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初中数学竞赛知识点

发布时间:2014-02-19 09:12:55  

初中数学竞赛知识点归纳

一元一次方程解的讨论

1, 方程的解的定义:能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。 例如:方程 2x+6=0, x(x-1)=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解

分别是: x=-3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数,无解。

2, 关于x 的一元一次方程的解(根)的情况:化为最简方程ax=b后,

讨论它的解:当a≠0时,有唯一的解 x=b; a

当a=0且b≠0时,无解;

当a=0且b=0时,有无数多解。(∵不论x取什么值,0x=0都成立)

3, 求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解

当a|b时,方程有整数解;

当a|b,且a、b同号时,方程有正整数解;

当a、b同号时,方程的解是正数。

综上所述,讨论一元一次方程的解,一般应先化为最简方程ax=b

二元一次方程的整数解

1, 二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程ax+by=c中,

若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即

如果(a,b)|c 则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。

返过来也成立,方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解,

∵(9,3)=3,而3不能整除10;(4,2)=2,而2不能整除1。

一般我们在正整数集合里研究公约数,(a,b)中的a,b实为它们的绝对值。

2, 二元一次方程整数解的求法:

若方程ax+by=c有整数解,一般都有无数多个,常引入整数k来表示它的通解(即所有的解)。k叫做参变数。 方法一,整除法:求方程5x+11y=1的整数解

1?11y1?y?10y1?y

=??2y (1) , 555

1?y

设,则y=1-5k (2) , ?k(k是整数)5解:x=

把(2)代入(1)得x=k-2(1-5k)=11k-2

?x?11k?2

∴原方程所有的整数解是?(k是整数)y?1?5k?

方法二,公式法:

设ax+by=c有整数解?x?x0??y?y0则通解是?x?x0?bk(x,y可用观察法) ?y?y?ak0?00

3, 求二元一次方程的正整数解:

② 出整数解的通解,再解x,y的不等式组,确定k值 用观察法直接写出。

十一、二元一次方程组解的讨论

1. 二元一次方程组?a1x?b1y?c1??a2x?b2y?c2的解的情况有以下三种:

① 当a1b1c1??a2b2c2

a1b1c1??a2b2c2

a1b1?a2b2时,方程组有无数多解。(∵两个方程等效) ② 当时,方程组无解。(∵两个方程是矛盾的) ③ 当(即a1b2-a2b1≠0)时,方程组有唯一的解: ??x????y???c1b2?c2b1a1b2?a2b1c2a1?c1a2a1b2?a2b1 (这个解可用加减消元法求得)

求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),的最大、最小值常用两种方法:

b4ac?b2

①配方法:原函数可化为y=a(x+)+4a2a2.

∵在实数范围内(x+b)≥0, 2a2

最小值b∴若a>0时,当x=- 时, y2a

b

若a<0时,当x=- 时, y2a

∵x 在全体实数取值时,

∴ △≥0 4ac?b2=4a; 最大值4ac?b2=4a. ②判别式法:原函数可化为关于x 的二次方程ax2+bx+c-y=0.

即b2-4a(c-y)≥0, 4ay ≥4ac-b2.

4ac?b2

若a>0,y≥4a

4ac?b2

若a<0,y≤4a4ac?b2,这时取等号,则y 为最小值4a4ac?b2,这时取等号,则y 为最大值4a; .

有时自变量x定在某个区间内取值,求最大、最小值时,要用到临界点,一般用配方法方便.

2. 用上述两种方法,可推出如下两个定理:

定理一:两个正数的和为定值时,当两数相等时,其积最大. 最大值是定值平方的四分之一. 例如:两正数x和y, 如果x+y=10, 那么xy的积有最大值,最大值是25.

定理二:两个正数的积为定值时,当两数相等时,其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍. 例如:两正数x和y,如果xy=16, 那么 x+y 有最小值,最小值是8.

证明定理一,可用配方法,也叫构造函数法.

设a>0, b>0, a+b=k . (k为定值).

那么ab=a(k-a)

1k2

=-a+ka=-(a-k)+4222.

k2k

当a=时,ab有最大值42.

证明定理二,用判别式法,也叫构造方程法.

设a>0, b>0, ab=k (k为定值),再设 y=a+b.

那么y=a+k, a-ya+k=0.(这是关于a的二次议程方程) a2

∵ a 为正实数,

∴△≥0. 即(-y)2-4k ≥0, y2-4k≥0.

∴y≤-2k(不合题意舍去); y ≥2k.

∴ y最小值=2k. ?a?b?2k,k解方程组? 得a=b=

?ab?k.

∴当a=b=. k时,a+b 有最小值 2 k.

3. 在几何中,求最大、最小值还有下列定理:

定理三:一条边和它的对角都有定值的三角形,其他两边的和有最大值. 当这两边相等时,其和的值最大.

定理四:一条边和这边上的高都有定值的三角形,其他两边的和有最小值. 当这两边相等时,其和的值最小. 定理五:周长相等的正多边形,边数较多的面积较大;任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.

图象法

1.

2. 根据根的判别式和根与系数的关系,介绍了存在实数根,有理数根,整数根的充分必要条件. 要讨论两个实数根的符号,则可以建立不等式组.方程ax2+bx+c=0中,

① ?a?0有两个实数根的充分必要条件是? ??0?

????0? c?b

②有两个正实数根的充要条件是?-?0(a≠0包含在?0之中) a?a

?c?0??a

③有一正一负实数根的充要条件是c?0(a≠0,△>0均已包含在内) a

?c?0??a④有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是?

??b?0??a

3.

4.

辅助圆

1.

2. 经过两个点可以画无数个圆;经过三个点作圆,必须是不在同一直线上的三个点,可以作一个圆,并且只能作一个圆. 经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理:

④ 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义). 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上. 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆. 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆. 在较小区间内讨论实数根,则常利用图象来建立不等式组. 一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解,也可借助图象.

推论:同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径).

3. 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有:

4.

参数法证平几

1.联系数量间关系的变数叫做参变数,简称参数.

2.有一类平面几何的证明,可以根据图形性质引入参数,布列方程,通过计算来完成,我们称它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算. 同弧所对的圆周角相等. 圆内接四边形对角互补,外角等于内对角. 圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系. 圆中成比例线段定理:相交弦定理 ,切割线定理. 证明 型如ab+cd=m2常用切割线定理

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