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2001-2010天津理工类数学竞赛试题答案

发布时间:2014-02-25 15:04:09  

2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案

一、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。)

?e2x?1?,x?0;1. 函数f(x)??在(-∞,+∞)上连续,则a = 2 。 x2??acosx?x,x?0,

2. 设函数y = y(x) 由方程e

32x?y?cos(xy)?0所确定,则dyx?0? ?dx 。 3. 由曲线y??x?x?2x与x轴所围成的图形的面积A = 37 。 124. 设E为闭区间[0,4π]上使被积函数有定义的所有点的集合,则?E8cosxxdx? 。 3x2

?y2?1,其周长为l ,则?xy?x2?4y2?ds? 4l 。 5.设L是顺时针方向的椭圆L4

二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)

1. 若lim?(x)?u0且limf(u)?A,则( D ) x?x0u?u0

(A) limf[?(x)]存在; (B) limf[?(x)]?A x?x0x?x0(C) limf[?(x)]不存在; (D) A、B、C均不正确。 x?x02. 设f(x)??sinx0( A ) sin(x2)dx,g(x)?x3?x4,则当x?0时,(A)f(x)与g(x)为同阶但非等价无穷小; (B)f(x)与g(x)为等价无穷小; (C)f(x)是比g(x)更高阶的无穷小; (D)f(x)是比g(x)更低阶的无穷小。

3. 设函数f(x)对任意x都满足f(x?1)?af(x),且f'(0)?b,其中a、b均为非零常数,则f(x)在x = 1处( D )

(A)不可导; (B)可导,且f?(1)?a;

(C)可导,且f?(1)?b; (D)可导,且f?(1)?ab。

4. 设f(x)为连续函数,且f(x)不恒为零,I=t?s

t

0f(tx)dx,其中s > 0,t > 0,则I的值( C )

(A)与s和t有关; (B)与s、t及x有关;

(C)与s有关,与t无关; (D)与t有关,与s无关。

?u?u?2u??0,则5. 设u (x,y) 在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数,且满足?0及22

?x?y?x2?y2

( B )。

(A)u (x,y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部;

(B)u (x,y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上;

(C)u (x,y) 的最大值点在区域D的内部,最小值点在区域D的边界上;

(D)u (x,y) 的最小值点在区域D的内部,最大值点在区域D的边界上。

以下各题的解答写在试题纸上,可以不抄题,但必须写清题号,否则解答将被视为无效。

?x2

2

三、求极限limcosx?e

x?0x2[2x?ln(1?2x)] 。(本题6分) 1?x2x4

解:cosx?2!?4!?o(x4); x2222

e?2?1?x

2?1?

2!????x?

2???o(x4)?1?x2

?x4

?o(4

?28x); ln(1?2x)??2x?1

2(?2x)2?o(x2)??2x?2x2?o(x2);

由此得到:

cosx?e?x2?x2x4

14?x2x4?

lim22!?4!?o(x)???1?2?8?o(x4)??

x?0x2[2x?ln(1?2x)]?limx?0x22x?2x?2x2?o(x2)

?1

x4?o(x4)

?lim1

x?0?2x4?o(x4)?24 。

四、计算???xe?x

01?e?x2dx。(本题6分)

x

???xe?x??

0?x2dx??xe0dx????xd???1?x????10

解:1?e1?ex2?1?ex????1?ex0??01?exdx

????1

01?exdx

命:ex?t,则dx?1

tdt,于是

???xe?x1???11?t

01?e?x2dx????1t(1?t)dt??1??t?t?1??dt?ln??

1?t1?ln2

?2u?2u2?且u(x,2x)?x五、设函数u(x,y)的所有二阶偏导数都连续,,,求u'(x,2x)?x122?x?y

(本题6分) u11''(x,2x)。

解:u(x,2x)?x两边对x求导,得到

u'1(x,2x)?2u'2(x,2x)?1

代入u'1(x,2x)?x,求得 2 1?x2

, u'2(x,2x)?2

u'1(x,2x)?x2两边对x求导,得到 u11''(x,2x)?2u12''(x,2x)?2x,

u21''(x,2x)?2u22''(x,2x)??x。 1?x2

两边对x求导,得到 u'2(x,2x)?2

?2u?2u以上两式与已知2?联立,又二阶导数连续,所以u12''?u21'',故 ?x?y2

4u11''(x,2x)??x。 3

六、在具有已知周长2p的三角形中,怎样的三角形的面积最大?(本题7分) 解:设三角形的三条边长分别为x、y、z,由海伦公式知,三角形的面积S的平方为

S2?p(p?x)(p?y)(p?z)

则本题即要求在条件x + y + z = 2p之下S达到的最大值。它等价于在相同的条件下S达到最大值。 设 2f(x,y)?S2?p(p?x)(p?y)(x?y?p),

问题转化成求f(x,y)在

D??(x,y)0?x?p,0?y?p,p?x?y?2p?

上的最大值。其中D中的第3个条件是这样得到的,由于三角形的任意两边之和大于第三边,故有x + y > z,而由假设x + y + z = 2p,即 z = 2p-(x + y),故有x + y > z = 2p-(x + y),所以有x + y > p。

?fx'?p(p?y)(2p?2x?y)?0由?, f'?p(p?x)(2p?x?2y)?0?y

求出f(x,y)在D内的唯一驻点M???2p2p?,?。因f(x,y)在有界闭区域D上连续,故f(x,y)在D上?33?

有最大值。注意到f(x,y)在D的边界上的值为0,而在D内的值大于0。故f(x,y)在D内取得它在D上的最大值。由于f(x,y)在D内的偏导数存在且驻点唯一,因此最大值必在点M处取得。于是有

4

?2p2p?p

, maxf(x,y)?f?,??

(x,y)?D3327??

此时x = y = z =

七、计算I?

2p

,即三角形为等边三角形。 3

1214

yx

1

yx

dyy

12

edx?1dy?edx。(本题8分)

2

y

解:先从给定的累次积分画出积分区域图,再交换累次积分次序,得到

131

I?dy1edx?1dy?edx?1dx?2edy?1x(e?ex)dx?e?e。

yx822222

1

y

1

x

1

214

yx

yx

yx

八、计算曲面积分I?

???x

?

2

3

?az2dydz?y3?ax2dzdx?z3?ay2dxdy,其中Σ为上半球

?????

面z?

a2?x2?y2的上侧。(本题7分)

2

2

解:记S为平面z = 0( x + y ≤ a )的下侧,Ω为Σ与S所围的空间区域,

I?

??S

?x

3

?az2dydz?y3?ax2dzdx?z3?ay2dxdy

?????

?

????3?x

S?2?0

???x3?az2dydz?y3?ax2dzdx?z3?ay2dxdy

2

?????

?y2?x2dxdydz?

?0

a

2?

?

x2?y2?a2

2ay??dxdy

a

?3?d??2sin?d??r4dr??asin2?d??r3dr

6129

??a5??a5??a5

5420

九、已知a>0,x1>0,定义

xn?1?

?1??3xn?a?

3

4?xn???

?n?1,2,3,??

求证:limxn存在,并求其值。(本题8分)

n???

解:第一步:证明数列?xn?的极限存在:

注意到:当n ≥ 2时,xn?1?

?1??xn?xn?xn?a?≥xnxnxna?a,因此数列?xn?有下界。

33

4?xn?xn??

xn?11?a?1?a????3?4?又≤?3???1,即xn+1≤xn ,所以?xn?单调递减,由极限存在准则知,数列?xn?

xn4?a?xn??4?

有极限。

第二步:求数列?xn?的极限

设:limxn?A,则有A≥a?0。

n???

由limxn?1

n???

?1a???lim?3xn?3?,

?4n????xn?

有A?

1?a?limx?a。 A?a,解得(舍掉负根),即3A???n3n???4?A?

?

证明:设f(x)?1?xln?x?

十、证明不等式1?xlnx??x

???x,x????,???。(本题7分) ?x???x,则

2

2

2

2

f'(x)?lnx??x

?

2

??xx?

1?

x?x2?x

2

?

x?x

2

?lnx??x2。

??

命f'(x)?0,得到驻点 x = 0。由

f''(x)?

1?x

2

?0

???有f(x)?0,可知 x = 0 为极小值点,亦即最小值点,最小值为f(0)?0,于是对任意x????,

即所证不等式成立。

十一、设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且4

1

34

f(x)dx?f(0),求证:

在开区间(0,1)内至少存在一点?,使得f'(?)?0。(本题7分)

证明:由积分中值定理知,存在???,1?,使得

4

?3???

f(?)?1

1?3

4134f(x)dx?43f(x)dx?f(0) 41

又函数f(x)在区间?0,????0,1?上连续,?0,??内可导,由罗尔定理知,至少存在一点???0,????0,1?,使得f'(?)?0。

十二、设f(x)在区间[a,??)上具有二阶导数,且f(x)?M0,0?f''(x)?M2,(a?x???)。证明f'(x)?2M0M2。(本题8分)

证明:对任意的x?[a,??),及任意的h > 0,使x + h ∈ (a,+∞),于是有

f(x?h)?f(x)?f'(x)h?

即 1f''(?)h2,其中??[h,x?h]。 2!1hf'(x)??f(x?h)?f(x)??f''(?) h2

f'(x)?2M0h(x?[a,??),h > 0) ?M2,h2故

命g(h)?2M0h?M2,试求其最小值。 h2

M02M01h?2,得到, ?M?002M22h2命g'(h)??

g''(h)?4M0?0, h3

M0处得极小值,亦即最小值, M2

g(h0)?2M0M2。 所以,g(h)在h0?2

f'(x)?2M0M2,(x?[a,??))。

2002年天津市大学数学竞赛试题参考答案

(理工类)

二、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)

2x2?111.limsin?

x??3x?1x

2

3

?x?t?sint1??

2.设摆线方程为?则此曲线在t?处的法线方程为y??。 x?

y?1?cost333?

3.

?

??

e

dx

?2

x(1?lnx)

2

2

?

4

4.设z?x?xy?y在点(-1,1)处沿方向l?

?

1?2,1?的方向导数?z

?l

??

35

dS

?5.设Σ为曲面x?y?R介于0≤Z≤R的部分,则??2

22

x?y?z?

2

2

2

?2

二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)

1

1. 曲线y?ex

2

x2?x?1

arctan的渐近线有( B )

(x?1)(x?2)

(A) 1条; (B) 2条; (C) 3条; (D) 4条。 2. 若f?(x)?[f(x)],则当n>2时f(A)n![f(x)]

2nn?1

2

(n)

(x)?( A )

n?1

; (B)n[f(x)]

; 。

(C)[f(x)]; (D)n![f(x)]

2n

3. 已知函数f (x)在(-∞,+∞)内有定义,且x0是函数f (x)的极大值点,则( C )

(A)x0是f (x)驻点; (B)在(-∞,+∞)内恒有f (x)≤f (x0); (C)-x0是-f (-x)的极小值点; (D)-x0是-f (x)的极小值点。

?xy

,?22

x?yz?4. 设??0,?

x2?y2?0x2?y2?0

,则z = z (x,y)在点(0,0)( D )

(A)连续且偏导数存在; (B)连续但不可微;

(C)不连续且偏导数不存在; (D)不连续但偏导数存在。

5. 设I?

(A)(C)222xyz,其中Ω:x+y+z≤1,z≥0则I?( D ) (e?e?e)dv????zx; (B)3edv3e??????dv; ?????(2e?z?ey)dv; (D)???(2ex?ez)dv。 ?

2arctanx?ln

三、已知极限limx?0xn1?x1?x?C?0,试确定常数n和C的值。(本题6分) 2arctanx?ln

解:limx?0xn2111?x??2?4?lim2?lim1??4x?lim, n?1n?14n?34x?0x?0x?0nxnx1?xnx(1?x)

故n?3,C??4。 3四、已知函数f (x) 连续,g(x)??x0(本题6分) t2f(t?x)dt,求g?(x)。解:命u = t - x,则当 t = 0 时,u = -x;t = x 时,u = 0,于是

02g?(x)?????x(u?x)f(u)du?????x?x?x?x?(?1)??u2f(u)du?2x?uf(u)du?x2?f(u)du???00?0??x

?x?x????x2f(?x)?2?uf(u)du?2x(?x)f(?x)(?1)?2x?f(u)du?x2f(?x)(?1)? ??00??

??2?uf(u)du?2x?0?x?x0f(u)du

五、设方程x?ax?b?0,

⑴ 当常数a ,b满足何种关系时,方程有唯一实根?

⑵ 当常数a ,b满足何种关系时,方程无实根。(本题7分)

解:设y?x?ax?b,-∞<x<+∞,求导得 44

y??4x3?a

命y??0得唯一驻点x??aa2,又y???12x?0,故当x??时,y有最小值。且最小值为 44

yx?3?a

?a??a??????a????b ?4??4?4313

又当x →-∞时,y →+∞;x →+∞时,y →+∞,因此,

⑴ 当且仅当??

4

3?a??a???a????b?0时,方程有唯一实根。 ?4??4?134313⑵ 当??

?a??a???a????b?0时,方程无实根。 ?4??4?2六、在曲线y = x(x ≥ 0)上某点A作一切线,使之与曲线及x轴所围图形的面积为1,试求: 12

⑴ A点的坐标;

⑵ 过切点A的切线方程;

⑶ 该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。(本题8分)

解:⑴设A点坐标为 (x2

0,y0),则y0 = x0,于是可知切线方程

2

y ― x2 xy?x

0= 20(x ― x0)即x?0

2x。

由题设,有

12

12??x02??y?x0

0??y??dy??

?2x?1?32

?122?2?x0

0?y?x??2x0y??y2?

0?2?3?0 ?1?

2x?1

2x4x4?2313

0?0???3x0?12x0

0?

