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初中数学竞赛辅导资料(70)

发布时间:2014-03-01 19:21:44  

初中数学竞赛辅导资料(70)

正整数简单性质的复习

甲. 连续正整数

一. n位数的个数:一位正整数从1到9,共9个,两位数从10到99,共90个,三位数从100到999共9×102个,那么 n位数的个数共__________.(n是正整数)

练习:1. 一本书共1989页,用0到9的数码,给每一页编号,总共要用数码___个.

2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数;

100110021003……19881989是_______位数.

3. 除以3余1的两位数有____个,三位数有____个,n位数有_______个.

4. 从1到100的正整数中,共有偶数____个,含 3的倍数____个; 从50到1000的正整数中,共有偶数____个,含3的倍数____个.

二. 连续正整数的和:1+2+3+……+n=(1+n)×n. 2

把它推广到连续偶数,连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和.

练习:5.计算2+4+6+……+100=__________.

6. 1+3+5+……+99=____________.

7. 5+10+15+……+100=_________.

8. 1+4+7+……+100=____________.

9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数?答______

10. 和等于100的连续正整数共有______组,它们是______________________.

11. 和等于100的连续整数共有_____组,它们是__________________________.

三. 由连续正整数连写的整数,各位上的数字和

整数 123456789各位上的数字和是:(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45; 1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901. 练习:12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.

13. 把由1开始的正整数依次写下去,直到第198位为止:

123456789101112??这个数用9除的余数是__________. ???????????

198位

(1987年全国初中数学联赛题)

14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中:

① 它是一个________位数;

② 它的各位上的数字和等于________;

③ 从这一数中划去100个数字,使剩下的数尽可能大,那么 剩下的数的前十位是___________________________.

四.连续正整数的积:

① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n的阶乘.

② n个连续正整数的积能被n!整除.

如:2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n-1). a为整数. 271

③ n! 中含有质因数m的个数是??n??n??n?++…+. 2?i?????m??m??m?

[x]表示不大于x的最大正整数,i=1,2,3… mi?n

如:1×2×3×…×10的积中,含质因数3的个数是:?

练习:15. 在100!的积?10??10???2?=3+1=4 ?3???3?5的个数是:____

16.一串数1,4,7,10,……,697,700相乘的积中,末尾共有零_______个

(1988年全国初中数学联赛题)

17. 求证:10494 | 1989!

18. 求证:4! | a(a2-1)(a+2) a为整数

五. 两个连续正整数必互质

练习:19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数,试证之.

乙. 正整数十进制的表示法

一. n+1位的正整数记作:an×10n+an-1×10n1+……+a1×10+a0

其中n是正整数,且0?ai?9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最高位an≠0.

例如:54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.

例题:从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证:A能被99整除.

证明:A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33

=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.

∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1,即100 n=(99+1) n≡1 (mod 9)

∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 )

=99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)

=99k+45×11

=99k+99×5.

∴A能被99整除.

练习:20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除

二. 常见的一些特例 -

11 n nn111?1?=10-1, =(10 -1), 999?9333?3???9(10-1). ????????3n个1n个9n个3

例题:试证明12,1122,111222,11112222,……这些数中的任何一个,都是两个相邻的正

整数的积.

n(10?1)证明:第n个数是111=×10+?1222?2????????

n个1n个219 n2(10n?1) 9

=1(10 n?1)(10 n+2) 9

10n?110n?1?3?= 33

272

10n?110n?1?(?1) =33

=333?3×333?34. 证毕. ??????

n个3(n?1)个3

练习:21. 化简 999?9×999?9+1999?9=_______________________________. ???????????????

n个9n个9n个9

22. 化简 111?1-222?2=____________________________________________. ????????

2n个1n个2

23. 求证 111?1是合数. ???

1990个1

24. 已知:存在正整数 n,能使数111?1被1987整除. ???

n个1

求证:数p=111?1999?9888?7和 ?8777????????????????

n个1n个9n个8n个7

数q=111?1999?9888?7都能被1987整除. ?8777????????????????

n?1个1n?1个9n?1个8n?1个7

(1987年全国初中数学联赛题)

25. 证明: 把一个大于1000的正整数分为末三位一组,其余部分一组,若这两组数

的差,能被7(或13)整除,则这个正整数就能被7(或13)整除.

