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2007年四川省初中数学联赛决赛初二

发布时间:2014-03-09 19:21:35  

44中等数学

2007年四川省初中数学联赛决赛(初二)

  一、选择题(每小题7分,共42分)

1.某商品原价为a元,春节促销,降价20%.如果节后恢复到原价,则应将现售价提

).高(  

(A)15%(B)20%(C)25%(D)30%2.已知实数a、b、c满足a+b+c≠0,并且

b+c

6.如图2,在正五边形ABCDE中,对角

线分别相交于点A1、B1、C1、D1、E1.将所有全等的三角形视为一类,称为一个“全等类”

(如△ABC、△BCD与△CDE等都属于同一个全等类).则图2中不同全等类的个数为(  ).

(B)4(C)5)6

、()O为

AO(A)3

=

c+a

=

a+b

=k.则直线y=kx

).-3一定通过(  

(A)第一、二、三象限

(B)第一、二、四象限(C)第二()<x<的整数x的--).个数是(  

(A)4(B)5(C)6(D)7

4.a、b、c不全为0,满足a+b+c=0,33nnn

a+b+c=0,称使得a+b+c=0恒成立的正整数n为“好数”.则不超过2007的

).正整数中好数的个数为(  

(A)2 (B)1004 (C)2006 (D)2007

3

,交AC于点E,AOE、△AOB的面积分别为7、14、21.则

=.CD

图3图4

2.如图4,在凸四边形ABCD中,AB=1,

BC=2,CD=,∠ABC=120°,∠BCD=90°.

5.如图1,在△ABC中,CB>CA,∠BAC

=80°,D为AB上一点,

满足CB-

CA=BD,

I为△ABC三条角平分线的交点.则∠IDA=

则AD=.

3.使m+m+7为完全平方数的正整数

m的个数为.

2

(  ).

(A)30°

(B)40°(C)50°(D)60°

4.如图5,正实

数a1,a2,…,a8标在正方体相应的顶点处,满足每个顶点上的数都是相邻三顶点所标三数的平均值.

图1

图2

图5

? 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net

2008年第1期45

M=(a1+2a2+3a3+4a4)?

=+<118+115=313,912=2(214+212)<

-(5a5+6a6+7a7+8a8),

N=a1+a2+…+a8.

2

2

2

=.N

=2(+)<2(215+213)=916.

(20分)对任何实数x、三、y,都有

2

|x-2|+|x-4|≥m(-y+2y)成立.求实数m的最大值.

(25分)如图四、

故满足条件的整数x为4,5,6,7,8,9.4.B.

由a+b+c-3abc

222

=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)=0,

333

6,已知在凸四边形

ABCD中,E为△ACD

知0=a+b+c=3abc.

从而,abc中至少有1个为0.

由条件知,abc,另外两.

图6

333

内一点,满足AC=AD=2AB=2AE,∠BAE+∠BCE=90°,∠BAC=∠EAD.

=0,c.,n为正+b0.所以

,21004个.

5.

B.

n

n

n

求证:

(1)∠CED=;

()22E2.

)x、y的方程组

x-y=p,

23xy+p(x-y)=p2

如图7,在CB上取点A1,使得CA1=

CA.联结

IA1、IA、

A1D、CI、BI.则

BD=BA1.

图7

有整数解(x,y).求满足条件的质数p.

参考答案

一、1.C.设应提价x%.

根据题意,列方程为

a(1-20%)(1+x%)=a.解得x=25.2.D.

易证△ACI△A1BI

△A1CI,△DBI.

∠DAC=40°.2

故AI=A1I=DI.所以,∠IDA=∠IAD=6.C.

图2中没有三个顶点都是A1、B1、C1、

D1、E1中的点的三角形.

由比例的性质知

k=

=.

b+c+c+a+a+b2

(1)顶点全取于A、B、C、D、E的全等类

则直线为y=x-3.

2

有2个:△ABC全等类和△ABD全等类;

(2)两个顶点取于A、B、C、D、E,一个顶

点取于A1、B1、C1、D1、E1的全等类有3个:△ABA1全等类、△ABB1全等类和△ACD1全等类;

(3)一个顶点取于A、B、C、D、E,两个顶

所以,该直线通过第一、三、四象限.3.C.

