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1第二十四届“希望杯”培训题

发布时间:2014-02-25 11:49:58  

第二十四届(2013年)“希望杯”全国数学邀请赛培训题
巧用“乘法公式”解题 因式分解的几种方法: 一、提取公因式法: 二、公式法:
1.应用平方差公式:

一“提”、二 ma“套” ? mb ? m?a ? b ?
2 2

a ? b ? ?a ? b??a ? b?
a ? 2ab ? b ? ? a ? b ?
2 2 2

2.应用完全平方公式:

乘法公式
⒈乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的 结果加以总结,直接应用。 公式中的每一个字母,一般可以表示数字、单项式、多项式, 有的还可以推广到分式、根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开),还可以由右 到左逆用(因式分解),还要记住一些重要的变形及其逆运算―― 除法等。 ⒉基本公式就是最常用、最基础的公式,并且可以由此而推导 出其他公式。

⒊公式的推广:

我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角” 就是一例.如图,这个三角形的构造法则: 两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和, 它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序 排列)的系数规律。 例如,在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应( a+b)2= a2+2ab+b2展开式中的系数; 第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等.

(1)根据上面的规律,写出(a+b)5的展开式.
【解析】(1)(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

(2)利用上面的规律计算:25-5〓24+10〓23-10〓22+5〓2-1.
(2)原式=25+5×24×(-1)+10×23×(-1)2+10×22×(-1)3 +5×2×(-1)4+(-1)5=(2-1)5=1.

希望杯5.若x2-2x=3,则2x3-7x2-2004=( )

A.2012

B.-2012

C.2013

D.-2013

解1: 将x2-2x=3 移项、分解因式,得
x2-2x-3=0 用十字相乘法
(x+1)(x-3)=0,从而 X =-1或x=3, 较蠢的方法 当X =-1时,代入,原式=-2013 当X =3时,代入,原式=-2013 利用

解2: 将x2-2x=3 移项,得
x2-2x-3=0

ma ? mb ? m?a ? b?

将x2-2x-3=0看成一个整体,再将原式拆项提取公因式可得: 原式=2x(x2-2x-3)-3(x2-2x-3)-2013=-2013 解3:原式=(2x3-4x2)-3x2-2004 (将-7x2拆项或叫裂项) =2x(x2-2x)-3x2-2004=6x-3x2-2004 =-3(x2-2x)-2004=-9-2004=-2013 类似题型还有:

希望杯50.若关于x 的一元一次方程ax+b-5=0 的解为x=2,则4a2 +b2+4ab-2a-b+3=__________

解: ∵关于x 的一元一次方程ax+b-5=0 的解为x=2
∴2a+b-5=0 即2a+b =5

4a2+b2+4ab-2a-b+3=(2a+b)2-(2a+b)+3 =25-5+3=23

已知x2+x-1=0, 求x3+2x2+2009的值。
解法一:原式=x(x2+x-1)+(x2+x-1)+2009 =2010 有的老师称这种解法为“化零散为整体” 解法二:∵ x2+x-1=0 ∴x2=1-x

∴ x3+2x2+2009 =x(1-x)+2(1-x)+2009 =-x2-x+2011 =-(x2+x-1)+2010 =2010
利用降次来转化,这办法

虽然好,但好象没有什么整体观念

(2010·遵义中考)已知a2-a-1=0,则a2-a+2009=_____.
【解析】a2-a+2009=a2-a-1+2010=0+2010=2010.

答案:2010
这道中考题有点幼稚

已知a-b=5,ab=3,求代数式a3b-2a2b2+ab3的值. 【解析】a3b-2a2b2+ab3=ab(a2-2ab+b2) =ab(a-b)2=3×52=3×25=75.

看到多项式首先考虑的是提取公因式法,然后才是公式法:

ma ? mb ? m?a ? b ?

已知a+b=2,则a2-b2+4b的值是(
(A)2 (B)3 (C)4

)
(D)6

【解析】选C.原式=(a+b)(a-b)+4b =2(a-b)+4b =2a+2b

=2(a+b)=4.

5.(2010·仙桃中考)已知a-2b=-2,则4-2a+4b 的值是( (A)0 ) (B)2 (C)4 (D)8

【解析】选D.∵a-2b=-2,
∴4-2a+4b=4-2(a-2b)

=4-2×(-2)=8.

已知a-b=-1,求a3+3ab-b3的值. 解法1 由a-b=-1得a=b-1,代入所求代数式化简 a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3 =b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3 =-1. 解法2 ∵a-b=-1,所以 这是用代入消元法消 去a化简求值的.

这种解法是利 原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab 用了乘法公式, =-13 (a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab 将原式化简求 值的. =-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2 =-(-1)2=-1 解法3 ∵a-b=-1,所以 原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3 =(-1)3=-1. 这种解法巧妙地利用了-1=a-b, 将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b),
从而凑成了(a-b)3.

解法4

∵a-b=-1,所以 (a-b)3=(-1)3=1,

即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1, a3-b3-3ab(a-b)=-1, 所以 a3-b3-3ab(-1)=-1,
即 a3-b3+3ab=-1.

