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初中数学竞赛教程及练习之最大 最小值附答案

发布时间:2014-02-24 19:12:39  

最大 最小值

一、内容提要

1. 求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),的最大、最小值常用两种方法:

b24ac?b2

①配方法:原函数可化为y=a(x+)+.4a2a

∵在实数范围内(x+b2)≥0,2a

4ac?b2b∴若a>0时,当x=- 时, y 最小值=;4a2a

4ac?b2b若a<0时,当x=- 时, y 最大值=.4a2a

②判别式法:原函数可化为关于x 的二次方程ax2+bx+c-y=0.

∵x 在全体实数取值时,

∴ △≥0

即b2-4a(c-y)≥0, 4ay ≥4ac-b2.

4ac?b24ac?b2

若a>0,y≥,这时取等号,则y 为最小值;4a4a

4ac?b24ac?b2

若a<0,y≤,这时取等号,则y 为最大值.4a4a

有时自变量x定在某个区间内取值,求最大、最小值时,要用到临界点,一般用配方法方便.

2. 用上述两种方法,可推出如下两个定理:

定理一:两个正数的和为定值时,当两数相等时,其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.

例如:两正数x和y, 如果x+y=10, 那么xy的积有最大值,最大值是25.

定理二:两个正数的积为定值时,当两数相等时,其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.

例如:两正数x和y,如果xy=16, 那么 x+y 有最小值,最小值是8.

证明定理一,可用配方法,也叫构造函数法.

设a>0, b>0, a+b=k . (k为定值).

那么ab=a(k-a)

12k2

=-a+ka=-(a-k)+.422

k2k当a=时,ab有最大值.42

证明定理二,用判别式法,也叫构造方程法.

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