311=117+114<

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46中等数学

点取于A1、B1、C1、D1、E1的全等类有1个:△BA

1B1全等类;

但△ABC与△ACD1是同一个全等类.所以,不同的全等类共有5个.二、1.

.8

于是,当m>6时,m+m+7都不是完全平方数.

所以,符合条件的正整数m仅有2个.4..2

2

不妨设图5所标数中a1最大,则

a1≥a2,a1≥a4,a1≥a5.

a+a+a如图8,联结CO,设△OCD、△OCE的面积分别为x、y.由条件知

=,217=.

2114

由a1=

3

3

,知

x=8,

y=10.

a2+a4+a5

≤a1.

当且仅当a1=a2,a1=a4,a1=a5,即

a1=a2=a4=a5,所以,

=.CD8

立,a2a1=a,4=1=a3=

a4=7,a1=a2=…=a8.

故M=260a1,N=8a1.

三、由绝对值的几何意义知,|x-2|+

图8

图9

22

|x-4|在x∈[2,4]时有最小值2.

22

而-y+2y=-(y-1)+1在y=1时

2.如图9,取BC的中点E,联结ED、EA.过B作BF⊥EA于F.

由勾股定理知DE=2,故∠CED=60°.由BA=BE,知∠BEA=30°.所以,∠AED=90°.又EA=2EF=2定理知AD=

3.2.

2

有最大值1.

由条件知2≥m×1,则m≤2.所以,m的最大值为2.

(1)如图6.四、

因为BA

=EA,∠BAC=∠EAD,CA=

DA,所以,

-=,则由勾股4

2

△BAC△EAD

AE+ED=2

]∠AED=∠ABC,ED=BC.又∠AED+∠DEC+∠CEA=360°,  ∠ABC+∠BCE+∠CEA+∠EAB=360°,故 ∠CED=∠BAE+∠BCE=90°.(2)由勾股定理知

CD=CE+ED=CE+BC.

2

2

2

2

2

经验证知,当m=1时,m+m+7=9是完全平方数;

当m=2,3,4,5时,m+m+7都不是完全平方数;

当m=6时,m+m+7=49是完全平方数.

222

当m>6时,m<m+m+7<(m+1),

2

2

因为∠EAD=∠BAC,所以,∠CAD=∠BA

E.又AB=AE,AC=AD,则

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2008年第1期47

数学奥林匹克问题

本期问题

初217 如图1,⊙O的半径等于R,△ABC的顶点B、C都在⊙O上,点A在⊙O外,AC、AB分别交⊙O于点E、F,BE交CF于点P,在射线OP上取一点Q,使得OP?OQ

2

=R.求证:A、B、C、Q四点共圆.

(, 在一周长为16、夹角为60°的菱形花坛里种植10株花.

求证:至少有两株间

的距离不大于(王炎东 安徽省岳西县天堂中心学校,246600)

  高217 设xi>1,i=1,2,…

,n,n∈N,

n≥3.求证:

ni=1

(x

xi

i+1

n

2n-2,

-1)4(n-2)

n+1

规定xn+1=x1.

(杨先义 湖北省公安县一中学,

434300)

218,、

E、F分别是BC、CA、AB的中点.求证:直

线AD、BE、CF三线

图2

共点的充要条件是BC、CA、AB中至少有两段弧相等.

(沈 毅 重庆市合川太和中学,401555)

  △BA

E

从而,

△CAD.

将其代入3xy+p(x-y)=p中,得2

(p-1)+p=p2,4

2

==2,即CD=2BE.BEAB

2

2

2

2

故BC+CE=CD=4BE.

22

五、由p=x-y=(x-y)(x+y)及p为质数知

x+y=p,x+y=-p,

或x-y=1x-y=-1x+y=1,x+y=-1,或或x-y=px-=-p.

x=,

x+y=p,2

(1)时x-y=1y=.

2

即 p-4p+

3=0.

解得p=3或p=1(舍).

(2)当

x+y=-1,x-y=-p

x+y=-p,x-y=-1

x+y=1,x-y=p

2

或或

时,经计算可知没有符合条件

的质数p.

所以,符合条件的质数p=3.

(许清华 提供)

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