haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

2001年全国初中数学联合竞赛试题及解答

发布时间:2014-02-19 09:12:44  

2001年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1. a,b,c

为有理数,且等式a?2a?999b?1001c的值是( )

A.1999

【答】B.

由于:5?? B.2000 C.2001 D.不能确定 .

2

所以:a?

则a?0,b?1,c?1.

?2a?999b?1001c?2000.

2.若ab?1,且有5a2?2001a?9?0及9b2?2001b?5?0,则

9 A. 5a的值是( ) b2001 9 5B. 9 C.?2001 5D.?

【答】A.

显然可以看出方程系数相同,可以利用根与系数关系来求解:

5a2?2001a?9?0,9b2?2001b?5?0(显然b?0不是方程的解) ?511?2001?9?0, b2b

1都是方程5x2?2001x?9?0的根, b故a与

但a?11,即a与是此方程的相异实根. bb

19从而a??. b5

3.已知在△ABC中,?ACB?90?,?ABC?15?,BC?1,则AC的长为( )

A

.2?

【答】B.

1

B

.2 C.0.3 D

如图,作?BAD?15,交BC于D.则AD=BD,?ADC?30. 设AC?

x,则CD?,AD?2x,

于是2x?

1,解得x?2A

C

?4.如图,在△ABC中,D是边AC上的一点,下面四种情况中,△ABD∽△ACB不一定成产的情况是( ) A.AD?BC?AB?BD C.?ABD??ACB

B.AB2?AD?AC

D.AB?BC?AC?BD

A

CA

【答】D.

由两三角形相似可知B、C一定成立,对于A,作BE⊥AC于E,作DF⊥AB于F,于是,DF?ADsinA,BE?ABsinA, 由AD?BC?AB?BD,得DF?BC?BE?BD. 所以,Rt△BDF∽△CBE,

从而,?ABD??ACB,得△ABD∽△ACB,故选D. 注:也可以利用正弦定理.

5.①在实数范围内,一元二次方程ax?bx?c?0

的根为x?;

2

②在△ABC中,若AC2?BC2?AB2,则△ABC是锐角三角形;

③在△ABC和△A1B1C1中,a,b,c分别为△ABC的三边,a1,b1,c1分别为△A1B1C1 的三边,若a?a1,b?b1,c?c1,则△ABC的面积S大于△A1B1C1的面积S1. 以上三个命题中,假命题个数是( ) A.0 【答】D.

① 若??0,命题不成立. ② AB未必是最大边.

③ 反例:如图,取△ABC,在BC上取BK?0.9BC,过K作l∥AB,在AB延长线上取B?,使AB??1.1AB.当点C?在l上远离时,AC?与B?C??1均变长,故可有AC??AC,AB??AB,B?C??BC.但△AB?C?的面积?△ABC的面积.

B.1 C.2 D.3

故选D.

2

6.某商场对顾客实行优惠,规定:

①如一次购物不超过200元,则不予折扣;

②如一次购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠;

③如一次购物超过500元的,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分则给予八折优惠.

某人两次去购物,分别付款168元和423元;如果他只去一次购物同样的商品,则应付款是( )

A.522.8元

【答】C.

显然,168小于200?0.9?180,没有经过打折;423小于500?0.9?450,且大于200,所以这是经过9折后的价格;合在一起是168?423?0.9?638?500,按照③,可是应付款为:500?0.9?138?0.8?560.4元.故选C.

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1.已知点P在直角坐标系中的坐标为(0,1).O为坐标原点,?QPO?150?,且P到Q的距离为2,则Q的标为_____________________.

【答】1,

1?. 1或?1,

若Q点在第一象限,则:由于?QPO?150,故?QPR?30, B.510.4元 C.560.4元 D.472.8元 ??同时,PQ?2,故QR?

1,PR

故OR?1Q

点坐标为:1,1,

同理,Q

点在第二象限时坐标为:?1,1,

因此,Q

点坐标为:1,

1. 1或?1,

????2.已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线的距离为________.

【答】 4. 3

如图,O1M?O1P?1,O2N?O2P?2, 取O2P中点Q,作OK⊥MN.

于是,2PH?1?QK,2QK?PH?2.解得PH?

4.

31O2

3

3.已知x,y是正整数,并且xy?x?y?23,x2y?xy2?120,则x2?y2?_________.

【答】 34.

令x?y?s,xy?t.

