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第三届“华杯赛”全套试题及答案解析

发布时间:2014-03-12 19:06:14  

第三届“华杯赛”全套试题及答案解析

第三届华杯赛初赛试题及答案解析

1.光的速度是每秒30万千米,太阳离地球1亿5千万千米.问:光从太阳到地球要用几分钟(得数保留一位小数)?

1.【解】将距离单位换为“万千米”,时间单位用“分”

光速=30万千米/秒=1800万千米/分,距离=1亿5千万千米=15000万千米. 时间=距离÷速度=15000÷1800=(分)≈8.3(分)

2、计算=___________?

2.【解】原式=()× =× = =

3.有3个箱子,如果两箱两箱地称它们的重量,分别是83千克、85千克和86千克.问:其中最轻的箱子重多少千克?

3.【解】如果将3个箱子按重量区分为大、中、小,那么

83=中+小

85=大+小

86=大+中

因此最轻的箱子重 (83+85-86)÷2=41(千克)

4.请将算式++的结果写成最简分数.

4.【解】原式====.

5.(如右图)将高都是1米,底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体.求这个物体的表面积(取π=3).

5.【解】物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积.即 2×π×+2×π×1.5×1+2×π×1×1+2×π×0.5×1

=4.5π+3π+2π+π

=10.5π(平方米)

取π值为3,上式等于31.5(平方米)

答:这个物体的表面积是31.5平方米

6.一位少年短跑选手,顺风跑90米用了10秒钟.在同样的风速下,逆风跑70米,也用了10秒钟.问:在无风的时候,他跑100米要用多少秒?

6.【解】顺风时速度=90÷1O=9(米/秒),逆风时速度=70÷1O=7(米/秒), 无风时速度=(9+7)×=8(米/秒),无风时跑100米需要100÷8=12.5(秒) 答:无风时跑100米需要12.5秒.

7.一个矩形分成4个不同的三角形(如右图),绿色三角形面积占矩形面积的15%,黄色

三角形的面积是21平方厘米.问:矩形的面积是多少平方厘米?

7.【解】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%,而绿色三角形面积占矩形面积的15%,所以黄色三角形面积占矩形面积的50%-15%=35%已知黄色三角形面积是21平方厘米,所以矩形面积等于21÷35%=60(平方厘米)

8.有一对紧贴的传动胶轮,每个轮子上都画有一条通过轴心的标志线(如下图).主动轮的半径是105 厘米,从动轮的半径是90厘米.开始转动时,两个轮子上的标志线在一条直线上.问:主动轮至少转了几转后,两轮的标志线又在一条直线上?

8.【解】105与90的最小公倍数是630.630÷105=6,

所以主动轮转了6个半圈,即转了3转,两轮的标志线又在一条直线上

9.小明参加了四次语文测验,平均成绩是68分.他想在下一次语文测验后,将五次的平均成绩提高到70分以上,那么,在下次测验中,他至少要得多少分?

9.【解】70×5-68×4=78(分) 【又解】70+4×(70-68)=78(分)

10.如右图中共有7层小三角形,求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比。

10.【解】白色小三角形个数=1+2+?+6==21,

黑色小三角形个数=1十2+?+7==28,

所以它们的比==

答:白色与黑色小三角形个数之比是.

11.下面的算式里,每个方框代表一个数字.问:这6个方框中的数字的总和是多少?

11.【解】每个方框中的数字只能是0~9,因此任两个方框中数字之和最多是18.现在先看看被加数与加数中处于“百位”的两个数字之和,这个和不可能小于18,因为不管它们后面的两个二位数是什么,相加后必小于200,也就是说最多只能进1.这样便可以断定,处于“百位”的两个数字之和是18,而且后面两位数相加进1,同样理由,处于“十位”的两个数字之和是18,而且两个“个位”数字相加后进1。因此,处于“个位”的两个数字之和必是11,6个方框中数字之和为18+18+11=47

【又解】被加数不会大于999,所以加数不会小于1991-999=992。同样,被加数不会小于992也就是说,加数和被加数都是不小于992,不大于999的数这样便确定了加数和被加数的“百位”数字和“十位”数字都是9,而两个个位数字之和必是11。

于是,总和为9×4+11=47

12.在所有的两位数中,十位数字比个位数字大的两位数有多少个?

12.【解】适合要求的两位数中,个位数字小于十位数字可将它们列出来:

十位数字个位数字

10

20,1

30,1,2

???

90,1,2,?,8

因此,适合要求的两位数共有

1+2十3+?+9==45(个)

13.有甲、乙两个同样的杯子,甲杯中有半杯清水,乙杯中盛满了含50%酒精的溶液.先将乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯,搅匀后,再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯.问这时乙杯中的酒精是溶液的几分之几?

