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初中数学培优竞赛讲座第30讲__创新命题

发布时间:2014-02-20 18:48:52  

第三十讲 创新命题

计算机技术与网络技术的迅猛发展,深刻改变了我们的学习方式、生活方式与思维方式.IT技术、Cyber空间、bemgdigital(数字化生存)等新概念层出不穷.

与时俱进,科学的发展对数学的需求,不断提出了新问题,在解决新问题的过程中又产生了许多新方法.近年各地中考、各级竞赛出现了丰富的以考查创新意识、创造精神为目的的创新命题,归纳起来有以下类型:

1.定义一种新运算;

2.定义一类新数;

3.给定一定规则或要求,然后按上述规则要求解题;

4.注重跨学科命题.

解创新命题时,需要在新的问题情境下,尽快适应新情况,充分运用已学过的数学知识方法去创造性地思考解决问题,对培养阅读理解能力、创新能力、提高学习兴趣有重要的促进作用.

例题

【例1】 一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差,则称这个自然数为“智慧数”,比如16=52-32,故16是一个“智慧数”,在自然数列中,从1开始起,第1990个“智慧数”是 . (北京市竞赛题)

思路点拨 自然数可分为奇数与偶数,从分析奇数与偶数中“智慧数”的特征入手.

注: 定义新数,即给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系,解这类问题的关键是准确全面理解“新数”的意义,通过推理解决问题.

【例2】 在甲组图形的4个图中,每个图是由4种简单图形A、B、C、D(不同的线段或圆)中的某两个图形组成的,例如由A、B组成的图形记为A?B,在乙组图形的(a)、(b)、(c)、(d)4个图中,表示“A?D”和“A?C”的是( ) .

A.(a),(b) B.(b),(c) C. (c),(d) D.(b),(d) (江苏省竞赛题)

思路点拨 从甲组图形中,两两比较A、B、C、D分别代表的哪种线段,哪种圆.

【例3】 有依次排列的3个数:3,9,8.对任相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:3,6,9,-1,8,这称为第一次操作;做第二次同样的操作后也可产生一个新数串:3,3,6,3,9,-10,-1,9,8,继续依次操作下去,问:从数串3,9,8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?

( “希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 用字母表示数,通过对一般性的考查,探求新增数之和的规律,以此作为解题的突破口.

【例4】 设[x]表示不超过x的最大整数(如[3.7]=3,[-3.7]=-4)解下列了程:

(1)[-l. 77x]=[-1.77]x;(x为非零自然数) (四川省选拔赛试题)

(2)[3x+1]=2x-1 (全国初中数学联赛题) 2

思路点拨 解与[x]相关的问题,关键是去掉符号“[ ]”,需灵活运用[x]的性质,并善于把估算、等式与不等式知识综合起来.

注:解决实际问题及计算机的运算时,常常需要对一些数据进行取整运算,即用不超过它的最大整数取而代之.[x]有以下基本性质:

(1)x=[x]+r,0≤r<l; (2) [x]≤x<[x]+1; (3)x-1<[x]≤x; (4)[n+x]=n+[x]; (5)[x+y]≥[x]+[y]

其中当n为整数,当且仅当x为整数时等号成立.

1

【例5】 如图,沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式(a一d)(b一c)>0,那么就可以交换b,c的位置,这称为一次操作.

(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d都有(a一d)(b一c)≤0?请说明理由.

(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2?,2003,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d都有(a一d)(b一c)≤0 ?请说明理由.

(全国初中数学竞赛题)

思路点拨 (1)从1~6中选取满足(a一d)(b一c)>0的四个数,按题设条件操作,

直至符合结论的要求;(2)略.

注:解按规则要求操作类的问题或写出具体操作步骤,或指出按规则要求不能实现的理由.解题的关键是善于在变化中把握不变量,利用不变量解题,此外,还要能灵活运用整数的整除性、奇偶性、通过赋值数学化等知识与方法.

【例6】 假设a#a+b表示经过计算后a的值变为a的原值和b的原值的和,又b#b.c表示经过计算后b的值变为b的原值和c的原值和乘飘假设计算开始时a=0,b=1,c=1,对a、b、c同时进行以下计算:(1) a#a+b ;

(2) b#b.c;(3) c#a+b+c(即c的值变为所得到的a、b的值与c的原值的和).连续进行上述运算共三次,试判断a、b、c三个数值之和是几位数?

思路点拨 对a、b

经过三次运算后,a+b+c=5+24+37=66,它是一个两位数.

学力训练

1.现定义两种运算: ,对于任意两个整数a,b, =a+b-1,

=ab-1,那么 =

2.对于任意有理数a,b,c,d,我们规定a

cbd?ad?bc,如果2x2

?1?1?8,那么x的取值范围是 .

3.餐厅里有两种餐桌,方桌可坐4人,圆桌可坐9人,若就餐人数刚好坐满若干张方桌和圆桌,餐厅经理就称此数为“发财数”,在l~100这100个数中,“发财数”有 个. (“五羊杯”竞赛题)

4.读一读:式子“1+2+3+4+5+??+100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长,书写也不方便,为了简便起见,我们可将“1+2+3+4+5+??+100”表示为这里“??n,

n?1100”

是求和符号.例如:“1+3+5+7+9+??+99”(即从1开始的100以内的连续奇数的和)可表示为?2n?

