haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

初中数学竞赛辅导资料(55)

发布时间:2014-03-01 19:21:43  

初中数学竞赛辅导资料(55)

未知数比方程个数多的方程组解法

甲内容提要

在一般情况下,解方程或方程组,未知数的个数总是与方程的个数相同的,但也有一些方程或方程组,所含的未知数的个数多于方程的个数,包括在列方程解应用题时,引入的辅助未知数.

解这类方程或方程组,一般有两种情况:

一是依题意只求其特殊解,如整数解,或几个未知数的和(积)等,无需求出所有的解; 二是在实数范围内,可运用其性质,增加方程或不等式的个数. 例如,利用取值范围,非负数的性质等.

乙例题

例1. 在实数范围内,解下列方程或方程组: x2?1??x2

?2?y?0; ②x2+xy+y2-3x-3y+3=0; ①x?1

?x?y?z?2③? 2?2xy?z?4

解:① 根据在实数范围内,二次根式被开方数是非负数,分母不等于零.

?x2?1?0?2得不等式组 ?1?x?0

?x?1?0?

?x??1解得x=1而x≠1, ∴? y??2?2

② 整理为关于x的二次方程,利用方程有实数根,则判别式 △≥0. x2+(y-3)x+(y2-3y+3)=0.

∵x是实数, ∴△≥0.

即( y-3)2-4(y2-3y+3)≥0 .

解得 (y-1)2≤0 .

而(y-1)2≥0. ∴y=1.

∴??x?1是原方程的解.

?y?1

③消去一元后,利用实数平方是非负数性质.

由①得z=2-x-y .

代入②得2xy-(2-x-y)2-4=0.

整理配方,得(x-2)2+(y-2)2=0.

∵相加得0的两个数,只有是互为相反数.

而 x, y 是实数,

∴(x-2)2≥0,(y-2)2≥0.

197

∴满足等式的条件只能是:??x?2?0. ?y?2?0

?x?2?∴方程组的解是 ?y?2

?z??2?

本题在消去z后,也可以仿②,写成关于 x的二次方程,用判别式求解.

例2. 一个自然数除以4余1,除以5余2,除以11余4,求适合条件的最小自然数.

分析:本题有多种解法:①交集法, ②设三元,消去一元,用二元一次方程求整数解,

③设二元,求二元一次方程的整数解.

解法一:除以4余1的自然数集合:{1,5,9,13,17,21,…37…};

除以5余2的自然数集合:{2,7,12,17,…37…};

除以11余4的自然数集合:{4,15,26,37,…}.

三个集合的公共元素中最小的自然数是37.

解法二:设所求的自然数 为4a+1或5b+2 或11c+4 (a,b,c都是自然数).

得方程组 ?

由(1)得 a=

设?4a?1?5b?2(1) 4a?1?11c?4(2)?5b?1b?1. ?b?44b?1?k (k为正整数), 那么 b=4k-1, a=5k-1. 4

4a?34(5k?1)?320k?79k?7由(2)得 c=. ???k?11111111

9k?7要使为整数,k取最小正整数2. 11

这时c=3 (也可求得b=7, a=9), 所求自然数 是37.

解法三:设所求的自然数为x, 则

∵x?1x?2x?4,, 都是自然数. 4511x?1x?2x?4>> . 4511

x?1x?4x?2∴+- 也是自然数. 4115

x?1x?4x?2设y=+- . 4115

去分母,得 200y=31x-47. 200y?473y?16. ?7y?1?3131

3y?16y取最小正整数5,能使为整数. 31x=

∴x=37, 即最小的自然数是37.

198

例3. 有甲,乙,丙三种货物.若购买甲3件,乙7件,丙1件共需3.15元;若购买甲4件,乙10件,丙1件共需4.20元.问购买甲、乙、 丙各1件共需几元?

(1985年全国初中数学联赛题)

解:设甲,乙,丙每件分别为x, y, z元.

根据题意,得

?3x?7y?z?3.15(1) ( 依题意只要求出x+y+z的值) ?4x?10y?z?4.20(2)?

(1)×3-(2)×2:x+y+z=1.05(元).

答:买甲、乙、 丙各1件共需1.05元.

例4. 甲、乙两车分别从A、B两站同时出发,相向而行,当甲车走完全程的一半时,乙车

距A站24公里;当乙车走完全程的一半时,甲车距B站15公里.求A、B两站的距离. 解:设A、B两站的距离为x公里,并引入辅助未知数V甲,V乙分别表示甲、乙两车的速度. 根据题意,得

?x?x?24?(1)?VV?甲乙 ( 这方程组可同时消去两个辅助未知数.) ?x??x?15?(2)?VV乙?甲

x

x?24∵ 方程(2)左、右不等于零 ∴(1)÷(2)得?. xx?15

2

解得, x=40;或 x=12 (不合题意 舍去).

答:A、B两站的距离为40公里.

丙练习55

1. 甲,乙,丙,丁,戊做一件工程,甲,乙,丙合作需7.5小时,甲,丙戊合作需5小时,甲,丙,丁合作需6小时,乙,丁,戊合作需4小时.问五人合作需几小时?

2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布,共付42.9元,售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了,退给厂方1.6元,厂方把这1.6元又买 了甲、乙两种布各1尺.问服装厂共买布几尺?

3. 两只船分别从河的两岸同时对开,速度保持不变,第一次相遇时,距河的一岸700米,继续前进到达对岸后立即返回,第二次相遇时,距河的另一岸400米,求河的宽.

4. 游泳运动员自闽江逆流而上,在解放大桥把水壶丢失,继续前游20分钟才发现,于是返回追寻,在闽江大桥处追到,已知两桥相距1000米,求水流的速度.

5. 已知长方形的长和宽均为整数,且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少?

6. 有一队士兵,若排成3列纵队,则最后一行只有1人;若排成5列纵队,则最后一行只有7. 人;排成7列纵队,则最后一行只有6人.问这队士兵最少是几人?

7. 求下列方程的实数解:

① ?2x?2x?1?1?3y?0

199

② 5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0

③ (x2+1)(y2+4)=8xy

④ 2x?y?1?3x?2y?5?0

8. 一件工程,如果甲单独完成所需的时间是乙,丙合做,完成这件工程所需时间的a倍;如果乙单独完成所需的时间是甲,丙合做,完成这件工程所需时间的b倍.(其中b>a>1),那么丙单独完成所需的时间是甲,乙合做,完成这件工程所需时间的多少倍?

(1990年泉州市初二数学双基赛题 )

9. 甲,乙两车从东站,丙,丁两车从西站,同时相向而行.甲车行120公里遇丙车,再行20公里遇丁车;乙车在离西站126公里处遇丙车,在中途遇丁车.求东西两站的距离.

10. 三辆车A,B,C从甲到乙.B比C迟开5分钟,出发后20分钟追上C;A比B迟开10分钟,出发后50分钟追上C.求A出发后追上B的时间.

11. 学生若干人住宿,如果每间4人,有20人没房住;如果每间8人,则有一间不满也不空.求学生人数.

12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5小时,由乙码头逆水航行到甲码头需7小时。问一木排从甲码头顺水漂流到乙码头要用几小时?

.

返回目录 参考答案

200

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com