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董远程五年级思维训练

发布时间:2014-03-08 09:11:00  

第一周 平均数(一)

专题简析:

把几个不相等的数,在总数不变的条件下,通过移多补少,使它们完全相等,求得的相等的数就是平均数。

如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢?

下面的数量关系必须牢记:

平均数=总数量÷总份数

总数量=平均数×总份数

总份数=总数量×平均数

例1 有4箱水果,已知苹果、梨、橘子平均每箱42个,梨、橘子、桃平均每箱36个,苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个?

分析与解答:(1)1箱苹果+1箱梨+1箱橘子=42×3=136(个);

(2)1箱桃+1箱梨+1箱橘子=36×3=108(个)

(3)1箱苹果+1箱桃=37×2=72(个)

由(1)(2)两个等式可知:

1箱苹果比1箱桃多126-108=18(个),再根据等式(3)就可以算出:1箱桃有(74-18)÷2=28(个),1箱苹果有28+18=46(个)。

1箱苹果和1箱桃共有多少个:37×2=74(个)

1箱苹果比1箱桃多多少个:42×3-36=18(个)

1箱苹果有多少个:28+18=46(个)

练 习 一

1,一次考试,甲、乙、丙三人平均分91分,乙、丙、丁三人平均分89分,甲、丁二人平均分95

分。问:甲、丁各得多少分?

2,甲、乙、丙、丁四人称体重,乙、丙、丁三人共重120千克,甲、丙、丁三人共重126千克,丙、丁二人的平均体重是40千克。求四人的平均体重是多少千克?

3,甲、乙、丙三个小组的同学去植树,甲、乙两组平均每组植树18棵,甲、丙两组平均每组植树17棵,乙、丙两组平均每组植树19棵。三个小组各植树多少棵?

例2 一次数学测验,全班平均分是91.2分,已知女生有21人,平均每人92分;男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人?

分析:女生每人比全班平均分高92-91.2=0.8(分),而男生每人比全班平均分低91.2-90.5=0.7(分)。全体女生高出全班平均分0.8×21=16.8(分),应补给每个男生0.7分,16.8里包含有24个0.7,即全班有24个男生。

练 习 二

1,两组学生进行跳绳比赛,平均每人跳152下。甲组有6人,平均每人跳140下,乙组平均每人跳

160下。乙组有多少人?

2,有两块棉田,平均每亩产量是92.5千克,已知一块地是5亩,平均每亩产量是101.5千克;另一

块田平均每亩产量是85千克。这块田是多少亩?

3,把甲级和乙级糖混在一起,平均每千克卖7元,乙知甲级糖有4千克,平均每千克8元;乙级糖有2千克,平均每千克多少元?

例3 某3个数的平均数是2,如果把其中一个数改为4,平均数就变成了3。被改的数原来是多少?

分析:原来三个数的和是2×3=6,后来三个数的和是3×3=9,9比6多出了3,是因为把那个数改成了4。因此,原来的数应该是4-3=1。

练 习 三

1,已知九个数的平均数是72,去掉一个数之后,余下的数的平均数是78。去掉的数是多少?

2,有五个数,平均数是9。如果把其中的一个数改为1,那么这五个数的平均数为8。这个改动的数

原来是多少?

3,甲、乙、丙、丁四位同学,在一次考试中四人的平均分是90分。可是,甲在抄分数时,把自己的分错抄成了87分,因此,算得四人的平均分是88分。求甲在这次考试中得了多少分?

例4 五一班同学数学考试平均成绩91.5分,事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算,全班的平均成绩是91.7分,五一班有多少名同学?

分析:98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.7-91.5=0.2(分)。9里面包含有几个0.2,五一班就有几名同学。

练 习 四

1,五(1)班有40人,期中数学考试,有2名同学去参加体育比赛而缺考,全班平均分为92分。缺

考的两位同学补考均为100分,这次五(1)班同学期中考试的平均分是多少分?

2,某班的一次测验,平均成绩是91.3分。复查时发现把张静的89分误看作97分计算,经重新计算,

该班平均成绩是91.1分。问全班有多少同学?

3,五个数的平均数是18,把其中一个数改为6后,这五个数的平均数是16。这个改动的数原来是多少?

例5 把五个数从小到大排列,其平均数是38。前三个数的平均数是27,后三个数的平均数是48。中间一个数是多少?

