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第十三讲 容斥问题

发布时间:2014-02-22 19:31:27  

第十一讲 容斥问题

【专题导引】

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理:对n个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类(如图),那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。

NaNb

【典型例题】

【例1】三(1)班订《数学报》的有32人,订《阅读报》的有30人,两份报纸都订的有10人,全班每人至少订一种报纸。三(1)班有学生多少人?

【思路导航】根据题意,画出下图:

从上图可以看出,中间重叠部分表示两

的10人,这10人既被包括在订《数学份报纸都订报》的32人内,又被包括在订《阅读报》的30人内,重复算了一次,所以要算出全班人数,必须从32+30=62人中去掉被重复算过的10人。所以全班人数应是62-10=52人。

【试一试】

1.某班上体育课,全班排成4行(每行的人数相等),小芳排的位置是:从前面数第6个,从后面数第7个。这个班共有多少名学生?

2.有一个班每人都参加了一种课外兴趣小组,参加舞蹈队的有21人,参加合唱团的有32人,既参加舞蹈队又参加合唱团的有9人,全班共有多少人?

【例2】一个班有48人,班主任在班会上问:“谁做完语文作业?请举手!”有37人举手。又问:“谁做完数学作业?请举手!”有42人举手。最后问:“谁语文、数学作业都没有做完?”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。

【思路导航】完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有37+42=79人,多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次。所以,这个班语文、数作业都完成的有:79-48=31人。

【试一试】

1.一次数学测试,全班36人中,做对第一道聪明题的有21人,做对第二道聪明题的有18人,每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人?

2.四(1)班有学生55人,每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有36人,参加跳绳的有38人。两项比赛都参加的有几人?

【例3】某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对?

【思路导航】已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,可以求出只答对第一题的有25-15=10人。又已知答对第二题的有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数:10+23=33人。所以,两题都答得不对的有36-33=3人。

【试一试】

1.一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人?

2.四(1)班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了。那么,有多少人两个小组都没有参加?

【例4】某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?

【思路导航】要求两科竞赛同时参加的人数,应先求出至少参加一科竞赛的人数:56-25=31人,再求两科竞赛同时参加的人数:28+27-31=24人。

【试一试】

1.一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人?

2.一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人。两样都会的有多少人?

【例5】光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,

五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅?

【思路导航】由题意知,24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数,22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24+22=46幅,这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数,从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品,即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数,再除以2,即可求出其他年级参展作品的总数。(24+22-10)÷2=18幅。

【试一试】

1.艺术节那天,学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品,其中有23幅画不是五年级的,有21幅画不是六年级的,五、六年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅?

2.科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有114件不是一年级的,有96件不是二年级的,一、二年级参展的作品共32件。其他年级参展的作品共有多少件?

课 外 作 业

家长签名:__________

1.学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,

会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人?

2. 50个学生中带圆珠笔的有10人,带钢笔的有45人,两种笔都没带的有1人,两种笔都带的有多少人?

3.四(1)班有40个学生,其中有25人参加数学小组,23人参加航模水组,有19人两个小组都参加了,那么,有多少人两个小组都没有参加?

4.有100个人,其中10人既不懂英语又不懂俄语,有75人懂英语,83人懂俄语,既懂英语又懂俄语的有多少人?

5.六(1)儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅?

我的学习收获: . 我来编题: .

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