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广东省高职高专类数学竞赛对口训练题库

发布时间:2014-03-12 16:04:55  

参加广东省高职高专数学竞赛辅导配套资料 1

广东省高职高专类数学竞赛对口训练题库

主讲:广东岭南职业技术学院博雅教育学院 刘广平 彭 刚 李 晶

000. 设函数 f(x),g(x) 在区间 (??,??) 内有定义,若 f(x) 为奇函数,g(x)为偶函数,则 g[f(x)] 为(B)

A. 奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.有界函数

001. 设函数 f(x) 是以 3 为周期的奇函数,且 f(?1)??1,则 f(7)?(A)

A. 1 B. -1 C.2 D.-2

002. 设 f(0)?0,且极限 limx?0f(x)f(x)存在,则 lim=(C) x?0xx

1f?(0) 2A. f?(x) B. f(0) C.f?(0) D.

003. 设函数 f(x) 在 [a,b] 连续,在 (a,b) 内可导,且 f?(x)?0, 若 f(b)?0,则在 (a,b) 内 f(x)(A)

A. ?0 B. ?0 C.f(x) 的符号不能确定 D. ?0

004. 设 F(x) 是 f(x) 的一个原函数,则(B)

A.F(x)dx?f(x) B.

C.

005. 极限 lim(1?x?0??F(x)dx?f(x)?C ?f(x)dx?F(x) D. ?f(x)dx?F(x)?C 1x)?.1 2x

1?sin3x (其中 a 为常数),在 x? 处取得极值,则 a? 33 06. 已知函数 y?asinx?

.2

007. 设 f(x)?ln1?ln2,则 f?(1)? .?1 x

1

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008. 设函数 y?y(x) 由方程 e?e?sin(xy) 所确定,求隐函数 y?y(x) 在 x?0 处的导数 y?x?0?. 1

4xy

009. 定积分

?1?xxdx? .

?x

262 5010. 求极限 lim[(1?x)tanx?1]. 2 ?

1?xsin,x?0?x?011. 设函数f(x)??

?ex??,x?0?

根据 ?,? 的不同情况,讨论 f(x) 在 x?0 处的连续性.

012. 设函数 f(x) 在 (??,??)上连续,a 为常数,且对任意x?(??,??),有 x

?f(t)dt?5x

a3?40, 求 f(x) 和 a . 15x2, ?2

?1?1?x,x?0?013. 设函数 f(x)??

?cosx,x?0??

2

计算

?f(x?1)dx. ln2?sin1 0

014. 求 c 的值,使两曲线 y?x 与 y?cx 所围成图形的面积等于

2321. 32

2

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015. 验证:方程 4x?2 有一个根在 0 与

016. 试证:当 x?1 时,有 2x?3?

x1 之间. 21. x

x2sin

017. lim

18. y?3x?e

1x?0sinx21. 0 1 2x2x?lnx, 则 y???6?4e2x?

019.

?1?(3x?2x)dx? . 2

3

214020. 设 f?(x)?,则 f(x)?. x4?C(x?0,C为任意常数) 3x

021. 曲线 y?3x?10x?360x 的拐点个数是. 3

022. 已知 f(x) 具有任意阶导数,且 f?(x)?[f(x)], 则 n 为大于 2 的正整数时,253

f(n)(x)?. [f(x)]n?1?n!,其中 n?2,n?N

11

023. 设 f(x) 为连续函数,f(x)?x?2f(t)dt, 则

0??0f(x)dx?. ?1 2

024. 设 e 是 f(x) 的一个原函数,则

025. 设 y?xaa?x?xxf(x)dx?(x?1)e?C . ??ax?aa,(a?0) 则 y?? .

xaxaa?xa

a?1?a1?x?xa?1?lna?ax?a?ln2a a

026. 已知 lim(x??x?2axln2010 )?2010 , 则 a?. x?2a4

3

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027. 设 f(x)???2cosx,x?? 2?ax?1,x??

选择 a 使 f(x) 为连续函数. ?

028. 求极限 lim

3?2 x?0x?sinx1. 2xx(e?1)6

029. 确定 a,b 的值,使点 (1,6) 是曲线 y?ax?bx 的拐点,这时曲线的凸凹区间是

什么? a??3,b?9 ,凸区间是[1,??),凹区间是(??,1]

030. 计算不定积分

?32111 lncos?C tandx.?x2xx

031. 求定积分 24xcosx?cosxdx. ?0? 2

032. 设某曲线上任意点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程. y?x2?C,其中 C 为待定常数

033. 设 x?(0,1) 证明:(1?x)ln(1?x)?x

034. 证明:

aa22

(1)若 f(x) 在区间 [?a,a]上连续且为偶函数,则

?a

a?f(x)dx?2?f(x)dx 0

(2)若 f(x) 在区间 [?a,a]上连续且为奇函数,则

???a?f(x)dx?0 035.已知 m?N,n?N,则 lim

sinmxm?nm . (?1) x??sinnxn

036.设?,?均为常数,f(x)可导,则lim

?x?0f(x???x)?f(x???x)(???)f?(x) ?x4

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037. x?0时,e?ln(1?x)?1与x是同阶无穷小,则n?。3

038. 在x?1时有极大值6,在x?3时有极小值2的最低幂次多项式的表达式为 。xn

x3?6x2?9x?2

?

