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广州华杯赛(名校名班)每日一题-图老师

发布时间:2014-03-10 18:57:29  

2013年-广州-华杯赛(名校名班)-每日一题-图老师张新刚

目录

第1期-计数问题 ..................................................................................................................... 1

第2期-应用题专题 ................................................................................................................. 4

第3期-组合模块:抽屉原理 ................................................................................................. 7

第4期-行程专题:相遇与追及............................................................................................ 10

第5期-几何模块:三角形中的比例 .................................................................................... 13

第6期-计算模块:分数计算 ............................................................................................... 17

第7期-数论模块:数的整除 ............................................................................................... 20

第1期-计数问题

【试题一】. 爬楼时间

好未来学校有一项运动——爬楼上班,公司正好在18楼办公. 一天该公司的晓明老师爬楼上班,她从一楼爬到六楼用了90秒,由于爬楼很累每爬一层都要比上一层多用2秒时间,那么她到18楼共需要多少分钟?

【答案】510秒, 或者8.5(分钟)

【知识点】

等差数列,和=中间项×项数

植树问题,楼梯个数=楼层数-1

【解析】

爬到六楼:有5个楼梯

中间楼梯用时间:90÷5=18(秒).

爬第一层用时间:18-2×2=14(秒);

到18楼共爬楼:18-1=17(层);

构成了17个数的等差数列.

其中: a1?14,a17?14?2?(17?1)?46

总共: (14+46)×17÷2=510秒, 或者8.5(分钟)

【试题二】. 继续爬楼梯

接昨天的运动——爬楼上班,晓明老师数了一下楼梯,每层有11级台阶. 她想每一步走一级或二级. 那么爬上一层楼共有多少种走法呢?

【答案】144

【知识点】

归纳递推,斐波那契数列

【解析】

找规律:

2013年-广州-华杯赛(名校名班)-每日一题-图老师张新刚 如果用n表示台阶的级数,an表示某人走到第n级台阶时,

当n=1时,显然只要1种走法,即a1=1

当n=2时,可以一步一级走,也可以一步走二级上楼,

因此,共有2种不同的走法,即a2=2

当n=3时,1+1+1=1+2=2+1,所以,有a3=a1+a2=1+2=3(种)

当n=4时,1+1+1+1=1+2+1=2+1+1=1+1+2=2+2,有a4=5(种) 当n=5时,枚举得,a5=8(种)

观察方法的数列:

1、2、3、5、8…… 斐波那契数列

所以,a11=144

提问:还有什么方法,更快的解答呢?

【试题三】. 数数重量 (华杯赛周周练-第31期-第1题)

用1克、2克、3克、8克、16克、32克的砝码各一个(砝码只允许放在天平一边的托盘上),不能称出的不超过60克的整数克数为____________.

【答案】7种,分别为:7、

15、23、31、39、47、55.

【知识点】

枚举计数,反面思想

【解析】

如果3改为4,就可以称出,1到63克的所有重量,但是现在没有4,而是3,所以称不出来的重量是:

7、15、23、31、39、47、55.

【试题四】. 简单图形计数

在一个圆周上有10个点,以这些点为端点或顶点,可以画出多少条直线?多少个三角形?多少个四边形?

【答案】45;120;210

【知识点】

组合计数

【解析】

234直线,C10?45;三角形,C10?120;四边形,C10?210

【试题五】. 继续数四边形

长方形ACEG的边界上共有七个点A,B,C,D,E,F,G,其中B,D,F分别在边AC、CE、EG上,以这7个点的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?

2013年-广州-华杯赛(名校名班)-每日一题-图老师张新刚

【答案】23

【知识点】

组合计数; 排除法

【解析】

4任取4个点构成四边形: C7

31三个点在同一条边,不能构成四边形: C3?C4?3

431四边形:C7?C3?C4?3?35?12?23(个)

【试题六】. 继续数数三角形

如下图,O为△ABC的边上的一点,分别连结D、B、E、F、G和K、J、I、H、P、C,这样图中共有_____个三角形.

【答案】37

【知识点】

几何计数,枚举计数

【解析】

以OC为公共边

OC和OA中共有5+4+3+2+1=15(个)三角形,

OC和OB中共有6+5+4+3+2+1=21(个)三角形,

整个图形:1个

这样,图中共有15+21+1=37(个)三角形.

