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九年级数学竞赛试题

发布时间:2013-09-25 08:03:05  

2012学年第一学期区域性九年级数学竞赛

(2012年12月17日下午 时间:120分钟 满分:120分 ) 一、选择题(每小题5分,共30分)

1.已知a为实数,且a?a?a?2?0,则(a?1)?(a?1)?(a?1)的值是( ) A.?3 B.3 C.?1 D.1

2.P为正方形ABCD内一点,若PA:PB:PC=1:2:3,则∠APB的度数为( )

A.120° B.135° C.150° D.以上都不对 3.边长为1的正方形OABC的顶点A在x正半轴上,点C在y正半轴上,

将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°,如图所示,使点B恰好落 在函数y?ax(a?0)的图像上,则a的值为( ) A.?2 B.?1

C.?

2

3

2

8

9

10

322

D. ? 43

2

4.二次函数y??x?2x?8的图像与x轴交于B,C两点,点D平分BC,若在x轴上侧的A

点为抛物线上的动点,且∠BAC为锐角,则AD的取值范围是( ) A.3<AD≤9 B.3≤AD≤9 C.4<AD≤10 D.3≤AD≤8

? 沿弦BC折叠交直径AB于点D,若AD=4,DB=5,则5.将 BC

BC的长是( )

A

第5题图

B

A. 37 B.8 C. D.215

6.一个等边三角形的周长比一个正方形的周长在2012cm,等边三角形

的边长比正方形的边长大xcm.则x不能取的正整数的个数为( ) A.499 B.500 C.666 D.670 二、填空题(每小题5分,共40分)

7.已知关于x的不等式ax?b?0的解是x?1,则关于x的不等式(ax?b)(x?2)?0的 解为__________________

1

8.若二次函数y?ax?bx?c(a?0)图像的最低点的坐标为(1,?1), 则关于x的一元二次方程ax?bx?c?

?1的根为

2

2

P

9.如图,点P在正方形ABCD外,PB=10,△APB的面积为60, △BPC的面积为30,则正方形ABCD的面积为_____________。

10.标有1,1,2,3,3,5六个数字的立方体的表面展开图如图所示,掷 这个立方体一次,记朝上一面的数为x,朝下一面的数为y,得到平面直 角坐标系中的一个点(x,y).已知小华前二次掷得的两个点所确定的直线经过 点P(4,7),则他第三次掷得的点也在这条直线上的概率为 .

11.如图,矩形ABCD中,由8个面积均为1的小正方形组成的L型

模板如图放置,则矩形ABCD的周长为 _.

12.如图,直线AB与⊙O相交于A、B两点,点O在AB上,点C在 ⊙O上,且∠AOC= 40°,点E是直线AB上—个动点(与点O不重合),直线EC交;⊙O于另一点D,则使DE=DO的点E共有 个.

13.如图,正方形ABCD的两个顶点A、D分别在x轴,y轴上,AO=3,

y

D

B

OA

第18题第11题图

C

k

DO=4。如果双曲线y?和线B有一个交点,则k的范围

x

为 .

14.甲乙两个布袋中各有12个大小一样的小球,且都是红、白、蓝各4个。

从甲袋中拿出尽可能少且至少两个颜色一样的球放入乙袋中,再从乙袋中拿出尽可能少的球放入甲袋中,使甲袋中每种颜色的球不少于3个,这时甲袋中有_______________个球,乙袋中有__________个球(拿出时不能看)

三、解答题(共50分)

2

15.(12分)你觉得手机很神奇吗?它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信息,据说以后

还能发送味道、触觉信息呢!这里都有手机中电脑芯片的功劳.其实,这些信号在电脑芯片中都是以二进制数的形式给出的.每个二进制数都由0和1构成,电脑芯片上电子元件的“开”、“关”分别代表“1”和“0”.一组电子元件的“开”“关”状态就表示相应的二进制数.例如“开”“开”“关”表示“110”.

如图,电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件(假设它们首尾不相连),且相邻的两个元件不能同时是关的.(以下各小题要求写出解答过程)

(1)若此电路上有4个元件,则这4个元件所有不同的“开”“关”状态共有多少种?(请一一列出);

(2)若用ak表示电路上k(k?1)只电子元件所有不同的“开”“关”状态数,试探索 ak,ak?1,ak?2之间的关系(不要求论证);

(3)试用(2)中探索出的递推关系式,计算a10的值.

16.(12分)已知关于x的方程kx?(2k?1)x?k?1?0只有整数根,且关于y的一元二次方程2

(k?1)y2?3y?m?0有两个实数根y1和y2

(1)当k为整数时,确定k的值;

(2)在(1)的条件下,若m??2的整数,试求m的最小值

3

17.(12分)已知:△ABC中,D为BC的中点,E为AB上一点,且BE=

点,且CF=1AB.F为 AC上一42AC,EF交AD于P. 5

(1)求EP:PF的值.

