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七年级数学竞赛辅导资料(4)零的特性

发布时间:2014-03-07 18:58:35  

第四讲 零的特性

一、内容提要

(一)、零既不是正数也不是负数,是介于正数和负数之间的唯一中性数. 零是自然数,是整数,是偶数.

1.零是表示具有相反意义的量的基准数.

例如:海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高

收支平衡可记作结存0元.

2.零是判定正、负数的界限.

若a >0则a是正数,反过来也成立,若a是正数,则 a>0

记作 a>0 ? a是正数 读作a>0等价于a是正数

b<0 ? b 是负数

c≥0 ? c是非负数(即c不是负数,而是正数或0) d≤0 ? d是非正数 (即d不是正数,而是负数或0)

e?0 ? e不是0(即e不是0,而是负数或正数)

3.在一切非负数中有一个最小值是0.

例如 绝对值、平方数都是非负数,它们的最小值都是0.

记作:|a|≥0,当a=0时,|a|的值最小,是0,

a2≥0,a2有最小值0(当a=0时).

4.在一切非正数中有一个最大值是0.

例如 -|x|≤0,当x=0时,-| x |值最大,是0,(∵x≠0时都是负数), -(x-2)2≤0,当x=2时,-(x-2)2的值最大,是0.

(二)、零具有独特的运算性质

1.乘方:零的正整数次幂都是零.

2.除法:零除以任何不等于零的数都得零;

零不能作除数.从而推出,0没有倒数,分数的分母不能是0.

3.乘法:零乘以任何数都得零.即a×0=0,

反过来 如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0.

要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0.

4.加法:互为相反数的两个数相加得零.反过来也成立.

即a、b互为相反数?a+b=0。

5.减法:两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定,

若a-b=0,则a=b;若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b.

反过来也成立,当a=b时,a-b=0;当a>b时,a-b>0;当a<b时,a-b<0.

(三)、在近似数中,当0作为有效数字时,它表示不同的精确度。

例如 近似数1.6米与1.60米不同,前者表示精确到0.1米(即1分米),误差不超过5厘米; 后者表示精确到0.01米(即1厘米),误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下:

1.55≤近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605

二、例题

例1.两个数相除,什么情况下商是1?是-1?

答:两个数相等且不是0时,相除商是1;两数互为相反数且不是0时,相除商是-1。

例2.绝对值小于3的数有几个?它们的和是多少?为什么?

答:绝对值小于3的数有无数多个,它们的和是0。因为绝对值小于3的数包括大于-3并且小于3的所有数,它们都以互为相反数成对出现,而互为相反数的两个数相加得零。

例3.要使下列等式成立x、y应取什么值?为什么?

①x(y-1)=0, ② |x-3|+(y+2)2=0

答:①根据任何数乘以0都得0,可知当x=0时,y可取任何数;

当y=1时,x取任何数等式x(y-1)=0都是能成立。

②∵互为相反数相加得零,而|x-3|≥0,(y+2)2≥0,

∴它们都必须是0,即x-3=0且y+2=0,

故当x=3且y=-2时,等式|x|+(y+2)2 =0成立。

三、练习

1.有理数a和b的大小如数轴所示:

b 0 a

2.比较下列左边各数与0的大小(用>、<、=号連接)

122a 0, -3b 0, 0, - 0, ab2 3 -a0, -b 0, a+b 0, a-b 0,

aa ab 0, (-2b)3 0, 0, 0 b?b

3. a表示有理数,下列四个式子,正确个数是几个?答:__个。 |a|>a, a2> -a2, a>-a, a+1>a

4. x表示一切有理数,下面四句话中正确的共几句?答:__句。 ①(x-2)2有最小值0, ③ -|x+3|有最大值0,

② 2-x2有最大值2, ④ 3+|x-1|有最小3。

5.绝对值小于5的有理数有几个?它们的积等于多少?为什么?

6.要使下列等式成立,字母x、y应取什么值?

0①=0, ②x(x-3)=0, ③|x-1|+(y+3)2=0 x

7.下列说法正确吗?为什么?

① a的倒数是a

②n表示一切自然数,2n-1表示所有的正奇数

③ 如果a>b, 那么m2a?m2b (a 、b 、m都是有理数 )

8.x取什么值时,下列代数式的值是正数?

① x(x-1) ② x(x+1)(x+2)

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