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全国初中数学联赛模拟试题4

发布时间:2014-03-12 16:04:54  

全国初中数学联赛模拟试题(4)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1. 设a是正整数,则以6,10.9,a为边长的三角形共有

A.11个 B.12个 C.13个 D.14个

2. 如图,ABCD是正方形,△ABE是正三角形,则∠AED是

D

( )

( ) A

E

CB

A.10° B.15° C.20° D.30°

3. 对于实数x搿,设[x]表示不超过x的最大整数,则下面说法中正确的是( )

A.[x+y]=[x]+[y],对所有x和y B.[xy]=[x][y],对所有x和y

1

C.[2x]?[x]?[x?]对所有x

2

11

D.[2x?]?[x]?[x?],对所有x

22

4.周长与面积(数值)相等的直角三角形中,R和r分别表示外接圆与内切圆的半径长,则 ( ) A.r是定值

B.R是定值

C.

R

是定值 r

D.R+r是定值

( )

5. 记 x=(1+2)(1+22) (1+24)…(1+2256),则x+l是 A.一个奇数 B.一个质数 C.一个完全平方数 D.一个完全立方数 6. 方程x?(y?1)?(x?y)?A.0组

2

2

2

1

的实数解的组数是 3

( )

B.1组 C.2组 D.无穷多组

二、填空题(每小题5分,共30分)

7. 设线段AB的长度是6,以A、B两点为圆心作两个圆,已知圆A的半径是2,要使两圆相切,则圆B的半径是______.

2

8. 设一元二次方程x?ax?10?0的两个实根各加l后,是方程x?px?q?0的两个

2

根,则p+q=______

9. 如图所示,?BCA??ADE?90?,AE?17,BC?16,AD?15, 则CE=______

B

CEA

10. 设x,y,z为三个互不相同的正数.如果yx?yxx??,则?______ x?zzyy

11. 以三个不同的非零整数组成的(十进制的)三位数,除以这三个整数的和,所得商的最小值是______.

12.如图,在△ABC中,AB= BC,AB≠AC.在AB边上取点E,在CA延长线上取点D,使得∠BDC=∠ECA.若S?ABC?2,则S△DEC?______

B

E

DCA

三、解答题(每小题20分,共60分)

13.如图所示,BL是△ABC的角平分线,过L作△BCL的外接圆的切线,交AB于P点.证明:直线AC是△BLP的外接圆的切线.

B

P

ALC

14. 立方体的7个顶点处标记上数0,另一个顶点处标记上数1.现可以任取一边,将该边两顶点处的数加l,问能否通过这样的操作,使8个顶点处的数都被3整除?证明你的结论.

15. 设a是3的正整数次幂.b是2的正整数次幂,试确定所有这样的a,b,使二次方程x2?ax?b?0的根是整数.

参考答案

1. B

由a+6>10.9及a<6+10.9得4.9<a<16.9。因a是正整数,故5?a?16

2. B ?180?150?因?DAE?90??60??150?,且DA?AE,故∠AED?????15? 2??

3. C

?1?举反例易知A.B.C均不正确。为证明C成立,注意在?2x???x?+?x+?中,将x增加一?2?

个整数不改变等式(因为对任意整数k有?x+k??k+?x?),故可设0?x?1来证明,即对

11?1?0?x<1,证明?2x???x+?。这只要分0?x<及?x<1两种情况讨论即可验证其正22?2?确性

4. A

2设直角三角形三边长是a<b<c,则a2+b?1c,2+a?2c,故ab

c2??a+b??2ab??a+b??4?a+b+c?,即4?a+b+c?+ca+?b?,c?a+b??2c??a+b+??所以a+b?c?4,故r?

都不正确

5. C 2221c?a+b?c??2,即r是定值,由于R?,可见答案B、C、D22

?2?1?

?2?1?x??2?1??2+1??22+1?L?2256+1???22?1??22+1?L?2256+1??L??2256?1??2256+1??2512?1故x+1?2512,这是一个完全平方数。显然A、B不正确,又512不是3的倍数,故D也不对

6. B 13?2?22原方程即是2x+2y?2xy?2y+?0,配方得?2x?y?+?y???0,故2x?y?0,22?3?3222

212?0,得x?,y?,因此方程恰有一组实数解 333

7. 4或8

两圆有内切或外切两种可能

8. 9 且y?

,xx?q。设x2+px+q?0的两根是x1和x2,则x1+x又x1?1与x2?1是x2+ax+10?02??p12g

的根,故?x1?1??x2?1??10,展开即得p+q?9

9. 13

有勾股定理知DE8,再由△ABC?△AED得AC?

故CE?AC?AE?30?17?13

10. 2 由比例的性质得xy+?x+y?+x??2 yx?z+z+yBC16gAD??15?30.DE8

111. 10 2

设个位、十位、百位数码分别为a、b、c,则所说的商是

此无论b、c为何值,这最小时,a应尽可能大,即取9,而

时最小(注意b?a)。最后,

是189,商的最小值是9?b+11c?a+10b+100c=1+,因a+b+ca+b+cb+11c109c?,这在b?8?1+9+b+c9+b+c10c?9179,在c?1时最小(c?0),因此这个数?10?17+c17+c1891=10 182

12. 2

由∠ECA?∠BDC,∠EAC?∠BCD推出△AEC?△BDC.设△ABC中AC边上的高为

hH11?S,故hgDC?HgAC,即S△D ?ECABC△ACDC22

A∠P,B由于PL是△BCL的外接圆的切线,故13. 只需证明∠PL?

∠PL?A∠L?B∠CP(最后一步是因为BL平分∠ABC)

14. 答案是不能。选四个顶点,其中任意两个点之间无边相连,记这些顶点所标数之和为x,

其余四个顶点所标数之和为y(如图,黑色的顶点作为

一组,其余作另一组)。考虑I?x?y。显然,在所说则H,△DEC中DC边上的高为h,的操作下,I不改变。因开始时I??1,故I总是?1.

但若8个数都被3整除,则I应被3整除,这不可能

15. 设a?3k,b?2l,k,l都是正整数,再设方程的两个整数

根为x1和x2由于x1+x2?3k>0,x1x2=2l>0,故x1,x2都是

正整数。因x1x2是质数2的幂,故x1,x2都是2的幂,

设x1=2m,x2?2n,其中m?n?0,m+n?l。于是2m+2n?3k,即2n2m?n+1?3k。因3k是奇数,因此必须2n?1,即x2?1,m?l。于是我们有2l+1?3k

当k为奇数时,设k?2t+1,由于32t??3t?,是奇数的平方,故它被4除余1,因此2??

3k?3g?3t?被4除余3,进而2l+1被4除也余3,这要求l?1,于是k?1,即a?3,b?2 2

当k为偶数时,3k是奇数的平方,设为?2x+1?,其中,x是正整数,我们

有2

2l+1?4x?x+1?+1,即x?x+1??2l?2。若x>1,则相邻整数x,x+1中必有一个是大于1的奇数,但上式右边是2的幂,产生矛盾,因此x?1,l?3,从而k?2。于是a?32,b?23.因此,所求的解共两组:a?3,b?2或a?9,b?8

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