haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

希望杯2010年第21届第1试试题及解答

发布时间:2014-03-12 16:04:53  

一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内.

1.下列图案都是由字母m组合而成的,其中不是中心对称图形的是( A. B. C.

D.

2.若a2≥a3≥0,则( A

3A.x≤2010

有意义,则x的取值范围是(

C.a≥1

D.0?a?1

B )

B.x≤2010,且x??2009 D.x≤2010,且x??2009

C.x≤2010且x?2009

b,c是等腰三角形三边的长,并且a?bc?b?ca?24,则这样的三角形有( 4.正整数a,

1

B.2个 C.3个 D.4个 A.1个

5.顺次连接一个凸四边形各边的中点,得到一个菱形,则这个四边形一定是(

A.任意的四边形

C.矩形

B.两条对角线等长的四边形 ) D.平行四边形

b,c,d是正实数,并且a?b?c?d?1,则 6

.设pa,

( )

B.p?5 C.p?4 D.p?5 A.p?5

b,c satisfy c?b?a and ac?0,then which one is not sure to be correct in 7.Given a,

the following inequalities?(

bcA.? aa) b2a2

C.? cc b?aB.?0 c D.a?c?0 ac

8.某公司的员工分别住在A、B、C三个小区,A区住员工30人,

B区住员工15人,C区住员工10人,三个小区在一条直线上,图1位置如图1所示,若公司的班车只设一个停靠点,为使所有员工

步行到停靠点的路程总和最短,那么停靠点的位置应在(

A.A区

C.C区

AD?AC???9.△ABC的内角A和B都是锐角,CD是高,若?,则△ABC是( DB?BC?

2 2) B.B区 D.A、B、C区以外的一个位置 )

A.直角三角形

B.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 C.等腰直角三角形

10.某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下,用了24秒;若他站在自动扶梯上不动,从楼上到楼下要用56秒.若扶梯停止运动,他从楼上走到楼下要用(

A.32秒

二、A组填空题(每小题4分,共40分.)

11.四个多项式:①?a2?b2;②?x2?y2;③49x2y2?z2;④16m4?25n2p2,其中不能用平方差公式分解的是_______________.(填写序号)

12.若a?

2x25113.分式方程2???0的解是x?______________. x?1x?1x?1111,则a与d的大小关系是a_______d.(填“?”、“=”或“?”) ,b?,c?1?b1?c1?d ) D.48秒 B.38秒 C.42秒

14.甲、乙两人从A点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步,过一段时间后,甲在跑道上离A点200米处,而乙在离A点不到100米处正向A点跑去,若甲、乙两人的速度比是4:3,则此时乙至少跑了____________米.

15?6x,则它的周长是_____________. 15.已知等腰三角形三边的长分别是4x?2,x?1,

16.若a??

3 2945,b??,则a3?6ab?b3?______________. 3737

59517.直线y?x?与x轴、y轴的交点分别为A、B,则线段AB上(包括端点A、B)横坐标和44

纵坐标都是整数的点有_____________个.

a2?3x?

?41??2?a?x的解是x??1,则a?_______________. 318.已知关于x的不等式

2,3这100个数时,关于x的分式方程19.当a分别取?2,?1,0,1,?

1a2(a?1)有解的概率是_______________. ??2x?12?xx?3x?2

20.十位数能被11整除,则三位数最大是______________.

三、B组填空题(每小题8分,共40分)

21.一个矩形的长与宽是两个不相等的整数,它的周长与面积的数值相等,那么这个矩形的长与宽分别是______________和______________.

22.用?x?表示不大于x的最大整数,如?41.??4,5???3.则方程6x?3?x??7?0的解是??2.

______________或______________.

23.As in figure 2,in a quadrilateral ABCD,we have its diagonal AC bisects ?DAB,and AB?21,AD?9,BC?DC?10,then the distance from point C to line AB is______________,and the length of AC is________________.