26. 求证:111?1×1000?05+1是完全平方数. ????????

n个1n?1个0

丙. 末位数的性质

.一.用N (a)表示自然数的个位数. 例如a=124时,N (a)=4; a=-3时,N (a)=3.

1. N (a4k+r)=N (ar) a和k都是整数,r=1,2,3,4.

特别的: 个位数为0,1,5,6的整数,它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是

4,9 的正偶数次幂的个位数也是它本身.

2. N (a)=N (b)?N (a-b)=0?10 |(a-b).

3. 若N (a)=a0, N (b)=b0. 则N (an)=N (a0n); N (ab)=N (a0b0).

例题1:求①53100 ; 和 ②7

×77的个位数. 解:①N (53100)=N (3424+4)=N (34)=1

②先把幂的指数77化为4k+r形式,设法出现4的因数.

77=77-7+7=7(76-1)+4+3

=7(72-1)(74+72+1)+4+3

=7×4×12× (74+72+1)+4+3

=4k+3

∴N(777)=N(74k+3)=N(73)=3.

99练习:27. 19891989的个位数是______,9的个位数是_______.

28. 求证:10 | (19871989-19931991).

29. 2210×3315×7720×5525的个位数是______.

273

二. 自然数平方的末位数只有0,1,4,5,6,9;

连续整数平方的个位数的和,有如下规律:

12,22,32,……,102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.

1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和

例题1. 填空:12,22,32,……,1234567892的和的个位数的数字是_______.

(1991年全国初中数学联赛题)

解:∵12,22,32,……,102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.

11到20;21到30;31到40;………123456781到123456789,的平方的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是:

(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5.

2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法

例题2. 求证:任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.

证明:(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数,那么可记作:

(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2 (n, k都是整数)

5(n2+2)=k2 .

∵ k2是5的倍数,k也是5的倍数.

设k=5m, 则5(n2+2)=25m2.

n2+2=5m2.

n2+2是5的倍数,其个位数只能是0或5,那么 n2的倍数是8或3. 但任何自然数平方的末位数,都不可能是8或3.

∴假设不能成立

∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.

3.判断不是完全平方数的其他方法

例题3. 已知:a是正整数.

求证: a(a+1)+1不是完全平方数

证明:∵a(a+1)+1=a2+a+1,且a是正整数

∴ a2< a(a+1)+1=a2+a+1<(a+1)2,

∵a 和a+1是相邻的两个正整数,a(a+1)+1介于它们的平方之间

∴a(a+1)+1不是完全平方数

例题4. 求证:111?1 (n>1的正整数) 不是完全平方数 ???

n个1

证明:根据奇数的平方数除以4必余1,即(2k+1)2=4(k+1)+1.

但 111?1=111?100?11=4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3 ??????

n个1n-2个1

即111?1除以4余数为3,而不是1, ???

n个1

∴它不是完全平方数.

例题5. 求证:任意两个奇数的平方和,都不是完全平方数.

证明:设2a+1,2b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数.

∵(2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1

=4(a2+b2+a+b)+2.

这表明其和是偶数,但不是4的倍数,

故任意两个奇数的平方和,都不可能是完全平方数.

274

三. 魔术数:将自然数N接写在每一个自然数的右面,如果所得到的新数,都能被N

整除,那么N称为魔术数.常见的魔术数有:

a) 能被末位数整除的自然数,其末位数是1,2,5 (即10的一位正约数是魔术数) b) 能被末两位数整除的自然数,其末两位数是10,20,25,50(即100的两位正约数

也是魔术数))

c) 能被末三位数整除的自然数,其三末位数是100,125,200,250,500(即1000的

三位正约数也是魔术数)

练习:30. 在小于130的自然数中魔术数的个数为_________.