13.【解】第一次乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯后,甲杯中的溶液含酒精为25%;第二次将甲杯中酒精溶液倒入乙杯,此时乙杯中的酒精为溶液的×25%+×50%=+

=.

14.射箭运动的箭靶是由10个同心圆组成,两个相邻的同心圆半径之差等于最里面的小圆半径.最里面的小圆叫做10环(如右图所示),最外面的圆环叫做1环.问:10环的面积是1环面积的几分之几?

14.【解】设10环小圆半径是1,那么l环的外圆半径是lO,内圆半径是9。

10环面积=π,1环面积=π×-π×=19π。,

因此10环面积是1环面积的。

15.王师傅在某个特殊岗位上工作、他每上8天班后,就连续休息2天.如果这个星期六和星期天他休息,那么,至少再过几个星期后他才能又在星期天休息?

15.【解】设至少过n个星期,可能第n个星期六休息,也可能第n个星期六不休息(在星期天与星期一连休2天),前者得出:7n-2=10K+8(1),后者得出:7n—1=10K+8(2),其中K是自然数

(1)即 7n=10(K+1),因此,n是10的倍数,至少是10

(2)即 7n=10K+9,它表明7n的个位数字是9,所以n=7,17,?

于是至少再过7个星期后,才能又在星期天体息。

第三届华杯赛复赛试题及答案解析

1计算:

1.【解】原式=== 解法二:原式=算这个题时,要注意两点: ===

(1)在乘、除运算中,代分数要化为假分数,及时约分;

(2)在加、减运算中,如果分数、小数同时出现,要么都化为分数,要么都化为小数。 这里,还要指出:,,,,,,的小数形式0.5,0.25,0.75,0.125,0.375,0.625,0.875,一定要很熟悉,在具体计算时,可以节省时间。

2某年的10月里有5个星期六,4个星期日.问:这年的10月1日是星期几?

2.【解】10月有31天,因为有5个星期六,只有4个星期日,所以10月31日是星期六. 因为31=4×7+3,所以,3日也是星期六,1日是星期四

3、电子跳蚤每跳一步,可从一个圆圈跳到相邻的圆圈.现在,一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步,落在一个圆圈里.一只黑跳蚤也从标 有数字“0”的圆

圈起跳,但它是沿着逆时针方向跳了1949步,落在另一个圆圈里.问:这两个圆圈里数字的乘积是多少?

3.【解】电子跳蚤每跳12步就回到了原来位置

由于1991=165×12+11

所以红跳蚤从标有数字“0”的圆圈出发,按顺时针方向跳了1991步时,跳到了标有数字“11”的圆圈

同理,由1949=162x12+5,知道黑跳蚤从标有数字“0”的圆圈按逆时针方向跳了162个12步后跳到了标有数字“7”的圆圈,于是所求的乘积是11×7=77

答:乘积是77。

4.173□是个四位数字.数学老师说:“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问:数学老师先后填入的3个数字的和是多少?

4.【解】∵ 能被9整除的四位数的数字和是9的倍数,并且四位数173□前三个数字的和是11,

∴第一次□内只能填7,

∴能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得到的差是11的倍数,而7-(1十3)=3,

∴第二次□内只能填8,

∵能被6整除的自然数是偶数,并且数字和是3的倍数.而173□的前3个数字的和是11, ∴第三次□内只能填4,7+8+4=19。

故所求的和是19。

5.我们知道:9=3×3,16=4×4,这里,9、16叫做“完全平方数”,在前300个自然数中,去掉所有的“完全平方数”,剩下的自然数的和是多少?

5.【解】不超过300的平方数,有:

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,它们的和是1785

前300个自然数的和是:1+2+3+?+300=

于是剩下的自然数的和45150-1785=43365 ×300=45150,

6.如图,从长为13厘米,宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形,然后,沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米?

6.【解】容器的底面积是:(13—4)×(9-4)=45(平方厘米),

高为2厘米,所以容器的体积是,45×2=90(立方厘米)

答:容器的体积是90立方厘米。

7.在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶),或者是不超过10的自然数.甲、乙两名运动员各射了5箭,每人5箭得到的环数的积都是1764,但是甲的总环数比乙少4环.求甲、乙的总环数.

7.【解】∵每人的环数的积=1764≠0,

∴两人每箭射中的环数里没有“0”和“10”.