(英汉词典:quadrilateral 四边形:bisect平分)

4

10

D

9

A21

Fig 2C10BCAEB

24.如图3,Rt△ABC位于第一象限内,A点的坐标为(1,1),两条直角边AB、AC分别平行于

kx轴、y轴,AB?4,AC?3,若反比例函数y?(k?0)的图象与Rt△ABC有交点,则k的最大值x

是____________,最小值是______________.

?,An?1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点,考虑由连续的若干个顶点连成25.设A0,A1,

的凸多边形,如四边形A3A4A4A6、七边形An?2An?1A0A1A2A3A4等,如果所有这样的凸多边形的面积之

和是231,那么n的最大值是_________________,此时正n边形的面积是_____________.

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛

答案评分标准

第二 第1试

1.答案

(1)选择题

5

(2

)A组填空题

(3)B组填空题

2评分标准

(1)第1~10题:答对得4分;答错或不答,得0分 (2)第11~20题:答对得4分;答错或不答,得0分

(3)第21~25题:答对得8分;每空4分;答错或不答,得0分.

【试题解析】

1.下列图案都是由字母m组合而成的,其中不是中心对称图形的是( A. B. C.

D.

【解析】 B.

B中5个”m”分布在正五边形上,不是中心对称图形.

6

2.若a2≥a3≥0,则(

A

【解析】 B. )

C.a≥1 D.0?a?1 B

∵a2≥a3≥0,∴0≤a

1

3

A.x≤2010 有意义,则x的取值范围是( )

B.x≤2010,且x??2009 D.x≤2010,且x??2009 C.x≤2010且x?2009

【解析】 B.

??2010?x≥0,解得x≤2010,且x??2009. ?x?2009?0??

b,c是等腰三角形三边的长,并且a?bc?b?ca?24,则这样的三角形有( 4.正整数a,

B.2个 C.3个 D.4个 A.1个

【解析】 C.

a?bc?b?ca??a?b??c?1??24

∵a?b?c,a,b,c均为正整数,∴a?b≥c?1

又c?1≥2,∴c?1只能取2,3,4.

若c?1?2,即c?1,则a?b?12,于是a?b?6;

若c?1?3,即c?2,则a?b?8,于是a?b?4;

若c?1?4,即c?3,则a?b?6,于是a?b?3.

综上,这样的三角形有3个.

5.顺次连接一个凸四边形各边的中点,得到一个菱形,则这个四边形一定是(

7 )

A.任意的四边形

C.矩形 B.两条对角线等长的四边形 D.平行四边形

【解析】 B.

顺次连接一个凸四边形各边的中点得到的四边形,每组对边都等于对应对角线长的一半. 因此若得到的四边形为菱形,则这个四边形一定是两条对角线等长的四边形.

b,c,d是正实数,并且a?b?c?d?1,则 6

.设pa,

( )

B.p?5 C.p?4 D.p?5 A.p?5

【解析】

A.

a?1,于是p??a?1???b?1???c?1???d?1??5.

b,c satisfy c?b?a and ac?0,then which one is not sure to be correct in 7.Given a,

the following inequalities?(

bcA.? aa) b2a2

C.? cc b?aB.?0 c D.a?c?0 ac

【解析】 C.

∵a?c且ac?0,∴a?0,c?0

bcb?a?;∵b?a,c?0,∴?0; aac

a?c∵a?c,ac?0,∴?0;因此只有C不一定成立. ac∵b?c,a?0,∴

8.某公司的员工分别住在A、B、C三个小区,A区住员工30人,

B区住员工15人,C区住员工10人,三个小区在一条直线上,图1位置如图1所示,若公司的班车只设一个停靠点,为使所有员工

步行到停靠点的路程总和最短,那么停靠点的位置应在(

8 )

A.A区

C.C区 B.B区 D.A、B、C区以外的一个位置

【解析】 A.

以A区为原点,从A区往方向为正方向建立数轴,设停靠点的坐标为x,那么所有员工步行到停靠点的路程总和为30x?15x?100?10x?300,由绝对值函数的性质易知在x?0

处,该函数值最小.

