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培优竞赛辅导二:有理数的巧算__解题

发布时间:2014-02-25 09:17:37  

【培优竞赛辅导】第二讲 有理数的巧算

【赛点解析】

1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算,在运算过程中,根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧,不仅可以简化运算,提高解题速度,而且可以养成勤于动脑,善于观察到良好习惯。

2、有理数的相关概念和性质法则

⑴有理数的运算法则 ⑵有理数的运算律及其性质

3、常用运算技巧

⑴巧用运算律 ⑵凑整法 ⑶拆项法(裂项相消) ⑷分组相约法 ⑸倒写相加法 ⑹错位相减法 ⑺换元法 ⑻观察探究、归纳法

【专题精讲】

【例1】计算下列各题

33332512332⑴ (?)?0.75?0.5?(?)??(1)?()3?43?(?)3 44372544

27391213⑵ (?0.125)?(?1)?(?8)?(?) 35

解(1)前三个 提取 (-3/4)^3 之和 等于 0

结果就是 -(4^6)/(3^3)= - 4096/27

(2) 因为 负数的偶次方 是正

原式可变形为 (1/8)^12 * (-8/3)^7 *( -8)^13 *(-3/5)^9

先定 符号 7+13+9=29 所以为 负

分子分母约分 可得 -(8^14)/ (3^2)*(5^9)

【例2】计算:1?2?3?4?5?6?7?8?9?10?11?12???2005?2006?2007?2008 解 四个一组 如 1-2-3+4

可 分为502组

所以=0

1111111111【例3】计算:⑴??????? ⑵ ?????2612203099001?33?55?799?101

(1) 如 (2) 变形

1/2= 1/(1*2)=1-1/2

1/6=1/(2*3)=1/2-1/3

L

1/9900=1/(99*100)=1/99-1/100

原式=1-1/2+1/2-1/3 L +1/99-1/100

=1-1/100

=99/100

(2) 1/1*3=(1/2)*(1-1/3)

1/3*5= (1/2)*(1/3 -1/5)

L

1/99*101 =(1/2)*(1/99 -1/101)

原式=(1/2)*(1-1/3 +1/3 -1/5 ??+1/99 -1/101) =(1/2)*(1 -1/101) = 50/101

反思说明:一般地,多个分数相加减,如果分子相同,分母是两个整数的积,且每个分母中因数差相同,

可以用裂项相消法求值。 ①

1111111

② ???(?)

n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k11111111

?[?] ④ ?(?)

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)(n?1)(n?1)2n?1n?1

1111【例4】(第18届迎春杯)计算:?????

2481024

解 2 4 8 1024 是 2的 一次方到 10次方

提取 1/1024

得 1/(2^10) * (2^9 +2^8 +??+1)

下面是 一个公式的 推演 1+ 2^1 +2 ^2 ?? +2^n 设X=1+ 2+ 2^2 +2^3 +2^4 +??+2^n 1 2X= 2+2^2+2^3 +2^4 +??+2^n +2^(n+1) 2 2 -1 得

X=2^(n+1) -1

所以 原式 = (1/2)^10 *(2^10 -1)=1023/1024

11212312341235859

【例5】计算:?(?)?(??)?(???)???(??????)

23344455556060606060

解 1/2

1/3 (1+2) = 1/3 * (1+2)*2/2 首相加末相 * 相数/2 约分 = 2/2 1/4(1+2+3)=1/4 * (1+3)*3/2 =3/2 1/60(1+2??+59) = 1/60 * (1+59) *59/2 =59/2 原式=1/2 +2/2 +3/2 +59/2 =(1 +59 ) *59 /2 /2=15*59=885

【例6】(第8届“希望杯”)计算:

11111111111111(1?????)(????)?(1??????)(????)

23200923420102320092010232009解 设 X= 1/2 +1/3 +1/4 +?? +1/2009)

原式 =(1 – X)*(X + 1/2010) – (1-X- 1/2010)*X = 1/2010

【例7】请你从下表归纳出13?23?33?43???n3的公式并计算出:13?23?33?43???503的值。

如 平方 公式 推演

1234

2468

369

48

51020

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]

1215

1216

510152025

=(2n^2+2n+1)(2n+1)

=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1

3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1

4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1

......

(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有

(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2

高中课本 演算推演 的 例题 平方 用 三次方来 减

【实战演练】

1、用简便方法计算:999?998998999?998?999999998?

2、(第10届“希望杯”训练题)(

3、已知a??

4、计算:

5、(“聪明杯”试题)(

6、(1?11111?1)?(?1)???(?1)?(?1)?(?1)?200420031002100110001999?1999?19992000?2000?20002001?2001?2001则abc? ,b??,b??1998?1998?19981999?1999?19992000?2000?2000111????? 11?13?1513?15?1729?31?331?2?4?2?4?8???n?2n?4n2)?1?3?9?2?6?18???n?3n?9n11111)(1?)(1?)?(1?)(1?)的值得整数部分为( ) 1?32?43?51998?20001999?2001

22A.1 B.2 C.3 D.4 提示:(n?1)?n?2n?1

7、

8、计算:S?1?2?2?2???2

9、计算1?

23201048121640??????? 1?33?55?77?919?21 111的值. ??????1?21?2?31?2?3?????100

1111

10、计算:?的值 ????1?(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)?(1?)223234232010

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