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五年级奥数题:数的整除性(B)

发布时间:2014-02-25 11:00:43  

数的整除性B

一、填空题

1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.

2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.

3. 下面一个1983位数3□?中间漏写了一个数字(方框),已知这 个个

个多位数被7整除,那么中间方框内的数字是_____.

4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.

5. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.

6. 一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.

7. 任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.

8. 有0、1、4、7、9五个数字,从中选出四个数字组成不同的四位数,如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来,第五个数的末位数字是_____.

9. 从0、1、2、4、5、7中,选出四个数,排列成能被2、3、5整除的四位数,其中最大的是_____.

10. 所有数字都是2且能被??整除的最小自然数是_____位数. 个

二、解答题

11. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少?

1

12.只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改?

13.500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5(1至5)名报数;第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6(1至6)报数,既报1又报6的士兵有多少名?

14.试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除?如果回答:“可以”,则只要举出一种排法;如果回答:“不能”,则需给出说明.

2

1. 2620或2711

一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能

或又 238568?88=2711

所以,本题的答案是2620或2711.

2. 0

因为36=9?4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+?+9=45,由能被9整除的数的特征,(可知□+□之和是0(0+0)、9(1+8,8+1,2+7,7+2,3+6,6+3,4+5,5+4)和18(9+9).再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,?,36,?,72,?96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.

所以,这个数的个位上的数最小是0.

3. 6 ?□? 991个 991个

??10993+3□4?10990? 990个个

因为111111能被7整除,所以和?都能被7整除,所以只要 个个

3□4能被7整除,原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.

4. 10,11,12或21,22,23或32,33,34.

三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有

当和为33时,三个数是10,11,12;

当和为66时,三个数是21,22,23;

当和为99时,三个数是32,33,34.

[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下:

设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则

n+(n+1)+(n+2)

=3n+3

=3(n+1)

所以,n?(n?1)?(n?2)能被3整除.

5. 118

符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,

3

如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79.

所以,所求的和是39+79=118.

6. 195

因为这个数可以分解为两个两位数的积,而且15?15=225>200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13?13=169不合要求,13?15=195适合要求.所以,答案应是195.

7. 9

根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.

因为3456=384?9,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B的各位数字之和C也总是9.

8. 9

∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497?.所以第五个数的末位数字是9.

9. 7410

根据能被2、3、5、整除的数的特征,这个四位数的个位必须是0,而十位、百位、千位上数字的和是3的倍数。

为了使这个四位数尽可能最大,千位上的数字应从所给的6个数字中挑选最大的一个.从7开始试验,7+4+1=12,其和是3的倍数,因此其中最大的数是7410.

10. 300 ∵??3?11?1

100个个

显然连续的2能被2整除,而要被3整除,2的个数必须是3的倍数,又要被?整除,2的个数必须是100的倍数,所以,最少要有300个连续的2方能满 个

足题中要求.答案应填300.

11. 如果最小的数是1,则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数,因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察2、3、4、5这四个数,仍不符合要求,因为5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,经试算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7.

12. 因为225=25?9,要使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成问题,末两位数75不必修改,只要看前三个数字即可, 4

根据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征,因为

2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把1改为0;把4改为3;把1改为9;把2改为1.

13. 若将这500名士兵从右到左依次编号,则第一次报数时,编号能被5整除的士兵报1;第二次报数时,编号能被6整除的士兵报6,所以既报1又报6的士兵的编号既能被5整除又能被6整除,即能被30整除,在1至500这500个自然数中能被30整除的数共有16个,所以既报1又报6的士兵共有16名.

14. 不能.

假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数,我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组,可得20组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的5个数中都至少有两个数是3 的倍数.从而一共有不少于40个数是3 的倍数.但事实上,在1至100的自然数中有33个数是3的倍数,导致矛盾.

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