分析:先求出五个数的和:38×5=190,再求出前三个数的和:27×3=81,后三个数的和:48×3=144。用前三个数的和加上后三个数的和,这样,中间的那个数就算了两次,必然比190多,而多出的部分就是所求的中间的一个数。

练 习 五

1,甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁,如果甲、乙的平均年龄是18岁,乙、丙的平均年龄是25岁,那么乙的年龄是多少岁?

3,十名参赛者的平均分是82分,前6人的平均分是83分,后6人的平均分是80分。那么第5人和

第6人的平均分是多少分?

第2周 平 均 数(二)

例1 小明前几次数学测验的平均成绩是84分,这次要考100分,才能把平均成绩提高到86分。问这是他第几次测验?

分析与解答:100分比86分多14分,这14分必须填补到前几次的平均分84分中去,使其平均分成为86分。每次填补86-84=2(分),14里面有7个2,所以,前面已经测验了7次,这是第8次测验。

练 习 一

1,老师带着几个同学在做花,老师做了21朵,同学平均每人做了5朵。如果师生合起来算,正好平均每人做了7朵。求有多少个同学在做花?

2,一位同学在期中测验中,除了数学外,其它几门功课的平均成绩是94分,如果数学算在内,平均每门95分。已知他数学得了100分,问这位同学一共考了多少门功课?

3,两组同学进行跳绳比赛,平均每人跳152次。甲组有6人,平均每人跳140次,如果乙组平均每人跳160次,那么,乙组有多少人?

例2 小亮在期末考试中,政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是89分,政治、数学两科平均91.5分,政治、英语两科平均86分,英语比语文多10分。小亮的各科成绩是多少分?

分析与解答:因为语文、英语两科平均分84分,即语文+英语=168分,而英语比语文多10分,即英语-语文=10分,所以,语文是(168-10)÷2=79分,英语是79+10=89分。又因为政治、英语两科平均86分,所以政治是86×2-89=83分;而政治、数学两科平均分91.5分,数学是91.5×2-83=100分;最后根据五科的平均成绩是89分可知,自然分是89×5-(79+89+83+100)=94分。

练 习 二

1,甲、乙、丙三个数的平均数是82,甲、乙两数的平均数是86,乙、丙两数的平均数是77。乙数是多少?甲、丙两个数的平均数是多少?

3,小华的前几次数学测验的平均成绩是80分,这一次得了100分,正好把这几次的平均分提高到

85分。这一次是他第几次测验?

3,五个数排一排,平均数是9。如果前四个数的平均数是7,后四个数的平均数是10,那么,第一个数和第五个数的平均数是多少?

例3 两地相距360千米,一艘汽艇顺水行全程需要10小时,已知这条河的水流速度为每小时6千米。往返两地的平均速度是每小时多少千米?

分析与解答:用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度。显然,要求往返的平均速度必须先求出逆水行全程时所用的时间。因为360÷10=36(千米)是顺水速度,它是汽艇的静水速度与水流速度的和,所以,此汽艇的静水速度是36-6=30(千米)。而逆水速度=静水速度-水流速度,所以汽艇的逆水速度是30-6=24(千米)。逆水行全程时所用时间是360÷24=15(小时),往返的平均速度是360×2÷(10+15)=28.8(千米)。

练 习 三

1,甲、乙两个码头相距144千米,汽船从乙码头逆水行驶8小时到达甲码头,已知汽船在静水中每小时行驶21千米。求汽船从甲码头顺流行驶几小时到达乙码头?

2,一艘客轮从甲港驶向乙港,全程要行165千米。已知客轮的静水速度是每小时30千米,水速每小时3千米。现在正好是顺流而行,行全程需要几小时?

3,甲船逆水航行300千米,需要15小时,返回原地需要10小时;乙船逆水航行同样的一段水路需要20小时,返回原地需要多少小时?

例4 幼儿园小班的20个小朋友和大班的30个小朋友一起分饼干,小班的小朋友每人分10块,大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多2块。求一共分掉多少块饼干?

分析与解答:只要知道了大、小班小朋友分得的平均数,再乘(30+20)人就能求出饼干的总块数。因为大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多2块,30个小朋友一共多2×30=60(块),这60块平均分给20个小班的小朋友,每人可得60÷20=3(块)。因此,大、小班小朋友分得平均块数是10+3=13(块)。一共分掉13×(30+20)=650(块)。

练 习 四

1,数学兴趣小组里有4名女生和3名男生,在一次数学竞赛中,女生的平均分是90分,男生的平均

分比全组的平均分高2分,全组的平均分是多少分?

2,两组同学跳绳,第一组有25人,平均每人跳80下;第二组有20人,平均每人比两组同学跳的平

均数多5下,两组同学平均每人跳几下?