039.

?max(sinx,cosx)dx? 。1?02

040. 双曲线 xy?4 与直线 2x?y?1 之间的最短距离(4?)/5

?sinx,x?0?x?1041. 已知 f(x)?? ,则f??(0)? 。? 3??,x?0?1

?

042. 已知 a,b 是非零向量,且 b?2,a,b?

043. 试比较 ? 与 e 的大小。??e

e??????3a?xb?ax??, 则 limx?0?。1 ?e?

044. 设 a?b?1(a?0?b),求曲线 y?ax?x 与直线 y?bx 所围图形面积的最

小值与最大值。1/6,22/3

045. 若 f(x)?x(2x?1)(3x?2)?(100x-99), 则 f?(0)? 。?99! 222

5

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046. 已知当 x 大于 111 且无限趋向于 时,??3arccosx 与 a(x?)b 为等价无穷222

小,则 a? ,b? 。2,1

047. 已知 d

dxf(sinx)?d

dxf2(sinx), f?(0)?0, 则 f(0)?。1

2

048. lim?x??x?2

x?0?x2?1?。-1

2

049. 函数 f(x)?(x2?3x?2)x3?x 的不可导点的个数2

1

050. 设 f(x) 的导数连续,且 f(0)?0,f?(0)?2,则 lim1

x?0[x?f(xt)dt]?。1

051. limn??sin?n2?n?。1

052. 设 f(x)?x?x,则 f(f(x))?。??x,x?0

?0,x?0

053. limxx?x

x?1lnx?x?1?-2

054. 已知 d

dx[f(x3)]?1

x, 则 f?(x)?1

3x

6

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arcsin

055. 函数 f(x)??ln(x?1)?

x?1 的定义域为. [1?1,2)?(2,3] ex?2

ex?2e?x

056. 函数 y?x 的值域为 . (?2,1) ?xe?e

?ex?1,x?0057. 函数f(x)?? 的单调性与奇偶性为 . f(x)单调递增且为奇函数 ?x?1?e,x?0

1

x

4

x058. 设 f(x)?2?e1?e?sinx , 则 limf(x)?1 x?0x

059. 设函数

ax?sin?,x?0??cosx f(x)?? ln1(?x),x?0???x?

且 limf(x) 存在, 则常数 a?x?02 2

2x2n060. 设 x?0 时, xsinx 是比 (1?cosx)ln(1?x)低阶,比 e?1 高阶的无穷小,

则正整数n? . 2

061. lim?n??111?????. 1 23n

????062. 设函数 f(x)??????

1次为 . ,2 2

ln(1?x3)?x3?1,x?0b,x?0 且 f(x) 在点 x?0 处连续,则常数a,b 依ax2e?1,x?0xxsin47

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????063. 设函数 f(x)??ln(1?x3)?x3?1,x?0b,x?0 且点 x?0 是f(x)的可去间断点,则常数?eax2

??1,x?0

??xsinx

4

a,b 满足a?b?1

2,2

064. 下列各函数对中,(D)中的两个函数相等.

x)?(x)2,g(x)?x (B) f(x)?x2

(A) f(?1

x?1,g(x)?x+ 1

(C) y?lnx2,g(x)?2lnx (D) f(x)?sin2x?cos2x,g(x)?1

065. 下列结论中正确的是( D ).

(A) 使f?(x)不存在的点x0,一定是f (x)的极值点

(B) 若f?(x0) = 0,则x0必是f (x)的极值点

(C) x0是f (x)的极值点,则x0必是f (x)的驻点

(D) x0是f (x)的极值点,且f?(x0)存在,则必有f?(x0) = 0

066. 在切线斜率为2x的积分曲线族中,通过点(1, 4)的曲线为(C).

(A) y?x2?3 (B) y?x2?4

(C) y?2x?2 (D) y?4x

067 .函数f(x)???x?2,?5?x?0

?x2?1,0?x?2的定义域是(?5,?2]

068.

曲线y?(1,1)处的切线斜率是 .1

2

069. d?e?x2dx? .e?x2dx

8

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070. 设y?e?5x?tanx,求y?.?5e?5x?1

cos2x

π

071. 计算定积分?2

0xsinxdx.1

072.设f(x)?1

x,则f(f(x))?( C ).

A.1

x B.12

x2 C.x D.x

073.已知f(x)?x

sinx?1,当( A )时,f(x)为无穷小量.

A.x?0 B.x?1 C.x??? D.x???

074. 若F(x)是f(x)的一个原函数,则下列等式成立的是( B ).