AD?AC???9.△ABC的内角A和B都是锐角,CD是高,若?,则△ABC是( DB?BC?2)

A.直角三角形

B.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 C.等腰直角三角形

【解析】 D.

AD

ACcosAACADACsinB∵,∴,又由正弦定理, ????BCBDcosBBCsinABC2BD

BC

cosAsinB∴,于是sin2A?sin2B,∴A?B或A?B?90?. ?cosBsinA2

10.某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下,用了24秒;若他站在自动扶梯上不动,从楼上到楼下要用56秒.若扶梯停止运动,他从楼上走到楼下要用(

A.32秒 B.38秒 C.42秒 ) D.48秒

【解析】 C.

设若扶梯停止运动,他从楼上走到楼下要用x秒,则

二、A组填空题(每小题4分,共40分.) 111. ??,解得x?42(秒)2456x

11.四个多项式:①?a2?b2;②?x2?y2;③49x2y2?z2;④16m4?25n2p2,其中不能用平方差公式分解的是_______________.(填写序号)

9

【解析】 ②.

①?a2?b2??b?a??b?a?;③49x2y2?z2??7xy?z??7xy?z?;

④16m4?25n2p2??4m2?5np??4m2?5np?.

12.若a?111,则a与d的大小关系是a_______d.(填“?”、“=”或“?”) ,b?,c?1?b1?c1?d

【解析】 =.

a?

1?11

1?c?1?11

1?1?d?11d???d 1?d1?dd?1?d1?1?1?d?1d

2x25113.分式方程2???0的解是x?______________. x?1x?1x?1

【解析】 ?2.

2x251???0 2x?1x?1x?1

2x2?5?x?1???x?1??0

2x2?6x?4?0

x2?3x?2?0

x??1(舍去)或x??2

14.甲、乙两人从A点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步,过一段时间后,甲在跑道上离A点200米处,而乙在离A点不到100米处正向A点跑去,若甲、乙两人的速度比是4:3,则此时乙至少跑了____________米.

750. 【解析】

假设甲的速度是4m,乙的速度是3m,题中所述情况是在开始跑步后t时刻且此时甲、乙已经跑了k1、k2个整圈,则4m?t?400?k1?200,3m?t?400?k2?x(其中300?x?400) 于是400k1?200400k2?x3,即x??400k1?200??400k2?300k1?400k2?150 ?434

∵300?x?400,∴3?6k1?8k2?5,因此6k1?8k2?4.

于是当k1?2,k2?1时,k2最小,此时乙跑了400?350?750(米).

10

15?6x,则它的周长是_____________. 15.已知等腰三角形三边的长分别是4x?2,x?1,

12.3. 【解析】

4x?2?x?1时,x?1,此时三角形的三边长分别为2,2,9,矛盾; 4x?2?15?6x时,x?17242724,此时三角形的三边长分别为,周长为,,510510

14?x?123?12.3; 10

x?1?15?6x时,x?2,此时三角形的三边长分别为6,3,3,矛盾.

16.若a??2945,b??,则a3?6ab?b3?______________. 3737

?8. 【解析】

∵a?b??2945???2,∴b??2?a 3737

3于是a3?6ab?b3?a3?6a??2?a????2?a?

?a3?12a?6a2??a?2? 3

?a3?6a2?12a??a3?6a2?12a?8? ??8

59517.直线y?x?与x轴、y轴的交点分别为A、B,则线段AB上(包括端点A、B)横坐标和44

纵坐标都是整数的点有_____________个.

5. 【解析】

595y?x?即5x?4y?95,于是y必然整除5; 44

另一方面A?19,0?、B?0,???95?95,∴-≤y≤0, ?4?4

于是y的可能取值为?20,?15,?10,?5,0对应的点均在线段AB上.

a2?3x?