,这种解法是由a-b=-1, 演绎推理出所求代数式 的值.

解法 5

a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab
=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab =(-1)3+3ab(-1)+3ab =-1.

这种解法是添项,凑出(a-b)3,然后化简求值. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ; a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

希望杯23.△ABC的三边长分别是a,b,c。如果b2+c2-bc=a(b+c -a),那么△ABC一定是() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

解: 将原式去括号、移项,得
a2+ b2+c2-ab-bc-ca=0, 方程都乘2得

即a=b ,b=c,a=c ∴△ABC一定是等边三角形

2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0, 利用:a 2 ? 2ab ? b 2 ? ? a ? b ?2 应用完全平方公式得 (a- b)2+(b-c)2+(a-c)2=0 应用非负数性质 ∵(a- b)2≥0,(b-c)2≥0,(a-c)2≥0 ∴a- b=0,b-c=0,a-c=0 类似题型还有:

若a、b、c是三角形的三边长且满足

(a+b)2-(a+c)2=0,则此三角形是( A )
A、等腰三角形 B、等边三角形

C、直角三角形

D、不能确定

解:∵(a+b)2-(a+c)2=0 ∴(a+b+a+c)(a+b-a-c)=0 ∴(a+b+a+c)=0 (不成立),或(a+b-a-c)=0 可得b=c ∴此三角形是等腰三角形

△ABC的三边a.b.c满足b ? c ? 8, bc ? a 2 ?12a ? 52

试判断△ABC的形状, 并证明你的结论 .
解:∵b+c=8, ∴c=8-b, 代入bc=a2-12a+52并移项得 a2-12a+52+b2+8b=0, 再拆项(应用完全平方式分裂常数项) a2-12a+36+b2+8b+16=0, (a-6)2+(b-4)2=0,

∴a-6=0,b-4=0, ∴a=6,b=c=4,

? △ABC是等腰三角形

已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a,b,c满足等式 3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,请你说明△ABC是等边三角形.

解: ∵ 3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2

∴ 3a2+3b2+3c2- (a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac)=0
3a2+3b2+3c2- (a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac)=0 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0 (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 ∴ a-b=0,a-c=0,b-c=0 即 a=b,a=c,b=c ∴△ABC是等边三角形.

已知a、b、c是△ABC的三边,且满足 a2c2-b2c2=a4-b4,试△ABC判定的形状。
解: ∵a2c2-b2c2=a4-b4

∴c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2) =0

(a2-b2)(c2-a2-b2)2=0 (a2-b2)(c2-a2-b2)2=0 ∴a2-b2=0或c2-a22=0 b即 a=b,或c2=a2+b2

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形。

三角形的边长a、b、c,满足

1 1 1 1 ? ? ? , 则这个三角形一定是( a b c a?b?c
解:由已知得



(a-b+c)(bc-ca+ab)=abc.
展开后以主元a降次排列,得 (b-c)a2-(b-c)2a-bc(b-c)=0 即(b-c) (a-b) (a+c)=0 所以b=c或a=b或a=c 故这个三角形一定是等腰三角形。

已知a、b、c是△ABC的三边,且满足a=m2n2,b=2mn,c=m2+n2 (m>n,m,n是正整数),△ABC是直 角三角形吗?是说明理由。
解:∵a=m2-n2, b=2mn, ∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2, =m4-2m2n2+n4+4m2n2, =(m2+n2)2 又∵c=m2+n2 ∴a2+b2=c2 △ABC是直角三角形

设a,b,c为△ABC的三边,求证:a2-b2 -c2-2bc<0 证明: a2-b2-c2-2bc =a2-(b2+c2+2bc) =a2-(b+c) 2 =(a+b+c)(a-b-c) ∵a,b,c为△ABC的三边 a+b+c>0,a-b-c<0 故(a+b+c)(a-b-c)<0

∴a2-b2-c2-2bc<0

典型问题 已知:a、b为有理数,且2a2-2ab+b2+4a+4=0, 则ab(a+b)= ( ) A.-8 B.-16 C.32 D.-32 解法分析 这里ab(a+b)是多项式的乘法,要计算其结果,必 须要由已知条件求出a、b(或ab与a+b)的值. 已知条件只是一个等式,要求两个字母的值,必 须将其“分解”为两个等式(方程).

典型问题 ? 已知:a、b为有理数,且2a2-2ab+b2+4a+4=0, 则ab(a+b)= ( ) ? A.-8 B.-16 C.32 D.-32
? 解:2a2-2ab+b2+4a+4=0可变形为 ? (a2-2ab+b2)+(a2+4a+4)=0, ? 即 (a-b)2+(a+2)2=0,
? ? ? ? 由于 (a-b)2≥0, (a+2)2≥0, 因此 a-b=0且a+2=0,解得 a=b=-2. 所以 ab(a+b)=(-2)×(-2)×[(-2)+(-2)] =-16.答案为B.

