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浙江省绍兴县杨汛桥镇中学2013届九年级数学竞赛模拟试题1

发布时间:2013-09-25 10:40:17  

一、选择题(每小题4分,共七道题)

1、一个凸多边形的每一个内角都等于150°,则这个多边形所有对角线的条数共有( )

A、42条 B、54条 C、66条 D、78条

2、如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,AE平分∠BAD交BC于E, 若∠CAE=15°则∠BOE=( )

AD

BEC

A、30° B、45° C、60° D、75°

3、设方程?x?a??x?b??x?0的两根是c、d,则方程?x?c??x?d??x?0的根是( )

A、a,b B、?a,?b C、c,d D、?c,?d

4、若不等式2x??3x?3?a有解,则实数a最小值是( )

A、1 B、2 C、4 D、6

5、若一个三角形的任意两边都不相等,则称之为不规则三角形,用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中,不规则三角形的个数是( )

A、18 B、24 C、30 D、36

6、不定方程x?2y?5的正整数解?x,y?的组数是( ) 22

A、0组 B、2组 C、4组 D、无穷多组

二、填空题(每小题7分,共四道题)

1、二次函数y?x?ax?2的图像关于x?1对称,则y的最小值是

2、已知△ABC中,AB=39;BC=6;CA=.点M是BC中点,过点B作AM延长线的垂线,垂足为D,则线段BD的长度是 . 2

3、一次棋赛,有n个女选手和9n个男选手,每位参赛者与其10n?1个选手各对局一次,计分方式为:胜者的2分,负者得0分,平局各自得1分。比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍,则n的所有可能值是 .

三、解答题

1、已知x1、x2是关于x的一元二次方程x??3a?1?x?2a?0的两个实数根,使得22

?3x1?x2??x1?3x2???80成立,求其实数a的可能值。(20分)

2、抛物线y?ax?bx?c的图像于x轴交于点M?x,0?,N?x2,0?,且经过点A(0,1),2

其中0?x1?x2,过点A的直线l交x轴于C点,与抛物线交于点B(异于A点),满足△CAN是等腰直角三角形,且S?BMN?

5S?AMN,求解析式.(25分) 2

3、如图.AD、AH分别是△ABC(其中AB>AC)的角平分线、高线,M点是AD的中点,△MDH的外接圆交

ACM于E,求证∠AEB=90°。(25分)

M

BDHC

4、一列火车自A城驶往B城,沿途有n个车站(包括起点站A和终点站B),该列火车挂有一节邮政车厢,运行时需要在每个车站停靠,每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个,还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包一个。例如,当列车停靠在第x 个车站时,邮政车厢上需要卸下已经通过的(x-1)个车站发给该站的邮包共(x-1)个,还要装上下面行程中要停靠的(n-x)个车站的邮包共(n-x)个。

(1)根据题意,完成下表:

(2)根据上表,写出列车在第x车站启程时,邮政车厢上共有邮包的个数y(用x、

n表示)。

(3)当n=18时,列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多?

2225. (本题满分10分)阅读并解答下列问题:我们熟悉两个乘法公式:①(a+b)=a+2ab+b;

222②(a-b)=a-2ab+b.现将这两个公式变形,可得到一个新的公式③:ab=(a?b2a?b2)-(), 这个公式形似平方差公式,我们不妨称之为广义的平立差公式。22

2灵活、恰当地运用公式③将会使一些数学问题迎刃而解。 例如:因式分解:(ab-1)+(a+b-2)( a+b-2ab)

解:原式

2(a?b?2)?(a?b?2ab)?2?(a?b?2)?(a?b?2ab)??=(ab?1)+?-? ??22????2

=(ab-1)+(a+b-ab-1)-(ab-1)=(a-1)(b-1)=(a-1)(b-1)你能利用公式(或其他222222

方法)解决下列问题吗?

已知各实数a,b,c满足ab=c+9且a=6-b,求证:a=b 2

2011年全国初中数学联合竞赛

试题参考答案

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1、B 2、D 3、A 4、C 5、B 6、A

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1、1 2、0 3、3 4、1 2

三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各25分)

1、(本题满分20分)

已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2?(3a?1)x?2a2?1?0的两个实数根,使得(3x1?x2)(x1?3x2)??80成立。求实数a的所有可能值。

`解:由条件知??(3a?1)?4(2a?1)?a?6a?5?0,

解得a?5或a?1. (5分) 又由根与系数的关系知x1?x2??(3a?1),x1x2?2a?1, 于是(3x1?x2)(x1?3x2)?3(x1?x2)?10x1x2?3(x1?x2)?16x1x2 2222222

?3(3a?1)2?16(2a2?1)??5a2?18a?19, (10分) 由?5a?18a?19??80,解得a?3(舍去)或a??

于是a??233. (15分) 53333.综上所述,所求的实数a??. ( 20分 ) 55

22、(本题满分25分) 抛物线y?ax?bx?c的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0),且经过点

A(0,1),其中0?x1?x2.过点A的直线l与x轴交于点C.,与抛物线交于点B(异于点,满足?CAN是等腰直角三角形,且S?BMN?A)5S?AMN.求该抛物线的解析式. 2

解:由条件知该抛物线开口向上,与x的两个交点在y轴的右侧.

由于?CAN是等腰直角三角形,故点C在x轴的左侧,且?CAN?90. 故?ACN?45,从而C(?1,0),N(1,0). (5分) ??

于是直线l的方程为:y?x?1.

设B(x3,y3),由S?BMN?

从而x3?55S?AMN知y3?, (10分) 22335,即B(,). (15分) 222

综上可知,该抛物线通过点A(0,1),B(,),N(1,0). 35

22

?1?c?593于是??a?b?c, (20分) 2?24

?0?a?b?c

?a?4?解得?b??5.

?c?1?

所以所求抛物线的解析式为y?4x?5x?1. (25分)

3、(本题满分25分)

如图,AD、AH分别是?ABC(其中AB?AC)的角平分线、高线,M是AD的中点.?MDH的外接圆交CM于E.求证:?AEB?90.

证明:如图,连结MH,EH,

2?

∵M是Rt?AHD斜边AD的中点

∴MA?MH?MD (5分)

∴?MHD??MDH

∵M,D,H,E四点共圆

∴?CEH??MDH

∴?MHD??MDH??HEC

∴?MHC?180??MHD?180??HEC??MEH (10分)

∵?CMH??HME,∴?CMH∽?HME ∴??MHME2,即MH?ME?MC (15分) ?MCMH

2∴MA?ME?MC,又∵?CMA??AME

∴?CMA∽?AME,

∴?MCA??MAE (20分)

∴?BHE??BAE??DHE??BAD??MAE

??DHE??MAC??MCA??DHE??DME?180?

∴A,B,H,E四点共圆,∴?AEB??AHB?90. (25分) ?

4(1)

(3)当n=18时,y=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81,当x=9时,y 取得最大值.所以列车在第9个车站启程时,邮政车厢上邮包的个数最多.

a?b2a?b22a?b225解:已知a+b=6,()-()=c+9,9-()=c+9, 222

a?b22()=c=0,a-b=0,∴a=b. 2

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