【试题七】. 分苹果了

10个相同的苹果分给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少分得一个苹果,则有________种不同的分法.

【答案】84

【知识点】

排列组合,隔板法

【解析】

我们将10个苹果放成一排,然后用3个隔板插到这10个苹果之间,然后将第一个隔板

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前面的苹果给甲,第一个和第二个隔板之间的苹果给乙,第二个和第三个隔板之间的苹果给丙,第三个隔板后面的苹果给丁.

而10个苹果之间有9个空档可以放隔板,所以这个问题就变成从把3个隔板放到9个地方,有多少种不同的排列方法. 所以答案为C9=

(第1期结束)

39?8?7=84 3?2?1

第2期-应用题专题 【试题一】. 猜猜有几人?

某班学生人数不超过45人,元旦上午全班学生的2/9去参加歌咏比赛,全班学生的1/4去打乒乓球,而其余的人都去看电影,则看电影的学生有________人.

【答案】19

【知识点】分数应用题

【解析】 由于全班学生的2/9去参加歌咏比赛,所以学生总数是9的倍数.同样道理,学生总数也是4的倍数.而4和9的最小公倍数是36且学生总数不超过45,因此该班学生人数就是36. 那么看电影的人数是

【试题二】. 移来移去怎么数?

甲仓存粮128吨,乙仓存粮52吨,甲仓每天运出12吨,乙仓每天运进7吨. 那么多少天以后两仓的存粮就同样多了?

【答案】4天

【知识点】和差倍问题

【解析】

图老师口诀:“一进一出用加法”

①甲、乙两仓存粮相差多少吨?

128-52=76(吨)

②每天运进19吨,76吨需要运多少天?

76÷19=4(天)

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这两天,真心简单吧~

【试题三】. 精打细算

某花店在母亲节感恩大特卖活动中,康乃馨1.5元/支,玫瑰花2元/支,包装成整束加工费2元. 莉莉手里有21元钱,想买10支花,包装成整束后送给妈妈,应该如何搭配?

【答案】2支康乃馨,8只玫瑰.

【知识点】列方程解应用题

【解析】

当然,同学们这道题目也可以用鸡兔同笼的方法来解,你会吗?

【试题四】. 动物园里的食物分配

动物园有老虎和狮子,老虎的数量是狮子的2倍. 每只老虎每天吃肉4.5千克,每只狮子每天吃肉3.5千克,那么该动物园的虎、狮一起,一只平均每天吃肉( ) 【答案】25千克 6

【知识点】列方程解应用题

【解析】

当然,这道题目还有更好的办法,就是我们高年级学的设数法了

设狮子有1只,那么老虎就是2只 平均数=3.5+4.5?212.525== 1+236

是不是这个方法快多了~

【试题五】. 买张电影票

小木、小林、小森三人去看电影. 如果用小木带的钱去买三张电影票,还差55元;如果用小林带的钱去买3张电影票,还差69元;如果用三个人带去的钱去买三张电影票,就多

30

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元. 已知小森带了37元,那么买一张电影票要用多少元?

【答案】39元

【知识点】列方程解应用题

【解析】

设电影票a元,小木带了x元,小林带了y元

(1)?x?55?3a?(2)?y?69?3a

?x?y?37?30?3a?

整理,(1)+(2) (3)

?x?y?124?6a??x?y?7?3a(4) (5)

算式(4)-(5)得,

a?39

所以,一张电影票39元.

【试题六】. 兑换礼品

在新年联欢会的智力问答游戏中,小华赢得了13张红色卡片和23张蓝色卡片.兑奖时,可以用1张红色卡片和2张蓝色卡片换一只铅笔,也可以用2张红色卡片和3张蓝色卡片换一个笔记本.结果小华恰好把这些卡片都用光了来兑换奖品.那么他一共得到了几只铅笔?

【答案】7

【知识点】比例方程

【解析】

设一共得到了a只铅笔,

则,现在还剩下红卡:13-a张,现在还剩下蓝卡:23-2a张

因为可以刚好换完笔记本,所以,红卡:蓝卡=2:3

13?a2? 23?2a3

利用交叉相乘,乘积相等

(13?a)?3?(23?2a)?2

解得,a?7

所以,铅笔有7只.

【试题七】. 最后一天,比比绳子长短

有两根同样长的绳子,第一根平均剪成5段,第二根平均剪成7段,第一根剪成的每段比第二根剪成的每段长2米. 问原来每根绳子长多少米?