?41??2?a?x的解是x??1,则a?_______________. 318.已知关于x的不等式

11

0. 【解析】 原不等式?31?1?2?a1?21??32?a?2x??a2???x???x???a????4a?1?x?3a?1 44?3?33?4?3??4

?3a2?1??14?∴?4a?1,解得a??(舍去)或a?0. 3?4a?1?0?

2,3这100个数时,关于x的分式方程19.当a分别取?2,?1,0,1,?

1a2(a?1)有解的概率是_______________. ??2x?12?xx?3x?2

49【解析】. 50

??x?2??a?x?1?2?a?1?112(a?1)??a?1?x?3a?4?? ???2?2x2?3x?2x2?3x?2x?12?xx?3x?2??x?3x?2?0

∴当?a?1??1?3a?4和?a?1??2?3a?4以及?a?1?x?3a?4无解时原方程无解,

即a??2和a??1时原方程无解.

因此方程有解的概率为

49. 50

20.十位数能被11整除,则三位数最大是______________.

990. 【解析】

?2?1?8?8?b???0?0?8?a?c??11k,∴b?a?c能整除11

∴而≤,此时b?9?c能整除11,∴三位数最大是990.

(注:能被11整数的自然数的特点是:奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的整数倍)

三、B组填空题(每小题8分,共40分)

21.一个矩形的长与宽是两个不相等的整数,它的周长与面积的数值相等,那么这个矩形的长与宽分别是______________和______________.

6,3. 【解析】

12

xy2x?y?xyx?2y?2?4因为x?y,∴x?2?4,y?2?1,于是长和宽分别为2和1.

22.用?x?表示不大于x的最大整数,如?41.??4,5???3.则方程6x?3?x??7?0的解是??2.

______________或______________.

【解析】 x??198;x??. 63

107?x≤-. 33

198因此?13?6x?7≤?7,∴6x?7的可能取值为?12和?9,解得x??和x??. 63∵6x?7?3?x?,而x?1??x?≤x,∴3?x?1??6x?7≤3x,解得-

经验证,这两个解均为原方程的解.

23.As in figure 2,in a quadrilateral ABCD,we have its diagonal AC bisects ?DAB,and AB?21,AD?9,BC?DC?10,then the distance from point C to line AB is______________,and the length of AC is________________. (英汉词典:quadrilateral 四边形:bisect平分)

10

D

9

A21

Fig 2C10BCAEB

8;17. 【解析】

如图,过D作AC的垂线,交AB于E,连结CE,则AD?AE,CD?CE 于是△CEB中,CE?CD?10?BC,BE?AB?AE?12,

因此容易算得等腰三角形△CEB底边上的高为8.

1??∴AC?8??9??12??64?225?289,AC?17. 2??222

24.如图3,Rt△ABC位于第一象限内,A点的坐标为(1,1),两条直角边AB、AC分别平行于

kx轴、y轴,AB?4,AC?3,若反比例函数y?(k?0)的图象与Rt△ABC有交点,则k的最大值x

13

是____________,最小值是______________.

361【解析】;1. 48

当反比例函数的图象过A点时k最小,为1; 当反比例函数的图象与BC相切时k最大,此时

319∵B?5,1?,C?1,4?,直线BC的方程为y??x? 44319361361∴方程?x2?x?k?0的判别式. ?3k?0,解得k?441648

?,An?1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点,考虑由连续的若干个顶点连成25.设A0,A1,

的凸多边形,如四边形A3A4A4A6、七边形An?2An?1A0A1A2A3A4等,如果所有这样的凸多边形的面积之和是231,那么n的最大值是_________________,此时正n边形的面积是_____________.

23;1. 【解析】

设正n边形的面积为Sn,则

1∵正n边形的对角线共有n?n?1?条, 2

1∴所有满足条件的凸边形共有n?n?1?个,它们的面积之和为n?n?1??Sn 2

∴n?n?1?Sn?462?2?3?7?11

∴?

?n?7?n?23或?,于是n的最大值是23,此时正n边形的面积是1. S?11S?1?n?n

14

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com