A.?xx

af(x)dx?F(x) B.?af(x)dx?F(x)?F(a)

C.?b

aF(x)dx?f(b)?f(a) D.?baf?(x)dx?F(b)?F(a)

.设f(x)?10x?10?x

0752,则函数的图形关于y轴

076.函数y?3(x?1)2的驻点是________.x=1

077.若?f(x)dx?F(x)?c,则?e?xf(e?x)dx?.?F(e?x)?c

078.设y?lnx?e?2x,求dy.(1

2xx?2e?2x)dx

079.计算积分?2

0xsinx2dx.?12

080.函数y?x

lgx?1的定义域是( D ).

A.x??1 B.x?0 C.x?0 D.x??1 且x?0 9

9

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?sinx

081.函数f(x)???x,x?0 在x = 0处连续,则k = ( C ).

??k,x?0

A.-2 B.-1 C.1 D.2

082.下列不定积分中,常用分部积分法计算的是( C ).

A.?cos(2x?1)dx B.?x?x2dx

C.?xsin2xdx D.?x

1?x2dx

083.设函数f(x?1)?x2?2x?5,则f(x)?____________.x2?4

084.积分 ?1x

?1(x2?1)2dx?.0

085.设y?ecosx?xx,求dy.(31

2x2?sinxecos2x)dx

sin1

086.计算积分 ?x2dx. cos1

x?c

087.下列各函数对中,( D )中的两个函数相等.

A.f(x)?(x)2,g(x)?x B.f(x)?x2?1

x?1,g(x)?x+ 1

C.f(x)?lnx2,g(x)?2lnx D.f(x)?sin2x?cos2x,g(x)?1

088.当x???时,下列变量为无穷小量的是( A ).

1

A.sinx

x B. x2

x?1 C.e?x D.ln(1?x)

11

089.若?f(x)exdx??ex?c,则f (x) =( C ).

A.1

x B.-111

x C.x2 D.-x2

10 10

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090

.曲线y?

091.

092.设y?e

093.计算积分

sinx(1,1)处的切线斜率是1 2de2ln(1?x)dx?0 ?1dx?cos5x,求dy.(esinxcosx?5cos4xsinx)dx ?e1e21? xlnxdx. 44

094.若函数f(x)?1?x,g(x)?1?x, 则f[g(?2)]?( A ). x

A.-2 B.-1 C.-1.5 D.1.5

095.曲线y?1在点(0, 1)处的切线斜率为( B ). x?1

A.1111 B.? C. D.? 33222(x?1)2(x?1)

096.下列积分值为0的是( C ).

ex?e?x

A.?xsinxdx B.?dx -1-?2?1

?ex?e?x

C.?dx D.?(cosx?x)dx -1??21

097.如果函数y?f(x)对任意x1, x2,当x1 < x2时,有 ,则称y?f(x)是单调减少的. f(x1)?f(x2)

098.已知f(x)?1?

099.若

tanx,当时,f(x)为无穷小量.x?0 x?f(x)dx?F(x)?c,则?e?xf(e?x)dx?F(e?x)?c

11

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100.设y?

1?ln(1?x),求y?(0). 0 1?x

1cos2x?C 2101.(lnx?sin2x)dx.x(lnx?1)??

102.下列函数中为偶函数的是( D ).

A.y?x?x B.y?e?e

103.函数y?C.y?ln2x?x x?1 D.y?xsinx x?11的连续区间是(A ). ln(x?1)

A. B.[1 C. D.[1 ,2)?(2,??),??)(1,2)?(2,??)(1,??)

104.设?f(x)dx?lnx. ?c,则f(x)=( C )x

1?lnxlnx2 C. D.lnx xx2 A.lnlnx B.

105.函数y?

106.过曲线y?e

107.

108.设y?cosx?e

109.?x24?x2?1的定义域是. [?2,?1)?(?1,2] x?1?2x上的一点(0,1)的切线方程为.y??2x?1 13x= edx???30x2xe)dx ,求d

y.dy?(?e21

x?lnx0x .2(3?1)

???sinx,x?1 110.设函数f(x)??,则f(?)=( C). 4x?1??0,

12

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A.0 B.1 C.22 D.- 22

111.下列极限存在的有 (D).

1A.lime B.limx x?0x?02?1

112. 设y?1xx21 C.limsin D.lim2 x?0x?0xx?xlnx,则dy=(D). x

1?lnx1?lnxlnx?1lnx?1A. B. C. D. dxdx 2222xxxx

113.若F?(x)?f(x),则?f(?x)

xdx=(A).

A.?2F(?x)?C B.1F(?x)?C x

1C.?F(x)?C D.?F(?x)?C 2

4?x2

114.函数y?的定义域是 ?x

.[?2,1)?(1,2]

kx115.设lim(1?)?e2,则k = x??x

1 .1/2

116.曲线y?x?x?1上点(1, 3)处的切线方程是

117.32 y=5x-2 ???

edx1 = 2x(lnx)3

118.lim

x?1?x??x1?. 2x?122

13

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119.lim(x??)tanx??x. 2 2

120.设y?