【答案】

【知识点】比率应用题

【解析】

设绳子的总长度为单位“1”

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112米??? 57

11所以,2?(?)?35 57

同学们,这周我们是分数应用题,和列方程解应用题,希望你能总结总结,分数和方程的技巧. 下周我们继续每日一题吧~

(本周结束)

第3期-组合模块:抽屉原理

本周要点: 抽屉原理

1. 抽屉原理一:10个苹果放到9个抽屉里,一定有一个抽屉里至少有两个苹果. 要点1:苹果比抽屉多;

要点2:寻找苹果、抽屉;

2. 抽屉原理二:100个苹果放到9个抽屉里,一定有一个抽屉里至少有_____个苹果. 100÷9=11…… 1

一定有一个抽屉里至少有11+1=12(个)苹果.

3. 最不利原则:在最倒霉的情况下都能保证发生.

要点1:从最坏情况、最极端情况出发考虑

图老师补充:抽屉原则本身也可以从这个思想出发来理解,其结论就是从所有抽屉尽量平均放这个极端的情况出发而得到的.

【试题一】. 猜猜考试答案

17个同学参加一次考试,考试为3道判断题(答案只有对或错). 每位同学都在答题纸上依次写上了3个题目的答案,那么至少有几个同学的答案是一样的?

【答案】3个

【知识点】抽屉原理

【解析】

每道题目都有2个选择,

答题纸上:2×2×2=8种不同的答案??看成是8个抽屉

17个同学……看成是苹果

17÷8=2?? 1

所以,至少有3个同学答案一样.

【试题二】. 选出理想数字

2013年-广州-华杯赛(名校名班)-每日一题-图老师张新刚

1到30的自然数,从中取出M个,发现取出的任意两个数的差都不是6,问M最大是多少?

【答案】18个

【解析】

(1,7,13,19,25)中相邻两个不能同时出现,于是只能最多选3个.

同理,

(2,8,14,20,26)中也仅能选3个??,

(3,9,15,21,27)中也仅能选3个??,

(4,10,16,22,28)中也仅能选3个??,

(5,11,17,23,29)中也仅能选3个??,

(6,12,18,24,30)中至多选3个,

于是共可以选18个.

注意:关于分组,题目中要求是差值不等于6,那就按差值=6进行分组.

【试题三】. 今天求求和

从1到31中至少找出多少个数才能保证其中必有两个数之和为12?

【答案】27

【解析】

如果取6,7,8,?,31这26个数,其中任何两个数之和都大于12;

按:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6),(12),(13),?,(31)进行分组,共有26组

共有26+1=27(个)

【试题四】. 经典取筷子

口袋中有三种颜色的筷子各 根,问:

1. 至少取多少根才能保证三种颜色都取到?

2. 至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子?

3. 至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子?

【答案】21;13;10

【知识点】最不利原理

【解析】

⑴最坏的情况就是两种颜色的筷子都取掉了,还没有取到第三种颜色的,这时只要再取一根就能凑足3种颜色,所以至少取20?1?21根筷子.

⑵最坏的情况是其中一种颜色的筷子都取到了,此外其它两种颜色的筷子各取了1根,这时只要再取一根,所以至少应该取10?2?1?13根筷子.

⑶最坏的情况是每种颜色的筷子都取了3根,这时只要再取一根就能保证有2双颜色不同的筷子.所以至少取3?3?1?10.

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【试题五】. 今天我们摸小球

一个布袋里有大小相同的颜色不同的一些球,其中红色的有10个,白色的有9个,黄色的有8个,蓝色的有3个,绿色的有1个. 那么一次最少取出多少个球,才能保证有4个颜色相同的球?

【答案】14

【知识点】最不利原理

【解析】

将绿色的1个取出,将蓝色的3个全取出,黄色、白色、红色各取出3个,这时若足够“倒 霉”,仍不能保证有4个颜色相同的球,但如果再多取出一个球,则一定可以保证有4个颜色相同的球. 所以,最少取出1?3?3?3?1?14个球,才能保证有4个颜色相同的球.

【试题六】.

如图,能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1,2,3这三个数,使得各行各列及对角线上8个数的和互不相同?并说明理由.