若m2+2m+n2-6n+10=0,求m和n的值 解:把等式的左边分解因式: m2+2m+1+n2-6n+9=0 即(m+1)2+(n-3)2=0, ∵(m+1)2≥0,(n-3)2≥0 ∴m+1=0,n-3=0,即m=-1,n=3 利用以上解法,解下列问题:

已知x2+y2-x+4y+

解:x2-x+

1 4

+y2+4y+4=0

17 =0,求x和y的值。 4

(x因为(x-

1 2 ) +(y+2)2=0 2 1

1 所以,x=0,y+2=0 2

2

2 2 ) ≥0,(y+2) ≥0

1 即,x= ,y=-2 2

例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd,且a,b,c,d都是正 数,求证:a=b=c=d. 证 由已知可得 a4+b4+c4+d4-4abcd=0, (a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0, 所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0. 因为(a2-b2)2≥0,(c2-d2)2≥0,(ab-cd)2≥0, 所以a2-b2=c2-d2=ab-c

d=0, 所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)=0. 又因为a,b,c,d都为正数,所以a+b≠0, c+d≠0, 所以a=b,c=d. 所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0, 所以a=c.故a=b=c=d成立.

已 知 : ax2 ? bx ? c是 一 个 完 全 平 方 式 求 证 : b 2 ? 4ac ? 0

(a , b, c是常数 )

证 明 : 设ax2 ? bx ? c ? (mx ? n)2 , m, n是 常 数

那 么 ax2 ? bx ? c ? m 2 x 2 ? 2mnx ? n2
根据恒等式的性质得 ?a ? m 2 ? ?b ? 2mn ? 2 c ? n ?

? b2 ? 4ac ? (2mn)2 ? 4m 2 n2 ? 0

已知多项式ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除,求证: ad=bc 证明:设商式为ax+m,则 ax3+bx2+cx+d=(ax+m)(x2+p) =ax3+mx2+apx+mp 比较对应项的系数,得
?b ? m ? ? c ? ap ? d ? mp ?

? bc ? ad

⒈带余除法:若a,b是两个整数,b>0,则存在两个整数q, r,使得a=bq+r(0≤r<b),且q,r是唯一的。 特别地,如果r=0,那么a=bq。这时,a被b整除,记作 b|a,也称b是a的约数,a是b的倍数。

已知多项式x3+4x2-6x+5,除式为x2+1,求它们相除所得的 商式与余式。 分析 由题设知,商式必为一次式,且一次项系数为1。因此可 设商为x+a,而余式显然是bx+c的形式。 解:设商为x+a,余式为bx+c x3+4x2-6x+5 =(x+a)(x2+1)+(bx+c) =x3+ax2+(b+1)x+a+c

比较同次幂的系数,有
? a ? 4, ? ? b ? 1 ? ? 6, ? a ? c ? 5. ? ? a ? 4, ? 解 得 ? b ? ?7, ? c ? 1. ?

故所求的商式为x+4,余式为-7x+1.

计算 : 1996 ? 1997 ? 1998 ? 1999 ? 1 ? 1996

2

解:∵ a(a ? 1)(a ? 2)(a ? 3) ? 1

? (a ? 3a )(a ? 3a ? 2) ? 1 ? (a ? 3a ) ? 2(a ? 3a ) ? 1 ? (a ? 3a ? 1) 2 ? a ? 3a ? 1
令a=1996,则
原式=19962+3×1996+1-19962=5989
2 2 2 2 2

2

2

x?2 x?3 x?4 x?5 求 证: ? ? ? x?1 x ? 2 x ? 3 x ?4 4 x ? 10 ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4)
分析:若将左边通分变形,计算量会很大,观察其特点,若采 用分离整式,分组通分,分步求和,则会事半功倍。

1 1 1 1 左边 ? 1 ? ?1? ?1? ?1? x ?1 x?2 x?3 x?4 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) x ?1 x ? 2 x?3 x?4 1 1 ? ? ( x ? 1)( x ? 2) ( x ? 3)( x ? 4) 4 x ? 10 ? ? 右边 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4)

1 1 1 1 1 1 1 1 已知 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 5 8 11 20 41 110 1640 1 1 1 1 1 1 1 1 求? ? ? ? ? ? ? ? 的值 2 5 8 11 20 41 110 1640

比较已知式与待求式,涉及到八个分数,有些相等,有些相反, 运用这一特征,按符号的异同分为两类

1 1 1 1 1 1 1 1 设x ? ? ? ? , y ? ? ? ? 2 5 8 20 11 41 110 1640
则问题变成:已知x+y=1,求y-x之值。注意到

1 1 1 1 7 7 1 ? ? ? ? , 于是 y ? 1 ? ? 2 5 8 20 8 8 8 1 7 3 故y ? x ? ? ? ? ,即为所求的结果 8 8 4

x?4 x?5 x?7 x?8 解方程 ? ? ? x?5 x?6 x

?8 x?9
按一般解法是先去分母,两边同时乘以(x-5)(x-6)(x-8)(x-9),使 方程形式变得复杂,运算冗长易错,由于方法呆板而陷入泥潭。 如果作适当变形和运用结合律,会迅速得到解决。 解:将原方程变形为

