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2第二十四届“希望杯”培训题

发布时间:2014-02-25 10:43:10  

希望杯⒋若N是能够被所有小于8的正整数整除的第二小的正 整数。则N的各数字之和是() A.12 B.10 C.8 D.6
解:能够被所有小于8的正整数整除的最小自然数是1,2,3, 4,5,6,7的最小公倍数,即等于 22×3×5×7=420。 所以能够被所有小于8的正整数整除的第二小的正整数 N=420×2=840, N的各数字之和等于8+4+0=12,故选(A)

考查对“整除”与“公倍数”的定义的 理解 ⒈带余除法:若a,b是两个整数,b>0,则存在两个整数q, r,使得a=bq+r(0≤r<b),且q,r是唯一的。 特别地,如果r=0,那么a=bq。这时,a被b整除,记作 b|a,也称b是a的约数,a是b的倍数。

希望杯12.《中国好声音》的媒体评审团一共有99名媒体评 审员,在为3名选手投票时,每位评审员最多只能投2票,下面4组 投票统计: 第一组:84,97,29. 第二组:66,54,70. 第三组:66,84,95. 第四组:76,82,40. 其中肯定不正确的投票统计有()组。 A.1 B.2 C.3 D.4
好象有点没头绪,但只要抓住重点字眼“每位评审员最多只能 投2票”。就是说每组计票总数不能超过99×2=198。 第一组:84+97+29=210(超过) 第二组:66+54+70=190(没超) 找突破口是最重要的 第三组:66+84+95=245 (超过) 第四组:76+82+40=198(没超) 第一组、第三组肯定是不正确的投票统计。故选(B)

希望杯22.方程|x+1|+|2x-1|=1的整数解的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3
要理解整数含义,以及绝对值的非负性质,可联立方程组

? x ?1 ? 0 ? x ?1 ?1 或? ? ? 2x ? 1 ? 1 ? 2x ? 1 ? 0
两个方程组都无整数解,故选(A)

希望杯25.一个三位数 abc 可以被3整除,则以下四个式子 中一定可以被3整除的是()abc A.a-b+c B.abc C.a+b-c D.a+b-2012c

abc ? 100a ? 10b ? c ? 99a ? 9b ? (a ? b ? c)
因为a、b都是整数,所以99a+9b可以被3整除,所以如果 abc 可以被3整除,a+b+c也一定可以被3整除。 a+b-2012c=a+b+c-2013c,也能被3整除。故选(D)

⒈利用整数的各种表示法 ①十进制表示形式:n=an10n+an-110n-1+…+a0;

希望杯28.自然数n是两个质数的乘积。这个数包含1,但不包 含n的所有因数的和等于1000,则n的值是() A.1994 B.1496 C.2090 D.2013
这道题的表达有点让人难受,它的意思是说,n有共有4个因 数,分别为1,p,q,n(其中pq是质数),且1+p+q=1000 ∵1+p+q=1000 ∴p+q=999 ∴p、q必有一个是偶数 设p=2,则q=997 ∴n=2×997=1994,故选(A) 既是偶数又是质数的数是2 性质1:偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数

两个整数的和或差是偶数,这两个数的奇偶性相同。 性质2:偶数±奇数=奇数 两个整数的和或差是奇数,这两个数的奇偶

性相反。

希望杯29.若两位数 ab 和 ba 都是质数,则 ab 称为两位的 绝对质数。那么,两位数中绝对质数的个数是() A.6 B.7 C.8 D.9 两位数质数的尾数一定不能为偶数0,2,4,6,8和5

那么构成两位的绝对质数只能由1,3,7和9组成。
逐个试验有:11,13,17,31,37,71,73,79,97共9个 故选(D)

希望杯31.若a,b,c都是质数,其中a最小,且a+b+c=44, ab+3=c,则ab+c=________
∵a+b+c=44 ∴a、b、c中必有一个为偶数 ∴a=2,则有:

又∵a,b,c都是质数,其中a最小

?b ? c ? 42 ? 0 ? ? 2b ? c ? 3 ? 0

?b ? 13 ?? ?c ? 29

∴ab+c=2×13+29=55 既是偶数又是质数的数是2 性质3:偶数个奇数的和或差是偶数 性质4:奇数个奇数的和或差是奇数

希望杯38.算式32013×410×520的结果末尾有________个0. 2×5=10,每一对2×5都会产生一个0 32013×410×520 =32013×(22)10×520 =32013×220×520 =32013×(2×5)20 ∴末尾一共有20个0。

希望杯52.对自然数列1,2,3,4,5,6,…进行淘汰,淘 汰的原则是:凡不能表示为两个合数之和的自然数均被淘汰,如: “1”应被淘汰;但12可以写成两个合数8与4的和,不应被淘汰。被 保留下来的数按从小到大的顺序排列,第2004个数是__________ 事实上只有1,2,3,4,5,6,7,9,11这9个数被淘汰了。 8及以上的偶数均可写成“4+合数”(4+2n)(n≥2)的形式,而13 以上的奇数则可写成“9+合数”(9+2n)(n≥2)的形式。 第2004个数是2004+9=2013