故有1

12?1

12x3即x2

00?1,y0?x0?1,得A(1,1)。

⑵ 切线方程为y?1?2(x?1),即y?2x-1。

⑶ 在上述切线方程中令y = 0,得到x?x1

1?2,故所求旋转体的体积

V??x0?(x2)2dx??x0?(2x?1)2dx???1x4dx??1

01(2x?1)21

0x22d(2x?1)

1

1??

?1?

5?????1

?2?3(2x?1)3

1???????5?630

2??

七、计算?1

(x2?1)3dx。(本题7分)

解:解法1 命In??1

(x2?1)ndx,则有 I?

1??1?

x2?1dx?x

x2?1??x?????2x

(x2?1)2??dx?x

x2?1?2I1?2I2,于是有

I2?1?x??I1?。 ?22?x?1?

1x2xxdx??x(?2)dx??4I2?4I3, ?(x2?1)2(x2?1)2?(x2?1)3(x2?1)2同理I2?

所以有

I3??11?xx3x3?3I???arctanx?C。 2??222224?(x?1)8x?18?4(x?1)解法2 命x?tan?,则 I3??

11?31?24secθdθ?cos?d???2cos2θ?cos4θ??d?6??4?22secθ??2x1?3112x1x??3??θ?sin2θ?sin4θ?C?arctanx???4??C ??2222??4?284x?132?(x?1)x?1??8?

33x1x?arctanx???C88x2?14(x2?1)2

八、设u?f(x,y,z),?(x,y,z)?0,y?sinx,其中f,?具有连续的一阶偏导数,且2

??du(本题7分) ?0,求。?zdx

解:将y = sinx代入u?f(x,y,z),?(x,y,z)?0,得到u?f(x,sinx,z),?(x,sinx,z)?0,显

222然方程?(x,sinx,z)?0确定了 z 是x 的隐含数 z = z (x) ,所以

du???????f(x,sinx,z)?x?f1?f2cosx?f3zx dx?????2又由 ?(x,sinx,z)x??12x??2cosx??3zx?0, ??

??2x?1??2cosx?du??得到 ?f1?f2cosx?f3。 dx?3

九、求f(x,y)?x?2xy?y在S?(x,y)x?y?1上的最大值与最小值。(本题7分) 解:解法1 222?22?

,即x?1?y,代入f(x,y)?x?2xy?y,得到 在S上有x?y?1

f(x,y)?g(y)?1?2y?2y3,(?1?y?1)

因此 g?(y)?2?6y

10 22222222

g?(y)?0,得到y??1

3,x??2

3, 由于g(1

)?1?22

3?1?49,

g(?1

)?1?22

3?1?49,又g(?1)?1,所以

(maxx,y)?Sf(x,y)?max1y?[?1,1]g(y)?g()?1?49;

x,y)?143

(xmin,y)?Sf(ymin?[?1,1]g(y)?g(?)?1?9。

解法2

构造F(x,y,?)?x2?2x2y?y2??(x2?y2?1),

解方程组

??Fx?2x?4xy?2x??0(1)

?F2

y?2x?2y?2y??0(2)

??F??x2?y2?1?0(3)

(1)?y?(2)?x得到2xy?4xy2?2x3?2xy?0,即x(2y2?x2)?0,于是有x?0或x2?2y2?0(4)

联合求解(3)、(4),得到6个可能的极值点

P1(0,1),P2(0,?1),P2

3,1

3),P212121

3(4(3,?3),P5(?3,),P6(?3,?), 因为f(P1)?f(P2)?1,f(P3)?f(P5)?1?49,f(P?f(P?44)6)?19,所以

(maxx,y)?Sf(x,y)?1?439,min,y)?Sf(x,y)?1?49。 (x

十、计算I???cos(x?y)dxdy,其中区域D为:0?x??0?y??

D2,2。(本题7分)

解:如图,用直线x?y??

2将区域D分为D1和D2两个区域,则 命 11

I???cos(x?y)dxdy???cos(x?y)dxdy

D1D2

?

0?0??2dx?2cos(x?y)dy??2dx?2cos(x?y)dy 02?x?x??

?

0?0??2(1?sinx)dx??2(cosx?1)dx???2

十一、证明:当 0 < x < 1时,1?x(本题7分) ?e?2x。1?x

2x2x证明:本题即证当 0 < x < 1时,(1?x)e?(1?x)?0,命:f(x)?(1?x)e?(1?x),x?[0,1),

于是有

f?(x)??e2x?2(1?x)e2x?1?(1?2x)e2x?1, f??(x)??2e2x?2(1?2x)e2x??4xe2x?0, 即f?(x)在区间(0,1)内单调减少,而f?(0)?0,故当 x > 0时f?(x)?0,因而f(x)在区间(0,1)

2x内单调减少,即f(x)?f(0)?0,于是有(1?x)e?(1?x)?0,即

1?x?e?2x,x?(0,1)。 1?x

十二、设C是取正向的圆周(x?1)?(y?1)?1,f (x)是正的连续函数,证明: 22

(本题8分)

证明:由格林公式有 Cxf(y)dy?ydx?2? f(x)

2Cxf(y)dy?2?y1?dx????f(y)?dxdy, ?f(x)f(x)?D?其中D是由 ( x – 1 ) + ( y – 1 ) = 1所围成的区域。而

??Df(x)dxdy??dx?0

221?1?(x?1)21??(x?1)2f(x)dy?2?f(x)?(x?1)2dx, 02??f(y)dxdy??dy?D01?1?(y?1)21?1?(y?1)f(y)dx?2?f(y)?(y?1)2dy, 02

即 ??f(x)dxdy???f(y)dxdy, DD

所以Cxf(y)dy???y1?1?dx????f(y)?dxdy?f(x)?dxdy???2d??2?。

?????f(x)f(x)?f(x)?D?D?D

12

2003年天津市大学数学竞赛试题参考答案

(理工类)

三、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)

1.设对一切实数x和y,恒有f(x?y)?f(x)?f(y),且知f(2)?1,则f??1?1?? 。 2?2?

?sinxln(1?t)dt???0

2,2.设f(x)??2xx2e?2e?1???a,

z22x?0; 在x = 0处连续,则a = 1 。 2x?0,3.设f(x,y,z)?eyz,其中z?z(x,y)是由方程x?y?z?xyz?0所确定的隐函数,则

fy?(0,1,?1)?

??2 。 e4.?0dx?? 。 224(1?x)

?x2y2z2

??1x?1y?1z?1??5.曲线?4在点M (1,1,1)处的切线方程为 (或??4451?3?x?2y?z?0?

?x?y?2z?4?0)。 ?x?2y?z?0?

二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)

1. 当x?0时,下列无穷小量

① ?tanx??sinx; ② ?2x??3x;

③ x??4?41??cosx?sinx; ④ ex?x?1, ?33?

从低阶到高阶的排列顺序为( D )

(A) ①②③④; (B) ③①②④;

(C) ④③②①; (D) ④②①③。

?x3arccotx,2. 设f(x)???0,x?0x?0,在x = 0处存在最高阶导数的阶数为( B )

(A) 1阶; (B) 2阶; (C) 3阶; (D)4阶。

13

3. 设函数y?f(x)在 x = 1处有连续的导函数,又limx?1f?(x)?2,则x = 1是( B ) x?1

(A)曲线y?f(x)拐点的横坐标; (B)函数y?f(x)的极小值点;

(C)函数y?f(x)的极大值点; (D)以上答案均不正确。

4. 设函数f,g在区间[a,b]上连续,且g(x)?f(x)?m(m为常数),则曲线

y?g(x),y?f(x),x?a和x = b所围平面图形绕直线y = m旋转而成的旋转体体积为( A )

(A) ?

(C) ??ba (B) ??[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx; [2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx;ab?b

a [m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx; (D) ??[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx。a

2222b5. 设S:x?y?z?a(z?0),S1为S在第一卦限中的部分,则有( C )

(A)

(C)??xds?4??xds; SS1

SS1 (B)??yds?4??xds; SS1SS1??zds?4??xds; (D)??xyzds?4??xyzds。

2xtdt1lim?c。 b2x?0sinx?ax??t三、a,b,c为何值时,下式成立

(本题6分)

解:注意到左边的极限中,无论a为何值总有分母趋于零,因此要想极限存在,分子必须为无穷小量,于是可知必有b= 0,当b= 0时使用诺必达法则得到

2xtdt1x2

lim?lim, 022x?0sinx?ax?x?0?t(cosx?a)?x

由上式可知:当x?0时,若a?1,则此极限存在,且其值为0;若a = 1,则

2xtdt1x2

lim?lim??2。 022x?0sinx?x?x?0?t(cosx?1)?x

综上所述,得到如下结论:a?1,b = 0,c = 0;

或a = 1,b = 0,c = -2。

??(x)?cosx,?四、设函数f(x)??x??a,x?0x?0,其中?(x)具有连续二阶导函数,且?(0)?1。

⑴ 确定a的值,使f(x)在点x = 0处可导,并求f?(x)。

⑵ 讨论f?(x)在点x = 0处的连续性。(本题8分)

14

解:⑴ 欲使f(x)在点x = 0处可导,f(x)在点x = 0处必须连续,于是有

limf(x)?lim

x?0

?(x)?cosx

x

x?0

?lim

??(x)?sinx

1

x?0

???(0)

即当a???(0)时,f(x)在点x = 0处连续。

当x?0时,

f?(x)?

???(x)?sinx?x???(x)?cosx?;

x2

当x = 0时,

???(0)

f(x)?f(0)?(x)?cosx?x??(0)?f(0)?lim?lim?limx?0x?0x?0 x?0xx2??(x)?sinx???(0)???(x)?cosx1?lim?lim?????(0)?1?x?0x?02x22

故:

?(x)?cosx

????(x)?sinx?x???(x)?cosx?,2??xf?(x)??

?1????(0)?1?,??2

⑵ 因为

x?0

x?0

x2

??(x)?sinx?x????(x)?cosx????(x)?sinx???(x)?cosx???(0)?1?lim?lim?x?0x?02x22

x?0

x?0

limf?(x)?lim

???(x)?sinx?x??(x)?cosx

所以,f?(x)在点x = 0处连续。

五、设正值函数f(x)在[1,??)上连续,求函数F(x)?点。(本题6分) 解:

?

x

1

??2??2??

?lnx??lnt?????f(t)dt的最小值?xt??????

F?(x)?

x?2?d??2?x?

?lnxf(t)dt??lntf(t)dt???1????1dx?xt??????

?21?x?2??2??21?x

???2???f(t)dt???lnx?f(x)???lnx?f(x)???2???f(t)dt

x?1x?1?x?x??x??x

注意到:在[1,??)上f(x)?0,因此,当x > 1时,命:F?(x)?0,得?

?

x

1

f(t)dt?0。

21

??0,解此方程得到唯一驻点 x = 2。 2

xx

15

又,当1?x?2时,F?(x)?0;当x > 2时,F?(x)?0,所以F(x)在点x = 2处取得极小值F(2),又因为x = 2是唯一的极值点,所以x = 2是F(x)的最小值点,最小值为F(2)。

六、设y?(x)?arctan(x?1),且y(0)?0,求

解:

1112?y(x)dx?xy(x)?xy(x)dx?y(1)?xarctan(x?1)dx?0??00012(本题6分) ?y(x)dx。01

?y(1)??(x?1)arctan(x?1)dx??arctan(x?1)2dx00121

?y(1)??(x?1)arctan(x?1)2dx??y(1)?y(0)????(x?1)arctan(x?1)2dx 00

命x?1?t命u?t111022???tarctantdt???arctantd(t)?arctanudu??1?1022

111u11?1?121?uarctanu??du???ln(1?u)??ln220021?u084224402211

??2z?2z1?z?2z?u?x?ay?0化为?0,试确定a 七、设变换?,把方程2?y2??。(本题7分) 2?y?u?v?x?y??v?x?2y

解: 计算一、二阶偏导数 ?z?z?z??,?x?u?v

?z?za?z11?a?z?z????????,???y?u2y?v2?u?v?yy?

?2z?2z?2z?2z?2?2?2,2?u?v?v?x?u

32222?2z1?2?a?z?z?1??za?za?z1???,??y?????????2?222?yy?y?vy??2?u?v???u4y?u?v?

?2z?2z1?z?0,得到 代入方程2?y2??2?y?x?y

?2z?2z1?z?a2

?y2????1?2?2?y?4?x?y??2z?2z???u2??2?a??u?v?0,

?

?a2?0?1?于是有?,所以a??2。 4?2?a?0?

八、设函数Q(x,y)在x O y平面上具有连续一阶偏导数,曲线积分 ?2xydx?Q(x,y)dy与路径无关,L

16

并且对任意的t恒有

?(t,1)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy??(1,t)(0,0)(本题7分) 2xydx?Q(x,y)dy,求Q(x,y)。解:由曲线积分与路径无关知 ?Q??(2xy)?2x, ?x?y

所以Q(x,y)?x?C(y),其中C(y)为待定函数。又 2

?(t,1)(0,0)(1,t)2xydx?Q(x,y)dy??t2?C(y)dy?t2??C(y)dy; 001??1?(0,0)2xydx?Q(x,y)dy???1?C(y)?dy?t??C(y)dy。 00tt根据题设,有 t2??C(y)dy?t??C(y)dy, 001t

上式两边对t求导,得到

2t?1?C(t),于是知C(t)?2t?1,即C(y)?2y?1,故Q(x,y)?x2?2y?1。

九、设函数f (x)具有二阶连续导函数,且f(0)?0,f?(0)?0,f??(0)?0。在曲线y = f (x)上任意取一点(x,f(x))(x?0)作曲线的切线,此切线在x轴上的截距记作?,求limx?0xf(?)。(本题8分) ?f(x)

解: 过点(x,f(x))的曲线y = f (x)的切线方程为:Y?f(x)?f?(x)(X?x),

注意到:由于f?(0)?0,f??(0)?0,所以当x?0时,f?(x)?0。因此,此直线在x轴上的截距为 ??x?f(x)f(x)。且lim??limx?lim?0。 x?0x?0x?0??f(x)f(x)

利用泰勒公式将f(x)在x0?0点处展开,得到

f(x)?f(0)?f?(0)x?