1 1 1 1 (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) x?5 x?6 x?8 x?9 1 1 1 1 ? ? ? ? x?5 x?6 x?8 x?9 1 1 ? ? ( x ? 5)( x ? 6) ( x ? 8)( x ? 9)
?( x ? 5)( x ? 6) ? ( x ? 8)( x ? 9) 故x ? 7

已 知 x ? 19 ? 8 3 , 求 分 式
如果按一般方法将

x ? 6 x ? 2 x ? 8 x ? 23 x ? 8 x ? 15
2

4

3

2

的 值

x ? 19 ? 8 3 代入 , 计算将十分繁琐

解:将已知条件作适当变形:

x ? 19 ? 8 3 ? 4 ? 3 ,

则x ? 4 ? 3 , 进而有 x 2 ? 8 x ? 13 ? 0.
x 4 ? 6 x 3 ? 2 x 2 ? 8 x ? 23 ? x 2 ? 8 x ? 15 ( x 2 ? 2 x ? 1)( x 2 ? 8 x ? 13) ? 10

x 2 ? 8 x ? 13 ? 2 ( x 2 ? 2 x ? 1) ? 0 ? 10 ? ?5 0? 2

已知: a+b+c=0,
求证: a3+a2c+b2c-abc+b3=0 3+a2c+b2c-abc+b3 ∵ a 证明: =a3+b3+a2c+b2c-abc =(a+b)(a2-ab+b2)+c(a2-ab+b2) =(a+b+c)(a2-ab+b2) 又 a+b+c=0.

故 a3+a2c+b2c-abc+b3=0

己知:a+b+c=0 求证:a3+b3+c3=3abc
分析:将a3+b3+c3-3abc因式分解, a3+b3 要配成(a+b)3 应添上两项3a2b+3ab2 a3+b3+c3-3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3abc-3a2b-3ab2
=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

∵a+b+c=0

3 3 3 ∴a3+b3+c3-3abc=0 即a +b +c =3abc

又证:∵a+b+c=0 ∴a=-(b+c)
两边立方 a3=-(b3+3b2c+3bc2+c3) 移项 a3+b3+c3=-3bc(b+c)=3abc 再证:由己知 a=-b-c 代入左边,得 (-b-c)3+ b3+c3=-(b3+3b2c+3bc2+c3)+b3+c3 =-3bc(b+c)=-3bc(-a)=3abc

设x、y、z是不全相等的实数,

若x=a2-bc, y=b2-ac, z=c2-ab,
求证:x、y、z中至少有一个大于0.
证明:∵x=a2-bc, y=b2-ac, z=c2-ab,
2 2 2

? x ? y ? z ? a ? bc ? b ? ac ? c ? ab
1 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca 2

?

?

1 2 2 2 2 2 2 ? a ? 2ab ? b ? b ? 2bc ? c ? c ? 2ca ? a 2

??

? ?

? ?

??

1 2 2 2 ? ?a ? b ? ? ?b ? c ? ? ?c ? a ? 2

?

??0

∴x、y、z中至少有一个大于0

ab+ac=8-a2 解方程组 ab+bc=12-b2 bc+ca=-4-c2 解:原方程组即, a(a+b+c) =8 ①

b(a+b+c) =12
c(a+b+c) =-4




①+②+③,得

(a+b+c)2=16 ∴a+b+c=〒4 把④分别代入①、②、③得 a=2 b=3 c=-1 a=-2





b=-3 c=1

希望杯37.若整数a,b 同时满足a2=2b,b2=2a,则a,b 的值分 别是________
解:∵整数a,b 同时满足a2=2b,b2=2a

∴所以a、b必为正整数 将a2=2b,b2=2a两式相减得
a2-b2=2b-2a,将两边分解因式得 (a+b)(a-b) =-2(a-b),移项并提取公因式得 (a-b) (a+b+2)=0 a-b=0 ,或a+b+2=0(不符合a、b必为正整数条件,舍去) 即a=b 当a=b时,
利用平方差公式和提取公因

式法

代入a2=2b,可得 b2-2b=0,即b(b-2)=0 ∴a=b=0,或a=b=2。

从而b=0,或b=2

希望杯39.若

则b2-c2-ac+bc-2a+2b=_________

分析 已知条件是以连比的形式出现时,往往引进一个 比例参数来表示这个连比. ? b ? ak ?????① ? b c 2 ? 解: 设 ? ? ? k, 则 ?c ? bk ?????② a b c ? 2 ?③ 2 ? ck ? c ? ? k ?

2 由③代入 ②得b ? 2 , k

2 2 将b ? 2 代入 ①得a ? 3 k k

? b 2 ? c 2 ? ac ? bc ? 2a ? 2b 4 4 4 4 4 4 ? 4 ? 2 ? 4 ? 3 ? 3 ? 2 ?0 k k k k k k

求x + y + z的值.
分析 已知条件是以连比的形式出现时,往往引进一个 比例参数来表示这个连比.

则有x= k (a-b), y=k (b -c), z=k (c-a),

所以x +y +z=k (a-b) +k (b- c )+k (c-a)=0,
所以x+ y+ Z=0. 本例中所设的k,就是“设而不求”的未知数.