121.已知y?2x?(x?y)ln(x?y),求y?(x). y??

sinx2?,求y?(). 1?cosx333?lnx(?y) 2?lnx(?y)

sin2lnx11122.?dx. (lnx?sin2lnx)?C x22

123.求由曲线y?

11和直线y?4x,x?2,y?0所围图形面积.?2ln2 2x

x3x1y72124.求微分方程y???x?1满足初始条件y(1)?的特解.y??? 42xx4

125. 一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当车速为每小时20公里时,每小时耗煤价值40元,其他费用每小时200元,甲、乙两地相距S公里,问火车行驶速度如何,才能使火车由甲地开往乙地的总费用为最省?

提示:设火车行驶速度为每小时x公里,每小时耗煤的费用为y元,从甲地到乙地的总费用为E元.

由已知条件,知y?kx,且当x?20时,y?40,故k?

y?0.005x 3340?0.005,因此 320

S200?(0.005x2?)S xx

200因为 E??(0.01x?2)S. x 总费用为 E?(y?200)?

令E??0,得x?1020

由题意知总费用的最小值存在,且驻点唯一,故函数在1020处取得最小值,即当火车行驶速度为每小时1020公里时,从甲地到乙地的总费用为最省.

126. 下列各函数对中,(C)中的两个函数相等.

14

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2 (A) f(x)?(x),g(x)?x (B) f(x)?15 x2,g(x)?x

4(C) f(x)?lnx,g(x)?3lnx (D) f(x)?lnx,g(x)?4lnx

127. 设函数f(x)的定义域为(??,??),则函数f(x)?f(?x)的图形关于(D)对称. 3

(A) y?x (B) y轴 (C) x轴 (D) 坐标原点

128.当x?0时,变量(C)是无穷小量. (A) 1

x (B) sinxxx2

x (C) e?1 (D) x3

129.设f(x)在点x?1处可导,则limf(1?2h)?f(1)

h?0h?(D).

(A) f?(1) (B) ?f?(1) (C) 2f?(1) (D) ?2f?(1)

130. 函数y?x2?2x?3在区间(2,4)内满足(B).

(A) 先单调上升再单调下降 (B) 单调上升

(C) 先单调下降再单调上升 (D) 单调下降

131. 若f(x)?cosx,则?f?(x)dx?(B).

(A) sinx?c (B) cosx?c (C) ?sinx?c (D) ?cosx?c π

132. ?2

?π(xcosx?2x7?2)dx?(D).

2

(A) 0 (B) π (C) π

2 (D) 2π

133. 若f(x)的一个原函数是1

x,则f?(x)?(B). (A) lnx (B) 211

x3 (C) x (D) ?x2

134. 下列无穷积分收敛的是(D).

(A) ???3x

0cosxdx (B) ???0e?dx (C) ???11xdx (D) ???1

1xdx

15

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135. 函数y?x

ln(2?x)?2?x的定义域是 .[?2,1)?(1,2)

136. 函数y???x?2x?0

?sinxx?0的间断点是.x?0

?1

137. 若函数f(x)???(1?x)xx?0,在x?0处连续,则k? .

??x3?kx?0

138. 曲线f(x)?x?2在(2,2)处的切线斜率是 .1

4

139. 函数y?(x?2)2?1的单调增加区间是.(2,??)

140. 若?f(x)dx?sin3x?c,则f(x)?3cos3x 141. dx2

dx?edx? .ex2

142. 已知f(x?1)?x2?2x?3,求f(x),f(2),f(121?4x2

x). x?4,0,x2

143. 计算极限limtan6x

x. 6

x?0sin55

144. 计算极限limx2?6x?52

x??1x2?4x?5. ?3

145. 计算极限limsin(x?1)

x?1x2?2x?3.1

4

146. 设y?sinx?lnxxcosx?1?2sinx

x2,求y?. ?2lnx

x3

147. 设y?lnsin3x,求dy. 3cotxdx 16 e

16

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ex?y3sinxdx 148. 设y?y(x)是由方程e?e?ycosx确定的函数,求 dy.y2e?3ycosxyx3

149. 计算不定积分

150 .计算不定积分

?sinxxdx.?2cosx?c 1?x(1?lnx)dx.ln?lnx?c

1

xe151. 计算不定积分 ?2dx. ?ex?c x

152. 计算不定积分

153. 计算定积分

154. 计算定积分

155. 计算定积分

156. 求曲线y?2x上的点,使其到点A(2,0)的距离最短.(1,21lnxlnx1. dx???c ?x2xx122x.(e?1) xedx?041??e11x2lnxdx. (2e3?1) 9lnxxe1dx. 4?2e 2)和(1,?2)

157. 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为d,问当底半径与高分别为多少时,圆柱体的体积最大? 底半径r?6d,高h?d 33

158. 某厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形铁桶,问怎样才能使用料最省? 底半径r?V,高h? ππ

159. 欲做一个底为正方形,容积为62.5立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省? 17

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底边长x?5,高h?2.5

160. 试证:奇函数与奇函数的和是奇函数;奇函数与奇函数的乘积是偶函数.