1;又如“1+2+3+4+5+6+7+8+9+10”可表示为?n333333333350

103.同学们,通过对以上材料的n?

1

n?1

阅读,请解答下列问题:

①2+4+6+8+10+??+100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符号可表示为 ; ②计算:

?(nn?152。 (2003牟无锡市中考题) ?1)=2

5.现规定一种运算: a※b=ab+a-b,其中a、b为有理数,则a※b +(b-a) ※b等于( ).

A.a2—6 B.b2一b C.b2 D.b2一a (大原市中考题)

6.“△”表示一种运算符号,其意义是:a△b=2a-b,如果x△(1△3)=2,那么x 等于( ).

A.1 B.13 C. D.2 22

7.设[a]表示不超过a的最大整数,如[4.3]=4,[-4.3]=-5,则下列各式中正确的是( ).

A.[a]=a B.[a]=a?1 C.[a]=-a D.[a]> a一1 ( “希望杯”邀请赛试题)

8.设记号“※”表示a※b=a?b,试写出两边均含有运算符号“※”和“+”且对任意3个数a,b,c2

都成立的等式(不少于两个). (上海市春季高考题)

9.设[x] 表示为不超过x的最大整数,解下列方程: (1) x+2[x]+4[x]+8[x]+16[x]+58=0;

(2)[2x+1]=x-1 (重庆市竞赛题) 3

10.一个自然数a,若将其数字重新排列可得到一个新的自然数b,如果a恰是b的3倍,我们称a是一个“希望数”.

(1)请你举例说明“希望数”一定存在;

(2)请你证明:如果a,c都是“希望数”,则ac一定是729的倍数. (“希望杯”邀请赛试题)

11.△表示一种运算,它的含义是x△y=

么2001△2002= .

12.若规定a△b=11112,已知2△1=???,那xy(x?1)(y?A)2?1(2?1)(1?A)3a?2b,那么方程3△x=4的解x= . 2

13.对一切正整数n,有f (n+1)=f (n)+n,且f (1)=1,则f (n)=.

14.将自然数N接写在每一个自然数的右面(例如,将2接写在35的右面得352),如果得到的新数都能被N整除,那么N称为“魔术数”.在小于130的自然数中,魔术数的个数为. (全国初中数学联赛)

15.若[x]=5,[y]=-3,[z]=-1,则[x一y一z]可以取值的个数是( ).

A.3 B.4 C.5 D.6 (2002年重庆市竞赛题)

16.用min (a,b)表示a、b两数中的较小者,用max (a、b)表示a、b两数中的较大者,例如min (3,5)= 3,max (3,5)= 5,min (3,3)=3,max (5,5)=5.设a、b、c、d是互不相等的自然数,min(a,b)=p,min (c,d)=q,max (p,q)=x,max(a,b)=m,max(c,d)=n,min(m,n)=y,则( ).

A.x>y B.x<y C.x=y D.x>y和x<y都有可能 (江苏省竞赛题) l7.设[x]表示不超过x最大整数,又设x、y满足方程组??y?2?x??3,如果x不是整数,那么x+y是

?y?3?x?2??5

( ). (第33届美国数学竞赛题)

A.一个整数 B.在4与5之间 C.在-4与4之间 D.在15与6之间 E.16.5 3

18.对任意有理数x、y定义运算如下:x△y=ax+by+cxy,这里a、b、c是给定的数,等式右边是通常数的加法及乘法运算,如当a=1,b=2,c=3时,l△3=1×l+2×3+3×1×3=16,现已知所定义的新运算满足条件,1△2=3,2△3=4,并且有一个不为零的数d使得对任意有理数x△d=x,求a、b、c、d的值.

19.有三堆石子的个数分别是19,8,9,现在进行如下的操作:每次从这三堆石子中的任意两堆中各取出1个石子,然后把这2个石子都加到另一堆中去,试问能否经过若干次这样的操作后,使得:

(1)三堆石子的数分别是2,12,22; (2)三堆都是12.

如能,请用最快的操作完成;不能,则说明理由.[注:若从第一、二堆各取1个到第三堆,可表示为 (19,8,9) →(18,7,11)等] (五城市联赛题)

20.n为自然数,若n+6│n+1996,则称n为1996的吉祥数.比如:4+6│43+1996,4就是1996的一个吉祥数,试求1996年的所有吉祥数的和.

21.下面给出表甲和表乙,若将表甲中相邻的两个小方格(指有公共边的两个小方格)中的数都加上或减去同一个数,称作一次操作,问经过若干次操作之后,能否将表甲变成表乙?若能,请写出一种操作过程;若不能,请说明理由.

22.规定:正整数n的“H运算”是:①当n为奇数时,H=3n+13;②当n为偶数时,H=n?表甲 表乙 (北京市竞赛题) 11 ???,22(其中H为奇数).

如数3经过1次“H运算”的结果是22,经过2次“H运算”的结果是11,经过3次“H运算”的结果是

46.请解答:

(1)数257经过257次“H运算”得到的结果;

(2)若“H运算”②的结果总是常数a,求a的值. ( “希望杯”邀请赛试题)

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第三十讲 创新命题参考答案

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