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2014年全国初中数学竞赛预赛

发布时间:2014-03-06 19:25:55  

2014年全国初中数学竞赛预赛

试题及参考答案

(竞赛时间:2014年3月2日上午9:00--11:00)

一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分) 以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.若是最大的负整数,是绝对值最小的有理数,是倒数等于它本身的自然数,则的值为【 】

(A)2013 (B)2014 (C)2015 (D)0

【答】D.

解:最大的负整数是-1,∴=-1;

绝对值最小的有理数是0,∴=0;

倒数等于它本身的自然数是1,∴=1. ∴==0.

2. 已知实数(A)

【答】A.

解:两式相减得满足则代数式的值是【 】 (B)3 (C)

(D)7

3.如图,将表面展开图(图1)还原为正方体,按图2所示摆放,那么,图1 中的线段MN在图2中的对应线段是【 】

(A) (B

) (C) (D)

【答】C. 解:将图1中的平面图折成正方体,MN和线段c重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面,△AMN和△ABM所在的面为组合面,则△AMN和

△ABM所在的面为两个相邻的组合面,比较图2,首先确定B点,所以线段d与AM重合,MN与线段c重合.

4. 已知二次函数,

的图象如图所示,则下列7个代数式,

中,其值为正的式子的个数为

【 】

(A)2个 (B

)3个 (C)4个 (D)4个以上

【答】C. 解:由图象可得:

,∴

.

抛物线与轴有两个交点,

. 当=.当=1时

,,

即时,,即.从图象可得,抛物线对称轴在直线=1的左边,即

∴,.因此7个代数式中,其值为正的式子的

个数为4个.

5. 如图,Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合,∠AOB=90°,AO=2BO,当A点在反比例函数

【 】

(A) (x<0) (B

)(x<0) (x>0)的图象上移动时,B点坐标满足的函数解析式为

(C)

【答】B. (x<0) (D)(x<0)

解:如图,分别过点分别做轴的垂线,那么∽,

则,故.

6.如图,四边形ABHK是边长为6的正方形,点C、D在边AB上,且AC=DB=1,点P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP,E、F分别为MN、QR的中点,连接EF,设EF的中点为G,则当点P从点C运动到点D时,点G移动的路径长为【 】

(A)1 (B)2 (C)3 (D)6

【答】B.

解:设KH中点为S,连接PE、ES、SF、PF、PS,可证明四边形PESF为平行四边形,

∴G为PS的中点, 即在点P运动过程中,G始终为PS的中点,所以G的运行轨迹为△CSD的中位线,

∵CD=AB-AC-BD=6-1-1=4,∴点G移动的路径长为

=2.

二、填空题(共6小题,每小题6分,共36分)

7.已知【答】. ,化简得.

解:∵ 原式=,∴,. ,

8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个,其中红色玻璃球有6个,

黄色玻璃球有9个,已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为,那么,随机摸出一个为红色玻璃球的概率为 .

【答】.

解:设口袋中蓝色玻璃球有个,依题意,得,即=10,所以P(摸出一个红色玻璃球)=.

9. 若【答】8. 解:∵,则= . ,∴. 则,即.∴

10.如图,在Rt△OAB中,∠AOB=30°,AB=2,将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD,则AB扫过的面积为

.

【答】.

解:∵Rt△OAB中,∠AOB=30°,AB=2,

∴AO=CO

=,BO=DO=4,

= ∴阴影部分面积= ==.

11.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点

E是AD上一个动点,把△BAE沿BE向矩形内部折叠,

当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时,

CA1 【答】.

解:过A1作A1M⊥BC,垂足为M,设CM=A1M=x,则BM=4-x,

在Rt△A1BM中,

, ∴=,∴x =A1M

=,

. ∴在等腰Rt△A1CM中,C A1=

12.已知a、b、c、d是四个不同的整数,且满足a+b+c+d =5,若m是关于x的方程(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=2014中大于a、b、c、d的一个整数根,则m的值为 .