161. 试证:奇函数与偶函数的乘积是奇函数.

162. 当x?0时,证明不等式x?arctanx.

163. 当x?1时,证明不等式ex?xe.

164. 微分方程 (xy2?x)dx?(y?x2y)dy?0 的通解为. 1?x2?C(1?y2)

165. 求 (x?C)2?y2?1 (其中 C取任意常数)为通解的微分方程. y2[1?(y?)2]?1

166.设f?x???x2?x?2?x3?x,求f?x?的导数不存在的点。 解:f(x)?(x?2)(x?1)x(x?1)(x?1)故在x?0,?1处导数可能不存在. limf(x)?f(0)f(xx

x?0x?lim)

x?0x?limx?0(x?2)(x?1)(1?x2)x

limf(x)?f(1)x?x?1x?1?limx?1(x?2)x(x?1)2x?1

f(?1)

xlimf(x)???1x?1?limx??1(x?2)x(x?1)(x?1)?0,故所求点为x?0,x?1

?2?esinx?

167.填空:limx?0??????2?ex??

??

解析:lim?2?esinx?2e??

x?0???lim??e?sinx???0?1?1

?1?ex??x?0???e???1x??

lim??2?esinx??

x?0???lim??2?esinx???2?1?1,故填

?1?ex??x?0???1

?1?ex??

18

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168.设xn?nnn????,n?1,2,?,求limxn n??n2?n?1n2?2n?2n2?nn?n

n11111解析:xn????????yn kn?1n?2n?nk?1n1?n

xn?

nnnn ????n2?n?nn2?2n?nn2?nn?nn?1n1111 ???????yn?n?1k?1n?k?1k?1n?k?1k?2n?k

由于limyn?n??dxxn?ln2 ?01?x?ln2,故limn??1

2 169.某条抛物线y?ax?bx?c通过(0,0)点,当0?x?1,y?0时,又知它和直线

4使这个图形绕Ox轴旋转而x?1,y?0所围成图形的面积是.试确定a,b,c的值,9

成的体积最小.

解:曲线过(0,0),故c?0,由

A??(ax2?bx)dx?0

121ab4?4a???得b?2??? 329?93?2?a2abb2

V???(ax?bx)dx????5?2?30???224????a?a? ??13581???

dV4?5d2V4??4?0 由 ???a???0, 得 a??,2?da135811353da??

故V(?)为最小值,此时b?2??9?3??3????2 3????

因此,所求a??

170.设f(x)可导,证明在f(x)的两个零点之间一定存在f(x)?f?(x)的零点.

证明:由于(f(x)e)??(f?(x)?f(x))e,令F(x)?f(x)e,则F(x)可导.

设x1,x2(x1?x2)是f(x)的任意两个零点,则F(x1)?F(x2)?0

由罗尔定理,存在???x1,x2?,使得F?(?)?0,即(f?(?)?f(?))e?0 ?xxx5?41?5??5,b?2,c?0. 3

19

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20

因e?0,有f?(?)?f(?)?0 证毕

171.某容器的形状是由曲线x?f(y)绕y轴旋转而成的立体,今按2tcm/s的速率往

里注水,为使水面上升速率恒为

3

?

2

?

cm/s,问f(y)应是怎样的函数。

解:在[y,y?dy]上,体积微元为

dV??f2(y)dy

dVdy2

??f2(y)??f2(y)?2f2(y) dtdt?

dV

?2t, 故 t?f2(y) dt

1?2f(y)f'(y)

dy2?2f(y)f'(y) dt?

两边对t求导

2f(y)f'(y)?f2(y)?

故所求 f(y)??

172.设x1?a,x2?b,当n?3时,xn?

?

2

?

2

y?C

?

2

y?C.

1

(xn?1?xn?2),证明:limxn存在,并求其值。

n??2

2

11?1?

解析:xn?1?xn?(xn?xn?1)?xn??(xn?xn?1)????(xn?1?xn?2)

22?2?

?1?

??????

?2?

n?1

?1?

(x2?x1)????

?2?

n?1

(b?a)

n

k?1

?1?

xn?1?x1??(xk?1?xk)?a?(b?a)????

2?k?1k?1?

故所求 limxn?limxn?1

n??

n??

n

?1?

?lim[a?(b?a)????n??2?k?1?

n

k?1

]

?a?(b?a)

11?2

?

a?2b

3

173.设xn?zn?yn,且lim(yn?xn)?0,则limzn( C )

n??

n??

20

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21

(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零; (C) 不一定存在; (D) 一定不存在.

174.设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则( A ) (A) 当f(x)为奇函数时,F(x)必为偶函数; (B) 当f(x)为偶函数时,F(x)必为奇函数;

(C) 当f(x)为周期函数时,F(x)必为周期函数; (D) 当f(x)为单调增函数时,F(x)必为单调增函数.