(2)求A P:PD的值.

18.(14分)通过学习勾股定理的逆定理,我们知道在一个三角形中,如果两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形为直角三角形.类似地,我们定义:对于任意的三角形,设其三个内角的度数分别为x°、y°和z°,若满足x?y?z,则称这个三角形为勾股三角形.

(1)根据“勾股三角形”的定义,请你判断命题:“直角三角形不是勾股三角形”是 (填“真”或“假”)命题;

(2)已知某一勾股三角形的三个内角度数从小到大依次为x°、y°和z°,且xy=2160,求x+y的值;

(3)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB

,AC

=1 BC=2,BE是⊙O的直径,交AC于D.

①求证:△ABC是勾股三角形;

②求DE的长.

4 222

B

2012学年第一学期区域性九年级数学竞赛答题卷

学校 班级 姓名 学号 考号

???????????????????????????????????????????????????????? 二、填空题(每小题5分,共40分) 7、8、9、 10、11、 12、13、 14、, 三、解答题(第15、16、17每题12分,18题14分,共50分) 15、解: 16、解:

5

17、解:

18、解:(1)

6

B

参考答案:

一、选择题:DBD AAD

二、填空题:

7、?1?x?2 ;8、x1?x2?1 ;9、180 ;10、

k= 2 11

、 12、3 13、21≤k<28或31369 14、19,5 48

三、解答题:

15、解:用“1”表示开,“0”表示关,则所有不同的“开”“关”的状态可表示为: 1111(全开)------------------------------------------------2分

1110,1101,1011,0111(三开一关)---------------4分

1010,0101,0110(两开两关)-----------------------6分

共有8种,即a4?8

(2)由a1?2,a2?3,a3?5,a4?8归纳出ak?2?ak?1?ak----------------9分

(3)a5?a4?a3?8?5?13,a6?a5?a4?13?8?21,a7?a6?a5?21?13?34, a8?a7?a6?34?21?55,a9?a8?a7?55?34?89,a10?a9?a8?89?55?144 ------------------------------------------------------------------------------------------12分

16、解:(1)当K=0时,方程①有整数根x=-1--------------2分

当k≠0时,方程①可化为(x+1)(kx+k-1)=0

解得x1=-1, x2=?k?11=-1+----------------4分 kk

∵k为整数,x2也为整数

∴k=±1----------------------------------------6分

2此时△=(2k-1)-4k(k-1)=1>0

但当k=1时,方程②不是一元二次方程---------------7分

∴k=0或k=-1--------------------------------8分

2(2)当k=0时,方程②可化为-y-3y+m=0,

△=9+4m≥0,即m≥?9 ------------------------9分 4

又∵m??2

∴当m??2时,m的最小值为-2----------------10分

当k=-1时,方程②可化为-2y-3y+m=0,△=9+8m≥0,即m≥?

∴当m≥?

7 29--------11分 89时,m的最小值为-1------------------------------12分 8

17、解:(1)分别作EEl、FFl平行于BC且与AD交AD于E1、F1两点, 则F1F

DC?AF

AC?3

5 --------------- 2分

E1EAE3

DB?AB?4-------------3分

又BD=DC

F1F

EE?4 ------------------4分

15

EP

PF?E1E

F?5

4------------------6分

1F

(2)设AF1=y,F1P=4x,PE1=5x,E1D=z, y3

y?9x?z?5----------8分

y?9x

y?9x?z?3

4--------------9分

解得y=36x, z=15x -----------------------l0分 APy?4x40

PD?z?5x?x

20x?2

1 ---------------12分

18、解:(1)真----------------2分

?xy?2160????(1)

(2)由题意可得:??x2?y2?z2?????(2)------4分

??x?y?z?180????(3)

由(3)得:z?180??x(?y ) 代入(2)得:(x?y)2?2xy??18?0?x(??2y )

把(1)代入得:x?y?102-----------------6分

(3)①过B作BH⊥AC于H,

设AH=x,则

CH=1?x,

Rt?

ABH中,BH?

Rt?

CBH中,2?(1x)2?4----------------8分

8

解得:x?

所以,AH?BH?HC?1

所以,?A?45?,?ABC?75?,?C?60?-------------------9分 因为,45?60?75

所以,?ABC是勾股三角形---------------------10分

②连接CE

则?BEC??BAC?45?,又BE是直径,所以,?BCE?90? 所以,BC=CE=2

,BE?过D作DK⊥AB于K

设KD=h

,则BK?,AK?h

222

由AB?AK?BK?1)h?

所以,BD?

所以,DE?BE?BD?

?h?分

9

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