【答】20.

解:∵(m-a)(m-b)(m-c)(m-d)=2014,且a、b、c、d是四个不同的整数,由于m是大于a、b、c、d的一个整数根,∴(m-a)、(m-b)、(m-c)、(m-d)是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53,

∴(m-a)+(m-b)+(m-c)+(m-d)=1+2+19+53=75.

又∵a+b+c+d =5,∴m =20.

三、解答题(第13题14分,第14题16分,第15题18分,共48分)

13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品,其中小笔记本每本5元,大笔记本每本7元,钢笔每支10元,购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍,共花费346元,若使购买的奖品总数最多,则这三种奖品的购买数量各为多少?

解:设购买小笔记本x本,大笔记本y本,钢笔z支, 则有4分 ∴,,即

≥0,即0<z≤14 ,. 易知0<x≤69,0<y≤49,0<z≤34, ……………………………………. ∵x,y,z均为正整数,

∴z只能取14,9和4. …………………………………………………8

①当z为14时,

=2,

=28. .

②当z为9时,

=26,

=18. .

③当z为4时,

=50,

=8. .

综上所述,若使购买的奖品总数最多,应购买小笔记本50本,大笔记本8本,钢笔4支. ……………………………………………………………………14分

14.如图,在矩形ABCD中,AD=8,直线DE交直线AB于点E,交直线BC于F,AE=6.

(1)若点P是边AD上的一个动点(不与点A、D重合),

设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式;

(2)若AE=2EB.

①求圆心在直线BC上,且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长; ②圆心在直线BC上,且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个?(直接写出满足条件的圆的个数即可

.)

14、解:(1)在

Rt中,

…………………………………

………………………5分

(2)①

.

………………………7分 若⊙

则可设

与直线DE、AB都相切,且圆心 在AB的左侧,过点作于,. 解

…………………10分 若⊙

,则可设

与直线DE、AB都相切,且圆心 在AB的右侧,过点作

于 解得

即满足条件的圆的半径

为或

6.…………………………………………13分

②6个.………………………………………………………………………………………16分

15. 如图1,等腰梯形OABC的底边OC在x轴上,AB∥OC,O为坐标原点,OA = AB =BC,∠AOC=60°,连接OB,点P为线段OB上一个动点,点E为边OC中点.

(1)连接PA、PE,求证:PA=PE;

(2)连接PC,若PC+PE

=,试求AB的最大值;

(3)在(2)在条件下,当AB取最大值时,如图2,点M坐标为(0,-1),点D为线段OC上一个动点,当D点从O点向C点移动时,直线MD与梯形另一边交点为N,设D点横坐标为m,当△MNC为钝角三角形时,求m的范围.

解:(1)证明:如图1,连接AE.

…………………………………………………………5分

(2)∵PC+PE= ,∴PC+PA

=.

显然有OB=AC≤PC+PA=.……………7分

, 在Rt△BOC中,设AB=OA=BC=x,则OC=2x,OB=

≤,∴≤2.

即AB的最大值为2. …………………………10分

(3) 当AB取最大值时,AB=OA=BC=2,OC=4.

分三种情况讨论:

①当N点在OA上时,如图2,若CN⊥MN时,此时线段OA上N点下方的点(不包括N、O)均满足△MNC为钝角三角形.

过N作NF⊥x轴,垂足为F,

∵A点坐标为(1,),∴ 可设N点坐标为(,),则DF=a-m,NF

=,FC=4-a. ∵△OMD∽△FND∽△FCN

, ∴.

解得,

分 ,即当0<<时,△MNC为钝角三角形;…14

②当N点在AB上时,不能满足△MNC为钝角三角形;………………15分

③当N点在BC上时,如图3,若CN⊥MN时,此时BC上N点下方的点(不包括N、C)均满足△MNC为钝角三角形

.

∴当<<4时,△MNC为钝角三角形.

综上所述,当0<

<或<<4时,△MNC为钝角三角形. …1

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