175.设a?0,f(x)在(?a,a)内恒有f"(x)?0且|f(x)|?x2,记I?(A) I?0;

(B) I?0;

(C) I?0;

a?a

?

则有( B ) f(x)dx,

(D) 不确定.

176.设f(x)?lim

存在.

x2n?1?ax2?bx

x2n?1

n??

(n?N),试确定a、b的值,使limf(x)与limf(x)都

x?1

x??1

x2n?limx2n?1?0,故f(x)?ax2?bx; 解:当|x|?1时,lim

n??n??

当|x|?1时,f(x)?

1

x

x??1?

?1

x??1,?x,

??

f(x)??ax2?bx,?1?x?1,

?1?,x?1,?x?a?0,b?1。

limf(x)??1,

x??1?

limf(x)?a?b,a?b?1

x?1?

limf(x)?a?b,

x?1?

limf(x)?1,a?b?1

177.设F(x)是f(x)的一个原函数,且F(0)?1,F(x)f(x)?cos2x,求

?

?

|f(x)|dx.

解:F?(x)?f(x),F(x)F?(x)?cos2x,?F(x)F?(x)dx??cos2xdx

F2(x)?sin2x?C,由F(0)?1知C?

1,F(x)|cosx?sinx|, |cos2x||cos2x?sin2x|

|f(x)|???|cosx?sinx|

|F(x)||cosx?

sinx|

?

?

?0

|f(x)|dx??4(cosx?sinx)dx??(sinx?cosx)dx?1)?(1?

4

?

178.设a?0,{xn}满足:

x0?0,xn?1?

1a

(xn?),2xn

n?0,1,2?,

21

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22

证明:{xn}收敛,并求limxn。

n??

分析:用数列通项表示的这种类型题目,往往要用单调有界必有极限这个定理来解决,因此先要用不等式技术证明{xn}单调且有界。 证明: (1) 证明:易见,xn?0,(n?0,1,2,?),则

xn?1?

xn

xn

?a,

从而有: xx1a

n?1?n?2(xn?

x)?x?a?x2

nn?0, n2xn

故{xn}单调减少,且有下界。所以{xn}收敛。 2)设limx1n??

n?l, 在xn?1?

2(xa

n?x)两边同时取极限得 n

l?limn??

xn?1?12limn??

(xn?ax)?1(l?a),

n

2

l

解之得l?a,即limn??

xn?

a。

179.设a?0,且f(x)在[a,??)满足:

?x,y?[a,??),有|f(x)?f(y)|?K|x?y|(K?0为常数)。 证明:

f(x)

x

在[a,??)有界。 证明: 由条件知,?x?[a,??),有

|f(x)?f(a)|?K|x?a|,

|f(x)|?|f(x)?f(a)|?|f(a)|?K|x?a|?|f(a)|,

从而

f(x)|x?a||f(a)|x?a|f|f(a)|x?K|x|?|x|?Kx?(a)|

x?K?a

,22

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故f(x)在[a,??)有界。 x

x??e, x?0;180.设函数f(x)??2且f ??(0)存在, 试确定常数a, b, c. ??ax?bx?c, x?0

分析:这是一个分段函数,分段函数在分段点的导数要用定义求。 解:由条件可知函数f(x)在x?0处连续, 故c?f(0)?1。

?ex, x?0,由条件可知f?(x)在x?0处连续,且f?(x)??, 故

?2ax?b, x?0

b?f?(0)?1。

?ex, x?0;?ex, x?0,因此f?(x)?? 从而f??(x)??,故2a?f??(0)?1,则

?2ax?1, x?0,?2a, x?0

a?1。 2

181.设f(x)在? 0, 1 ?上二阶可导,f(0)?f(1) , f?(1)?1,

求证:???( 0, 1 ) 使 f??(?)?2.

分析:罗尔定理和拉格朗日定理是高等数学的重要内容,往往也是数学竞赛的命题的重点。平时练习时,采用多种方法去解决,能有效地提高解题能力。这种题目难点是构造出一个合适的函数。

证1 令F(x)?f(x)?x2?x, 则 F(x)?C?0,1??D(0,1), F(0)?F(1) 由罗尔定理知 ???(0,1), F?(?)?0

F?(x)?f?(x)?2x?1, F?(x)?C?0,1??D(0,1), F?(1)?f?(1)?1?0?F?(?) 由罗尔定理知 ???(0,1), F??(?)?0, F??(x)?f??(x)?2, f??(?)?2 证2 令F(x)?f(x)?x2, F(x)?C?0,1??D(0,1), 由拉格朗日定理知 ???(0,1), F?(?)?F?(?)(1?0)?F(1)?F(0)??1,

F?(x)?C?0,1??D(0,1), F?(1)?f?(1)?2??1?F?(?),

23

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由罗尔定理知 ???(0,1), F??(?)?0, F??(x)?f??(x)?2, f??(?)?2

1证3 令 F(x)?f(x)?(x?)2, 用两次罗尔定理。 2

证4 令 F(x)?xf?(x)?x2?f(x), 用一次罗尔定理。

181.设f(x)是定义在(??,??)上的函数,f(x)?0,f'(0)?1. 且?x,y?(??,??),f(x?y)?f(x)f(y).