3,一个技术工带5个普通工人完成了一项任务,每个普通工人各得120元,这位技术工人的收入比他们6人的平均收入还多20元。问这位技术工得多少元?

例5 王强从A地到B地,先骑自行车行完全程的一半,每小时行12千米。剩下的步行,每小时走4千米。王强行完全程的平均速度是每小时多少千米?

分析与解答:求行完全程的平均速度,应该用全程除以行全程所用的时间。由于题中没有告诉我们A地到B地间的路程,我们可以设全程为24千米(也可以设其他数),这样,就可以算出行全程所用的时间是12÷12+12÷4=4(小时),再用24÷4就能得到行全程的平均速度是每小时6千米。

练 习 五

1,小明去爬山,上山时每小时行3千米,原路返回时每小时行5千米。求小明往返的平均速度。

2,运动员进行长跑训练,他在前一半路程中每分钟跑150米,后一半路程中每分钟跑100米。求他在整个长跑中的平均速度。

2,把一份书稿平均分给甲、乙二人去打,甲每分钟打30个字,乙每分钟打20个字。打这份书稿平

均每分钟打多少个字?

第28周 行 程 问 题(一)

行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。行程问题的主要数量关系是:路程=速度×时间。知道三个量中的两个量,就能求出第三个量。

例1 甲、乙两车同时从东、西两地相向开出,甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇,东、西两地相距多少千米?

分析与解答 从图中可以看出,两车相遇时,甲车比乙车多行了32×2=64(千米)。两车同时出发,为什么甲车会比乙车多行64千米呢?因为甲车每小时比乙车多行56-48=8(千米)。64里包含8个8,所以此时两车各行了8小时,东、西两地的路程只要用(56+48)×8就能得出。

32×2÷(56-48)=8(小时)

(56+48)×8=832(千米) 答:东、西两地相距832千米。

练 习 一

1,小玲每分钟行100米,小平每分钟行80米,两人同时从学校和少年宫出发,相向而行,并在离中

点120米处相遇。学校到少年宫有多少米?

2,一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出,汽车每小时行40千米,摩托车每小时行65

千米,当摩托车行到两地中点处时,与汽车还相距75千米。甲、乙两地相距多少千米?

3,甲、乙二人同时从东村到西村,甲每分钟行120米,乙每分钟行100米,结果甲比乙早5分钟到达西村。东村到西村的路程是多少米?

例2 快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出,乙车每小时行40千米,经过3小时,快车已驶过中点25千米,这时快车与慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米?

分析与解答 快车3小时行驶40×3=120(千米),这时快车已驶过中点25千米,说明甲、乙两地间路程的一半是120-25=95(千米)。此时,慢车行了95-25-7=63(千米),因此慢车每小时行63÷3=21(千米)。

(40×3-25×2-7)÷3=21(千米)

答:慢车每小时行21千米。

练 习 二

1,兄弟二人同时从学校和家中出发,相向而行。哥哥每分钟行120米,5分钟后哥哥已超过中点50

米,这时兄弟二人还相距30米。弟弟每分钟行多少米?

2,汽车从甲地开往乙地,每小时行32千米。4小时后,剩下的路比全程的一半少8千米,如果改用

每小时56千米的速度行驶,再行几小时到达乙地?

3,学校运来一批树苗,五(1)班的40个同学都去参加植树活动,如果每人植3棵,全班同学都能

植这批树苗的一半还多20棵。如果这批树苗全部给五(1)班的同学去植,平均每人植多少树?

例3 甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去,甲每小时比乙快6千米。中午12时甲到西村后立即返回东村,在距西村15千米处遇到乙。求东、西两村相距多少千米?

分析与解答 二人相遇时,甲比乙多行15×2=30(千米),说明二人已行30÷6=5(小时),上午8时至中午12时是4小时,所以甲的速度是15÷(5-4)=15(千米)。

因此,东西两村的距离是15×(5-1)=60(千米)

上午8时至中午12时是5小时。

15×2÷6=5(小时)

15÷(5-4)=15(千米)

15×(5-1)=60(千米)

练 习 三

1,甲、乙二人同时从A地到B地,甲每分钟走250米,乙每分钟走90米。甲到达B地后立即返回A地,在离B地3.2千米处与乙相遇。A、B两地间的距离是多少千米?

3,小平和小红同时从学校出发步行去小平家,小平每分钟比小红多走20米。30分钟后小平到家,

到家后立即原路返回,在离家350千米处遇到小红。小红每分钟走多少千米?