∵每箭射中的环数都是1764的因子,而:1764=1×2×2×3×3×7×7,

并且环数是不超过10的自然数∴必有两箭是7环,其它3箭的环数是1·2·2·3·3因子。

如果最小的因子是1,那么,另外两个因子是4、9或者是6、6;

如果最小的因子是2,那么,另外两个因子是2,9或者是3、6;

如果最小的因子是3,那么,另外两个因子是3、4。

因此,两人5箭的环数有5种可能:

7,7,1,4,9,和=28;

7,7,1,6,6,和=27;

7,7,2,2,9,和=27;

7,7,2,3,6,和=25;

7,7,3,3,4,和=24;

∵甲、乙的总环数相差4,甲的总环数少,

∴甲的总环数是24,乙的总环数是28。

答:甲、乙的总环数分别是24、28。

8.下图中有6个点,9条线段.一只甲虫从A点出发,要沿着某几条线段爬到F点.行进中,同一个点或同一条线段只能经过1次.这只甲虫最多有多少种不同的走法?

8.【解】从A点出发,经过的第一条线段,有3种可能:(1)AB;(2)AE;(3)AD

在每一种可能情形下,各有3种走法.所以,一共有3×3=9种走法.

答:共有9种走法.

9.下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?

9.【解】设原正方形的边长是3.所求的三角形可分两种情形:

(1)三角形的一边长2,这边上的高是3这时,长为2的边只能在原正方形的边上, 这样的三角形有2×4×4=32(个);

(2)三角形的一边长3,这边上的高是2,这时,长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线其中,

与(1)重复的三角形不再算入,这样的三角形有8×2=16(个)

因此,所求的三角形共48个(包括图中开始给出的三角形).

10.已知:,求:S的整数部分.

10.【解】<12×=

并且>12×=

∴S>165并且s< 即S的整数部分是165 =

11.今年,祖父的年龄是小明的年龄的6倍.几年后,祖父的年龄将是小明的年龄的5倍.又过几年以后,祖父的年龄将是小明的年龄的4倍.求:祖父今年是多少岁?

11.【解】祖父的年龄比小明的年龄大,两人的年龄差是不变的.

因为今年祖父的年龄是小明的年龄的6倍.

所以年龄差是小明年龄的5倍,从而年龄差是5的倍数.

同理,由“几年后,祖父的年龄是小明的年龄的5倍”、“又过几年以后,祖父的年龄是小明的年龄的4倍”,知道年龄差是4、3的倍数,所以,年龄差是:5×4×3=60的倍数。而60的倍数是:60,120,?,合理的选择是60,于是,今年小明的年龄是60÷5=12(岁),祖父的年龄是12×6=72(岁).

答:祖父今年是72岁

【又解】 设今年小明x岁,那么今年祖父6x岁。y年后,祖父的年龄是小明的年龄的5倍,所以5(x+y)=6x+y即x=4y , 又过z年以后,祖父的年龄是小明的年龄的4倍, 所以4(x+y+z)=6x+y+z即 2x=3y+3z

∵祖父今年6x岁,

∴ 6x≤100

又∵x=4y ∴x≥4 由及x=4y,知x可能是4,8,12,16.

又从2x=3y+3z,即y+z=x,知x是3的倍数,所以x=12,于是6x=72。

12.某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试,有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀,其余每人至少有一个项目达到优秀,这部分学生达到优秀的项目、人数如下表:

求这个班的学生数.

12.【解】4+17+18+15中有两项达到优秀的学生被算了2次,应当从统计中去掉1次,成为4+17+18+15-6-6-5

但其中三项达到优秀的人,开始被算了3次,然后又被去掉3次,所以还应将这部分人数加进来,即全班人数是:4+17+18+15-6-6-5+2=39

【又解】先求至少有一个项目达到优秀的学生人数,看下面这个图:

图中时三个圆圈分别代表短跑、游泳、篮球达到优秀的学生人数,其中的

“1”表示三个项目都优秀的人数,是:2;

“2”表示篮球、游泳达到优秀,但短跑没有达到优秀的人数,是:6-2=4; “3”表示篮球、短跑达到优秀,但游泳没有达到优秀的人数,是:5-2=3; “4”表示游泳、短跑达到优秀,但篮球没有达到优秀的学生数,是:6-2=4; “5”表示只有短跑一项达到优秀的人数,是:17-(2+3+4)=8;

“6”表示只有游泳一项达到优秀的人数,是:18-(2+4+4)=8;

“7”表示只有篮球一项达到优秀的人数,是:15-(2+4+3)=6,

∴只有一个项目达到优秀的人数是:2+4+3+4+8+8+6=35

还有4个人在三个项目上未达到优秀,所以全班学生数是35+4=39

答:这个班有39名学生。

13.恰好能被6、7、8、9整除的五位数有多少个?