希望杯53.有些数既能表示成3个连续自然数的和,又能表示 成4个连续自然数的和,还能表示成5个连续自然数的和。例如30 就满足上述要求,因为30=9+10+11;30=6+7+8+9;30=4 +5+6+7+8。则1949至2013之间满足上述要求的数有________ 个。 设3个连续自然数为a,a+1,a+2。它们的和为3a+3,必是3的 倍数。 同理5个连续自然数之和为5a+10,必是5的倍数, 4个连续自然数之和为4a+6,被4除余2。 因此,符合条件的数应同时是3和5的倍数,且被4除余2。 30是第一个满足条件的数,之后每加上[3,4,5]=60才会再出 现一个。 满足条件的数共有2个: 1950=30+60×32, 2012=30+60×33,

希望杯60.体积为2013立方厘米的一个长方体,长、宽、高 都是大于1的自然数。将它的表面涂上黄色后,切成边长为1厘米的 小正方体有2013个,那么恰好有两个面为黄色的小正方体有 ________个。
∵2013=3×11×61,

∴长方体的长为61厘米,宽为11厘米,高为3厘米,
∴恰好有两面为黄色的小正方体有 (61-1-1)×1×4 + (11-1-1)×1×4 + (3-1-1)×1×4 =[(61-2)+(11-2)+(3-2)]×4 =(59+9+1)×4 =69×4 =276(个)

希望杯61.小明每个月有10元零花钱,一块巧克力3角钱,一 张玩具卡片2

角钱。小明的幸福值可以用下面这个公式来表示:幸 福值=巧克力块数×玩具卡片数。小明一个月可达到的幸福值最高 为________。 100=(2+3)×20 100=(2+3)×20 ∵幸福值=巧克力块数×玩具卡片数。 如果巧克力块数+玩具卡片数的和一定,要使幸福值最高,则 2 2 ( a ? b ) ? ( a ? b ) 巧克力块数=玩具卡片数。 ab ? 4 如果巧克力块数+玩具卡片数的和减少或增加
巧克力 21 玩具卡 18
22 17 23 15 24 14 25 12

巧克力 19 玩具卡 21

18 23

17 24

16 26

15 27

14 29

13 30

幸福值 375 373 345 336 330

幸福值 399 414 408 416 405 406 390

希望杯62.同学们在玩数7的游戏,从1开始轮流数,凡是碰到 含有数字7的数或者7的倍数,轮到的人必须说“过”。当大家成功 数到100的时候,一共说了______个“过”。 个位数字是7的一共有10个数。 十位数字是7的一共有10个数,除去个位数字为7的77,还有9 个数。 100以内7的倍数一共有14个数,除去含有数字7的7,70,77, 余11个数。 ?100 ? ? 14 ? ? 7 ? ? 数到100的时,一共说了10+9+11=30个“过”

希望杯63.某城市的汽车牌照前3 位是3 个英文字母而后三位 是3 个数字。这个城市一共能发放______个车牌。
前3 位每一位可能是26个英文字母中的任意一个,有26种可能 性。 后三位每一位可能是0—9中的任意一个,即有10种可能性。 所以一共做车牌26×26×26×10×10×10=17576000个

希望杯64.如图14,从路口A到路口B有四条东西向的马路, 四条南北向的马路。某人从A到B的最短了路线一共有_______条。

希望杯

第2图是把第1图四等分成4个小三角形,第3图把第2图中的每 个小三角形四等分成4个更小的三角形,总结规律: 第1图有单位三角形1个,即40; 第2图有单位三角形4个,即41; 第3图有单位三角形16个,即42; ………… 归纳规律:第n图中有单位三角形4n-1个; 第2013图有单位三角形42012 个

希望杯75.从1 到2013 这2013 个自然数中,与21 互质的数 共有_________个。
分解质因数21=3×7

? 2013 ? 从1 到2013,能被3整除的数有 ? ? 671(个) ? ? 3 ? 从1 到2013,能被7整除的数有 ? 2013 ? ? 287( 个) ? ? 7 ? ? ? 2013 ? 从1 到2013,能被21整除的数有 ? ? 95(个) ? ? 21 ? 所以,从1 到2013这2013个自然数中,与21互质 的数共有:
2013-(671+287)+95=1150(个)

希望杯80.宝石鉴定师张宝不小心在26 颗0.5 克拉(1 克拉= 0.2 克)的钻石中混入了1 颗外观一样的立方氧化锆仿钻。张宝除 了一台非常准的宝石天平以外没有其他检测设备,他用天平只称了 3 次,就把这颗仿钻挑出来了,你知道他是怎么做的吗?(立方氧 化锆比钻石重60-70%) 26+1=33 27颗钻石分成三份,每份9颗。将其中2

分别放在天平的左盘和 右盘上。这时有两种情况: 如果天平保持平衡,说明立方氧化锆在没有称重的9颗里; 如果天平不平衡,则立方氧化锆在较重的托盘上。 将包含仿钻的9颗钻石分成三份,每份3颗,将其中2份分别放 在天平的左盘和右盘上,这时有两种情况:如果天平保持平衡,说 明立方氧化锆在没有称重的3颗里;如果天平不平衡,则立方氧化 锆在比较重的托盘上。 挑出包含仿钻的3颗钻石,随意将其中2颗分别放在天平的左盘 和右盘上,这时如果天平保持平衡,说明立方氧化锆是没有称重的 那一颗;如果天平不平衡,则立方氧化锆是在比较重的托盘上。


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