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初中数学竞赛教程及练习之中位线附答案

发布时间:2014-02-24 19:12:51  

中位线

1.一、内容提要三角形中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。

中位线性质定理的结论,兼有位置和大小关系,可以用它判定平行,计算线段的长度,确定线段的和、差、倍关系。

运用中位线性质的关键是从出现的线段中点,找到三角形或梯形,包括作出辅助线。

中位线性质定理,常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论,

①一组平行线在一直线上截得相等线段,在其他直线上截得的线段也相等

②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线,必平分第三边

③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线,必平分另一腰

有关线段中点的其他定理还有:

①直角三角形斜边中线等于斜边的一半

②等腰三角形底边中线和底上的高,顶角平分线互相重合

③对角线互相平分的四边形是平行四边形

④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等

因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

二、例题

已知:△ABC中,分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN,P是

BC的中点。求证:PM=PN

证明:作ME⊥AB,NF⊥AC,垂足E,F

∵△ABM、△CAN是等腰直角三角形

∴AE=EB=ME,AF=FC=NF,

根据三角形中位线性质

2.3.4.5.例1.

PE=11AC=NF,

PF=AB=ME

P22

PE∥AC,PF∥AB

∴∠PEB=∠BAC=∠PFC 即∠PEM=∠PFN

∴△PEM≌△PFN ∴PM=PN

例2.已知△ABC中,AB=10,AC=7,AD是角平分线,CM⊥AD于M,且N是BC的中点。求MN的长。

分析:N是BC的中点,若M是另一边中点, 则可运用中位线的性质求MN的长,

根据轴称性质作出△AMC的全等三角形即可。 辅助线是:延长CM交AB于E(证明略) N 例3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底,且等于两底差的一半。

已知:梯形ABCD中,AB∥CD,M、N分别是AC、BD的中点

求证:MN∥AB∥CD,MN=1(AB-CD)2

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