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分数拆分经典解法

发布时间:2014-02-28 19:51:45  

课 题: 分数的拆分

知识概述:

把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数叫单位分数。单位分数又叫埃及分数。在很早以前,埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和,把一个真分数表示成两个(或几个)分数单位的和叫分数的拆分。

教学目标:

1、让学生熟练的掌握“单位分数”加减计算的速算方法,并能准确快速的计算。

2、让学生掌握分数拆分的基本方法,并能使一些计算简化。

3、让学生感受归纳的一般方法。

教学重点:1、发现总结“单位分数”加减计算的速算方法。2、分数的拆分的方法。 教学难点:分数的拆分的灵活应用。

教具与学具:

本周通知事项:

教学过程:

一、引入:

7化成小数等于多少? 12

。 。711分析:??=0.3+0.25=0.583 1234

11这里的和数学里称为:单位分数(分数单位)。今天我们学习的课题就是如何又快又准34

将一个分数拆分成若干个单位分数的和(或者差)。

定义:把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数叫单位分数(分数单位)。

二、新课教授:

例1:在等式111?? 中,求出所有整数解。 6xy

分析:要找出一组解很容易,但是要找出所有解容易漏。通过观察我们发现要使分子最终为1,必需让分子分母约分。怎样才能约分?我们想到了约数。这时列出6的所有约数:1,2,3,6。通过扩分的方法:

11×(1?2)1111×(2?3)11??? ??? 66×(1?2)18966×(2?3)1510

1

11×(1?3)1111×(2?6)11??? ??? 66×(1?3)24866×(2?6)248

11×(1?6)1111×(3?6)11??? ??? 66×(1?6)42766×(3?6)189

分析:里面结果相同的原因?

注意:两个相加的约数,它们比值相同时结果也相同。

总结:111??型,拆分分数的步骤: nxy

1.找出分母n的所有的约数;(找约数)

2.将约数进行分组,比值相同的分为一组;(分组)

13.将的分子、分母分别同时乘以其中两个约数之和(或者差);(扩分) n

4.将所得分数拆成同分母的两个分数之和(或者差),使两个约数恰好是两个分数的分子;(拆分)

5.将各个分数分别约分,使分子为1,即变成单位分数。(约分) 练习:1111??? 6xyz

分析:此题与之前题目的区别以及相同之处?可不可以用同样的方法解答?

请同学们说出结果。

例2:已知两个不同的单位分数之和是

的最小值是多少?

1.12的所有约数:1,2,3,4,6,12。

2.分组:

第一组:(1,2)、(2,4)、(3,6)、(6,12) 第五组:(1,12)

11×(1?2)1111×(1?12)11??? ??? 1212×(1?12)156131212×(1?2)36181,则这两个单位分数之差的(较大分数为被减数)12

第二组:(1,3)、(2,6)、(4、12) 第六组:(2,3),(4,6)

11×(1?3)1111×(1?2)11??? ??? 1212×(1?3)48161212×(1?2)3020

第三组:(1,4)、(3,12) 第七组:(3,4)

2

11×(1?4)1111×(3?4)11??? ??? 1212×(1?4)60151212×(3?2)2821

第四组:(1,6)、(2,12)

11×(1?6)11??? 1212×(1?6)8414

第七组差值最小。

分析:

11111111,???? (假设a>b,即<)? 12ababa12b

1111111121???(?)?????,b越大,结果越小。b是怎么得来的?假设约数bab12bb12bb12

为(x,y)且x<y,b?4)

111??,其中a、b、c为自然数且互不相同,求a+b+c的和? abc

11111分析:假设a=b=c,那么1???,三个分数中一定至少有一个比要大(若全比小33333

11的话,则和要比1小,不可能为1),a,b,c为自然数,比大的单位分数只有。即可转32

111111化为1???,那么1???即可转化为我们熟悉的问题。 2bc2bc12(x?y)xx =12(1?)也就是比值最大时,b最大,即第七组(3,yyy例3:如果1?

练习:一群酒鬼喝酒,第一瓶时倒了几个,第二瓶时又倒了几个,第三瓶时全部倒下,最后倒下的说他喝了一瓶,如果他说的是真的,那么一共有多少人?

11111???,假设喝第一瓶的有a个人,那么每个人喝了,以此类推第二瓶,有b个人,aabc

11那么每个人喝了,第三瓶,有c个人,那么每个人喝了。最后说话的人三瓶酒都喝过了,bc

111他第一瓶喝了,第二瓶喝了,第三瓶喝了,最后他说了一句话:他只喝了一瓶。那么abc

1111???。 abc

补充: 公式:111111或者 ????nn×(n?1)n?1n×(n?1)nn?1

111??的过程: 6xy推导:

3

111x?66y6x,那么y?,x? ??=y6x6xy?6x?6

令t=x-6,那么x=t+6

y?6y6(t?6)6t?3636,将y代入x?中有x?6?t ??6?y?6ttt

即y?6?36 t

x?6?t 根据36为整数,知道t为36的约数,那么可以列出t求解。 t

板书设计: 分数的拆分 例题1、 结论: 例题2、 推导: 例题3、

课后反思:

4

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