(1986年全国初中数学联赛题)

四. 两个连续自然数,积的个位数只有0,2,6;和的个位数只有1,3,5,7,9. 练习:31. 已知:n是自然数,且9n2+5n+26的值是两个相邻自然数的积,那么n的值是:

___________________. (1985年上海初中数学竞赛题)

丁. 质数、合数

?1;?然数整除);. 1. 正整数的一种分类:?质数 (除1和本身外不能被其他自

?合数(除1和本身外还能被其他自然数整除).?

2. 质数中,偶数只有一个是2,它也是最小的质数.

3. 互质数:是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数.

例题:试写出10个连续自然数,个个都是合数.

解:答案不是唯一的,其中的一种解法是:

令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11

那么A+2,A+3,A+4,A+5,A+6,A+7,A+8,A+9,A+10,A+11就是10个

连续数,且个个都是合数.

一般地,要写出n个连续自然数,个个是合数,可用

令m=n+1, 那么m!+2, m!+3, m!+4, +……+ m!+n+1 就是所求的合数.

∵m!+i (2?i?n+1) 有公约数i.

练习:32. 已知质数a, 与奇数b 的和等于11,那么a=___,b=___.

33. 两个互质数的最小公倍数是72,若这两个数都是合数,那么它们分别等于

____,____.

34. 写出10个连续正奇数,个个都是合数,可设m=(10+1)×2, m!=22!

那么所求的合数是22!+3,_____,____,____,……

35. 写出10个连续自然数,个个都是合数,还可令 N=2×3×5×7×11.

(这里11=10+1,即N是不大于11的质数的积).那么 N+2,N+3,N+4,……

N+11就是所求的合数.这是为什么?如果 要写15个呢?

36. 已知:x, m, n 都是正整数 . 求证:24m+2+x4n 是合数.

戊.奇数和偶数

1.整数的一种分类:?(即除以2,余数为0)?偶数:能被2整除的整数;

.(即除以2,余数为1)?奇数:不能被2整除的整数

275

2. 运算性质:奇数+奇数=偶数, 偶数+偶数=偶数, 奇数+偶数=奇数.

奇数×奇数=奇数,偶数×偶数=偶数,奇数×偶数=偶数.

(奇数)正整数=奇数,(偶数)正整数=偶数.

4. 其他性质:

① 两个连续整数必一奇一偶,其和是奇数,其积是偶数.

② 奇数的平方被4除余1;偶数的平方能被4整除;除以4余2或3的整数

不是平方数.

a) 2n (n为正整数)不含大 于1的奇因数.

b) 若两个整数的和(差)是奇数,则它们必一奇一偶.

c) 若n个整数的积是奇数,则它们都是奇数.

例1. 设m 与n都是正整数,试证明m3-n3为偶数的充分必要条件是m-n为偶数.

证明:∵m3-n3=(m-n)(m2+mn+n2).

当m-n为偶数时,不论m2+mn+n2是奇数或偶数,m3-n3都是偶数;

∴m-n为偶数是m3-n3为偶数的充分条件.

当m-n为奇数时,m, n必一奇一偶,m2,mn,n2三个数中只有一个奇数,

∴m2+mn+n2是奇数,从而m3-n3也是奇数.

∴m-n为偶数,是m3-n3为偶数的必要条件.

综上所述m3-n3为偶数的充分必要条件是m-n为偶数.

例2. 求方程x2-y2=1990的整数解.

解:(x+y)(x-y)=2×5×199.

若x, y同是奇数或同是偶数,则 x+y,x-y都是偶数,其积是4的倍数,但1990

不含4的因数,∴方程左、右两边不能相等.

若x, y为一奇一偶,则x-y,x+y都是奇数,其积是奇数,但1990不是奇数,

∴方程两边也不能相等.

综上所述,不论x, y取什么整数值,方程两边都不能相等.

所以 原方程没有整数解

本题是根据整数的一种分类:奇数和偶数,详尽地讨论了方程的解的可能性.

练习:37. 设n为整数,试判定n2-n+1是奇数或偶数.

38. 1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数,为什么?

39. 有四个正整数的和是奇数,那么它们的立方和,不可能是偶数,试说明理由.

