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河北科技大学2011数学竞赛试题

发布时间:2014-03-04 19:28:07  

河北科技大学

2011年数学竞赛试题

一、填空题(每小题4分,共20分)

1.(4分) 累次积分

2. (4?ydxe?0?xdy? . 222分) 设函数f(x)在x?a处的二阶导数存在,则

f(a?h?)fa()?f?(a)lim?h?0h

?2z?x?y,且f(x,0)?x,f(0,y)?y2,则3. (4分)设z?f(x,y)满足?x?y

f(x,y)?4. (4分)曲线y?x?9过原点的切线为 . x?5

5. (4分)

由方程xyz?

处的全微分dz?所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1) ? .

共6页,第1页

二、选择题(每小题5分,共30分)

1. (5分)设y

在( ).

(A) x0的某个邻域内单调增加 (B) x0的某个邻域内单调

(C) x0处取得极小值 (D) x0处取得极大值

2. (5分)若3a?5b?0,则方程x?2ax?3bx?4c?0( ).

(A)无实根 (B) 有惟一实根

(C) 有三个不同的实根 (D) 有五个不同的实根

3. (5分) 设所围成的平面闭区域,则二重积分D是由y?x,x?1,y??12?f?x?是满足微分方程y???y??esinx?0的解,且f?(x0)?0,则f(x)53

??y[1?xe

D122x?y2??]d?的值等于( ).

(A) 0 (B) 22 (C) ? (D) 2 33

?(a?0)上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的4. (5分)

截距之和为( ).

(B) a (C) 0 (D)

5.(5分)设L为x?y?R

(A)222(R?

0),则??2s的值为( ). 2?R

00?2?0rdr (B)2?R (C)?d??r2dr (D)?R2 2

2226. (5分)设?为球面x?y?z?1的上半部分的上侧,则下列式子错误的是( ).

(A) ??x

?2dydz?0 (B) ??ydydz?0 ?

(C) ??xdydz

??0 (D) ??y2dydz?0 ?

三、解答题(每小题11分,共77分)

21. (11

分)求极限. x?02. (11分)设z?z(x,y)由z?lnz?

3.设F(t)?

4. (11分) 求微分方程xdy?(x?2y)dx?0的一个解y?y(x),使得由曲线y?y(x)与直线x?1,x?2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小.

5. (11分)设D:x?y?y,x?0,f(x,y)为D上的连续函数,且22?xye?t2?2z. dt?0所确定,求?x?y??f(x)dxdy,其中f(x)在[0,??)内连续, D:y?x?t,求F?(t). D

f(x,y)??8

???f(u,v)dudv,求f(x,y).

D

6. (11分)计算I?????1?x?1?x?f??dydz?f??dzdx?zdxdy,其中y?y?x?y??x?f??具有一阶

?y?

连续的偏导数,?为柱面x2?y2?R2,y2?z及平面z?0所围成立体的表面外侧. 2

7. (11分)设A(2,2),B(1,1)为xOy坐标面上的两点,L是从A点到B点的一条光滑定向曲线y?y(x),且位于线段AB下方,它与AB围成的面积为2,又?(y)有连续的导数,求曲线积分 I??x?????(y)cosL2??ydx?y)s?in?x???(??2 yd.

四、证明题(第一小题11分,第二小题12分,共23分)

1. (11分)设f?x?在?0,1?上连续,在?0,1?内可导,f?0??0,且当x?0时,f?x??0,试证明:对任意正数k,必存在???0,1?,使得f????

f??kf??1???

f1??.

2. (12分)设??t?是正值的可导函数,且f(x)?

明曲线y?a?ax?t(t)dt,?a?x?a(a?0),证?f(x)在??a,a?上是凹的.

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