13.【解】6、7、8、9的最小公倍数是504;五位数中,最小的是10000,最大的是99999: ∵

∴五位数中,能被504整除的有198-19=179(个)

答:有179个

14.计算:1-3+5-7+9-11+?-1999+2001

14.【解】原式=1+(5-3)+(9-7)+(13-11)+?+(2001-1999)=1+2×500=1001.

15.五环图由内圆直径为8,外圆直径为10的五个圆环组成,其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等.已知五个圆环盖住的总面积是112.5,求每个小曲边四边形的面积(圆周率π取3.14).

15.【解】每个圆环的面积是π()=9π.

如果五个圆环彼此没有重合的部分,则它们的总面积是:5×9π=45π,

因为五环盖住的总面积是132.5,所以每个小曲边四边形的面积是

1.1

答:每个小曲边四边形的面积是1.1。

16.下图中8个顶点处标注的数字:a、b、c、d、e、f、g、h,其中的每一个数都等于相邻三个顶点处数的和的1/3,求:(a+b+c+d)-(e+f+g+h)的值.

16.【解】由题设条件知道

,b+e+d=3a(1)

,c+f+a=3b(2)

,d+g+b=3c(3)

,a+h+e=3d(4)

(1)+(2)+(3)+(4),是2(a+b+c+d)+(e+f+g+h)=3(a+b+c+d) 就是e+f+g+h=a+b+c+d

∴所求的值是0。

第三届华杯赛决赛一试试题及答案解析

1.计算:

++++=__________

1.【解】原式=

==

2.说明:360这个数的约数有多少个?这些约数的和是多少?

2.【解】360=2×2×2×3×3×5=2×3×5

所以360有(3+1)×(2+1)×(1+1)=24个约数

约数的和是

(1+2+2+2)×(1十3+3)×(1十5)=1170

3.观察下面数表(横排为行): 23232

根据前5行数所表达的规律,说明

于由左向右的第几个? 这个数位于由上而下的第几行?在这一行中,它位

【解】我们先注意,第一行的每个数的分子、分母之和等于2,第二行的每个数的分子、分母之和等于3,?,第五行的每个数的分子、分母之和等于6。由此可看到一个规律,就是每行各数的分子、分母之和等于行数加1.其次,很明显可以看出,每行第一个数的分母是1,第二个数的分母是2.?,即自左起第几个数的分母就是几.因此,所在的行数等于1991+1949-1=3939。而在第3939行中,位于自左至右第1949个.

4.将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片,如果要分成不少于50个小纸片,至少要画多少条直线?请说明.

4.【解】我们来一条一条地画直线.画第一条直线将圆形纸片划分成2块。画第二条直线,如果与第一条直线在圆内相交,则将圆形纸片划分成4块(增加了2块),否则只能划分成3块。类似地,画第三条直线,如果与前两条直线都在圆内相交,且交点互不相同(即没有3

条直线交于一点),则将圆形纸片划分成7块(增加了3块),否则划分的块数少于7块。下图是画3条直线的各种情形

由此可见,若希望将纸片划分成尽可能多的块教,应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交,且交点互不相同。这时增加的块数等于直线的条数。这样划分出的块数,列表如下: 直线条数纸片最多划分成的块数

1

2

3

5

5 1+1 1+1+2 1+1+2+3 1+1+2+3+4 1+1+2+3+4+5

不难看出,表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。因为1+1+2+3+?+10=56,1+1+2+3+?+9=46,可见第9行右边还不到50,而第10行右边已经超过50了.

答:至少要画10条直线.

5.某校和某工厂之间有一条公路,该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来校作报告,往返需用1小时.这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来,途中遇到接他的汽车,更立刻上车驶向学校,在下午2点40分到达.问:汽车速度是劳模步行速度的几倍?

5.【解】我们先画一个图如下,其中A是学校,B是工厂,C是汽车和劳模相遇的地点。

汽车从A到B往返需1小时,即从A到B需30分钟,汽车从A到C往返用了40分钟,即从A到C需20分钟,从而从C到B需

30-20=10(分钟)。因为汽车到达C点是2点20分,所以劳模从B到C共用

60+20=80(分钟),从而汽车速度是劳模步行速度的8(=80÷10)倍。

6.在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚白色的围棋子(如右图).一个同学进行这样的操作:从黑子开始,按顺时针方向,每隔一枚,取走一枚.当他取到黑子时,圆周上还剩下多

少枚白子?