化多元为一元

x y z 若 ?? ? , 3 4 7

3x ? y ? z 则 ? __ y

【分析】消去未知数是解题的常见思路,常见的方法有 代入消元和加减消元, 本问题可采用"设k法", 表面上看似乎增加了 未知数的个数, 实际上找到了新的等量关系, 如x=3k等,设参与消参 的转化达到了化多元为一元的目的, 使问题顺利求解。 x y z 解: 设 ? ? ? ? k 则 x=3k, y=-4k, z=7k,代入原式,得 3 4 7

3 x ? y ? z 9k ? 4k ? 7k 12k ? ? ? ?3 y ? 4k ? 4k

已知a、b、c均为非零实数,且满足

a?b?c a?b?c b?c?a ? ? ?k c b a
A 1 B -2 C 1或-2
a ?b?c a ?b?c b?c?a 解? ? ? ?k c b a

则k的值为( )

D 1或 2

?a ? b ? c ? ck? ① ? ? ?a ? b ? c ? bk? ② ?b ? c ? a ? ak? ③ ?

? a ? b ? c ? k(a ? b ? c)

? k(a ? b ? c)-(a ? b ? c)? 0 ?(a ? b ? c)(k - 1)? 0 ? a ? b ? c ? 0或k - 1 ? 0 -c-c 当a ? b ? c ? 0时,则a ? b ? -c, k? ? ?2 c 当k ? 1 ? 0时, 则k ? 1 ?选 C



( a ? b )(a ? c )(b ? c ) 求 的 值 abc a?b?c a?b?c ?a?b?c 解 : 设参数法令 ? ? ?k c b a ? a ? b ? ( k ? 1)c ??① ? ①+②+③有 则? a ? c ? ( k ? 1)b ??② ? b ? c ? ( k ? 1)a ??③ ?

a?b?c a?b?c ?a?b?c ? ? , c b a

2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c), ∴ (a+b+c)(k-1)=0, 故有k=1或 a+b+c=0. 当k=1时,(a ? b)(a ? c )(b ? c ) ? 2c .2b.2a ? 8
abc abc (a ? b)(a ? c )(b ? c ) ( ? c ).(? a ).(? b) 当a+b+c=0时, ? ? ?1 abc abc

希望杯55.

a ? ab ? b 若3a ? 2b, 则 a ?b
2 2 2

2

?

解:要使所求分式有意义,a,b不能同时为0,可引入参数k. 设3a=2b=k(k≠0),则 代入原式

1 1 a ? k,b ? k 3 2
1 1 ? k ? k 6 4 1 1 k ? k 9 4
2 2 2 2

a ? ab ? b a ?b
2 2 2

2

1 k ? 9

2

1 ? 13

此解法不同参考答案

希望杯58.甲、乙、丙、丁四个数之和

等于94,甲数减负8, 乙数加负7,丙数乘6,丁数除以负5所得结果相等,则四个数中最 大的一个数比最小的一个数大_________
解:设甲、乙、丙、丁四个数分别为a、b、c、d。则有 ?a ? b ? c ? d ? 94 ? ? 1 a ? ( ?8 ) ? b ? ( ?7 ) ? c ? ( ?6 ) ? d ? ( ? ) ? ? 5 1 设a ? ( ?8) ? b ? ( ?7) ? c ? ( ?6) ? d ? ( ? ) ? k , 则 5 k ?a ? k ? 8 ? ( k ? 8) ? ( k ? 7) ? ( ? ) ? ( ?5k ) ? 94 ?b ? k ? 7 6 ? ?a ? ?38 ? 1 ?b ? ?23 c ? ? k ? ? ? k ? ? 30 ?? 6 ? c?5 ? ? d ? ?5k ? ?d ? 150 ∴其中最大的一个数比最小的一个数大188

希望杯

成比例线段的计算最好也是引入参数k,从最短的线段BD入手 1 ? ? AC ? AB ? AB ? 3 AC ? 3 ? ? BC ? 2 AC AB ? BC ? AC ? ? 可设 BD ? 2k, 则 BC ? BD ? ? BC ? 3 BD 3

? ? ?

AC ? 3k , BC ? 6k , AB ? 9k , CD ? 4k , AD ? 7k ,

图中有AC,AD,AB,CD,CB,DB共6条线段。 长度总和表示为 3k ? 7k ? 9k ? 4k ? 6k ? 2k ? 31 ? k ? 1

? AD ? 7

已知1989x2=1991y2=1993z2,x>0,y>0,z>0,且
且 1 1 1 ? ? ? 1.求 证 x y z 1989x ? 1991y ? 1993z ? 1989 ? 1991? 1993

证: 令1989x2=1991y2=1993z2=k(k>0),则
1989x ? k k k ,1991y ? ,1993 z? . x y z
k k k ? ? ? x y z 1989 x ? 1991 y ? 1993 z ? 1 1? ?1 k? ? ? ? y z? ? x

?

1 1 1 ? ? ? 1 ? 1989 x ? 1991 y ? 1993 z ? x y z
k k k ,1991 ? ,1993 ? . x y z
2 2 2

k

? 1989 ?