类似可得:f(?)?11f??(?1)x2?f??(?1)x2,22。 ?1在0与x之间;1f??(?2)?2,2?2在0与?之间。代入得 f(x)12x?xf??(?2)?f??(?2)xf(?)?xf?(x)?f(x)f?(x)lim?lim?lim?lim?lim?limx?0?f(x)x?0x?0f?x?01?(?1)x?0xx?0xxf?(x)?f??(?1)x2

2

xf??(x)f??(x)f??(0)1?lim?lim??x?0f?(x)?xf??(x)x?0f(x)f??(0)?f??(0)2?f??(x)x

17

十、设函数f (x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间 (0,1) 内可导,且f ( 0 ) = 0,f ( 1 ) = 1 。试证明:对于任意给定的正数a和b ,在开区间 (0,1) 内存在不同的ξ和η,使得

ab??a?b。 f?(?)f?(?)

(本题7分)

证明:取数??(0,1),由连续函数介值定理知,存在C?(0,1),使得f(C)??。在区间[0,C]与[C,1]上分别应用拉格朗日中值定理,有

f(C)?f(0)??,C?0C

f(1)?f(C)1??f?(?)??1?C1?Cf?(?)?0???C, 显然???。 C???1.

由于??(0,1),所以??0,1???0,即f?(?)?0,f?(?)?0。从而

ababaC(1??)?b?(1?C)b??C(a?b??a?)?????, 1???f(?)f(?)?(1??)?(1??)

C1?C

ab,则1???,并且?,1???(0,1),代入得 a?ba?b

ab

aba?b???a?b。 abf?(?)f?(?)?a?ba?b

11?1?t2十一、设F(x)??(1?e)??(x?t)edt,试证明在区间[?1,1]上F(x)有且仅有两个实根。(本?12注意到:若取??

题7分)

证明:

x1221F(x)??(1?e?1)??(x?t)e?tdt??(t?x)e?tdt?1x2

xx1122221??(1?e?1)?x?e?tdt??te?tdt??te?tdt?x?te?tdt?1?1xx2

0x0x2222112x1?t21??(1?e?1)?x?e?tdt?x?e?tdt?e?t?e?x?e?tdt?x?e?tdt?1010?12x22

00x22213?1?x2?e?e?x?e?tdt?x?e?tdt?2x?e?tdt?11022

01x222213???e?1?e?x?x?e?tdt?x?e?tdt?2x?e?tdt?10022

x2213???e?1?e?x?2x?e?tdt022 ??

18

由于e?x2是偶函数,所以?x

0e?t2dt是奇函数,2x?e?tdt是偶函数,于是知F(x)为偶函数。 0x2

又注意到:

13?1e?3?e??0;222e 1121135?11????t?tF(1)?????0??2?0edt??????2?0edt??22e22e22e????F(0)?

(当x > 0时)。 F?(x)??2xe?x?2xe?x?2?e?tdt?2?e?tdt?0,0022x2x2

因此,函数F(x)在闭区间[0,1]上有且仅有唯一一个实根;又F(x)为偶函数,所以F(x)在闭区间

[?1,0]上同样有且仅有唯一一个实根。于是知函数F(x)在闭区间[?1,1]上有且仅有两个实根。

十二、设函数f(x,y)在单位圆域上有连续的偏导数,且在边界上的值恒为零。证明:

?1xfx??yfy?f(0,0)?lim?dxdy ??02???x2?y2

D

其中:D为圆域??x?y?1。(本题8分)

证明:取极坐标系,由?222?x?rcos?,得到 ?y?rsin?

?f?f?x?f?y?f?f?????cos??sin?, ?r?x?r?y?r?x?y将上式两端同乘r,得到 r?f?f?f?rcos??rsin??xfx??yfy?。 ?r?x?y

于是有 I???Dxfx??yfy?x2?y2

2?

0dxdy???D2?1?f2?11?frrdrd??d?dr?f(rcos?,rsin?)d?2???0?0??rr?r2? ??f(cos?,sin?)d???

2?

00f(?cos?,?sin?)d??0??2?0f(?cos?,?sin?)d? ???

f(?cos?,?sin?)d?由积分中值定理,有 I??2??f(?cos?1,?sin?1),其中0??1?2?。

?1xfx??yfy?dxdy?lim?f(?cos?1,?sin?1)?f(0,0)。 故lim???02???x2?y2??0D 19

2004年天津市大学数学竞赛试题参考答案

(理工类)

四、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)

1.设函数f(x)?ln1?x?x??1?,则函数f???f??的定义域为 1?x?2 。 1?x?2??x?

11???(cosx)x2,x?02.设要使函数f(x)??在区间(??,??)上连续,则a? e2 。

?x?0?a,

?x?f(t)??dy?? 3 3.设函数y?y(x)由参数方程?所确定,其中f可导,且,则。 f(0)?03tdxt?0?y?f(e?1)

4.由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分dz = dx?2dy 。

?2z1? 5.设z?f(xy)?y?(x?y),其中 f 、?具有二阶连续导数,则?x?yx

yf??(xy)???(x?y)?y???(x?y) 。

二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)

6. 已知lim

?f(x)tanx?1e2x?1x?0?3,则limf(x)?( A ) x?0(A) 12; (B)3; (C) 1; (D)0。

7. 设函数f(x)在x0的一个邻域内有定义,则在x0点处存在连续函数g(x)使f(x)?f(x0)?(x?x0)g(x)是f(x)在x0点处可导的( C )

(A)充分而非必要条件; (B)必要而非充分条件;

(C)充分必要条件; (D)既非充分,也非必要条件。

?x2,8. 设f(x)???2?x,0?x?11?x?2F(x)??f(t)dt,则F(x)=( D ) 0x

20

?x3?x3

,0?x?1,0?x?1???3?3(A) ?; (B) ?; 22?1?2x?x,1?x?2?2x?x,1?x?2??22??3

?x3?x3

,0?x?1,0?x?1???3?3(C) ?; (D) ?。 322?x?2x?x,1?x?2??7?2x?x,1?x?2??22?3?6

9. 函数f(x,y)?xy,在点(0,0)处f(x,y)( B )

(A)可微; (B)偏导数存在,但不可微;

(C)连续,但偏导数不存在; (D)不连续且偏导数不存在。

10. 设?(x)为区间[0,1]上的正值连续函数,a与b为任意常数,区域D?(x,y)0?x,y?1,??则a?(x)?b?(y)dxdy?( D ) ???(x)??(y)D

(A)a; (B)b; (C)a?b; (D)1?a?b?。 2

三、设函数f(x)在点x?0的某邻域内具有二阶导数,且

f(x)??3lim?1?x???e。 x?0x??

求:f(0),f?(0),f??(0)及lim?1?1x?

x?0?f(x)?(本题6分) ?。x?

1

x1?f(x)??x?1xlimln?1?x?f(x)??x?0x?解:因为 e?lim?1?x???ex?0x??3,

所以 lim1?f(x)?ln?1?x???3。 x?0xx??

?

?f(x)???0, x? 由无穷小比较,可知 limln?1?x?x?0

x?

以及 lim

从而 1?x?0f(x)?3。 xf(x)?3??,其中lim??0, 2x?0x

22即 f(x)?2x?o(x)。

21

由此可得 f(0)?0,f?(0)?0,f??(0)?4。 并有 lim?1??

x?0??2x?o(x)?f(x)?2??。 ?lim1??e???x?0x?x??1x221x

四、计算

解: ln(1?x)?lnx(本题6分) ?x(1?x)dx。

ln(1?x)?lnx1??1??dx?ln(1?x)?lnx???dx?x(1?x)?x1?x??

ln(1?x)lnx?ln(1?x)lnx??????dx?dx?dx???x?x1?x?1?x

1lnxlnx??ln2(1?x)?ln2x?lnx?ln(1?x)??dx??dx21?x1?x

12???ln(1?x)?lnx??C2??

五、求函数f(x)?xln(1?x)在x?0点处的100阶导数值。(本题6分) 解:方法一:利用莱布尼兹公式 2

f(100)(x)?x2?ln(1?x)?

又 (100)?100?ln(1?x)?(99)?(2x)?100?99?ln(1?x)?(98)?2, 2

?ln(1?x)???

?ln(1?x)?(4)112!???,?ln(1?x)???,ln(1?x)'''?,1?x(1?x)2(1?x)3 3!??,??(1?x)4

(n)由归纳法可得?ln(1?x)??(?1)n?1(n?1)!。 (1?x)n

故?ln(1?x)?(98)?(?1)98?197!97!??。 9898(1?x)(1?x)

所以f(100)(0)??990?97!。

方法二:利用泰勒公式

x4x5x10011f(x)?x???????,故f(100)(0)??,f(100)(0)??990?97!。 2398100!983

六、设f(x)为定义在(??,??)上,以T > 0为周期的连续函数,且?T

0求limf(x)dx?A。?x0f(t)dtx。x???

22

(本题7分)

解:对于充分大的x > 0,必存在正整数n,使得

nT?x?(n?1)T。

?

kT

f(t)dt??f(t)dt??

T2T

T

f(t)dt????

kT

(k?1)T

f(t)dt?k?f(t)dt?kA,

T

(k?1,2,?),

故有 nA?

nT

?

x

f(t)dt?(n?1)A,

nA?及 ?0?(n?1)T(n?1)T

f(t)dt

注意到: lim

?

x

f(t)dtx

??

(n?1)T

f(t)dt

nT

?

(n?1)A

。 nT

nA(n?1)AA

?lim?,

n??(n?1)Tn??nTT

x0

且当n???时,x???。由夹逼定理可知

x???

lim

?

f(t)dtx

?

A

。 T

2

2

2

?

?

?

七、在椭球面2x?2y?z?1上求一点,使函数f(x,y,z)?x?y?z在该点沿方向l?i?j的方向导数最大。(本题8分)

解: 函数f(x,y,z)的方向导数的表达式为

222

?f?f?f?f

?cos??cos??cos??l?x?y?z。

其中:cos??

12

,cos???

12

,cos??0为方向l的方向余弦。因此

?

?f

?2(x?y)。 ?l

于是,按照题意,即求函数2(x?y)在条件2x?2y?z?1下的最大值。设

2

2

2

F(x,y,z,?)?2(x?y)??(2x2?2y2?z2?1),

则由

??f??x???f???y???f??z???f????

?2?4?x?0??2?4?y?0

?2?z?0

?2x2?2y2?z2?1?0

23

得z?0以及x??y??

1?11??11?,即得驻点为M1??,?,0?与M2???,,0?。 2?22??22?因最大值必存在,故只需比较

?f?f?2,??2, ?lM1?lM2

的大小。由此可知M1??,??1

?21?,0?为所求。 2?

2n八、设正整数n?1,证明方程x

证明:设f(x)?x2n?a1x2n?1???a2n?1x?1?0至少有两个实根。(本题6分) ?a1x2n?1???a2n?1x?1,则其在区间(??,??)上连续,且f(0)??1,limf(x)???。 x??

因而,当x???时,必存在x1?0,使得f(x1)?0。由连续函数的介值定理可知,至少有一点?1?(0,x1),使得f(?1)?0。

同理,当x???时,必存在x2?0,使得f(x2)?0。由连续函数的介值定理可知,至少有一点?2?(x2,0),使得f(?2)?0。

综上可知,方程x2n?a1x2n?1???a2n?1x?1?0至少有两个实根。 九、设x0?0,xn?2(1?xn?1)

2?xn?1(n?1,2,?)。证明limxn存在,并求之。(本题8分) n??

证明: 证明limxn存在: n??

注意到:对于一切的n恒有

xn?1?xn?1?1, 2?xn?1

xn?2?

因此知数列?xn?有界。又 2?2, 2?xn?1

?2xn?1?xn??2??2?xn????12?1?????2??2?????2?x2?xn?1?2?xnn?1?????2(xn?xn?1)???(2?x)(2?x),

n?1n?

24

xn?xn?1?2(xn?1?xn?2),??, (2?xn?2)(2?xn?1)

x2?x1?2(x1?x0), (2?x0)(2?x1)

于是可知xn?1?xn与x1?x0同号,故当x1?x0时,数列?xn?单调递增;当x1?x0时,数列?xn?单调递减。也就是说,数列?xn?为单调有界数列,而单调有界数列必有极限。

求limxn: n??

设limxn?a,则 n??

a?limxn?limn??2(1?xn?1)2(1?a)?, n??2?x2?an?1

解之得a?2,即limxn?2。 n??

??y??z2

十、计算曲面积分I???xzdydz?sinxdxdy,其中?是曲线????x?02(1?z?2)绕z轴旋转而成的旋转面,其法线向量与z轴正向的夹角为锐角。(本题7分) 解: 旋转曲面的方程为x?y?z?1。补充曲面 222

?x2?y2?5,?1:?其法线向量与z轴正向相反;和 z?2,?

?x2?y2?2,?2:?其法线向量与z轴正向相同。

?z?1,

设由曲面?,?1,?2所围空间区域为?,则

I???xz2dydz?sinxdxdy

?

?

???1??2222xzdydz?sinxdxdy?xzdydz?sinxdxdy?xz??????dydz?sinxdxdy?1?2

????z2dxdydz?

?

222x2?y2?5??sinxdxdy?x2?y2?22sinxdxdy??z???dz12x2?y2?1?z2??dxdy?0?0 ?z3z5?2128????z?(1?z)dz?????????3?11515??