3,甲、乙二人上午7时同时从A地去B地,甲每小时比乙快8千米。上午11时甲到达B地后立即返回,在距B地24千米处与乙相遇。求A、B两地相距多少千米?

例4 甲、乙两车早上8点分别从A、B两地同时出发相向而行,到10点时两车相距112.5千米。两车继续行驶到下午1点,两车相距还是112.5千米。A、B两地间的距离是多少千米?

分析与解答 要求骑自行车的同学一共行多少千米,就要知道他的速度和所行时间。骑自行车同学的速度是每小时14千米,而他所行的时间就是甲、乙两队学生从出发到相遇这段时间。因此,用18÷(4+5)=2小时,用这个时间和骑的同学的速度相乘就得到了他一共行的千米数。

练 习 四

1,甲、乙两车同时从A、B两地相向出发,3小时后,两车还相距120千米;又行3小时,两车又相距120千米。A、B两地相距多少千米?

3,东、西两村相距36千米,甲、乙二人同时从东西两村相向出发,3小时后,丙骑车从东村出发去

追甲,结果三人同时在某地相遇。已知甲每小时行4千米,乙每小时行5千米,求丙的速度。

3,两队同学同时从相距30千米的甲、乙两地相向出发,一只鸽子以每小时20千米的速度在两队同学之间不断往返送信。如果鸽子从同学们出发到相遇共飞行了30千米,而甲队同学比乙队同学每小时多走0.4千米,求两队同学的行走速度。

例5 甲、乙两车早上8时分别从A、B两地同时相向出发,到10时两车相距112.5千米。两车继续行驶到下午1时,两车相距还是112.5千米。A、B两地间的距离是多少千米?

分析 从10时到下午1时共经过3小时,3小时里,甲、乙两车从相距112.5千米到又相距112.5千米,共行112.5×2=225千米。两车的速度和是225÷3=75千米。从早上8时到10时共经过2小时,2小时共行75×2=150千米,因此,A、B两间的距离是150+112.5=262.5千米。

练 习 五

1,甲、乙两车同时从A、B两地相向出发,3小时后,两车还相距120千米。又行3小时,两车又相距120千米。A、B两地相距多少千米?

3,快、慢两车早上6时同时从甲、乙两地相向开出,中午12时两车还相距50千米。继续行驶到14

时,两车又相距170千米。甲、乙两地相距多少千米?

3,甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行,匀速前进。如果各人按原定速度前进,4小时相遇;如果两人各自比原计划少走1千米,则5小时相遇。A、B两地相距多少千米?

第二十九周 行程问题(二)

专题简析:

本周的主要问题是“追及问题” 。追及问题一般是指两个物体同方向运动,由于各自的速度不同,后者追上前者的问题。追及问题的基本数量关系是:

速度差×追及时间=追及路程

解答追及问题,一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体,是因为两者之间存在着速度差。抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道理,结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分析,并借助线段图来理解题意,就可以正确解题。

例1 中巴车每小时行60千米,小轿车每小时行84千米。两车同时从相距60千米的两地同方向开出,且中巴在前。几小时后小轿车追上中巴车?

分析 原来小轿车落后于中巴车60千米,但由于小轿车的速度比中巴车快,每小时比中巴车多行84-60=24千米,也就是每小时小轿车能追中巴车24千米。60÷24=2.5小时,所以2.5小时后小轿车能追上中巴车。

练 习 一

(1) 一辆摩托车以每小时80千米的速度去追赶前面30千米处的卡车,卡车行驶的速度是每小时

65千米。摩托车多长时间能够追上?

(2) 兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发,沿同一方向跑步,弟弟在前,每分钟跑120

米;哥哥在后,每分钟跑140米。几分钟后哥哥追上弟弟?

(3)甲骑自行车从A地到B地,每小时行16千米。1小时后,乙也骑自行车从A地到B地,每小时行20千米,结果两人同时到达B地。A、B两地相距多少千米?

例2 一辆汽车从甲地开往乙地,要行360千米。开始按计划以每小时45千米的速度行驶,途中因汽车故障修车2小时。因为要按时到达乙地,修好车后必须每小时多行30千米。汽车是在离甲地多远处修车的?

分析 途中修车用了2小时,汽车就少行45×2=90千米;修车后,为了按时到达乙地,每小时必须多行30千米。90千米里面包含有3个30千米,也就是说,再行3小时就能把修车少行的90千米行完。因此,修车后再行(45+30)×3=225千米就能到达乙地,汽车是在离甲地360-225=135千米处修车的。

练 习 二

(1) 小王家离工厂3千米,他每天骑车以每分钟200米的速度上班,正好准时到工厂。有一天,他

出发几分钟后,因遇熟人停车2分钟,为了准时到厂,后面的路必须每分钟多行100米。小王是在离工厂多远处遇到熟人的?