? 1989 ?

1991 ?

1993 ?

k k k ? ? ? x y z

k

故 1989 x ? 1991 y ? 1993 z ? 1989 ? 1991 ? 1993

希望杯56.四个人的年龄分别是a、b、c、d,任取三人的平均 年龄加上余下一个人的年龄分别得到w、x、y、z,那么

a?b?c 设w ? ? d, 3 a?b?d x ? ? c, 3 a?c?d y ? ? b, 3 b?c?d z ? ? a, 3 w? x? y?z 3( a ? b ? c ? d ) ? ? ( a ? b ? c ? d ), 3 ? 2( a ? b ? c ? d ),

w? x? y? z ? ? 2 a?b?c?d

二、设参数法与换元法求值
如果代数式字母较多,式子较繁,为了使求值简便,有时可增设一些参 数(也叫辅助未知数),以便沟通数量关系,这叫作设参数法.有时也可把代 数式中某一部分式子,用另外的一个字母来替换,这叫换元法.

y x y z a b c x 例2 已知 ? ? ? 1, ? ? ? 0,求 2 ? 2 ? z2 的值。 a b c x y z a b c
2 2

2

x ?y 分析:若从求 a b
2 2

2

2

?

z c 的值入手,可考虑到
2

2

应把条件 x ?
a

y z ? ? 1两边平方,在平方之后, b c

虽然会出现一些交叉项,但能从另一个已知条 件给予解决。采用换元法求解。

x2 x y z a b c 已知 ? ? ? 1, ? ? ? 0,求 ? a2 a b c x y z

y2 b2

? 的值。
c2

z2

x y z 解: 令 ? u,

? v , ? w , 于是条件变为 a b c
?① ? u ? v ? w ? 1, ? ?1 1 1 ? ? ? 0. ?② ? ?u v w uv ? vw ? wu 由②有 ? 0, uvw

? uv ? vw ? wu ? 0

? u2 ? v 2 ? w 2 ? 1
x2 y2 z2 即 2 ? 2 ? 2 ?1 a b c

把①两边平方得 u 2 ? v 2 ? w 2 ? 2 ? uv ? vw ? wu ??1

例2 已知:x+y+z=3a(a≠0,且x,y,z不全相等),求

解 令x-a=u,y-a=v,z-a=w,则分式变为

u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0. 由于x,y,z不全相等,所以u,v,w不全为零, 所以u2+v2+w2≠0,从而有

例2 已知:x+y+z=3a(a≠0,且x,y,z不全相等),求

解: 令x-a=u,y-a=v,z-a=w,则 u+v+w=(x+y+z)-3a
∵x+y+z=3a

∴u+v+w=0,两边平方得
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0. u2+v2+w2=-2(uv+vw+wu) 由于x,y,z不全相等,所以u,v,w不全为零,所以u2+v2+w2≠0

1 1 1 2 2 2 已知 a ? ? b ? ? c ? , a ? b ? c   求证 : a b c ? 1 b c a 1 1 b?c b?c 证明 : 由已知 a ? b ? ? ?   ? bc ? c b bc a?b 1 1 c?a c?a b?c ? ? ?   ? ca ? a c ca b?c

1 1 c?a c?a b?c ? ? ?   ? ca ? a c ca b?c a?b 同理 ab ? c?a a?b b?c c?a ? ab ? bc ? ca ? ?1 c?a a?b b?c

即a b c ? 1
2 2 2

希望杯42.计算:20124-2011〓(20123+20122+2012-2)=________

解:设2012=n,那么2011=n-1,依题意得 20124-2011〓(20123+20122+2012-2) =n4-(n-1)(n3+n2+n-2) =n4-(n4+n3+n2-2n-n3-n2-n+2) =3n-2 将n=2012〓3-2=6034 用字母代替数字,解题变得清晰、明了

1999 ? 1000 ? 999 计算 19990? 99900
3 3

3

解: 设 1000 ? m, 999 ? n, 则
( m ? n) ? m ? n 原式 ? 1999? 1000? 999
3 3 3

m ? 3m n ? 3mn ? n ? m ? n ? mn ( m ? n)
3 2 2 3 3

3

3mn ( m ? n) ? ?3 mn ( m ? n)

希望杯44.在224-1 的因数中两位数的正因数有_______个 解:224-1 =(212+1)(212-1) =[(24)3+1)](26+1)(26-1)

立方和公式a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

= (24+1)[(24)2- 24〓1+1][(22)3+1) ](23+1)(23-1) =17〓[(16+4)(16-4)+1](22+1)[(22)2-22〓1+1](23+1)(23-1) =17〓241〓5〓13〓9〓7 = 32〓5〓7〓13〓17〓241 224-1 的两位数的正因数有13,17和 3〓5=15

共12个。

7〓9=63 7〓13=91

3〓7=21 3〓13=39 3〓17=51

5〓7=35 5〓9=45 5〓13=65 5〓17=85

希望杯49.若(x-2)2+(x+3)2=15,则(2-x)(3+x)=__________ 分析:利用完全平方式(a+b)2=a2+2ab+b2的变形式a2+b2=(a+b)2-2ab
而此题的a+b可能为① (x-2)+(3+x)=2x+1 或 ② (2-x)+(3+x)=5 解:(x-2)2+(x+3)2=(2-x)2+(3+x)2 这是最关键的一步

