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2012四川决赛题及答案

发布时间:2014-03-09 19:21:25  

2012全国初中数学联赛四川赛区决赛试题及解答

2012全国初中数学联赛四川赛区决赛试题及解答

姓名:____ 班级:____

一 .选择题(每小题7分,共42分)

1 .若-3<x<-1,则化简2?|1?x|得( ). 考号:____ 成绩:____

A.1-x B.-3+x C.3-x D.3+x

2 .若抛物线y=x2-4x+m的顶点在x轴上,则m的值是( ).

A.0 B.1 C.2 D.4

73 .菱形ABCD的边长为1,面积为,则AC+BD的值是( ). 9

416832A. B. C. D. 3939

4 .在凸四边形ABCD中,AB=2AD,BC=1,∠ABC=∠BCD=60°,∠ADC=90°,则AB的长度是( ).

B

C

.2 D

.3 5 .一个活动小组,如果有5个13岁的成员退出,或者有5个17岁的人员加入(两种情况不同时发生),其成员的平均年龄都增加1岁,则这个活动小组原有成员的人数是( ).

A.10 B.12 C.14 D.16

6 .一个正整数,如果它顺着数和倒着数都是一样的,则称这个数为“回文数”.比如:1、11、121都是回文数,而110则不是回文数,将所有“回文数”从小到大排成一列:1、2、?、9、11、22、?,则第2012个“回文数”是( ).

A.1011101 B.1013101 C.1021201 D.1030301

二 .填空题(每小题7分,共28分)

7 .设x1、x2是方程x2-2x-m=0的两根,且2x1?x2=0,则m的值是_____.

8 .在△ABC中,∠ACB=45°,D是AB边上异于A、B两点的任意一点,△ABC、△ADC和△BDC的外接圆圆心分别为O、O1、O2,则∠O1OO2的度数等于____. A

?a?b?14,9 .已知a,b为正实数,m为正整数,且满足?则m的值是_____. ab?48?m,?

10 .在一次球类比赛中有8个队参赛,每两队要进行一场比赛,胜一场得2分,平一场得1分,负一场得0分.一个队要确保进入前四名(即积分至少要超过其他四个队),则他的积分最少是______.

三 .简答题(第11题20分,其余两题均为25分)

11 .已知抛物线y?x2与直线y?(k?2)x?(2k?1).

(1)求证:无论k为什么实数,该抛物线与直线恒有两个不同的交点;

(2)设该抛物线与直线的两个不同的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),若x1,x2均为整数,求实数k的值.

12 .如图,已知⊙A与⊙B相交于C、D两点,延长AC交⊙B于E,延长

BC交⊙A于F. 求证:C是△DEF的内心.

13 .将10,11,12,?,98,99这90个正整数写在黑板上,擦去其中的n个数,可使黑板上剩下的所有

数的乘积的个位数是1,求n的最小值.

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2012全国初中数学联赛四川赛区决赛试题及解答

2012全国初中数学联赛四川赛区决赛试题及解答

姓名:____ 班级:____ 考号:____

一 .选择题(每小题7分,共42分)

1 .若-3<x<-1,则化简2?|1?x|得( D ). 成绩:____

A.1-x B.-3+x C.3-x D.3+x

2 .若抛物线y=x2-4x+m的顶点在x轴上,则m的值是( D ).

A.0 B.1 C.2 D.4

73 .菱形ABCD的边长为1,面积为,则AC+BD的值是( C ). 9

416832A. B. C. D. 3939

4 .在凸四边形ABCD中,AB=2AD,BC=1,∠ABC=∠BCD=60°,∠ADC=90°,则AB的长度是( B ).

B

C

.2 D

.3 5 .一个活动小组,如果有5个13岁的成员退出,或者有5个17岁的人员加入(两种情况不同时发生),其成员的平均年龄都增加1岁,则这个活动小组原有成员的人数是( A ).

A.10 B.12 C.14 D.16

6 .一个正整数,如果它顺着数和倒着数都是一样的,则称这个数为“回文数”.比如:1、11、121都是回文数,而110则不是回文数,将所有“回文数”从小到大排成一列:1、2、?、9、11、22、?,则第2012个“回文数”是( B ).

A.1011101 B.1013101 C.1021201 D.1030301

二 .填空题(每小题7分,共28分)

7 .设x1、x2是方程x2-2x-m=0的两根,且2x1?x2=0,则m的值是__8___.

8 .在△ABC中,∠ACB=45°,D是AB边上异于A、B两点的任意一点,△ABC、△ADC和△BDC的外接圆圆心分别为O、O1、O2,则∠O1OO2的度数等于__135°__. A

?a?b?14,9 .已知a,b为正实数,m为正整数,且满足?则m的值是__1___. ab?48?m,?

10 .在一次球类比赛中有8个队参赛,每两队要进行一场比赛,胜一场得2分,平一场得1分,负一场得0分.一个队要确保进入前四名(即积分至少要超过其他四个队),则他的积分最少是__11分____.

三 .简答题(第11题20分,其余两题均为25分)

11 .已知抛物线y?x2与直线y?(k?2)x?(2k?1).

(1)求证:无论k为什么实数,该抛物线与直线恒有两个不同的交点;

(2)设该抛物线与直线的两个不同的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),若x1,x2均为整数,求实数k的值.

?y?x2,解:(1)由题意,有:? y?(k?2)x?(2k?1),?

2x-(k+2)x+(2k-1)=0,

△=(k+2)2-4(2k-1)=k2+4k+4-8k+4=(k-2)2+4≥4>0,

所以恒有两个不同的交点.

?x1?x2?k?2, ①(2)由根与系数关系,得? xx?2k?1, ②?12

②-①×2,得x1x2?2(x1?x2)??5,所以x1x2?2(x1?x2)?4??1,

?x1?2?1,?x1?2??1,或?(与前者同), (x1?2)(x2?2)??1,所以?x?2??1,x?2?1,?2?2

?x1?3,解之得?代入①,得k=2. x?1,?2

12 .如图,已知⊙A与⊙B相交于C、D两点,延长AC交⊙B于E,延长BC交⊙A于F.

求证:C是△DEF的内心.

证明:

13 .将10,11,12,?,98,99这90个正整数写在黑板上,擦去其中的n个数,可使黑板上剩下的所有数的乘积的个位数是1,求n的最小值.

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