(2) 一辆汽车从甲地开往乙地,若每小时行36千米,8小时能到达。这辆汽车以每小时36千米的

速度行驶一段时间后,因排队加油用去了15分钟。为了能在8小时内到达乙地,加油后每小时必须多行7.2千米。加油站离乙地多少千米?

(3)汽车以每小时30千米的速度从甲地出发,6小时后能到达乙地。汽车出发1小时后原路返回甲地取东西,然后立即从甲地出发。为了能在原来时间内到达乙地,汽车必须以每小时多少千米的速度驶向乙地?

例3 甲、乙两人以每分钟60米的速度同时、同地、同向步行出发。走15分钟后甲返回原地取东西,而乙继续前进。甲取东西用去5分钟的时间,然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙。甲骑车多少分钟才能追上乙?

分析 当甲取了东西改骑自行车出发时,乙已行15+15+5=35分钟,行了60×35=2100米。甲骑车每分钟比乙步行多行(360-60)米,用2100米除以(360-60)米就得到甲骑车追上乙的时间。

练 习 三

(1) 兄弟二人同时从家出发去学校,哥哥每分钟走80米,弟弟每分钟走60米。出发10分钟钟后,

哥哥返回家中取文具,然后立即骑车以每分钟310米的速度去追弟弟。哥哥骑车几分钟追上弟弟?

(2) 快车每小时行60千米,慢车每小时行40千米,两车同时从甲地开往乙地。出发0.5小时后,

快车因故停下修车1.5小时。修好车后,快车仍用原速前进,经过几小时才能追上慢车?

(3)甲、乙二人加工同样多的零件,甲每小时加工20个,乙每小时加工15个。一天,乙比甲早工作2小时,到下午二人同时完成了加工任务。他俩一共加工了多少个零件?

例4 甲骑车、乙跑步,二人同时从同一地点出发沿着长4千米的环形公路同方向进行晨练。出发后10分钟,甲便从乙身后追上了乙。已知二人的速度和是每分钟700米,求甲、乙二人的速度各是多少?

分析 出发10分钟后,甲从乙身后追上了乙,也就是10分钟内甲比乙多行了一圈。因此,甲每分钟比乙多行4000÷10=400米。知道了二人的速度差是每分钟400米,速度和是每分钟700米,就能算出甲骑车的速度是(700+400)÷2=550米,乙跑步的速度是700-550=150米。

练 习 四

(1) 爸爸和小明同时从同一地点出发,沿相同方向在环形跑道上跑步。爸爸每分钟跑150米,小明

每分钟跑120米,如果跑道全长900米,问:至少经营几分钟爸爸从小明身后追上小明?

(2) 在300米长的环形跑道上,甲、乙二人同时同地同向跑步,甲每秒跑5米,乙每秒跑4.4米。

两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米?

(3)环湖一周共400米,甲、乙二人同时从同一地点同方向出发,甲过10分钟第一次从乙身后追上乙。若二人同时从同一地点反向而行,只要2分钟二人就相遇。求甲、乙的速度。

例5 甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米。甲在公路上A处,乙、丙在公路上B处,三人同时出发,甲与乙、丙相向而行。甲和乙相遇3分钟后,甲和丙又相遇了。求A、B之间的距离。

分析 甲和乙相遇后,再过3分钟甲又能和丙相遇,说明甲和乙相遇时,乙比丙多行(100+75)×3=525米。而乙每分钟比丙多行90-75=15米,多行525米需要用525÷15=35分钟。35分钟甲和乙相遇,说明A、B两地之间的距离是(100+90)×35=6650米。

练 习 五

(1)甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。甲、乙二人在B地,丙在A地与甲、乙二人同时相向而行,丙和乙相遇后,又过2分钟和甲相遇。求A、B两地的路程。

(2)甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。甲、乙二人从B地同时同向出发,丙从A地同时同向去追甲和乙。丙追上甲后又经过10分钟才追上乙。求A、B两地的路程。

(3)A、B两地相距1800米,甲、乙二人从A地出发,丙同时从B地出发与甲、乙二人相向而行。已知甲、乙、丙三人的速度分别是每分钟60米、80米和100米,当乙和丙相遇时,甲落后于乙多少米?

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