则s?t?23,st?120.

故可得s,t为方程x2?23x?120?0的两根,

故可得:s?8,t?15或s?15,t?8(舍去).

则:x2?y2??x?y??2xy?s2?2t?34.

4.一个正整数,若分别加上100和168,则可得到两个完全平方数,这个正整数为__________.

【答】156.

设此数为n,且n?168?a2,n?100?b2.

则a2?b2?68?22?17.

即?a?b??a?b??22?17.

但a?b与a?b的奇偶性相同,

故a?b?34,a?b?2.

于是a?18,从而n?156. 2

第二试

一.(本题满分20分)在直角坐标系中有三点A(0,1),B(1,3),C(2,6).已知直线y?ax?b上横坐标为0、1、2的点分别为D,E,F.试求a,b的值使得AD2?BE2?CF2达到最大值.

b?,E?1,a?b?,F?2,2a?b?, 解 D,E,F的坐标为D?0,

由图象可知:

AD2?BE2?CF2??b?1???a?b?3???2a?b?6? 222

?5a2?6ab?3b2?30a?20b?46

?5a2??6b?30?a?3b??20b?46

3??6?5?a?b?3??b2?2b?1 5??5

35?1??6??5?a?b?3???b???, 56?6??5?222

3?a?b?3?0?551?5当?时,上式取得最小值,此时a?,b?,最小值为. 266?b?5?0??6

4

二.(本题满分25分)

⑴证明:若x取任意整数时,二次函数y?ax2?bx?c总取整数值,那么2a,a?b,c都

是整数;

⑵写出上述命题的逆命题,并判断真假,且证明你的结论. 解 以ym表示x?m时的函数值,即ym?am2?bm?c.

⑴ 若x取整数值时,二次函数y?ax2?bx?c总取整数值. 则当x?0时,y0?a?02?b?0?c为整数,故c为整数值. 当x??1时,y?1?a???1??b???1??c为整数,于是a?b?y?1?y0为整数. 当x??2时,y?2?a???2??b???2??c为整数,于是2a?y?2?2y?1?y0为整数. 于是2a,a?b,c都是整数.

⑵ 所求逆命题为:若2a,a?b,c都是整数,那么x取任意整数时,二次函数y?ax2?bx?c总取整数值. 22

这是一个真命题.

方法一:若c,a?b,2a都是整数.

由y?ax2?bx?c?ax2?ax?ax?bx?c?ax?x?1???a?b?x?c, 当x取整数时,x?x?1?一定是偶数,故1x?x?1?必是整数,由2a是整数得2

12a?x?x?1?是整数,又由a?b,c是整数得??a?b?x?c是整数,因此当x取2

任意整数时,二次函数y?ax2?bx?c总取整数值. 方法二:若c,a?b,2a都是整数,

则当x为偶数时,设x?2k,

y2k?a?2k??b?2k??c?2a?2k2???2a?2?a?b????k?c, 2

由于2a,a?b,c及k都是整数,故y2k是整数.

当x是奇数时,设x?2k?1,

y2k?a?2k?1??b?2k?1??c??4k2?4k?a?a?2kb?b?c 2

?2a??2k2?2k????2a?2?a?b????k??a?b??c

由2b?2a?2?a?b?可得)由于2a,a?b,c及x都是整数,故y2k?1为整数.

5

三.(本题满分25分)

如图,D、E是△ABC边BC上的两点,F是BC延长线上的一点,∠DAE=∠CAF. ⑴判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系,并证明你的结论. ⑵若△ABD的外接圆的半径是△AEC的2倍,BC=6,AB=4,求BE的长.

∵?3??B??C ∴?3??1??C

解 ⑴ 两圆外切.作⊙ABD的切线l,则?1??B,

∵?1??2??3??1??C ∴?2??C ∴l与⊙AEC相切 即二圆相切于点A.

⑵ 设O1、O2分别是△ABD和△AEC的外心,G为⊙O2与BF的交点,连接O1O2 、O1B、O2G,显然O1O2经过点两圆的切点A.

∵O1B= O1A,O2G= O2A

∴∠O1BA=∠O1AB=∠O2GA=∠O2AG ∴O1B∥O2G

又∵ △ABD的外接圆的半径是△AEC的2倍 ∴AB=2AG=4 ∴AG=2

由割线定理可得:BA·BG=BE·BC ∴BE=4×6÷6=4.

6

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com