【答案】不能

【知识点】抽屉原理

【解析】

由1,2,3组成的和中最小为8?1?8,最大的为8?3?24,8~24中共有17种结果,而8行8列加上对角线共有18个和,根据抽屉原理,必有两和是相同的,所以此题不能满足要求.

【试题七】. 如何构造三角形

在边长为1的正方形内至少放进_____个点,才能保证必有3个点构成的三角形的面积不大于1/8.

【答案】9

【解析】

关键字,保证、必有

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把正方形等分成4个小正方形,只要在一个小正方形有3个点,就可以保证面积不大于1 8根据抽屉原则,9个点中至少有3个点在同一个小正方形内. 小正方形的面积是1,其中4任意3个点构成的三角形的面积都不大于

(本周结束) 111×=. 248

第4期-行程专题:相遇与追及

本周要点: 行程中的相遇与追及

基本公式:

1. 路程和÷速度和=相遇时间

2. 路程差÷速度差=追及时间

关键点:

1. 寻找路程和、路程差

2. 如何将两个人的行程转变为一个人的行程.

考点:行程图、比例.

【试题一】. 姐姐追妹妹

姐姐每分钟走100米,妹妹每分钟走80米. 两人吵架后同时同地背行了5分钟,姐姐想想应该爱护妹妹,就调转方向去追妹妹,问:追上妹妹时,姐姐一共行了多少米?

【答案】5000(米)

【解析】

开始时,相遇问题:

路程和,(100+80)×5=900(米)

追妹妹的时候:

路程差,900米

时间:900÷(100-80)=45(分钟)

姐姐总时间:5+45=50(分)

姐姐路程:100×50=5000(米)

图老师说,吵了5分钟,追了45分钟. 吵架很辛苦了~

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【试题二】. 小明和小红

小明和小红同时从学校出发步行道少年宫. 小明每分钟比小红多走20米,30分钟后小明到达少年宫并立即返回学校,在距少年宫350米处遇到小红. 小红每分钟走多少米?

【答案】50(米/分钟)

【解析】

相遇时,

小明多走了,350×2=700(米)

需要时间:700÷20=35(分钟)

小明速度:350÷(35-30)=70(米/分钟)

小红速度:70-20=50(米/分钟)

图老师说,有图有真相,孩子们画图吧~

【试题三】. 经典的中点相遇问题

甲、乙两地相距450千米,快慢两列火车同时从两地相向开出,3小时后两车在距中点12千米处相遇,快车的速度是______千米/小时.

【答案】79(千米/时)

【解析】

快比慢多行:12×2=24(千米)

每小时速度差:24÷3=8(千米)

速度和:450÷3=150(千米/时)

快车速度:(150+8)÷2=79(千米/时)

【试题四】. “况且、况且、况且……”火车开过来了~

火车通过一条长1140米的桥梁用了50秒,火车穿过1980米的隧道用了80

秒,求这列火

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车的速度和车长.

【答案】28(米/秒); 260(米)

【解析】

路程1:车长+1140米……50秒

路程2:车长+1980米……80秒

速度:(1980-1140)÷(80-50)=28(米/秒)

车长:28×50-1140=260(米)

【试题五】. 快车见慢车,车头到车尾.

快、慢两列火车相向而行,快车的车长是50米,慢车的车长是80米,快车的速度是慢车的2倍,如果坐在慢车的人见快车驶过窗口的时间是5秒,那么,坐在快车的人见慢车驶过窗口的时间是多少?

【答案】8(秒)

【解析】

速度:快车+慢车

路程:快车长,50米

所以,速度:50÷5=10(米/秒)

第2次路程:慢车长,80米

所以,时间:80÷10=8(秒)

图老师说: 慢车看快车,让慢车不动,这样就找到路程是快车长;快车看慢车,让快车不动,找到路程是慢车长.其实,火车过桥之所以难,是因为两辆车都在动,利用速度的叠加思想,让速度叠加到一辆车上,问题的难度就迅速下降了. ^_^

【试题六】. 哎呦,有点慢啊~

大刘开车回家,原计划速度为36千米/时. 走到一半时发现前一半路程速度只有27千米/时,那么在后一半路程大刘速度必须达到多少千米/时才能准时到家?如果大刘到全长的处发现前一段速度只开到了18千米/时,那么后面一段路程速度得达到多少千米/时?