证明:f在(??,??)上可导,且f'(x)?f(x) . 分析:由于已知条件:?x,y?(??,??),f(x?y)?f(x)f(y)是一个很广的条件,要充分利用它;另外要用导数的定义。 证明: 由已知条件得f(0)?1. 因为limf(x??x)?f(x)f(x)f(?x)?f(x) ?lim?x?0?x?x

f(x)[f(?x)?1] ?lim?x?0?x

f(?x)?1 ?f(x)lim?x?0?x

f(?x)?f(0) ?f(x)lim?x?0?x

?f(x)f'(0)

?f(x)。 ?x?0所以f(x)在(??,??)上可导,且f'(x)?f(x).

182.设函数f(x)??sinx

0g(x)?x3?x4,且当x?0时,f(x)与g(x) sin(at2)dt,

为等价无穷小,则a? . 3

183.设函数y?x2x在x?x0点处取得极小值,则x0??184.1 ln2???

1dx?1?ln2 x2(x?1)

24

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185.设函数y?y(x)由方程e2x?y?cos(xy)?e?1所确定, 则曲线y?y(x)在点(0,1)处的法线方程为______ . x?2y?2?0

186.设函数f(x)连续,则下列函数中必为偶函数的是(A)

(A)?t[f(t)?f(?t)]dt; (B)?t[f(t)?f(?t)]dt; 00xx

(C)?f(t2)dt; (D)?[f(t)]2dt。 00xx

187.设函数f(x)具有一阶导数,下述结论中正确的是(D)

(A)若f(x)只有一个零点,则f?(x)必至少有两个零点;

(B)若f?(x)至少有一个零点,则f(x)必至少有两个零点;

(C)若f(x)没有零点,则f?(x)至少有一个零点;

(D)若f?(x)没有零点,则f(x)至多有一个零点。

188.设函数f(x)在区间(0,??)内具有二阶导数,满足f(0)?0,f??(x)?0,又0?a?b,则当a?x?b时恒有(B)

(A)af(x)?xf(a); (B)bf(x)?xf(b);

(C)xf(x)?bf(b); (D)xf(x)?af(a)。

189.已知曲线y?f(x)与曲线y??arctanx

0(0,0)处具有相同的切线,e?tdt在点2

2写出该切线方程,并求极限limn?f()。y?x; 2 n??n

?2?x2(1?cosx),若x?0

?若x?0 试讨论f(x)在x?0处的连续190.设函数f(x)??1,

?1x??cost2dt,若x?0?x0

性和可导性。 (1) f(x)在x?0连续; (2) f(x)在x?0可导。 25

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191.计算不定积分?

dxex?ex2dx. 2ln(1?e)?2e?x2?x2?C

192.已知f(x)具有二阶连续导数,f(?)?1,且?[f(x)?f??(x)]sinxdx?3 0?

求f(0) . 2

193.过坐标原点作曲线y?lnx的切线,该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形D.

1(1) 求D的面积A; e?1 2

(2)

194.计算?

195.,设f(x)和g(x)均满足在?a.b?上连续,在?a,b?内可导,且g??0, 证明:存在c?(a,b),使f(a)?f(c)f?(c) ?g(c)?g(b)g?(c)?05e2?12e?3? 求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V. 64sin3x?sin5xdx. 5

证明:取辅助函数为F(x)?f(x)g(x)?f(a)g(x)?f(x)g(b), 则F(x)在区间

[a,b]上连续且可导,显然F(a)?F(b)??f(a)g(b) 故由罗尔中值定理,存在c?(a,b),使得F?(c)?0,再由g??0,知g(b)?g(c),因此,结论成立。

196.设f(x)?a1sinx?a2sinx2???ansinnx(ai?R,i?1,2,?,n),且|f(x)|?|sinx|,证明:|a1?2a2???nan|?1.

分析:从结论可以看出,绝对值里面刚好是f?(0),因此容易想到先求f(x) 的导数。再用导数的定义。

证明:因为f'(x)?a1cosx?2a2cos2x???nancosnx,所以

f'(0)?a1?2a2???nan

26

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又f'(0)?limx?0f(x)?f(0)f(x)?lim?a1?2a2???nan, x?0xx

x?0所以 |a1?2a2???nan|?lim

即|a1?2a2???nan|?1。

f(x)sinx?lim?1. x?0xx

197.设f在[a,b]上二阶可微,f(a)?f(b)?0,f'?(a)f'?(b)?0,则方程f"(x)?0 在(a,b)内至少有一个根 .