十一、设P(x,y),Q(x,y)具有连续的偏导数,且对以任意点(x0,y0)为圆心,以任意正数r为半径的 25

上半圆L:x?x0?rcos?,y?y0?rsin?(0????),恒有

?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0。 L

证明:P(x,y)?0,?Q(x,y)?0(本题8分) ?x

证明:记上半圆周L的直径为AB,取AB+L为逆时针方向;又命D为AB+L所包围的区域。由格林公式有

?ABP(x,y)dx?Q(x,y)dy??AB?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy

????Q?P?

AB?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??????x??y??dxdy

D??

??Q?P???Q?P??r2

二重积重积分中定理????x??y???M??dxdy??

1???x??y??

D?M?

12

其中:M1?D为某一点。另一方面

?ABP(x,y)dx?Q(x,y)dy??x0?rx,y,y0?rP(x0)dx积分中值定理P(?0)?2r(x0?r???x0?r)。

于是有

???Q?P??r2

???x??y???M?2?P(?,y0)?2r, 1

即????Q

??x??P?

?y??M??r

2?2P(?,

?y0)。

1

命r?0,两边取极限,得到P(x0,y0)?0,由(x0,y0)的任意性知P(x,y)?0;且

lim?Q(x,y)

r?0?xM?0,即?Q(x,y)

?x)?0。 1(x0,y0

类似?Q(x,y)

?x?0。

十二、设函数f(x)在[0,1]上连续,且?11

0f(x)dx?0,?0xf(x)dx?1,试证:

⑴?x0?[0,1],使得f(x0)?4;

⑵?x1?[0,1],使得f(x1)?4。(本题8分)

证明: ⑴ 使用反证法,即假设当x?[0,1]时,恒有f(x)?4成立,于是有

1??1?

0??x?1?

2??f(x)dx??1111

0x?2f(x)dx?4?0x?2dx?1。

26

因此有 ?1

0x?111f(x)dx?1,4?x?dx?1。 022

从而有 ?1

0x?1?4?f(x)?dx?0。 2

于是有f(x)?4,即f(x)??4,这显然与真。

⑵ 仍然使用反证法。 ?10f(x)dx?0矛盾,故?x0?[0,1],使得f(x0)?4为

只需证?x2?[0,1],使得f(x2)?4即可。这是显然的,因为若不然,则由f(x)在[0,1]上的连续性知,必有f(x)?4或f(x)??4成立,这与?1

0f(x)dx?0矛盾,再由f(x)的连续性及⑴的结果,利用

介值定理即可证得?x1?[0,1],使得f(x1)?4。

27

2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案

(理工类)

五、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)

1.lim4x2?x?1?x?1

x?sinx2x???? 1 。

t??x?esin2t2.曲线?,在点(0,1)处的法线方程为 2x+y-1=0 。 t??y?ecost

3.设f(x)为连续函数,且?x3?1

0f(t)dt?x,则f(7)? 1 。 121 。 24.函数u?lnx??y2?z2在点A(1,0,1)处,沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为 ?

5.设(a×b)·c = 2,则[(a+b)×(b+c)]·(c+a)= 4 。

二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)

11. 设函数f(x)与g(x)在开区间(a,b)内可导,考虑如下的两个命题,

⑴ 若f(x)?g(x),则f?(x)?g?(x);

⑵ 若f?(x)?g?(x),则f(x)?g(x)。

则( B )

(A)两个命题均正确; (B)两个命题均不正确;

(C)命题⑴正确,命题⑵不正确; (D)命题⑴不正确,命题⑵正确。

12. 设函数f(x)连续,F(x)是f(x)的原函数,则( A )

(A) 当f(x)为奇函数时,F(x)必为偶函数;

(B) 当f(x)为偶函数时,F(x)必为奇函数;

(C) 当f(x)为周期函数时,F(x)必为周期函数;

(D) 当f(x)为单调递增函数时,F(x)必为单调递增函数。

13. 设平面?位于平面?1:x?2y?z?2?0与平面?2:x?2y?z?6?0之间,且将此两平面的距离分为1:3,则平面?的一个方程为( D )

(A)x?2y?z?0; (B)x?2y?z?8?0;

28

(C)x?2y?z?8?0; (D)x?2y?z?3?0。

14. 设f(x,y,z)为非零的连续函数,F(t)? ???f(x,y,z)dxdydz,则当t→0时( C )

2x2?y2?z2?t2(A)F(t)与t为同阶无穷小; (B)F(t)与t为同阶无穷小;

(C)F(t)与t为同阶无穷小; (D)F(t)是比t高阶的无穷小。

15. 设函数y?y(x)满足等式y???2y??4y?0,且y(x0)?0,y?(x0)?0,则y(x)在点x0处33( A )。

(A)取得极小值; (B)取得极大值;

(C)在点x0的一个邻域内单调增加; (D)在点x0的一个邻域内单调减少。

三、求函数f(x)?e

解:要求f(x)?e

2?x2sinx2的值域。(本题6分) ?x2sinx2的值域,只需求出函数的最大值与最小值即可。注意到:函数f(x)?e?xsinx2为偶函数,故只需考虑x≥0的情况。为计算方便,命t=x2,得到

g(t)?e?tsint,t?0,

显然,g(t)与f(x)有相同的值域。求g(t)的驻点:

g?(t)??e?tsint?e?tcost?e?t(cost?sint)。

命g?(t)?0,得到驻点tk??

4?k?(k?0,1,2,?),其对应的函数值为

??????k???4??k??2?????k?4?sin??k?????1?e, 42?????g(tk)?e

2?4e;显然,当k=2m(m=0,1,2,?)时,g(t2m)?0,其中最大值为g(t0)?当k=2m+1 (m=0,1,2,?)2

2?4e。于是得到函数g(t)的值域,亦即函数f(x)的值域为:时,g(t2m)?0,其中最小值为g(t1)??2

5???2?42?4???2e,2e

??5???。 ??

?x??2z?2z?y?四、设z?f??xy,y???g?x?,其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数。求?x2,?x?y。????

29

(本题6分) 解:?z?1?y?yf1?f2?2g?, ?xyx

2??2z?1??1??1??2y?y???y??yf11?yf12???y??yf21?yf22???x3g?x4g?x2???? 2y??1?2y?y2f11?2f12?2f22?3g??4g??yxx

??2z1?1?1y??x???x???????f1?y?xf?f?f?xf?f?g?g??11122212222223?????x?yy?yyx??y?x y?1??x?1?f1?2f2?xyf11?3f22?2g??3g??yyxx

五、设二元函数u(x,y)在有界闭区域D上可微,在D的边界曲线上u(x,y)?0,并满足?u?u(本题6分) ??u(x,y),求u(x,y)的表达式。?x?y

解:显然u(x,y)?0满足题目条件。下面证明只有u(x,y)?0满足题目条件。

事实上,若u(x,y)不恒等于0,则至少存在一点(x1,y1)?D,使得u(x1,y1)?0,不妨假设u(x1,y1)?0,同时,也必在D内至少存在一点(x0,y0),使u(x0,y0)?M?0为u(x,y)在D上的最大值。因为u(x,y)在D上可微,所以必有?u

?x(x0,y0)?0?

?u

?y?u?y(x0,y0),于是得到 ?u?x

然而,由题设知(x0,y0)?(x0,y0)?0。 ?u?u??u(x,y),因此应有u(x0,y0)?0,这与u(x0,y0)?M?0的假设矛盾;?x?y

同理可证:u(x1,y1)?0的情况。

因此可知在D上u(x,y)?0。

六、设二元函数f(x,y)具有一阶连续偏导数,且

题7分)

解:注意到:被积函数P(x,y)?f(x,y),Q(x,y)?xcosy,由于此积分与路径无关,所以必有 ?(t,t2)(0,0)(本f(x,y)dx?xcosydy?t2,求f(x,y)。 30

?P?Q?f

?cosy, ??cosy,即有?y?y?x

从而有f(x,y)?siny?C(x),代入原积分式,得到

2

, ??siny?C(x)dx?xcosydy?t?(0,0)(t,t2)

?

t

C(x)dx??tcosydy?t2,

t2

?C(x)dx?tsint

2

t

2

?t2。

2

将上式两端对t求导,得到: C(t)?sint?2tcost?2t, 即 C(x)?2x?sinx?2xcosx,

从而得到 f(x,y)?siny?2x?sinx?2xcosx。

七、设曲线y?ax(a?0,x?0)与

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y?1?x2交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲

线y?ax围成一平面图形,试问:

⑴ 当a为何值时,该图形绕x轴一周所得的旋转体体积最大?

⑵ 最大体积为多少?(本题7分)

??y

解:当x≥0时,由?

??y

1?

x???axax??a

,解得A点的坐标为,故直线OA的方程为。 y??2

?1?x?a?y?a

?1?a?

2

于是,平面图形绕x轴一周所得的旋转体体积为:

232??ax?2??axa245???V(a)????a????axdx???x?????031?a5?a????????

1

5

2

2

1?a0

?

2?a215?1?a?

52

35

2a?1?a??a??1?a?2

dV(a)2??(4a?a2)???(a?0)。 上式两边对a求导:57da151?a15?1?a?2

dV(a)

?0,得到a=4。由于a=4是当a?0时V(a)的唯一驻点,且由问题的实际意义可知存在最da

大体积,故V(a)在a=4时取最大值。其最大体积为:

V(4)??

2?4215?1?4?

52

?

32?

1875

31

x2y2

八、设S为椭球面??z2?1的上半部分,点P(x,y,z)?S,?为S在点P处的切平面,

22

?(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面?的距离,求??

z

S

?(x,y,z)

dS。(本题7分)

解:设(X,Y,Z)为?上任意一点,则?的方程为

xX2?yY2

?zZ?1, 从而知

?(x,y,z)????

x22

?

1

2

?4?y

?4?z2???

z?????x2y2由?

?2?2??,有

?

?z

?x

,

?z?x

?2????y,

??x2y2???y?x2y2?

?2?2??2????2?2???

2

于是 dS?????z?????4?x2?y2??x???z?

2

?yd?????

d??2

2

2????xy?

??2?2??

所以

??z112?23??(x,y,zdS????4?x2?y2?d???0d??0?4?r2

?

rdr?。S)4D

42?

?

九、证明

?

2

sinx1?x2

dx??2cosx0

01?x2dx。(本题8分) 证明:方法一(利用积分估值定理)

?

命I??2sinx?cosx?

?

01?x2dx??4sinx?cosx2sinx?cosx01?x2dx??2dx, 4

1?x对上式右端的第二个积分,取变换t?

?

2

?x,则dx??dt,于是

32

?

I??

40

sinx?cosxsinx?cosxsinx?cosxcost?sint244dx?dx?dx??1?x2?01?x2?0???2dt1?x2

4

1??t??

2??

???

??

????

11??4???sinx?cosx??dx??4?sinx?cosx??2200?1?x????

1??x????1?x2

2??????

?2

??x

dx

??

2

??????1??x?????2????

?2

???

注意到:被积函数的两个因子在区间?0,?上异号(sinx?cosx?0?4?

由积分估值定理得知必有I≤0,即知原不等式成立。

方法二(利用积分中值定理)

2

??x

2

?

????1?x?1??x??

??2??

?

?

???

?0),

sinx?cosxsinx?cosxsinx?cosx42dx?dx?命I??2

?01?x2?1?x2dx, 01?x2

4

由积分中值定理,并在区间?

???

?????

,?上取变换t??x,同时注意到:?1??2,得

2?42?

?

2

I??

11??11

2

??sinx?cosx?dx?1????sinx?cosx?dx

4

22

4

?

1

114?cost?sint?dt???sinx?cosxdx??2?2?2

1??11??20?1??2

4

??

?

?

?4

?cosx?sinx?dx?02??0

1??1?1

?

十、设正值函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,

?

b

a

f(x)dx?A,证明:

?

(本题8分)

b

a

f(x)e

f(x)

dx?

b

a

1

dx?(b?a)(b?a?A)。 f(x)

证明:化为二重积分证明。记D?(x,y)a?x?b,a?y?b,则原式

??

左边??f(x)ef(x)dx?

a

bb

a

1f(x)f(x)f(y)f(y)

dy???edxdy???edxdyf(y)f(y)f(x)DD

f(x)?f(y)

2

1?f(y)f(y)f(x)f(x)?????e?e?dxdy???e2D?f(x)f(y)?D

2

b

b

a

a

f(x)f(y)??

dxdy????1??dxdy ?22?D?

?(b?a)??dy?f(x)dx?(b?a)(b?a?A)

十一、设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数,证明:存在ξ∈(a,b),使得

33

4

(b?a)2

(本题7分)

证明:将函数f(x)在点x0????a?b?f(a)?2f?f(b)?f??(?)。 ?????2???a?b处作泰勒展开,并分别取x=a和b,得到 2

2a?b?1a?b??a?b??a?b????a?b?f(a)?f???f????a???f??(?1)?a??,其中?1??a?; 2?2!2?2??2??2????

a?b?1a?b??a?b??a?b????a?b?f(b)?f?,b?。 ??f????b???f??(?2)?b??,其中?2??2222!22??????????

两式相加得到

221?a?b??b?a?f(a)?2f???f(b)??f??(?1)?f??(?2)???。 22!2????

由于f??(x)连续,由介值定理知,存在????1,?2?使得f??(?)?f??(?1)?f??(?2),从而得 2

1?a?b?2f(a)?2f???f(b)??b?a?f??(?), 4?2?

即 f??(?)?4

b?a2???a?b?f(a)?2f?f(b)。 ?????2???

22十二、设函数f(x)在闭区间[-2,2]上具有二阶导数,f(x)?1,且?f(0)???f?(0)??4,证明:

存在一点ξ∈(-2,2),使得f(?)?f??(?)?0。(本题8分)

证明:在区间[-2,0]和[0,2]上分别对函数f(x)应用拉格朗日中值定理

??1?(?2,0)使f?(?1)?f(0)?f(?2); 2

f(2)?f(0)。 ??2?(0,2)使f?(?2)?2

f(0)?f(?2)?1,f?(?2)?1。 2注意到:f(x)?1,因此f?(?1)?