【答案】54千米/时;72千米/时

【解析】(设数法)

设全程为[27,36]?108(千米)

第一次, 54?(

第二次, 72?(1310854?)?54(千米/小时) 362710836?)?72(千米/小时) 3618

说明:36千米/时可以看成是整体的平均速度,而在路程相等或者成比例的情况下,平均速度与路程大小无关,所以我们用设数法,将路程设成速度的最小公倍数.

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【试题七】. 最后一天,换个思维.

AB两地相距90千米,甲乙分别从AB出发相向而行,在离A点40千米的地方相遇. 如果甲在出发半小时后增速到原来的1.5倍,他们在AB的中点相遇,那么原来甲的速度为多少千米/时?

【答案】40千米/时

【解析】

根据离A点40千米处第一次相遇,得甲速:乙速=4:5

第二次,中点相遇:说明最终的平均速度相同.

甲乙以4:5的速度走了半小时,又以6:5的速度走了一段时间的平均速度一样,所以后来也是走了半小时.

也就是总共是1小时. 从而乙速为45千米/时,甲速为40千米/时.

图老师写在最后,行程问题三大方法:比例、方程、行程图. 这三个方法都是非常重要的,都必须掌握好,做到灵活运用. 当然,基本公式的熟练是做题的前提条件.

(本周结束)

第5期-几何模块:三角形中的比例

本周要点:比例模型

1. 二合一模型(也称“等高模型”) A

BD

C

?ABDBD? ?ADCDC

2. 鸟头模型(也称“共角模型”)

有角共线的两个三角形,面积之比等于相应边长乘积之比.

BC

C ①号 ②号 ③号

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S?ADEAD?AE?SAB?AC 以上三个鸟头都满足: ?ABC

本周主要练习这两个基本模型.

【试题一】. (★★)基本的比例模型

已知四边形ABCD中,CD=3DF,AE=3ED,三角形BFC的面积为6,四边形BEDF的面积为7,求大四边形ABCD的面积.

【答案】25

【解析】

连接BD,则

S?BDFDF1???,S?CBF?6?S?BDF?3?S?CBFCF2??S?BDE?4

?SBEDF?7?

S?BDEDE1???S?ABE?3S?BDE?12 S?ABEAE3

?SABCD?6?7?12?25

【知识点】二合一模型

【试题二】. (★★☆)试试寻找二合一模型

如图,△ABC的面积是24,D、E和F分别是BC、AC和AD的中点.

求:△DEF的面积.

A

F

BEC

【答案】3

【解析】

△ADC的面积是△ABC面积的一半,24?2?12,

△ADE又是△ACD面积的一半,12?2?6,

△DEF的面积是△ADE面积的一半,所以△DEF的面积?6?2?3

【知识点】二合一模型

【试题三】. (★★☆)三角套三角,典型鸟头嘛

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如图, ?ABC中,AD:AB?2:3,AE:AC?4:5,求:?AED的面积是?ABC面积的几分之几?

C

【答案】25

【解析】

这是①号鸟头,直接使用鸟头模型:

?ADEAD?AE2?48??? ?ABCAB?AC3?515

所以,是?AED的面积是?ABC面积的8 15

【试题四】. (★★★☆)经典例题一道

把四边形ABCD的各边都延长2倍,得到一个新的四边形EFGH. 如果ABCD的面积是5平方厘米,则EFGH的面积是多少?

【答案】65

【解析】

多次运用鸟头模型进行求解.

连接AC,由②号鸟头得,

S?ABDAB?AD111?????S?AEHAE?AH236????S?AEH?S?CFG?6SABCD S?BCDBC?CD111?????S?CFGCF?CG236??

同理,连接BD,S?BEF?S?DGH?6SABCD,

?SEFGH?(6?6?1)SABCD?13?5?65cm2

【试题五】. (★★★★)仔细观察,与昨天的题目真的一样吗?

如图将四边形ABCD四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H,若四边形ABCD

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的面积为5cm,则四边形EFGH的面积是多少?

2

【答案】25

【解析】

本题与昨天的题目非常相似,

如右图,连接AC,由则③号鸟头得, E

S?BEH2?24S?DFG2?24??,????S?BEH?S?DFG?4SABCD S?ABC1?11S?ACD1?11而,当连接BD时,则由③号鸟头得,

SS?AEF3333???9,?CHG???9?S?AEF?S?CHG?9SABCD S?ABD11S?BCD11

SEFGH?S?AEF?S?CHG?S?BEH?S?DEG?SABCD?(9?4?1)SABCD?60cm2

【知识点】鸟头,容斥. 注意上下两个鸟头是重叠了一个四边形.