40. 求证:方程x2+1989x+9891=0没有整数根.

?x1?x2?x3???xn?0;41. 已知: ? 求证:n是4的倍数. x?x?x???x?n.n?123

42. 若n是大于1的整数,p=n+(n2-1)1?(?1)n2试判定p是奇数或偶数,或奇偶数都有可能. (1985年全国初中数学联赛题)

已. 按余数分类

1. 整数被正整数 m除,按它的余数可分为m类,称按模m分类.

如:模m=2,可把整数分为2类:{2k}, {2k+1} k为整数,下同

模m=3,可把整数分为3类:{3k}, {3k+1},{3k+2}.

……

模m=9,可把整数分为9类:{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}.

276

2. 整数除以9的余数,与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.

如:6372,5273,4785各位数字和除以9的余数分别是0,8,6. 那么这三个数除以9的余数也分别是0,8,6.

3. 按模m分类时,它们的余数有可加,可乘,可乘方的性质.

如:若a=5k1+1, b=5k2+2.

则a+b除以5 余数 是3 (1+2);

ab除以5余2 (1×2);

b2 除以5余4 (22).

例1. 求19891989除以7的余数.

解:∵19891989=(7×284+1)1989,

∴19891989≡11989 ≡1 (mod 7).

即19891989除以7的余数是1.

练习:43. 今天是星期一,99天之后是星期________.

44. n 个整数都除以 n-1, 至少有两个是同余数,这是为什么?

45. a 是整数,最简分数a化为小数时,若为循环小数,那么一个循环节最多有几7

位?

4. 运用余数性质和整数除以9的余数特征,可对四则运算进行检验

例2. 下列演算是否正确?

① 12625+9568=21193 ; ② 2473×429=1060927.

解:①用各位数字和除以9,得到余数:

12625,9568,21193除以9的余数分别是7,1,7.

∵ 7+1≠7, ∴演算必有错.

② 2473,429,1060927除以9的余数分别是7,6,7.

而7×6=42,它除以9余数为6,不是7,故演算也有错.

注意:发现差错是准确的,但这种检验并不能肯定演算是绝对正确.

练习:46. 检验下列计算有无差错:

①372854-83275=289679 ; ②23366292÷6236=3748.

5. 整数按模分类,在证明题中的应用

例3. 求证:任意两个整数a和b,它们的和、差、积中,至少有一个是3的倍数.

证明:把整数a和b按模3分类,再详尽地讨论.

如果a, b除以3,有同余数 (包括同余0、1、2),那么a, b的差是3的倍数;

如果a, b除以3,余数不同,但有一个余数是0,那么a, b的积是3的倍数;

如果a, b除以3,余数分别是1和2,那么a, b的和是3的倍数.

综上所述任意两个整数a,b,它们的和、差、积中,至少有一个是3的倍数.

(分类讨论时,要求做到既不重复又不违漏)

例4. 已知: p?5,且 p和2p+1都是质数.

求证:4p+1是合数.

证明:把整数按模3分类. 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k为整数)三类讨论

∵p是质数,∴不能是3的倍数,即p≠3k;

当p=3k+1时, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). ∴ 2p+1不是质数,即p≠3k+1; 只有当质数p=3k+2时, 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5.

∴2 p+1也是质数, 符合题设.

这时,4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数. 证毕

277

练习:47. 已知:整数a不能被2和3整除 . 求证:a2+23能被24整除.

48. 求证:任何两个整数的平方和除以8,余数不可能为6.

49. 若正整数a不是5的倍数. 则a8+3a4-4能被100整除.

50. 已知:自然数n>2求证:2n-1和2n+1中,如果 有一个是质数,则另一个必是

合数.

51.设a,b,c是三个互不相等的正整数,求证 a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三个数中,至少有一个能被10整除. (1986年全国初中数学联赛题)

庚. 整数解

1. 二元一次方程 ax+by=c的整数解:当a,b互质时,若有一个整数的特解??x?x0那么y?y0?

?x?x0?bk(k为整数) 可写出它的通解?y?y?ak0?