22命:F(x)??f(x)???f?(x)?,则F(x)在区间[-2,2]上可导,且

F(?1)??f(?1)???f?(?1)??2; 22

F(?2)??f(?2)???f?(?2)??2; 22

34

F(0)?4。

故F(x)在闭区间??1,?2?上的最大值F(?)?Max?f(x)??4,且??(?1,?2)。由弗马定理知x???1,?2?

?(?)?0。而 F?(x)?2f(x)f?(x)?2f?(x)f??(x), 故 F?(?)?2f?(?)?f(?)?f??(?)??0。

由于F(?)??f(?)?2??f?(?)?2?4,所以f?(?)?0,从而f(?)?f??(?)?0。 F

35

2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案

(理工类)

六、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)

?1?esinx

,x?0,?x1.若f?x???arctan是???,???上的连续函数,则a = -1 。

?2x?ae?1,x?0,

2.函数y?x?2sinx在区间?

3.2????,??上的最大值为? 。 23????x?x?e2

?2?xdx?2?6e?2 。

?3x2?2y2?124.由曲线?绕y轴旋转一周得到的旋转面在点0,3,2处的指向外侧的单位法向?z?0??

量为1

?0,2,3 。

1??x-1?ez?y?x

?2所确定,则dz?dx?dy 。 z?y?x1?xe?5.设函数z?z?x,y?由方程z?y?x?xez?y?x

二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)

16. 设函数f (x)可导,并且f??x0??5,则当?x?0时,该函数在点x0处微分dy是?y的( A )

(A)等价无穷小; (B)同阶但不等价的无穷小;

(C)高阶无穷小; (D)低阶无穷小。

17. 设函数f (x)在点x = a处可导,则f?x在点x = a处不可导的充要条件是( C )

(A)f (a) = 0,且f??a??0; (B)f (a)≠0,但f??a??0;

(C)f (a) = 0,且f??a??0; (D)f (a)≠0,且f??a??0。

18. 曲线y?x?x2?x?1( B )

(A)没有渐近线; (B)有一条水平渐近线和一条斜渐近线;

(C)有一条铅直渐近线; (D)有两条水平渐近线。

19. 设f?x,y?与??x,y?均为可微函数,且??y?x,y??0。已知?x0,y0?是f?x,y?在约束条件??x,y??0下的一个极值点,下列选项中的正确者为( D )

36

(A)若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0; (B)若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0; (C)若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0; (D)若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0。 20. (A)(C)

设曲面Σ??x,y,z?x?y?z?k,z?0的上侧,则下述曲面积分不为零的是( B )

2

2

2

2

??

2x??dydz; (B)??xdydz; ?

?

??zdzdx; (D)??ydxdy。

?

?

x?0

三、设函数f (x)具有连续的二阶导数,且lim分)

f?x??f?x??

。(本题6?0,f???0??4,求lim?1??x?0x?x?

1x

解:由题设可推知f (0) = 0,f??0??0,于是有

lim

1x

x?0

f?x?f??x?f???x??lim?lim?2。 2x?0x?02x2x

f?x?x

fx?

f?x??f?x?????

?lim1?故 lim?1??x?0x?0?x?x???????

?

????

xx

??ff?x??x??f?x??2

?limexp?2ln?1??e。 ??x?0xx??????

?x?1?2t2,2

dy?u??t?1四、设函数y?y?x?由参数方程?所确定,求。(本题6分) 1?2lnte2

x?9dxdu,?y??1

u?

dyedye1?2lnt22etdx

????解:由,,所以 ?4t,得到

dx21?2lntdt1?2lntt1?2lntdt

2

e

?1dyd?dy?1d?e1e??。 ???????????222??2dxdt?dx?dt?21?2lnt?4tdx21?2lnt4t4t1?2lntdt

2

而当x = 9时,由x?1?2t及t > 1,得t = 2,故

2

d2yee

????。 2222

dxx?94t1?2lntt?2161?2ln2五、设n为自然数,计算积分In?

?

π

20

sin?2n?1?x

dx。(本题7分)

sinx

解:注意到:对于每个固定的n,总有

lim

sin?2n?1?x

?2n?1,

x?0sinx

37

所以被积函数在x = 0点处有界(x = 0不是被积函数的奇点)。又

sin?2n?1?x?sin?2n?1?x?2cos2nxsinx,

于是有

sin?2n?1?x?sin?2n?1?x12dx?2?cos2nxdx?sin2nx2?0, 0sinxn0πIn?In?1??π

2

上面的等式对于一切大于1的自然数均成立,故有In?In?1???I1。所以

?

In?I1??2

0sin3xcos2xsinx?sin2xcosx?dx??2dx??2cos2xdx?2?2cos2xdx?。 000sinxsinx2???

六、设f (x)是除x = 0点外处处连续的奇函数,x = 0为其第一类跳跃间断点,证明续的偶函数,但在x = 0点处不可导。(本题7分) ?f?t?dt是连0x

证明:因为x = 0是f (x)的第一类跳跃间断点,所以lim?f?x?存在,设为A,则A≠0;又因f (x)x?0

为奇函数,所以lim?f?x???A。 x?0

命:

?f?x??A,x?0;???x???0,x?0;

?f?x??A,x?0.?

则??x?在x = 0点处连续,从而??x?在???,???上处处连续,且??x?是奇函数:

当x > 0,则-x < 0,???x??f??x??A??f?x??A???f?x??A?????x?;

当x < 0,则-x > 0,???x??f??x??A??f?x??A???f?x??A?????x?,

即??x?是连续的奇函数,于是???t?dt是连续的偶函数,且在x = 0点处可导。又 0x

?

所以xx0x??t?dt??f?t?dt?Ax, 0x0x?f?t?dt????t?dt?Ax, 0

22?f?t?dt是连续的偶函数,但在x = 0点处不可导。 七、设f (u, v)有一阶连续偏导数,z?f?x?y,cos?xy??,x?rcos?,y?rsin?,证明: 0

?z1?z?z?zcos??sin??2x?ysin?xy?。 ?rr???u?v

(本题7分)

解: 设:u?x?y,v?cos?xy?,则 22

38

?z?z?x?z?y?x??z?u?z?v??y??z?u?z?v???????????????????r?x?r?y?r?r??u?x?v?x??r??u?y?v?y??

?2

类似可得 ?z?xcos??ysin????zsin?xy???ycos??xsin???u?v?z?z?z??2r?xsin??ycos???rsin?xy???ysin??xcos??, ???u?v

代入原式左边,得到

?z1?zcos??sin??rr??

?z?z?z?2cos???xcos??ysin???cos???sin?xy??ycos??xsin???2?sin??xsin??ycos?? ?u?v?u

?z?z?z?sin?xy?sin??ysin??xcos???2x?ysin?xy??v?u?v

八、设函数f (u)连续,在点u = 0处可导,且f(0)= 0,f??0???3求:limt?01πt4

x2?y2?z2?t2???fx2?y2?z2dxdydz。(本题7分)

1

πt4?解:记G?t??

的对称性,有 x2?y2?z2?t2???fx2?y2?z2dxdydz,应用球坐标,并同时注意到积分区域与被积函数?

G?t??

于是有 8πt4

t??20d??2sin?d??f?r?r2dr?00?t4?f?r?r2dr0tt4

limG?t??limt?0t?04?f?r?r2dr0t44f?t?t2f?t??f?0??lim?lim?f??0???3。 t?0t?0t4t3

九、计算I??ydx?xdy(本题7分) Lx?x?y,其中L为x?x?y?1正向一周。

解:因为L为x?x?y?1,故

I??ydx?xdyL格林公式????1???1??d??2??d? DD

其中D为L所围区域,故??d?为D的面积。为此我们对L加以讨论,用以搞清D的面积。

D

当x?0且x?y?0时,x?x?y?1?2x?y?1?0;

39

当x?0且x?y?0时,x?x?y?1??y?1?0;

当x?0且x?y?0时,x?x?y?1?y?1?0;

当x?0且x?y?0时,x?x?y?1??2x?y?1?0,

故D的面积为2×1=2。从而I??ydx?xdyLx?x?y?4。

224十、⑴ 证明:当x充分小时,不等式0?tanx?x?x成立。

⑵ 设xn??tan2

k?1n1n?k,求limxn。(本题8分) n??

tan2x?x2tanx?xtanx?xsec2x?12tan2x2证明:⑴ 因为lim?lim?lim?2lim?lim2?, x?0x?0x?0x?0x3x?0x3x4x33x2

224又注意到当x充分小时,tanx?x,所以成立不等式0?tanx?x?x。

⑵ 由⑴知,当n充分大时有,1?tan2

n?k1n?k?11?,故 2n?kn?knnn11111?x????, ????n2n?kn?kn?knk?1k?1k?1n?kk?1n

11n1??而?,于是 knk?1k?1n?k1?n

1111n1lim??lim???dx?ln2, 0n??n??knk?11?xk?1n?k1?nnn

由夹逼定理知limxn?ln2。 n??

十一、设常数k?ln2?1,证明:当x > 0且x ≠ 1时,?x?1?x?lnx?2klnx?1?0。(本题82??

分)

证明:设函数f?x??x?lnx?2klnx?12?x?0?,

故要证?x?1?x?lnx?2klnx?1?0, 2??

只需证:当0?x?1时,f?x??0;当1?x时,f?x??0。

40

2lnx2k1

???x?2lnx?2k?。 xxx

2x?2

命:??x??x?2lnx?2k,则???x??1??。

xx

显然:f??x??1?

当x = 2时,???x??0,x = 2为唯一驻点。又????x??

21

??,???2??0,所以x = 2为??x?的2

2x

唯一极小值点,故??2??2?1?ln2??2k?2?k??ln2?1???0为??x?的最小值(x > 0),即当x > 0时

f??x??0,从而f?x?严格单调递增。

又因f?1??0,所以当0?x?1时,f?x??0;当1?x时,f?x??0。

十二、设匀质半球壳的半径为R,密度为μ,在球壳的对称轴上,有一条长为l的均匀细棒,其密度

为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a,a > R ,求此半球壳对棒的引力。(本题7分)

解:设球心在坐标原点上,半球壳为上半球面,细棒位于正z轴上,则由于对称性,所求引力在x轴与y轴上的投影Fx及Fy均为零。

设k为引力常数,则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为:

Fz?k????ds?

?

a?l

z?z1

a

?x

?2

?k?????x?y2

??

2

?

??z?a?l????x

2

?y2??z?z1?

12?2

322

dz1

2

?y??z?a?

2

12?2

?

??ds?

记M1?2πRμ,M2?lρ。在球坐标下计算Fz,得到

Fz?2?k??R

2

??

?0

?22

?R??a?l??2R?a?l?cos??

R?a?la?l

2

2

???R

?

12

2

?a?2acos?

2

?

?

12

?sin??d?

?

kM1M2?R2?a2?R

???Rl?a

??R?

???

若半球壳仍为上半球面,但细棒位于负z轴上,则

2

GM1M2?R2?a?l?RR2?a2?R?

??。 Fz??Rl?aa?l???

41

2007年天津市大学数学竞赛试题参考答案

(理工类)

七、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)

1. 设函数f?x??

小,则a = 3 。

2. 设函数y?x2在x?x0点处取得极小值,则x0??x?sinx?0sinat2dt,g?x??x3?x4,且当x→0时,f?x?与g?x?为等价无穷??1。 ln2

3. ???

1dx?1?ln2。 2xx?122?x?1y?1z?2?3x?2y-2z-1?04. 曲线L:?2在点(1,1,2)处的切线方程为。 ??221?4?5??x?y?z-4y-2z?2?0

115. ?0dx?xy?y3x2dy?132?1。 ?

二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)

1. 设函数f?x?连续,则下列函数中必为偶函数的是( A )

(A)

(C)?x?0t?f?t??f??t??dt; (B)?t?f?t??f??t??dt; ?0x???dt; (D)??f?t??dt。 x

0ft2x20

2. 设函数f?x?具有一阶导数,下述结论中正确的是( D )

(A)若f?x?只有一个零点,则f??x?必至少有两个零点;

(B)若f??x?至少有一个零点,则f?x?必至少有两个零点;

(C)若f?x?没有零点,则f??x?至少有一个零点;

(D)若f??x?没有零点,则f?x?至多有一个零点。

3. 设函数f?x?在区间?0,???内具有二阶导数,满足f?0??0,f???x??0,又0?a?b,则当a?x?b时恒有( B )

(A)af?x??xf?a?; (B)bf?x??xf?b?;

42

(C)xf?x??bf?b?; (D)xf?x??af?a?。

4.考虑二元函数f?x,y?在点?x0,y0?处的下面四条性质:

①连续; ②可微;

③fx??x0,y0?与fy??x0,y0?存在; ④fx??x,y?与fy??x,y?连续。

若用“P?Q”表示可由性质P推出性质Q,则有( B )

(A)②?③?①; (B)④?②?①;

(C)②?④?①; (D)④?③?②。

5.设二元函数f?x,y?具有一阶连续偏导数,曲线L:f?x,y??1过第二象限内的点M和第四象限内的点N,Γ为L上从点M到点N的一段弧,则下列积分值为负的是( C )

(A)

(C)?f?x,y?ds; (B)?f?x,y?dx; ?????f?x,y?dy; (D)?????fx??x,y?dx?fy??x,y?dy。

三、已知曲线y?f?x?与曲线y?

求极限limn?f??。(本题6分) n???arctanx0e?tdt在点(0,0)处具有相同的切线,写出该切线方程,并2?2??n?