【试题六】. (★★★)几何之美在于对称

如图,线段AB与BC垂直,已知AD=EC=4,DB=BE=6,那么图中阴影部分面积是多少?

C

【答案】15

【解析】

连接BF,则,由对称性可知, S?ADF?S?CEF,S?BDF?S?BEF

S?ADFAD42S?ADF221???,???? S?BDFBD63S?ABE2?3?384

11115S?ADF?S?ABE???6?10?4422.

S阴影?2S?ADF?15C

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【知识点】二合一模型的应用

【试题七】. (★★☆)面积比→线段比→面积比.

如图,四边形ABCD的面积为52,已知?ADE的面积为6,?CDE的面积为7,求?ABE和?BCE的面积各为多少?

【答案】21

【解析】

AES?ADE6??ECS?CDE7

S?ABEAE6 ??S?CBEEC7

SABCD?52?S?ABE?18,S?CBE?21

【知识点】

二合一模型.

图老师写在最后,五年级有几个基础知识,是必须要求掌握熟练的:分数的四则计算,比例及比例的常见应用(行程和几何),列方程解应用题等.应该准备专门的时间对其进行攻克.

(本周结束)

第6期-计算模块:分数计算

【本周要点】

1. 分数的四则计算:

1) 加减法:通分,分母通分,爱带分数

2) 乘除法:约分,因数约分,讨厌带分数

百分数、繁分数:

1) 百分数,就是分母为100

2) 繁分数,用除法形式计算.

技巧:

1) 凑整,提公因数.

2) 约分,整体约分 (分块计算) 2. 3.

【试题一】. (★★)基本的分数计算 1224计算:[2?(5.4?2)?1]?3.

3339

2013年-广州-华杯赛(名校名班)-每日一题-图老师张新刚

【答案】2

【解析】 ?1415?9原式??2???? ?3153?31

629?? 931

?2

【试题二】. (★★☆)小心约分的陷阱 11164计算:8.4??3?0.9?? 432515

【答案】2.7

【解析】

乘除法计算时,要先将带分数转换成假分数. 8411091615原式?????? 104310254

2112??3?105

?2.1?3?2.4

?2.7

【试题三】. (★★★)基本功训练 ??2?2?计算:18.09???1.5?2??3.75??. 3?3???

【答案】8.04

【解析】

18.09可以不化成分数,直接约分. ??38?152?原式?18.09???????? ??23?43?

?2542??18.09??????6153??102??18.09???? ?93?

4?18.09?9

?8.04

【试题四】. (★★★)面目狰狞下的善良 131435计算:41??52??63?. 342556

【答案】126

【解析】

大胆的进行分数的转化,坚信着可以产生约分. 124310543185原式?????? 342556

?31?42?53

?126

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【试题五】. (★★☆)真题试一试

(三帆中学小升初试题) 2411计算:11??(2?8?2.5). 3593

12【答案】 7

【解析】 354?11?原式????2?8?2.5? 35?93?28?19252??????? 3?935?289?? 349

12? 7

【试题六】. (★★★☆)你看到的都是假象 11??11??11??1111?11?????计算:?1??3???3??5???5??7???7??9???9??11???11??13?. 36??36??36??3636?36?????

1【答案】21 3

【解析】

11原式??1?3?5?7?9?11????3?5?7?9?11?13? 36

11441?36??48?36??21 3633

【试题七】. (★★★☆)繁分数计算

计算:1?.1

1?

1?1987=_____. 1987 3973

【解析】 119861987原式?1?. ?1??397339731?1986

注意,⑴ 明确可以分块计算;⑵ 知道怎么表示倒数.

【答案】

图老师写在最后,计算在我们小学基本上分为三块:整数计算、分数计算、公式类计算。整数计算主要是指:凑整、提公因数。而分数计算则主要是指约分了. 当然,对于约分当中的

2013年-广州-华杯赛(名校名班)-每日一题-图老师张新刚

带分数要尤其注意,可以允许小数的出现,但绝不允许带分数的出现。而另外一个分数加减法中,带分数确实相当可爱了,因为它可以拆开,整数对整数,分数对分数.