=[(2-x)+(3+x)]2-2(2-x)(3+x)
=52-2(2-x)(3+x) ∴52-2(2-x)(3+x)=15 ∴-2(2-x)(3+x)=-10 故(2-x)(3+x)=5 此题不仅活用的完全平方式,还夹带了整体思维将(2-x)(3+x) 当成一个整体去考虑,不用直接去求x的值再代入。

希望杯76.已知:(b-c)2=(c-a)2=(a-b)2,求证:a=b=c 证明:由(b-c)2=(c-a)2 两边展

开得b2-2bc+c2=c2-2ca+a2 (b+a)(b-a)-2c(b-a)=0 (b-a)(b+a-2c)=0

∴a=b,或b+a=2c
①若a=b,原式=0,则a=b=c ②若a+b=2c,同理 由(c-a)2=(a-b)2两边展开得c2-2ca+a2=a2-2ab+b2 c2-b2-2ca+2ab=0 (c-b)(c+b-2a)=0 综合可得a=b=c 可得b+c=2a

46.现有边长为a的A类正方形卡片和边长为b的B类正方形卡 片,及长为a、宽为b的C类长方形卡片若干张,如果要拼成一个长 为(a+2b)、宽为(2a+b)的大长方形,需要A类卡片_______张,B 类卡片_______张,C类卡片_______张。 解:∵(a+2b) (2a+b)=2a2+2b2+5ab, ∴分别需要A、 B、 C这三类卡片2,2,5张。

希望杯78.已知a,b,c均不为0且满足

求证:

由ab2 ?

a 2b 2 1 1 2ab 4 2 2 2ab ? 2 ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? 2 c c a b c c ab abc c a 2b 2 1 2ab 4 2 2ab 2 1 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 2 2 c c c c abc c ab a b (ab ? 1) 2 2(ab ? 1) 2 2 1 ? ? ? ? 2 2 将c ? ab(ab ? 1)代入 2 c abc ab a b (ab ? 1)2 2(ab ? 1)2 2 1 ? 2 2 ? 2 2 ? ? 2 2 2 a b (ab ? 1) a b (ab ? 1) ab a b

c ? b, 得a 2 b 2 ? c ? ab. a

? c ? ab(ab ? 1)

1 2ab ? 2 2 1 ? 2 2? 2 2 ? ? 2 2 ?0 a b a b ab a b

34.已知n是正整数,an=1〓2〓3〓4〓…〓n,则

a2010 a2011 a1 a2 a3 a4 解: ? ? ? ? ?? ? a 3 a4 a5 a6 a2012 a2013 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ?? 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 1 ? 2 ? 3 ? ?? 2010 1 ? 2 ? 3 ? ?? 2011 ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? 2010? 2011? 2012 1 ? 2 ? 3 ? ?? 2011? 2012? 2013 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?? ? 2? 3 3? 4 4? 5 5? 6 2011? 2012 2012? 2013
1 ? ? 1 1 ? ? 1 1? ? 1 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? 2 3? ? 3 4? ? 4 5? ? 5 6? ? 2011 2012? ? 2012 2013?

1 1 2011 ? ? ? 2 2013 4026

1 1 1 1 计 算: ? ? ? ?? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 1998 ? 1999
一般情况下,分数计算是先通分.本题通分计算将很繁,所以 1 1 1 我们不但不通分,反而利用如下一个关系式 ? ? k ( k ? 1) k k ? 1
1 1 1 ? ? , 1? 2 1 2

1 1 1 ? ? 2? 3 2 3

1 1 1 ? ? ,? 3? 4 3 4

来把每一项拆成两项之差,然后再计算,这种方法叫做拆项法.

1 ? ?1 1? ? 1 1? ? 1 1? ? 1 原式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2? ? 2 3? ? 3 4? ? 1998 1999? 1 1 1998 ? ? ? 1 1999 1999
说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相 反数的项,这种方法在有理数巧算中很常用

例题1 :计算 2 2 + + 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 2 2 +...+ 3? 4? 5 2002 ? 2003 ? 2004
提示: 2 3-1 1 1 ? ? ? 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 1? 2 2?3 2 4-2 1 1 ? ? ? 2

?3? 4 2?3? 4 2?3 3? 4

拆项计算常用到以下关系式:

1 1 1 1 化简 : ? ? ? ?? 1 1? 2 1? 2? 3 1 ? 2 ? 3 ? ?? n
分析 : 各项都具有 1 k ( k ? 1) 的形式 , 而1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? , 1 ? 2 ? 3 ? ?? k 2

1 2 1 1 ? ? 2( ? ). 故每项都可作如下变形: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k k (k ? 1) k k ?1
评注:本题是求多个分式之和,它有两个特点,一是每个分式 的分子相同;二是每项的分母都可化为两个数相乘,且这两个数的 第一个数是前一项的第二个数。

采用的方法叫做裂项法。用得较多的裂项技巧有:
1 1 1 ? ? ; n( n ? 1) n ? 1 n 1 1 1 1 ? ( ? ); n( n ? k ) k n n ? k

1 1 ? n( n ? k )(n ? 2k ) 2k

? ? 1 1 ? ? n( n ? k ) ( n ? k )(n ? 2k ) ? ? ?