解:由已知,显然有f?0??0,且在点(0,0)处

e??arctanx?

f??x??,故f??0??1 1?x22

因此,所求切线方程为y = x。

?2?f???f?0?n?2?limn?f???lim2???2f??0??2。 n??n??2?n?

n

四、证明:当x > 2时,?x?2?e

证明:设??x???x?2?ex?2

2x?22(本题7分) ?xex?2e?2?0。?xex?2e?2,?x??2?,

???2????2?2?e

???x??ex?2

2?2?22???2?e?2?2e?2??4e?2?2e?2?2e?2?0, ?ex?xex。

?x?2???f?x?。 ?2?

43 x?2?e2ux?22?? 又设:f?u??e?ue,则???x??f?u

由拉格朗日中值定理知,存在????x??2,x?,使 ?2?

???x??f?????

?x?2?x?2?, ?x???f????22??而f?????e?2???,又2???x?2x?2?2??0,故f?????0。从而,当x > 2时, 22

x?2???x???f?????0, 2

即??x?单调减少,从而??x??0。命题得证。

五、设f?x??xsin2x,求f2?n??0??n?3?。(本题7分)

解:利用牛顿—莱布尼兹公式:

?n?k??k??uv??n??u?n?v?Cn1u?n?1?v????Ckv???uv?n?。 nu

设u?x,v?sin2x,

注意到:u??2x,u???2,u?j?2?0?j?3?;

v?n???sin2x??n?nπ???2nsin?2x??, 2??

v?n?1???sin2x??n?1??n?1?π?, ??2n?1sin?2x??2??

?n?2?π?。 ??2n?2sin?2x??2??v?n?2???sin2x?

故?n?2?

?xsin2x????22nn?n?1?π??n?n?1?2n?2?2?sin?2x??n?2?π?, nπ???nx2sin?2x???n2xsin?2x????2222??????

2??n?n?1?2n?2sinn?

2于是有f?n??0??n?n?1?2n?2sin?n?2???n?3?。

六、设当0?x?1时,f?x??x1?x

点处可导,并求此导数。(本题7分) ?2?,且f?x?1??af?x?,试确定常数a的值,使f?x?在x = 0

解:首先写出f?x?在 x < 0附近的表达式:当?1?x?0时,0?x?1?1。由f?x?1??af?x?知,

f?x??

故有 1112f?x?1???x?1?1??x?1???x?x?1??x?2?, aaa??

44

?1??x?x?1??x?2?,?1?x?0,f?x???a

?0?x?1.?x?1?x??1?x?,

显然,f?x?在点 x = 0处连续,且f?0??0,

1x?x?1??x?2??02f???0??lim???, x?0xa

x?1?x??1?x??0f???0??lim??1。 x?0x?

因f?x?在x = 0点处可导的充要条件为:f???0??f???0?,即

?

且f??0??1。 2?1,a??2, a

七、设函数f?t?在区间???,???内连续,且满足

⑴ 求f?t?;

⑵ 计算I??2x?3y?10f?t?dt?4x2?9y2?12xy?2, ?f?2x?3y?1??2dx?3dy?,其中L是从原点O到点M(1,3)的任意一条光滑弧。?L

(本题7分)

解:⑴ 将原等式两边对x求导,得到

2f?2x?3y?1??8x?12y,

所以f?2x?3y?1??2?2x?3y?。

命:2x?3y?1?t,于是有f?t??2?t?1?。

⑵ 因为P?x,y??2f?2x?3y?1?,Q?x,y??3f?2x?3y?1?, 所以?P?Q。 ?6f??2x?3y?1???y?x

?1,3?于是可知I与积分路径无关,从而 I??f?2x?3y?1??2dx?3dy???L?0,0?f?2x?3y?1??2dx?3dy?,

命:2x?3y?1?t,当x = 0,y = 0时,t = 1;x = 1,y = 3时,t = 12。

故 I??12

1f?t?dt??1212?t?1?dt?t2?2t??121。 1

45

八、求过第一卦限中的点(a,b,c)的平面,使之与三坐标平面所围成的四面体的体积最小。(本题8分) 解:设所求平面的截距式方程为

xyz???1ξη?

因平面过点(a,b,c),故有 ???0,??0,??0?。 abc???1。 ξη?

四面体体积V?1???。 6

?abc?1F??,?,?,??????????ξ?η???1??, 6??应用拉格朗日乘数法,设

λa??F1?η???0,2??ξ6ξ?λb??F1?????0,2???6??命: ? ?F1λc???η?2?0,???6???a?b?c?1?0.??ξη?

得到 a1b1c1?ξη?,?ξη?,?ξη?。 ξ6λ?6λ?6λ

显然??0,否则ξη??0,这与题意不符。代入上述第四个方程,得到

ξη??2?,

从而ξ?3a,η?3b,??3c是唯一驻点,也是唯一最小值点。故所求平面为

xyz???1。 3a3b3c

九、设f?x,y??Max?x,y?,D?D??x,y?0?x?1,0?y?1?,计算I???f?x,yy?x2dσ。(本题7分) D

解:将区域D分成三块:

D1???x,y?0?x?1,x?y?1?

D2??x,y?0?x?1,x2?y?x

D3

于是 2???x,y?0?x?1,0?y?x???

46

I??

??y?y?x?d?

2

D1

1x

?

??x?y?x?d?

2

D2

1

x

x

?

??x?x

D32

2

?yd?

1

x2

?

?

1

01

dx?y?yxdy??xdx?2y?xdy??xdx?

?

22

???

01

?x

2

?ydy

?

?1x2x3x4?

???????dx??0?3232??

11?40

?x3x5?4?0??2?x?2??dx???

1

?

x5

dx2

十、设函数f?x,y??x?y?x,y?,其中??x,y?在点(0,0)的一个邻域内连续,证明:f?x,y?在点(0,0)处可微的充要条件是??0,0??0。(本题8分)

证明:充分性

已知??0,0??0,欲证f?x,y?在点(0,0)处可微,只需证

lim

x?y??x,y?x?y?

2

2

x?0

y?0

?0。

注意到:

x?yx?y

2

2

x?yx?y

2

2

?2,

所以

x?y?x,y?x?y

2

2

?2?x,y?。

又lim??x,y??0,由夹逼定理知lim

x?0y?0

x?y??x,y?x?y

2

2

x?0y?0

?0。

从而f?x,y?在点(0,0)处可微,并且df?x,y??0。 必要性

已知f?x,y?在点(0,0)处可微,故fx??0,0?与fy??0,0?都存在。而

fx??0,0??lim

?

x?0?x,0??0??0,0?

x

?

x?0

????0,0?,

其中当x?0时,fx??0,0????0,0?;当x?0时,fx??0,0?????0,0?。由于fx??0,0?存在,故

??0,0??0。

十一、计算I?

???f?x,y,z??x?dydz??2f?x,y,z??y?dzdx??f?x,y,z??z?dxdy,其中f?x,y,z?为一

Σ

连续函数,Σ是平面x?y?z?1在第四卦限部分的上侧。(本题7分)

47

解:化为第一类曲面积分求解。设Σ的单位法向量n??cos?,cos?,cos????01

?1,?1,1?,则

I?????f?x,y,z??x?cos???2f?x,y,z??y?cos???f?x,y,z??z?cos??dS

Σ

?1??x21yz?????f?x,y,z??f?x,y,z??f?x,y,z??dS?????????dS 3??Σ?Σ?3

1?x?y?1?x?y???1?1dσ???3Dxy

其中Dxy??x,y?0?x?1,x?1?y?0。 故I???

Dxy??dxdy?1。 2

2

十二、设函数f?x?在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且有??

?0ef?x?arctanxdx?1,2

(本题6分) f?1??0,则至少存在一点???0,1?,使得?1??2?arctan??f??????1。

证明:由积分中值定理知,存在???0,?2??,使 ???

ef???arctan??11???。 224

?

又ef?1?arctan1??

4,故若设??x??ef?x?arctanx,x???,1???0,1?,显然??x?满足罗尔定理的各个

1???0,1?使??????0。而 条件,从而至少存在一点????,

??????ef???ef???

f????arctan??, 1??2

2从而有 1??arctan??f??????1。 ??

48

2008年天津市大学数学竞赛试题参考答案

(理工类)

八、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)

n??

6. 设f (0)>0,f??0??0,则lim?n?????

7. 设函数y?x?由方程sin?xy??

为y?2x?1。 1?1??f????n??? 1 。 f0???1?1所确定,则曲线y?y?x?上对应于x = 0点处的切线方程y?x8. ?2x2?xcosx

1??x

2?12dx?4??。 229. 函数u?

导数x?y?z在点M (1,1,1,)处,沿曲面2z?x?y在该点的外法线方向l的方向22??u

?l?

?1,1,1?1。 3x2x22?y2?1,则10. 设函数f?x,y?在区域D?y?1上具有连续的二阶偏导数,C为顺时针椭圆44

C??3y?f??x,y??dx?f??x,y?dy??6?。 xy

二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)

1. 设当x?0时,?x?1??ln?1?x?是比ln?1?x?高阶的无穷小,而ln?1?x?是比lncosx高22nn

阶的无穷小,则n等于( B )

(A)4; (B)3; (C)2; (D)1。

2. 设?un?是单调增的正数列,

vn?

则数列?vn?( A ) u2?u1u2?u2un?1?un????,n?1,2,? pppun?1u2u3

(A)当p?1时收敛; (B)当1?p?0时收敛;

49

(C)对任意p?0均收敛; (D)对任意p?0均发散。 3. 设lim

f?x??f?a?

x?a

?x?a?

13

?1,则函数f?x?在点a处必( D )

(A)取极大值; (B)取极小值; (C)可导; (D)不可导。 4. 设函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处有

?f

?x

?a,

?x0,y0?

?f?y

?b,则下列结论正确的是( D )

?x0,y0?

(A)limf?x,y?存在,但f?x,y?在?x0,y0?点处不连续;

x?x0

y?y0

(B)f?x,y?在?x0,y0?点处连续; (C)dz?adx?bdy;

(D)limf?x,y0?,limf?x0,y?都存在,且相等。

x?x0

y?y0

5.设S为球面:x?y?z?R?R?0?,其取外侧为Σ,则两个曲面积分全为零的是( C )

2

2

2

2

(A)

2x??ds,S

??ydzdx; (B)??xyds,??ydzdx;

Σ

S

Σ

2

(C)

??xds,??x

S

Σ

dydz; (D)??xds,

S

??xdydz。

Σ

三、对t的不同取值,讨论函数f?x??

1?2x

在区间[t,??)上是否有最大值或最小值,若存在最大

2?x2

值或最小值,求出相应的最大值点与最大值或最小值点与最小值。(本题7分)

解:显然f?x?的定义域为:(-?,??),

f??x??

22?x2?2x?1?2x?

?

2?x?

22

?

2?2?x??1?x?

2?x22

,得驻点:x1??2,x2?1。

又:limf?x??0,limf?x??0。

x???

x???

记:M?t?与m?t?分别表示f?x?在区间[t,??)上的最大值与最小值。

50

从上表不难看出:

① t??2时,m?t??f??2???,M?t??f?1??1;

② ?2?t??

③ ?121?2t1时,m?t??f?t??,M?t??f?1??1; 22?t21?t?1时,无m?t?,M?t??f?1??1; 2

1?2t④ 1?t时,无m?t?,M?t??f?t??。 2?t2

α四、设f?x??xsinx,其中??0,讨论函数f???x?在区间?0,??内零点的个数。(本题7分)

解:f??x???x

α?1sinx?xαcosx, f???x??????1?xα?2sinx?2?xα?1cosx?xαsinx?????1?xα?2?xαsinx?2?xα?1cosx。 ??

注意到:当x??0,π?时,sinx?0,故方程f???x??0与方程

cotx?

同解。

命:g?x??cotx?α?1x??0 2x2αα?1x,x??0,π?。又: ?2x2α

α?1x?2xcosx??α?1?sinx?lim?g?x??lim??cotx????lim?x?ox?o?2x2α?x?o2xsinx ?α?1?cosx?2xsinx???,12?cosx?xsinx???α?1?cosx1?lim??lim?2x?osinx?xcosx2x?osinx?xcosx

α?1x??lim?g?x??lim??cotx??????。 x??x???2x2α?

由闭区间上连续函数零点定理知,g?x?在区间x??0,π?内至少有一个零点。又

1α?112x2?sin2xα1g??x???2???????0, 2222sinx2x2α2xsinx2x2α

即g?x?在区间?0,π?内单调减,所以g?x?在区间?0,π?内至多有一个零点,从而函数f???x?在区间?0,??内有且仅有一个零点。 五、过曲线y?x?x?0?上点A作切线,使该切线与曲线y?x及x轴所围平面图形D的面积S?3。 4

⑴ 求点A的坐标;

51

⑵ 求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。(本题7分) 解:⑴ 设A点坐标为,则切线方程为:y?t???13t?x?t?,即y?2x3t2?2。 3

命:y = 0,得此切线与x轴的交点横坐标x0??2t,从而图形D的面积为

42t?ttt3t?3?12tx22t?x233S??2t?????t?x?dx???tx?x??。 ??2200402333446t03?3t?

?t?1。即A点的坐标为(1,1)。

⑵ 平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为:

221?1?2???1?V?π???2?π????x?2???03?3?????3?5??1833?132?3x?dx?π?π??x?2??x??π?π?π。 275?055??27?2

六、设函数??x??

⑴ 求???x?; ?sinx0ftx2dt,其中f?x?是连续函数,且f?0??2。 ??

⑵ 讨论???x?的连续性。(本题7分)

解:??x??u?tx2

?x2sinx

011x2sinxf?u?du?2?f?u?du,x?0,由已知得??0??0。 x2x0

⑴ 当x?0时,有

2x2sinx1???x???3?f?u?du?2fx2sinx?2xsinx?x2cosxx0x 2x2sinx2????3?f?u?du?fx2sinx?sinx?cosx?;x0?x???????

