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数形结合法在竞赛试题中的应用

发布时间:2014-02-27 19:23:30  

数形结合法在竞赛试题中的应用

江海刚

魏春强

(安康学院效学系,陕西安康725000)

摘要:数形结合的思想可使抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。

关键词:数形结合竞赛试题应用所谓数形结合。就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关系与空间形式结合起来。其应用分为:“由形化数”;“由数化形”:“数形转换”。使用数形结合的方法。很多竞赛试题可迎刃而解,且解法简捷。现举例如下:

1.计算

例1卅算19961997×1997199缸19961996×19971997。

解:题设算式类似矩形面积之差,构造如图l所示的矩形ABCD和矩形ECHF,所以此题转化成了求小矩形ABHG与小矩形EDGF面积之差(两个小矩形的宽均为1)。

图1

所以原式=S矩彤舢-s钷形哪=19971996×l—19961996×l=

10000。

2.证明等式

例2:已知a,b,c,d是实数,且满足f+b‘=l,c‘o=l,a?c+b?

d=o,求证:b.+d‘=l,a‘+c‘=l,a.b+c?d=0。

证明:先设a,b,c。d都不为0,由题意中a‘“‘=1,c‘+d‘=l,可构作具有长为l的公共斜边的直角三角形。又由于a?c+b?d却,

即.兰:一旦.可得堕:一些.可知这两个直角三角形是全等的。

IbI

lcI

由此,作如图2所示的矩形ABCD来解决本题。

I鱼I

ldI

图2

CD=IdI—IaI,AD=IcI-lbI.

所以f+c‘=l,b。+d。=l。且Ia?bl=lc.dI。

又由ra?c+b-d=o,町知a'b若同号。则c,d异号;若a,b异号,则c,d同号,即必有a.b与c?d异号。从而由la.bl-Ic?dI得a?

b=一c?d.即a?b+c?d==O。

若a,b,c,d有为0的,例如a=o,则b=±1。d=O,c=±l结论显然

万方数据

成立。

3.证明不等式

例3:已知a,b。x,y为正实数,且f+b‘=l,f+y‘=1,求证:a?x+

b?y≤1。

圈3

证明:如图3所示,作以AB=l为直径的网0。在AB两侧任作直角三角形ABC和直角三角形ADB,使得AC=a,BC=b,DB=

x,AD=y。

由勾股定理知a,b,x,丫满足题设条件,

根据托勒密定理有AC?BD+BC?AD:AB?CD.又由于CD≤AB=l,因此a?x+b?y≤1。4.求最值

r—i—一,—=—一

例4:已知a,b是正数,且a+b=2,求u=Va‘+l+Vb‘+4的最

小值。

r●i—r—彳—一

解:将Va‘+1+、/b’+4分别看作以a,1和b.2为直角边的直角三角形的斜边,进而构造如图4所示的几何图形.AC上

AB,BD上AB且AC=1,BD-2,则Pc=Va‘+1,PI):Vb‘.“。

C’

图4

要求u的最小值问题可转化为:在线段AB上找一点P,使得PC+PD最/J、。

作点C关于直线AB的对称点C’,连结C’D交AB于点P。由平面几何两点之间线段最短的性质知,点P即为所求。

由对称性显然有PC=PC’,再过点C’作C’D’上DB,交DB的

延长线于点D’,则Pc+PD城’+PD=c’D=VC’D广+D’D,‘=

、/AB2+(Ac+BD)‘=。v‘西。

所以u的最小值为、/13。参考文献:

[1]周友良,邓升平.数形结合思想在解题中的应用[J].中学数学月刊,2005.9.

[2]罗增儒.数学竞赛导论[M].西安:陕西师范大学出版

社.2007.

数形结合法在竞赛试题中的应用

作者:

作者单位:

刊名:

英文刊名:

年,卷(期):

被引用次数:江海刚, 魏春强安康学院,数学系,陕西,安康,725000考试周刊KAOSHI ZHOUKAN2009,""(26)0次

参考文献(2条)

1.周友良.邓升平 数形结合思想在解题中的应用[期刊论文]-中学数学月刊 2005(09)

2.罗增儒 数学竞赛导论 2007

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授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:bc9a82ae-3524-4492-add3-9dc900ac122a

下载时间:2010年8月5日

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