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初中数学竞赛辅导资料(67)

发布时间:2014-03-01 19:21:42  

初中数学竞赛辅导资料(67)

参数法证平几

甲内容提要

1.联系数量间关系的变数叫做参变数,简称参数.

2.有一类平面几何的证明,可以根据图形性质引入参数,布列方程,通过计算来完成,我们称它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算.

乙例题

例1如图已知:AB是⊙O的直径,C是半圆上的一点,

CD⊥AB于D,⊙N与⊙O内切且与AB、CD分 别切于E,F.

求证:AC=AE. OE

分析:选取两圆半径为参数,通过半径联系AC,AE的关系.

证明:设⊙O,⊙

N半径分别为R和r,连接ON,NE.

根据勾股定理:

22OE=(R-r)?r=R2-2Rr, AE=OA+OE=R+R2-2Rr;

OD=OE-r=R2-2Rr-r, AD=OA+OD=R+R2-2Rr-r 根据射影定理AC2=AD×AB=(R+R2-2Rr-r)×2R

=2R2+2RR2-2Rr-2Rr

=R2+2RR2-2Rr+(R2-2Rr)

=(R+R2-2Rr)2

∴AC= R+R2-2Rr.

∴AC=AE

例2. 已知:△ABC的内切圆I和边AB,BC,CA分别切于D,E,F,

AC×BC=2AD×DB.

求证:∠C=Rt∠. 证明:设AD=x, 则DB=c-x. 代入AC×BC=2AD×DB.

得 ab=2x(c-x). 2x2-2cx+ab=0.

Cc?b?a2c?c2?2abc?c2?2ab∴x==, 又根据切线长定理得x=, 242

c?c2?2abc?b?a∴=. 22

259

c2-2ab=a2-2ab+b2. ∴ c2=a2+b2 . ∴ ∠C=Rt∠.

例3.已知:等边三角形ABC中,P是中位线DE上一点,BP,CP的延长线分别交AC于F,

交AB于G.

求证:

113+=. BGCFBC

1BC. 2

证明:设△ABC边长为a, PD=m, PE=n, BG=x, CF=y. ∵DE是△ABC的中位线, ∴DE∥BC,DE=

a?

x??m(1)??

x?a

∴?

a?y?

(2)?n?

?y?a

m?n

?a

x?

aa

y??. xy

C

(1)+(2):

1aaa113

?1??1?(?)?, , 22x2y2xy2

113??. xya

113+=. BGCFBC

AMCN

= ACCD

例4.已知:如图四边形ABCD中,过点B的直线交AC于M,交CD于N,且

S△ABC∶S△ABD∶S△BCD=1∶3∶4. 求证:M,N平分AC和CD.

证明:设S△ABC=1, 则S△ABD=3, S△BCD=4, S△ACD=3+4-1=6.

AMCN

==k (0<k<1).连结AN. ACCD

根据高相等的三角形面积的比等于底的比,得

S△ACNCN

==k, ∴S△ACN=6k;

S△ACDCD

S△AMNAM

==k, ∴S△AMN=6k×k=6k2;

S△ACNAC

260

S△BCNCN

==k, ∴S△BCN=4k; S△BCDCD

S△ABMAM

==k, ∴S△ABM=k; S△BMC=1-k.

S△ABCAC

∵S△ACN-S△AMN=S△MNC=S△BCN-S△BMC ∴6k-6k2=4k-(1-k) . 6k2-k-1=0. ∴k=

111

;或k=. (k=.不合题意,舍去.) 233AMCN1

=∴=k=. ACCD2

∴AM=MC,CN=ND . 即M,N平分AC和CD.

例5.已知:如图△ABC中,AD是高,AB+DC=AC+BD.

求证:AB=AC.

证明:设AB=c,AC=b, BD=m, DC=n. 根据勾股定理

?b2?n2?c2?m2;得?

c?n?b?m.?

?(b?n)(b?n)?(c?m)(c?m);

?

?c?m?b?n.?b?n?c?m;

?

b?c?n?m.?

?n?m?c?b;

∴c-b=b-c, b=c. 即AB=AC. ?

?n?m?b?c.

例6. 如图已知:一条直线截△ABC三边AB,BC,AC或延长线于D,E,F. 求证:

ADBECF

??=1 (曼奈拉斯定理) DBECFA

证明:设∠BDE=α,∠DEB=β,∠F=γ.

根据正弦定理: 在△BDE中,

BEDBBESin?

???; Sin?Sin?DBSin?

在△CEF中,

CFECCFSin?

???;

ECSin?Sin?Sin?

在△ADF中,

ADFAADSin?

???.

Sin?Sin(180???)FASin(180???)

261

∵Sin(180???)=Sinα. ∴BECFADSin?Sin?Sin???=.××=1. DBECFASin?Sin?Sin(180???)

ADBECF??=1. 即DBECFA丙练习67 1. 已知:如图三条弦AB,CD,EF两两相交于G,H,I.

IA=GD=HE,IC=GF=HB. 求证:△GHI是等边三角形.

2. 已知:在矩形ABCD中,AP⊥BD于P,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F.

求证:PA3=PE×PF×BD

3. 已知:△ABC的两条高AD,BE相交于H,

求证:过A,B,H三点的圆与过A,C,H三点的圆是等圆.

4. 已知:AB是⊙O的直径,P是半圆上的一点,PC⊥AB于C,以PC为半径的⊙P交⊙O于D,E.

求证:DE平分PC.

5. 已知:△ABC的两条高AD和BE相交于P,且AD=BC,F是BC的中点.

求证:PD+PF=1BC 2

6. 已知:平行四边形ABCD中,∠A<∠B,AC2×BD2=AB4+AD4.

求证:∠A=1∠B. 3

7. 求证:四边形内切圆的圆心,它到一组对角的顶点的距离的平方的比,等于该组角的 两边的乘积的比.

8. 已知:AB是⊙O的直径,E是半圆上的一点,过点E作⊙O的切线和过A,B的⊙O 的两条切线分别相交于D,C,四边形ABCD的对角线AC,BD交于F,EF的延长线交AB于H.

求证:EF=FH.

9. 已知:如图⊙M和 ⊙N相交于A,B,公共弦AB的延长线交两条外公切线于P,Q.

求证:PA=QB; PQ2=AB2+CD2. 10. 已知:正方形ABCD内一点P,满足等式

PA∶PB∶PC=1∶2∶3. 求证:∠APB=135.

11. 一个直角三角形斜边为c,内切圆半径是r,求内切圆面积与直角三角形面积的比. (提示:引入参数a和b表示两直角边)

(1979年美国中学数学竞赛试题)

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