在x?0点处,由导数定义有

1x2sinx2xsinx?x2cosxfx2sinx???0??lim?lim3?f?u?du?lim0x?0x?0x?0xx3x2

2sinx?xcosx?limfx2sinx?lim?f?0??2.x?0x?03x??x????0???????

?2x2sinx?2?f?u?du?fx2sinx?sinx?cosx?,x?0;??3?0所以???x???x ?x??2,x?0.???

⑵ 因为

?2x2sinx?2??lim???x??lim??3?f?u?du?fx2sinx?sinx?cosx????2f?0??3f?0??2????0?, x?0x?0?x???x0??

故???x?在x?0点处连续;又当x?0时,???x?连续,所以???x?处处连续。 52

七、设函数f?x?在闭区间?0,1?上具有连续的导数,f?1??0,且

⑴ 求?10f2?x?dx?1。 ?xf?x?f??x?dx; 01

⑵ 证明?

?101x2f2?x?dx??f??x??dx?2011。(本题7分) 4⑴ 解:0xf?x?f??x?dx?

11211121xf?x??f?x?dx??。 02022111

000⑵ 证明:令??λ??22222???????????????????xfx?λfxdx?xfxdx?2?xfxfxdx??fxdx, ????0

因对任何实数λ,被积函数≥0,故?????0,所以其判别式

111222?????xf?x?f??x?dx??xf?x?dx???f??x??dx?0, ??00?0?

211??即?xf?x?dx???f??x??dx??xf?x?f??x?dx?。 ??00?0?4122122

?2z?2z?2z??0可经过变量替换八、设二元函数z?z?x,y?具有二阶连续偏导数,证明:2?2?x?x?y?y2

?2w(本题6分) u?x?y,v?x?y,w?xy?z化为等式22?1?0。?u

u2?v2u?vu?v?u?vu?v??z?,证明:由题意可解得x?,从而w?,y??。 42222??

?w1?z1?z11??z?z??u??????u???, ???u2?x2?y22??x?y?

?2w1??2z1?2z1?2z1?2z1?1?1??2z?2z?2z????1?2??????2????1???2?2??, 22????u2??x2?x?y2?y?x2?y2?2?2??x?x?y?y????2w1?2w?,即22?1?0。 故?u?u22

x2y2z2

九、求λ的值,使两曲面:xyz?λ与2?2?2?1在第一卦限内相切,并求出在切点处两曲面abc

的公共切平面方程。(本题8分)

解:曲面xyz?λ在点?x,y,z?处切平面的法向量为n1??yz,zx,xy?。

53

x2y2z2?xyz?曲面2?2?2?1在点?x,y,z?处切平面的法向量为n2??2,2,2?。 abc?abc?

xyz令

欲使两曲面在点?x,y,z?处相切,必须1//2,即2???t。 ayzb2zxc2xy

x2y2z2

由x?0,y?0,z?0,得2?2?2?3t,即3?t?1。 a?b?c?

abcabcx2y2z21于是有2?2?2?,解得x?。 ,y?,z?;λ?abc3333

公共切平面方程为bc?a?ac?b?ab?c?xyz?x????y????z???0,化简得???。 3?abc?3??3?3?

十、计算三重积分I?????x

Ω22其中Ω是由yoz平面内z = 0,z = 2以及曲线y??z?1??1?y2dv,2?

所围成的平面区域绕z轴旋转而成的空间区域。(本题7分)

解:由题设知,区域Ω是由旋转面x?y??z?1??1与平面z = 0,z = 2所围成。用与z轴垂直222

的平面截立体Ω,设截面为Dz,于是

I??dz??x2?y2dxdy。 0Dz2??

显然Dz是圆域,圆心为?0,0,z??0?z?2?,半径为r?

所以I?x2?y2??z?1。 2?2

0dz?d??02???z-1?20r3dr?2??1π228?2224。 1??z?1?dz??1?2?z?1???z?1?dz?0420152????

十一、计算曲线积分I?

C??x?y?dx??x?y?dy,其中曲线C:y???x?是从点A(-1,0)到点B(1,0)x2?y2

的一条不经过坐标原点的光滑曲线。(本题8分)

x?y?Px2?y2?2xyx?y?Qx2?y2?2xy,?,?解:P?x,y??2,Q?x,y???2。 22222222x?y?yx?y?xx?yx?y作上半圆C1:x?y?r,y?0,逆时针方向,取r充分小使C1位与曲线C的下部且二者不相交。又在x轴上分别取1到r与-r到-1两个线段l1与l2,于是有 222

I??C1?l1?l2?x?y?dx??x?y?dy?x2?y2??Q?P????x??y??dxdy?0,其中D是由C?C1?l1?l2所围成的区???D?

域。

从而,

54

I??????

πC1?l1?l2

2

?x?y?dx??x?y?dy???

x2?y2

2

?x?y?dx??x?y?dy

??C??l??l??

12?1?x2?y2

rdx?1dx??r?cos??sin??sin??r?cos??sin??cos?

d????dt?lnr?lnr??2???

r1x?rx

0十二、求证?e

?1

?

1

1

2

?2?

e?xdx??e。

(本题6分) 证明:记I?

?1

?x22?1?y2??1?x2?11

??x2?y2?-1

edx,则I????-1edy?????-1edx??

??-1dy??1

edx。 注意到:e

??x2?y2

??0,故I2?

??e

??x2?y2

?dxdy?

?

2?

2

2

d??0

re?rdr???1?e?2?

x2?y2?2

同理:I2

?

??

e??x2

?y2

?dxdy?

?

2?

1

2

d??0

re?rdr???1?e?1?

?0,

x2?y2?1

开方得:??e?1

?I???e?2,即?e

?1

?

1

1

2

?

e?xdx??e?2。

55

2009年天津市大学数学竞赛试题参考答案

(理工类)

九、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。) 11. lim??1?n??1n????41??2??n????1?????1???? 。 en??n??n??

4?n?12. 设f?x??xx,则使f?0?存在的最大n 。 13. ?π

0cosx??cos2xdx?。

14. 设a??3,5,?2?,b??2,1,4?,若λa?b与OZ轴垂直,则λ= 2 。

15. 设L为正向圆周x?y?2在第一象限中的部分,则22?Lxdy?2ydx? 3π 。 2

二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)

1. 函数f?x??x的第一类间断点的个数为( C )。 ln?x

(A)0; (B)1; (C)2; (D)3。

2. 设f?x?与g?x?具有任意阶导数,且f???x??f??x?g?x??xf?x??e?1,f?0??1,f??0??0,x

则( A )。

(A)f?0?为函数f?x?的极小值; (B)f?0?为函数f?x?的极大值;

(C)点(0,1)为曲线y?f?x?的拐点; (D)极值与拐点由g?x?确定。

3. 设函数f?x??u?x??v?x?,g?x??u?x??v?x?,又limu?x?与limv?x?都不存在,则下列结论x?x0x?x0

正确的是( D )。

(A)若limf?x?不存在,则limg?x?必不存在;(B)若limf?x?不存在,则limg?x?必存在; x?x0x?x0x?x0x?x0

(C)若limf?x?存在,则limg?x?必存在; (D)若limf?x?存在,则limg?x?必不存在。 x?x0x?x0x?x0x?x0

4. 设F?x,y?具有2阶连续偏导数,F?x0,y0??0,Fx??x0,y0??0,Fy??x0,y0??0。若y?y?x?是由方程F?x,y??0所确定的在点?x0,y0?附近的隐函数,则x0是y?y?x?的极小值点的一个充分条件为( B )

???x0,y0??0; (B)Fxx???x0,y0??0; (A)Fxx

56

(C)Fyy???x0,y0??0; (D)Fyy???x0,y0??0。

5. 设L为折线x?x?y?1的正向一周,则Lx2y2dx?cos?x?y?dy?( C )。

(A)-2sin2; (B)-1; (C)0; (D)1。

三、设函数

???ln?1?ax3?

??x?arcsinx,x?0

fx????6,x?0

??eax?x2?ax?1

?,x?

??xsinx0

4

⑴ a 为何值时,f?x?在 x = 0点处连续;

⑵ a 为何值时,x = 0为f?x?的可去间断点。(本题7分)

解:因为

limfln?1?ax3?ax33ax2

x?0??x??xlim?0?x?arcsinx?xlim?0?x?arcsinx?xlim?0?1?1

?x2

?3ax2?x2?1

xlim?0??x2?1?x2?1??6a

eax?x2?ax?1eax?x2?ax?1aeax

xlim?0?f?x??xlim?2x?a?0??4lim?xsinxx?0x2?4xlim?0?2x

??4 ?2xlim?0?a2eax?2?2a2?4

命:xlim?0xlim2?f?x???0?f?x?,即?6a?2a?4,解得a??1,a??2。

当a??1时,limx?0f?x??6?f?0?,故f?x?在 x = 0点处连续。

当a??2时,limx?0f?x??12?f?0??6,故x = 0为f?x?的可去间断点。

四、设f?x??nx?1?x?n(n为正整数),

⑴ 求f?x?在闭区间[0,1]上的最大值M(n);

⑵ 求limn??M?n?。(本题7分)

57

解:⑴ 命f??x??n?1?x??nx?1?x?n?n?1??n?1?x?n?1?1?x?nx??0,得x1?1,x2?1。 1?n

当0?x?1时,f??x??0; 1?n

1?x?1时,f??x??0, 1?n

n?1?1?1?故x1?为f?x?的极大值点,f????1??为对应的极大值。 1?n?1?n?1?n?1?n?

n?1??1?又f?0??f?1??0,故f??1??。 ?即为f?x?在闭区间[0,1]上的最大值:M?n??1?n1?n1?n????

1??1??1??e?1。 ⑵ limM?n??lim?1????n??n???1?n??1?n?

五、计算I?nnn?π

4π?4sin2xdx。(本题6分) -x1?e

ππ2t??x0sinxsin2xsin2xsin2x44dx??dx,其中?πdx??dx,故 解:I??π?1?e-x01?e-x?1?e-x01?ex

440

π

4

0I??1?1sinx??x1?e-x?1?e2-xx1?e?1?e1?24sinx4sin2xdx??π?2?。 dx?dx??x-x??0081?e1?e?ππ六、设对任意x,都有f?x??F?x?,且F?x?在x = 0点处连续,F?0??0,证明:f?x?在x = 0点处也连续。(本题6分)

证明:首先,由0?f?0??F?0?0,知f?0??0,从而f?0??0。

又由f?x??F?x?,知?F?x??f?x??F?x?。又F?x?在x = 0点处连续,F?0??0,知 limF?x??0,lim??F?x???0,于是有limf?x??0。即limf?x??0?f?0?。所以,f?x?在x = x?0x?0x?0x?0

0点处也连续。

七、设f?x,y??max?x,y?,D??x,y?0?x?1,0?y?1,计算I?

7分)

解:用曲线y?x,y?x将区域D分成三部分 2????D(本题f?x,y?y?x2dxdy。

D1???x,y?0?x?y?1?,

D2??x,y?x2?y?x?1,

D32??x,y?0?y?x????1?。

58

I???yy?x2dxdy???xy?x2dxdy???xx2?ydxdy

D1

D2

D3

??????

??dx?y?yxdy??dx?2xy?xdy??dx?

x

x

11

?

22

?

1x

?

3

?

1

x2

?x

3

?xydy

?

?1x2x3x4115?????????xdx??0?326240??

1

x2y2z2

八、在椭球面2?2?2?1上求一切平面,它在坐标轴的正半轴截取相等的线段。(本题7分)

abcx2y2z2

解:设F?x,y,z??2?2?2?1,切点为(x0,y0,z0),故该点处切平面的法向量为

abc

Fx??

2x02y02z0

??,,。 F?F?yz

a2b2c2

切平面方程为

2x02y02z0

?????z?z0??0,即 x?x?y?y?00222abc

x

a

2

?

y

b0

2

?

z

c20

?1。

a2b2c2a2b2c2

???k?k?0?,即x0?,y0?,z0?依题意,有截距。 x0y0z0kkk

?a2??b2??c2?

????k???k???k??

a2b2c2?????????1

由于切点在椭球面上,故有,即2?2?2?1,

a2b2c2kkk

从而解得k?于是有x0?

222

a2?b2?c2,

a2a?b?c

2

2

2

,y0?

b2a?b?c

2

2

2

,z0?

c2a?b?c

2

2

2

切平面方程为x?y?z?

a2?b2?c2。

九、设f?t?为连续函数,求证

??

D

f?x?y?dxdy??f?t??A?t?dt,其中

A?A

??AA

D???x,y?x?,y?,A为正常数?。

22??

(本题7分)

59

证明:

??f?x?y?dxdy??

D

A2A?2

dx?

A2A?2

f?x-y?dy?

t?A2A2

命x?y?t

?

A2A?2

dx?

A2Ax?2x?

?f?t?dt

??dx?

0-A

A2A?2A2Ax?2x?

f?t?dt??f?t?dt?

-AA0

?

dx??f?t?dt?

00-A

A

A2

t?

A2

dx

A

??f?t??t?A?dt??f?t??A?t?dt??f?t??A?t?dt??f?t??A?t?dt??f?t??A??dt。

A-A

十、设函数f?x?在闭区间[a,b]上具有二阶导数,且f?a??0,f?b??0,存在一点ξ∈(a,b)使得f??????0。(本题7分)

证明:因为f?x?在闭区间[a,b]上连续,且f?a??0,f?b??0,以及

?f?x?dx?0。证明:

a

b

?f?x?dx?0,故在开区间

a

b

(a,b)内至少存在一个小区间使得f?x?在其内为正,从而知f?x?在闭区间[a,b]上的最大值为正,且最大值点η∈(a,b),f?????0。

对于x ∈[a,b],有泰勒公式f?x??f?η??