分析;方程在一个区间有根的问题往往要用零点存在定理去判断,因此验证该方程在两端点值的符号是解决问题的关键。

证明: 因为f'?(a)f'?(b)?0,不妨设f'?(a)?0,f'?(b)?0, 因lim?x?af(x)?f(a)?0,故?(a,a??),使 x?a

f(x)?f(a)?0, x?a

从而?x1?a,使f(x1)?f(a)?0。 因lim?x?bf(x)?f(b)?0,故?(b??,b),使 x?b

f(x)?f(b)?0, x?b

从而?x2?b,使得f(x2)?f(b)?0。

又因f(x)在[a,b]上可微,所以f(x)在[x1,x2]上连续,由零点存在定理知,?x0?(x1,x2),使f(x0)?0.

于是在[a,x0]及[x0,b]上分别利用Rolle定理得,存在?1??2,使得

f'(?1)?f'(?2)?0. (a??1?x0,x0??2?b).

再在[?1,?2]上用Rolle定理得,???(?1,?2)?(a,b),使f"(?)?0.即方程f"(x)?0在(a,b)内至少有一个根.

27

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198.设函数f具有一阶连续导数,f"(0)存在,且f'(0)?0,f(0)?0,

?f(x), x?0 ,?g(x)??x

??a , x?0 .

(1)确定a,使g(x)处处连续;

(2)对以上所确定的a,证明g(x)具有一阶连续导数.

分析:分段函数的连续和导数,在分段点的导数一般用定义来求. 解:(1)因为若g(x)处处连续,则g(x)在x?0处连续. 于是f(0)?0,且 a?limf(x)f(x)?f(0)?lim?f'(0)?0. x?0xxx?0

?f(x), x?0 ,?(2)因g(x)??x ??0 , x?0 .

f(x)?0g(x)?g(0)f(x)x g'(0)?lim?lim?lim2x?0x?0x?0xxx

?limx?0f'(x)1f'(x)?f'(0)1?lim?f"(0) 2x2x?0x2

?xf'(x)?f(x), x?0 ,?2?x于是 g'(x)??

?1f"(0) , x?0 ,??2

显然,当x?0时,g'(x)连续,当x?0时,因为

f'(x)?f'(0)f(x)?f'(x)f(x)??lim??lim?lim??x?0x?0x?0?x?0x2xx?0x2x2?x?0 11 ?f"(0)?f"(0)?f"(0)?g'(0)22limg'(x)?limxf'(x)?f(x)

所以g'(x)在x?0处连续,故g(x)具有一阶连续导数.

199.某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k>0).汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设 28

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计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问

(1) 汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?

(2) 若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?

(注:m表示长度单位米.)

解:(1) 设第n次击打后,桩被打进地下xn,第n次击打时,汽锤所作的功为Wn(n?1,2,3,?). 由题设,当桩被打进地下的深度为x时,土层对桩的阻力的大小为kx,所以 x1kk W1??kxdx?x12?a2, 022

x2k2k2 W2??kxdx?(x2?x12)?(x2?a2). x122

由W2?rW1可得

2?a2?ra2 x2

2?(1?r)a2. 即 x2

k2k22 W3??kxdx?(x3?x2)?[x3?(1?r)a2]. x222x3

由W3?rW2?r2W1可得

2?(1?r)a2?r2a2, x3

从而 x3??r?r2a,

即汽锤击打3次后,可将桩打进地下?r?r2am.

(2) 由归纳法,设xn??r?r2???rn?1a,则

Wn?1??xn?1

xnk22kxdx?(xn?1?xn) 2

k2n?1 =[xn)a2]. ?1?(1?r???r2

由于Wn?1?rWn?r2Wn?1???rnW1,故得

29

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2n?1

)a2?rna2, xn?1?(1?r???r

30

从而 xn?1

1?rn?1

??r???ra?a.

1?r

n

于是 limxn?1?

n??

1

a, 1?r

1

a m. 1?r

即若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下

200.设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且f??(x)?0,求证:?f(x)dx?f().

1

12

证一 ?x?(0,),有1?x?(, 1),?在[0,1]上f??(x)?0

1212

f(x)?f(1?x)111

,即f()?f(x)?f(1?x)?f(), ?f()?

2222

?

12[0

1

f()?f(x)]dx?2

?

12[0

1

f(1?x)?f()]dx?

2

1

[f(x)?f()]dx (令1?x?t) 1

22

1

?

1

f(x)dx?

?

1

20

f(x)dx?

1

12

f(x)dx?

x

?

120

1

f()dx?2

1

12

1

f()dx?2

?

1

11f()dx?f(). 22

证二 设辅助函数F(x)??f(t)dt?xf(),x?[0, 1]。

x

2

xxxx

F?(x)?f(x)?f()?f?() (对f(x)在[,x]上用Lagrange定理)

2222?

xxxxxx

f?(?)?f?()?[f?(?)?f?()] ??(, x) 222222

?

?x?xxx

(??)f??(?)?0 ??(,?) (对f?(x)在 ?,??上用Lagrange定理) 222?2?

?F(x)在[0,1]单调减少,F(1)?F(0),即

?

111

f(t)dt?f()?0,f(x)dx?f(). 00221

?

30

参加广东省高职高专数学竞赛辅导配套资料 31

31

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