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2014年八年级数学竞赛预选题

发布时间:2014-03-06 19:25:57  

八年级数学竞赛预选题

1、已知:矩形纸片ABCD中,AB?26厘米,BC?18.5厘米,点E在AD上,且

AE?6厘米,点P是AB边上一动点.按如下操作:

步骤一,折叠纸片,使点P与点E重合,展开纸片得折痕MN(如图1所示); 步骤二,过点P作PT⊥AB,交MN所在的直线于点Q,连接QE(如图2所示) (1)无论点P在AB边上任何位置,都有PQ_________QE(填“?”、“?”、“?”号);

(2)如图3所示,将纸片ABCD放在直角坐标系中,按上述步骤一、二进行操作: ①当点P在A点时,PT与MN交于点Q1,Q1点的坐标是(_______,_________); ②当PA?6厘米时,PT与MN交于点Q2,Q2点的坐标是(_______,_________); ③当PA?12厘米时,在图3中画出MN,PT(不要求写画法),并求出MN与PT的交点Q3的坐标;

B

解:(1)无论点P在AB边上任何位置,都有QP=QE(填“>”、“=”、 “<”); (2)将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中,按上述步骤一、二进行操作: ①当点P在A点时,PT与MN交于点Q1,Q1点的坐标是(0,3);

P

1

E P 图2

C

C

图3

②当PA=6厘米时,PT与MN交于点Q2,Q2点的坐标是(6,6);

2、操作,在△ABC中,AC=AB=2,∠C=90°,将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC,射线CB于D,E两点,?图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的其中三种.

探究:(1)三角板绕P点旋转,观察线段PD与PE之间有什么大小关系??它们的关系为_________,并以图②为例,加以证明.

(2)三角板绕P点旋转,△PBE能否成为等腰三角形,若能指出所有的情况(即求出△PBE为等腰三角形时的CE的长);若不能,说明理由.

解: :(1)连结PC.

∵△ABC是等腰直角三角形,P是AB的中点,

∴CP=PB,CP⊥AB,∠ACP=∠ACB=45°.

∴∠ACP=∠B=45°.

又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°,

∴∠DPC=∠BPE.

∴△PCD≌△PBE.∴PD=PE.

(2)共有四种情况:

①当点C与点E重合,即CE=0时,PE=PB;

②CE=2-,此时PB=BE;

③当CE=1时,此时PE=BE;

④当E在CB的延长线上,且CE=2+时,此时PB=EB

3、已知△ABC中,?C是其最小的内角,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,请探求?ABC与?C之间的关系.

解: 设?ABC?y,?C?x,过点B的直线交边AC于D.在△DBC中, ①若?C是顶角,如图1,则?ADB?90?,

?CBD??CDB?11(180??x)?90??x,?A?180??x?y. 22

?

?1?x?, 2?此时只能有?A??ABD,即180??x?y?y??90??

3?3x?4y?540?,即?ABC?135???C. 4

②若?C是底角,则有两种情况.

第一种情况:如图2,当DB?DC时,则?DBC?x,

△ABD中,?ADB?2x,?ABD?y?x.

1.由AB?AD,得2x?y?x,此时有y?3x,即?ABC?3?C.

?????x?y?2x,此时3x?y?180,即?ABC?180?3?C?2.由AB?BD80,得1. ??3.由AD?BD,得180?x?y?y?x,此时y?90,即?ABC?90?,?C为?

小于45?的任意锐角.

第二种情况,如图3,当BD?BC时,?BDC?x,?ADB?180??x?90?,此时只能有AD?BD, 从而?A??ABD?1?C??C,这与题设?C是最小角矛盾. 2

?当?C是底角时,BD?BC不成立.

图2

图3

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