2. 运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质

整数±整数=整数, 整数×整数=整数,

整数÷(这整数的约数)=整数, (整数)自然数=整数

3. 一元二次方程,用求根公式,根的判别式,韦达定理讨论整数解.

4. 根据已知条件讨论整数解.

例1. 小军和小红的生日.都在10月份,且星期几也相同,他们生日的日期的和等于34,小军比小红早出生,求小军的生日.

解:设小军和小红的生日分别为x, y,根据题意,得

?y?x?7k7k (k=1,2,3,4) 2x=34-7k x=17-?2?y?x?34

k=1, 3时, x没有整数解;

当k=2时, ??x?10, ?y?24.

当k=4时,??x?3y, (10月份没有31日,舍去) y?31.?

∴小军的生日在10月10日

例2. 如果一个三位数除以11所得的商,是这个三位数的各位上的数的平方和,试求符合条件的所有三位数. (1988年泉州市初二数学双基赛题)

解:设三位数为100a+10b+c, a, b, c都是整数,0<a?9,0?b, c?9.

那么 100a?10b?ca?b?c?9a?b? , 且-8<a-b+c<18. 1111

要使a-b+c被11整除,其值只能是0和11.

( 1)当a-b+c=0时, 得9a+b=a2+b2+c2.

以b=a+c代入,并整理为关于a的二次方程,得

2a2+2(c-5)a+2c2-c=0

278

?a1?a2?5?c,?根据韦达定理?c 这是必要而非充分条件. 2a1a2?c?.?2?

∵5-c>0, 以c=0, 1, 2, 3, 4 逐一讨论a的解.

当 c=2, 4时,无实数根; 当c=1, 3时,无整数解;

只有当c=0时,a=5;或 a=0. (a=0不合题意,舍去)

∴只有c=0, a=5, b=5适合

∴所求的三位数是550;

(2)当a-b+c=11时, 得9a+b+1=a2+b2+c2.

以b=a+c代入,并整理为关于a的二次方程,得

2a2+2(c-16)a+2c2-23c+131=0.

仿(1)通过韦达定理,由c的值逐一以讨论a的解.

只有当c=3时, a=8, b=0适合所有条件.

即所求三位数为803.

综上所述,符合条件的三位数有550和803.

练习:52. 正整数x1, x2, x3,……xn满足等式x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x4x5 那么 x5的最大值是________. (1988年全国初中数学联赛题)

53. 如果p, q, 2p?12q?1, 都是整数,.且p>1, q>1, 试求p+q的值. qp

(1988年全国初中数学联赛题)

54. 能否找到这样的两个正整数m和n,使得等式m2+1986=n2成立. 试说出你的猜

想,并加以证明.

(1986年泉州市初二数学双基赛题)

55. 当m取何整数时,关于x的二次方程m2x2-18mx+72=x2-6x的根是正整数,

并求出它的根.

(1988年泉州市初二数学双基赛题)

56. 若关于x的二次方程(1+a)x2+2x+1-a=0的两个实数根都是整数,那么a的取

值是________________. (1989年泉州市初二数学双基赛题)

57. 不等边三角形的三条边都是整数,周长的值是28,最大边与次大边的差比次大

边与最小边的差大1,适合条件的三角形共有____个,它们的边长分别是:______________________________________________________________.

58. 直角三角形三边长都是整数,且周长的数值恰好等于面积的数值,求各边长.

59. 鸡翁一,值钱;,鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡

母、鸡雏各几何?

60. 甲买铅笔4支,笔记本10本,文具盒1个共付1.69元,乙买铅笔3支,笔记

本7本,文具盒1个共付1.26元,丙买铅笔、笔记本、文具盒各1,应付几元? 若1×2×3×4×……×99×100=12 n×M,其中M为自然数,n为使得等式成立的最大自然数,则M是( )

(A).能被2整除,不能被3整除 . (B).能被3整除,但不能被2整除.

(C).被4整除,不能被3整除. (D).不能被3整除,也不能被2整除.

(1991年全国初中数学联赛题)

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