12 22 992 求下式的值 : 2 ? 2 ? ?? 2 1 ? 100? 5000 2 ? 200? 5000 99 ? 9900? 5000

分析:求和的式子中 每一项项都可以
解: k2 k ? 100k ? 5000 k2
2 2

表示成

?

2k 2
2

2k ? 200k ? 10000 k 2 ? (100? k ) 2 (100? k ) 2

?

2k

k2 2

的形式 ? 100k ? 5000

k2

k ? 100k ? 5000 (100? k ) 2 ? 100(100? k ) ? 5000 ? 2k 2 k ? (100? k )
12
2

?

2

2

?

2(100? k ) 2 (100? k ) ? k
992
2

2

2

?2
492 512

原式 ? (

) ? ?? ( ? ) 2 2 1 ? 100? 5000 99 ? 9900? 5000 49 ? 4900? 5000 51 ? 5100? 5000 502 502 ? 5000? 5000

?

?

99 ? 1 ? 2? ? 1 ? 99 2

对通项的分子分母同乘2,发现可以 首尾配对是本题的关键。

? 1 ?? 1 ? ? 1 ?? 1 ? ? 计算: ?1 ? 2 ? ?? ?1 ? 2 ? ? ?? ?1 ? 2 ? ?? ?1 ? 2 ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 9 ?? 10 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 原式 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? )(1 ? )?(1 ? )(1 ? )(1 ? )(1 ? ) 2 2 3 3 9 9 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? )(1 ? )?(1 ? )(1 ? )][(1 ? )(1 ? )?(1 ? )(1 ? )] 2 3 9 10 2 3 9 10
10 11? ? 1 2 3 8 9? ?3 4 5 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 9 10 ? ? 2 3 4 9 10 ? ?2 3 4

?

11 1 11 ? ? 2 10 20

1 ?? 1 1 1 ? ? 1 1 ?? 1 1 1 ? ?1 1 计算 :? ? ? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ?? ?? ? ? ? ? 2 3 1999 2 3 1998 2 1999 2 3 1998 ? ?? ? ? ?? ?

1 1 1 分析:四个括号均包含 一个共同部分 ? ? ? , 2 3 1998 我们用一个字母表示它以简化计算 1 1 1 解: 设a ? ? ? ? ,则 2 3 1998
1 ? 1 ? ? ? 原式 ? ? a ? ??1 ? a ? ? ? 1 ? a ? ?a 1999? 1999? ? ? 1 a ? ? a ? 1 ? 2 2 ? ?a ? a ? ? ? ? ?a ? a ? ?? 1999 1999? ? 1999? 1999 ?

已知 abc ? 1, 求证 :

a b c ? ? ?1 ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ca ? c ? 1 a b c 证明: ? ? ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ca ? c ? 1 a ab a

bc ? ? ? ab ? a ? 1 abc ? ab ? a a 2bc ? abc ? ab a ab 1 ? ? ? ab ? a ? 1 1 ? ab ? a a ? 1 ? ab a ? ab ? 1 ? ?1 ab ? a ? 1

(a ? b)3 ? a 3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3 ? a 3 ? b3 ? (a ? b)3 ? 3ab(a ? b)
?(a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ? 4ab, ? ? 2 2 2 (a ? b) ? a ? 2ab ? b ? ?(a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ? 4ab, ? 2 2 4 ab ? ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? ?

什么是“配方”? 通过配方,利用其特殊性解决问题的方法是配方法。
配方的主要方式有:

那就是将代数式或它的一部分写成a2〒2ab+b2=(a〒b)2的形式。

已知a=2001x+2000,b=2001x+2001,c=2001x+2002, 求a2+b2+c2-ab-bc-ac之值。 解:由已知条件易知:a-b=-1,b-c=-1,c-a=2。所以
a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac

1 ? (a ? b) 2 ? (b ? c ) 2 ? (c ? a ) 2 2 1 ? (?1)2 ? (?1)2 ? 22 ? 3 2

?

?

?

?

求多项式p=2a2-8ab+17b2-16a-4b+2000的最小值。 解:因为p=(a-4b)2+(a-8)2+(b-2)2+1932的最小值。 所以,当且仅当a=8,b=2时,
pmin ? 1932

希望杯 观察式子,各分母与分子的差(都是1012),都相等
解: a ? 999 1012 ? 1? , 2011 2011 1000 1012 b? ? 1? , 2012 2012 1001 1012 c? ? 1? , 2013 2013

? 2011 ? 2012 ? 2013 ,

1012 1012 1012 ? ? ? , 2011 2012 2013 1012 1012 1012 ?1 ? ? 1? ? 1? , 2011 2012 2013

即a ? b ? c , 故选?A ?


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