好了,这周我们就先到这里了,下周再见~

(本周结束)

第7期-数论模块:数的整除

【本周要点】

1. 数的整除判断

1) 尾数系,末一位(2、5),末两位(4、25),末三位(8、125)

2) 和系,3、9. 更多的时候我们选择“弃三”“弃九”法.

3) 差系,7、11、13

4) 11的整除:奇数位的数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除

主要方法

1) 根据数字特征判断

2) 因数分析法

3) 试除法 2.

【试题一】. (★★)基本的整除判断

在□里填上适当的数字,使得七位数□7358□□能同时被9,25和8整除.

【解析】

同时25和8整除,最少满足25和4,所以,末两位00.

再根据被9整除,最高位为4,这个七位数:4735800

【试题二】. (★★)因数分析法 两个四位数A275和275B相乘,要使它们的乘积能被72整除,求A和B.

【解析】

72=8×9,而A275是奇数,所以275B必为8的倍数,因此可得B=2;四位数2752各位数字之和为2+7+5+2=16不是3的倍数也不是9的倍数,因此A275必须是9的倍数,其各位数字之和A+2+7+5=A+14能 被9整除,所以A=4.

【试题三】. (★★★★☆)因数分析及计数问题

请用1,2,5,7,8,9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数,使得它能被75整除,并求出这样的五位数有几个?

【解析】

因数分析:75=3×25,若被3整除,则各位数字和是3的倍数,1+2+5+7+8+9=32,所以应该去掉一个被3除余2的,因此要么去掉2要么去掉8.

⑴ 若去掉8

则末2位要么是25要么是75,前3位则任意排,有3×2×1=6种排法,

因此若去掉8则有2×6=12个满足要求的数.

⑵ 若去掉2

2013年-广州-华杯赛(名校名班)-每日一题-图老师张新刚

则末2位只能是75,前3位任意排,有6种排法,

所以有6个满足要求.

综上所述,满足要求的五位数有18个.

【试题四】. (★★★☆)11的整除判断 四位偶数64能被11整除,求出所有满足要求的四位数.

【解析】 令该数为6a4b,根据题意,能被11整除的数应为从末位开始,奇数位数字之和与偶数位数字之和的差应为11的倍数.所以a?b?10,并且为偶数,则共有4个满足条件的四位数分别为:6248,6446,6644,6842.

【试题五】. (★★)基本的整除判断

173□是个四位数.数学老师说:“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问:数学老师先后填入的3个数字的和是多少?

【解析】

被9整除,填7

被11整除,试除法,1739÷11=158…… 1,所以填8

被6整除,先满足2,再满足3,填4

数字和:7?8?4?19

【试题六】. (★★★★)今天有时间,好好算吧

在所有五位数中,各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些?

【解析】

从题设的条件分析,对所求五位数有两个要求:

①各数位上的数字之和等于43;

②能被11整除.

因为能被11整除的五位数很多,而各数位上的数字之和等于43的五位数较少,所以应选择①为突破口.有两种情况:

⑴五位数由一个7和四个9组成;

⑵五位数由两个8和三个9组成.

上面两种情况中的五位数能不能被11整除?9,8,7如何摆放呢?根据被11整除的数的特征,如果奇数位数字之和是27,偶数位数字之和是16,那么差是11,就能被11整除.满足这些要求的五位数是: 97999,99979, 98989.

【试题七】. (★★★★★)时间很宽裕,继续努力思考中~

一个六位数,它能被9和11整除.去掉这个六位数的首、尾两个数字,中间的四个数字是1997,那么这个六位数是多少?

【解析】 设这个六位数是,它能被9整除,所以a?1?9?9?7?b?a?b?26能被9整除,从而a?b?1或10.

但a?b?1时,只能a?1、b?0.而119970不能被11整除,

所以只有a?b?10……① 再考虑,能被11整除,所以(a?9?7)?(1?9?b)?0或11,

即得a?6?b或a?b?5,但a?b?5时,结合①,解得a、b不是整数,

因此只有b?a?6,结合①,解得a?2、b?8.

所以,这个六位数是219978.

2013年-广州-华杯赛(名校名班)-每日一题-图老师张新刚

图老师写在最后,数论应该是数学思想的精华了,搞不懂就是困惑百生,有点明白就会绚烂多彩,如果,能够融会贯通,那时数学的趣味也会喷涌而出,希望你能多多加油,也多多在数论上下下功夫~

(完)

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