t?0?t?0或t??2??2即?2?? ?t?2?1?t?0?t?2t?0?t?2或t?0??

t的取值范围为?tt??2,或t?0,或t?2?

4解:方法一在区间?0,???上,f?(x)?11?ax?a?. xx

(1)当a?2时,f?(1)?1?2??1,则切线方程为y?(?2)??(x?1),即x?y?1?0

lnx(2)函数f(x)无零点?方程lnx?ax即a?在?0,???上无实数解 x

lnx1?lnx1?lnx??0得:x?e g(x)?0令g(x)?,则g?(x)? 由即22xxx

在区间(0,e)上, g?(x)?0,函数g(x)是增函数;在区间(e,??)上, g?(x)?0,函数g(x)

1是减函数;故在区间?0,???上, g(x)的极大值为g(e)?. e

?1?注意到x?(0,1)时,g(x)????,0?;x?1时g(1)?0;x??1,???时,g(x)??0,? ?e?

lnx1故方程a?在?0,???上无实数解?a?. xe

(3) 设x1?x2?0,Qf(x1)?0,f(x2)?0,?lnx1?ax1?0,lnx2?ax2?0 ?lnx1?lnx2?a(x1?x2),lnx1?lnx2?a(x1?x2)

原不等式x1?x2?e2?lnx1?lnx2?2

lnx1?lnx2x2(x1?x2)2??ln1? x2x1?x2x1?x2x1?x2

xx2(x1?x2)2(t?1)令1?t,则t?1,于是ln1? ?lnt?x2x1?x2t?1x2?a(x1?x2)?2?

2(t?1)14(t?1)2

(t?1), 求导得: g?(t)??设函数g(t)?lnt???0 t?1t(t?1)2t(t?1)2

故函数g(t)是?1,???上的增函数, ?g(t)?g(1)?0 即不等式lnt?2(t?1)2成立,故所证不等式x1?x2?e成立. t?1

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