12

f???ξ??x?η?,其中ξ位于x与η之间。命x = a,则 2

12

f?a??f?η??f???ξ??a?η?,

2

因其中?a?η??0,f?a??f?η??0,故f??????0。

2

十一、设二元函数u?x,y?具有二阶偏导数,且u?x,y??0,证明u?x,y??f?x?g?y?的充要条件为:

?2u?u?uu??。 ?x?y?x?y

(本题8分)

证明:必要性

?u?u?2u?f??x?g?y??f?x?g??y??f??x?g??y?,显然有 若u?x,y??f?x?g?y?,则?x?y?x?y

?2u?u?u

u??。 ?x?y?x?y

充分性

?2u?u?u?u??u??u?u

????0,由于u?x,y??0,所以 若u,则u????x?y?x?y?y??x??x?y

60

?u??u?u??u?u?u??????????x??y??x??x?y

??0,

?y?u?u2

????

???lnu??lnu?ln?y???x???0,因此

?x不含y,故可设u?x

???x?。从而有 lnu????x?dx?ψ?y?,

u?e???x?dx?ψ?y??e???x?dx?eψ?y?,

即u?x,y??f?x?g?y?。

十二、计算曲面积分I?

xdydz?ydzdx?zdxdy

Σ

?,其中Σx

2

?y2?z

23

2

Ω???x,y,z?x?2y?2z?2?

边界曲面的外侧。(本题8分)

解:命P?

x

y

z

?Q?

x

2

2?

3

,?y2?z

2

?x

2

?y2?23,R?

z

2

?x

2

?y2?z

232

作辅助曲面Σ1为球面x2

?y2?z2?ε2

的外则,其中 0 <ε< 1。则

I?

dz?ydzdx?zdxdy

dx?zdxdy

Σxdy?Σ1

??xdydz?ydzx

2

?y2?z

23??

2

Σ1

?3

x

2

?y2?z

2,2

其中

dzdx?zdxdy

?Σxdydz?y?Σ1

?x

2

?y2

?z

23???????P?Q?R?2

1??x??y??z??dxdydz

Ω?3?x2

?y2

?z2

2

????

??3x

?3y2

?3z

2

?1

?dxdydz?0

x

2

?y2?z

25

2

(Ω1为Σ与Σ1之间的空间区域)。所以

I???

xdydz?ydzdx?zdxdy

1

Σ1

?x

2?y?z

ε3??dydz?ydzdx?zdxdy2

23

?

x2

Σ1

?114

ε3??3dxdydz?3?3?3

πε3?4π。Σ1ε

为空间区域

61

2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案

(理工类)

一、填空:(本题15分,每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)

1. 设xn?1?1115,则limxn? 。 ????n??231?2???n2πsinx4,则πxf??x?dx? ?1 。 x?22. 已知f?x?的一个原函数为

??3.

4.

角为 ?edx?。 xln2x设a,b为非零向量,且满足(a + 3b)⊥(7a – 5b),(a – 4b)⊥(7a – 2b),则a与b的夹? 。 3根据美国1996年发布的《美国能源报告》原油消耗量C1?t?的估计公式为(单位:十亿桶/年): 5.

C1?t???0.00137t2?0.0781t?6.90,

式中t的原点取为2000年1月。如果实测模型为: ?15?t?15,

C2?t???0.00137t2?0.0721t?6.87,?15?t?15,

则自1995年至2015年共节省原油 12亿桶 。

二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)

?1?cosx,?1. 设函数f?x???x??xg?x?,x?0,x?0.其中g?x?是有界函数,则f?x?在x?0点处( C )。

(A)极限不存在; (B)极限存在,但不连续;

(C)连续但不可导; (D)可导。

2. 设曲线的极坐标方程为r?1?cos?,则在其上对应于??

( A )。

(A)x?1?0; (B)y?1?0;

(C)x?y?0; (D)x?y?0。

3. 设函数f?x?连续,则

(A)x

2?点处的切线的直角坐标方程为3dx322。 tfx?tdt?( D )?0dx???x20f?u?du?x3fx2; (B)x3f?0?; 62 ??

(C)xfx

4. 设3??; (D)x?f?u?du。 2x20axdx?bdy

x2?y2为一函数的全微分,则下面正确的答案为( C )。

(A)a??1,b?1; (B)a?1,b??1;

(C)a??2,b??1; (D)a??2,b?1。

??x2y2z2

?2?2?1,z?0?,并取上侧为正,则不等于零的曲面积分为:5. 设曲面Σ???x,y,z??123?

( B )。

(A)??x2dydz; (B)??xdydz;

ΣΣ

(C)??zdxdz; (D)??ydxdy。

ΣΣ

三、计算lim???1

?n3?n2?n??en??n6??。(本题7分) n????2??

解:先求??1

3x??1

xlim?????x?x2??ex??x6??2??。令t?,当x???时,t?0?,则

?x

?

lim??1?1?t?1t2??et??t6

3x?x?

??????x?x2?2??e??x6??lim?2?

x??t?0?t3

153

t2et?3t1t3t

?lim2?t62e??t61

t?0?3t2?limt?0?3?6。

从而

lim?

n?????n?n2?n?13n?1??2??e??n6??

?6。

四、设f?x??arctan1?x

1?x,求f?5??0?。(本题6分)

解:f??x???1

1?x2,即?1?x2?f??x???1。 (※)

等式(※)两边再对x求2阶导数得:

?1?x2?f????x??4xf???x??2f??x??0,

令x?0,得f????0??2。

等式(※)两边对x求4阶导数得:?1?x2?f?5??x??8xf?4??x??12f????x??0, 令x?0,得f?5??0???12f????0???24。

63

五、对k的不同取值,分别讨论方程x3?3kx2?1?0在区间?0,???内根的个数。(本题7分)

32解:设f?x??x?3kx?1,0?x???,f??x??3x?x?2k?,

⑴ 当k?0时,f??x??0,即f?x?在[0,??)上单调增加,又f?0??1,故原方程在区间?0,???内无根;

⑵ 当k?0时:0?x?2k,f??x??0,f?x?单调减少;

2k?x,f??x??0,f?x?单调增加。

所以x?2k是f?x?的极小值点,极小值f?2k??1?4k3。

于是,当1?4k3?0,即0?k?2

2时,原方程在区间?0,???内无根;

3 当1?4k?0,即k?2

2时,原方程在区间?0,???内有唯一的根;

当1?4k3?0,即k?2

2时,原方程在区间?0,???内有两个根。

六、设a,b均为常数且a??2,a?0,问a,b为何值时,有

?????2x2?bx?a

?x2x?a?1?1

1??dx??0ln?1?x2?dx。(本题7分)

解:

?1

0ln?1?x2?dx??1ln?1?x?dx??100ln?1?x?dx

??1?x?ln?1?x1111

0?x0??1?x?ln?1?x?0?x0?2?ln2?1?;

????2x2?bx?a???b?a?x?a???1

1??x2x?a?1???dx??1x2x?adx??2?b?a?

1??x?2x?a??dx

?Blim???lnxB ?,

2x?a?1?1

2?b?a?1

因为极限存在,故必有b?a?0,即b?a。所以有

?????2x2?bx?a?112?a

1?x2x?a?1??dx?ln2?ln2?a?ln2。

由题意得

64

2?ln2?1??ln

即b?a?8e?2?2。

七、设a1??12,an?1?

证明:因为an?1?an?2?a, 2an?12,n?1,2,3,?,证明:liman存在并求其值。(本题8分) n??an?12?an?1?12?an?an?1

an?12?an?1?12,所以an?1?an与an?an?1

的符号相同,且类似可得与a2?a1同号。 而a2?a1?

于是

① 当a1?0时,有a2?a1,即数列?an?单调增加;

② 当0?a1?4时,也有a2?a1,数列?an?单调增加;

③ 当a1?4时,有a2?a1,数列?an?单调减少;

④ 当a1?4时,an?4,n?1,2,3,?。 又an?1?4?a1?12?a1?a1?12?a12a1?12?a1???a1?4??a1?3?a1?12?a1, an?12?4?an?4

an?12?4,即an?1?4与a1?4同号。

所以,当a1?0时,或0?a1?4时,an?4,n?1,2,3,?,即数列?an?有上界,此时数列?an?单调增加且有上界,?an?收敛。

当a1?4时,an?4,n?1,2,3,?,数列?an?有下界,此时数列?an?单调减少且有下界,?an?收敛。

当a1?4时,an?4,n?1,2,3,?,常数数列?an?显然收敛。

综上所述,liman存在,设其值为A,故 n??

A?liman?1?liman?12?n??n??A?12,

有A2?A?12?0,?A?4??A?3??0,得A = 4(A = -3舍去,因an?0,n?2,3,?)。

八、设f?x?是区间?a,a?2?上的函数,且f?x?1,f???x??1,证明:f??x??2,x??a,a?2?。(本题7分)

65

证明:对x??a,a?2?,f的泰勒公式为:

f?t??f?x??f??x???t?x??

当t?a?2,a时,分别有 12f???????t?x?,???a,a?2?。 2!

f?a?2??f?x??f??x??a?2?x??

f?a??f?x??f??x??a?x??

两式相减得 12f????1??a?2?x?,ξ1??x,a?2?; 212f????1??a?x?,ξ2??a,x?。 2

1122f????1??a?2?x??f????2??a?x?, 22f?a?2??f?a??2f??x??

f??x??

?

?11122f?a?2??f?a??f????1??a?2?x??f????2??a?x?222 1?1122????????????????fa?2?fa?f?a?2?x?f?a?x12?2?22??1?11122?2??????2?a?2?x?a?x?2?2?a?x?2?a?x??2?222??

?2??a?x??a?2?x???

而?a?x??a?2?x??0,故f??x?2,x??a,a?2?。

(附:若取f?x??1?x?a?2?1,x??a,a?2?,则f??x??x?a,f???x??1。显然f?x??1,2

f??x??2)。

?2z?2z九、设z?z?x,y?是由z?e?xy所确定的二元函数,求:2,。(本题6分) ?x?y?xz

解:将等式z?e?xy两边分别对x,y求偏导数: z

?z?z?zy。 ?ez?y,??x?x?x1?ez

?z?z?zx?ez?x,?。 ?y?y?y1?ez

?z

?2z?y2ez?x??。 z2z3?x21?e1?e?yez 66

?2z??x?y

十、求

题7分) 1?ez?yez?z?y1?e2z21?xyez??。 1?ez1?ez3?L?x?1??y2?1位于上半平面,ydx?xdy,其中曲线L是从点??2,0?到?4,0?的部分。(本229x?y

?Px2?y2?Qyx??解:P?x,y??2,,,即积分与路径无关。 ??Qx,y??222?y?xx2?y2x?y2x?y但因在点?0,0?处P?x,y?与Q?x,y?无定义,故应选积分路径:从??2,0?到??2,1?再到?4,1?最后到?4,0?的折线段。于是

12dy40-4dyydx?xdydx?Lx2?y2??04?y2???2x2?1??116?y2

11?arctan?arctan4?arctan??2??arctan??。24

十一、计算I?Σxyz2dxdy?xy2dydz,其中Σ为由曲面z?x2?y2与z?1所围成的封闭曲面的

外侧。(本题7分)

解:对右端的第一个积分使用高斯公式

I1?xyz2dxdy????xy?2zdxdydz?8???xyzdxdydz

ΣΩΩ1

1?????8?2d??r3cos?sin?dr?2zdz?4?2d??r31?r4cos?sin?dr?。00r004用柱坐标111????

其中Ω是Σ所围的空间区域,Ω1是Ω位于第1卦限的部分。

对于右端的第二个积分

I2?xy2zdydz???xy2zdydz???xy2zdydz,

ΣΣ1Σ2

其中Σ1是平面z?1上x?y?1的部分上侧,显然22??xy

Σ1222Σ2是z?x?y?z?1?的外侧, zdydz?0。

??Σ2??z?xy2zdydz???xy2z???dxdy????xy2x2?y2?-2x?dxdy?0, ??x?Σ2x2?y2?1??

所以I?11?0?。 44

22十二、在曲面z?4?x?y上求一点P,使该曲面在P点处的切平面与曲面之间并被圆柱面

?x?1?2?y2?1所围空间区域的体积最小。(本题8分)

67

解:因为V?V1?V2,其中V1和V2分别是以曲面z?4?x?y和P点处的切平面为顶,以

2z?0为底,以圆柱面?x?1??y2?1为侧面的区域的体积,且V1是常数,所以求V的最小值可转22

化为求V2的最大值。

设点P的坐标为??,?,??,则曲面在该点处的法向量为?2?,2?,?1?,切平面方程为

2ξ?x?ξ??2η?y?η???z?ζ??0

又??4????,故切平面方程为 22

z?2ξx?2ηy?4?ξ2?η2。

于是

V2???zdxdy????2ξx?2ηy?4?ξ2?η2?dxdy

DD

???4????22??2???ξx?ηy?dxdy

D

其中D??x,yx?1??y?1。 22??

利用极坐标计算

???ξx?ηy?dxdy??Dπ2π?2d??

32cos?0?ξcos??ηsin??r2dr3?8???????。4?223 ??π

2π?2?ξcos??ηsin??8cos3?d??2?

22即V2?ξ,η??π4?2ξ?ξ?η

由 ??。

??V2??ξ?π?2?2ξ??0,? ??V?2??2πη?0,???y

解得唯一驻点为??1,??0。对应的V2?1,0??5π。

又当??,??为区域D边界上的点时,有

???1?2??2?1,即?2?2???2?0,

所以V2恒为常数4?。可知V2?ξ,η?只在区域D的内部取到最大值。而点(1,0)是D内的唯一驻点,故V2在此唯一驻点处的值5?是最大值。

68

此时切点P的坐标?1,0,5?为所求。切平面方程为2x?z?3?0,最小体积为

V???4?x?ydxdy?5π??d??D?22?π2π?22cos?0r3d????3?????。 22

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