6.【解】由于1990是偶数,在第一圈操作中,一共取走=995枚白子,其中最后取的是黑子前面的一个子(即反时针方向第一个子)。这时还剩下995枚白子.下一次取走黑子后面一个子(即顺时针方向第一个)。由于995是奇数,第二圈操作最后取的仍是黑子前面的一个子,共取走=498枚白子,还剩下497枚白子。类似地,第三圈操作取走

=249枚白子,还剩下248枚白子。由于248是偶数,第四圈操作最后取走黑子,这时圆周上还剩下=124枚白子

答.圆周上还剩下124枚白子。

第三届华杯赛决赛二试试题及答案解析

1.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数.

1.【解】如果a是自然数n的约数,那么也是n的约数,所以,n的约数a与可以配成一对,只有在n=a时.a与2才会相等,所以在n不是平方数时,它的约数两两配成.从

2而约数的个数是偶数;在n是平方数a时,它的约数a只能与自己配对,所以n的约数个

数是奇数。在360到630间有7个平方数

(19=361>360.25=625<630,25-19+1=7),所以有7个数的约数个数为奇数,它们为:361,400,441,484,529,576和625。

2,四边形ABCD被AC和DB分成甲,乙,丙,丁4个三角形(如右图)。

已知:BE=80cm.CE=60cm,DE=40cm,AE=30cm。 22

问:丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍?

2.【解】

:=80:40=2:1,

:=60:30=2:1.

:=60:30=2:1. 所以,(+):(+)=(2+):2=5:4=5:4。 答:丙与丁这两个三角形的面积之和是甲与乙两个三角形面积之和的

倍。

3.已知:,问:a除以13所得余数是几?

3.【解】199119911991被13整除。有1991个1991因为1991除以3余2,所以a除以13与19911991除以13,所得余数相同。19911991除以13余8,因此a除以13的余数也是8 答:a除以13所得余数为8。

4.某班在一次数学考试中,平均成绩是78分,男、女生各自的平均成绩是75.5分、81分.问:这个班男、女生人数的比是多少?

4.【解】已知全班平均成绩是78分,而男生平均成绩为75.5分,因此每个男生比平均分少(78-75.5)分,而每个女生比平均分多(81-78)分。

男生总共少的分数应该等于女生总共多的分数,所以有(78-75.5)×男生数=(81-78)×女生数,

因此,男生数∶女生数=(81-78)∶(78-75,5)=6∶5

答:男、女生人数比是6∶5

【又解】设男、女生人数分别为a、b,则 75.5×a+81×b=78×(a+b)

所以 (8l一78)×b=(78-75.5)×a

答:男、女生人数的比是6∶5,

5.某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木,每个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种,每色各涂2个面.当两个积木经过适当的翻动以后,能使各种颜色的面所在位置相同时,它们就被看作是同一种积木块.试说明:最多能涂成多少种不同的积木块?

5.【解】总可以使下底面为红色.

如果上底面也是红色,通过翻动,可以使前面为黄色,左面不是黄色,这时后面可以是黄色,也可以是蓝色,有2种。

如果上底面不是红色,通过旋转,可以使后面为红色,这时又分两种情况:

(1)前面与上面同色,可以同为黄色,也可以同为蓝色,有2种。

(2)前面与上面不同色,通过翻动,可以使上面为黄色,前面为蓝色,这时右面可以是黄色,也可以是蓝色,有2种。

因此,共可涂成2+2+2=6种不同的积木块。

6. 一条双向铁路上有11个车站,相邻两站都相距7千米.从早晨7点开始,有18列货车由第十一站顺次发出,每隔5分钟发出一列,都驶向第一站,速度都是每小 时60千米.早晨8点,由第一站发出一列客车,向第十一站驶去,时速是100千米.在到达终点站前,货车与客车都不停靠任何一站.问:在哪两个相邻站之 间,客车能与3列货车先后相遇?

6.【解】每5分钟发出一列货车,货车速度为每小时60千米,即每分钟1千米.所以每两列相继的货车相距5千米

第1列货车行了1小时,客车才出发,所以两车之间距离为7×(11-1)-60×1=10(千米), 两车经

(小时)

相遇,距第一站

(千米)

由于每两列相继货车相距5千米,所以客车遇到一列货车后,再行

米),

便遇到下一列货车。 (千

如果A、B是两个相邻的车站,那么当客车在这两站之间遇到3列货车时,与第1列货车相遇的地点A点的距离应不超过 7-×2=(千米).

反过来,在这条件满足时,客车在A、B之间与三列货车相遇.

设客车遇到第n+1列货车时,在A、B两个相邻的车站之间,并且在这两个车站之间又接连再遇到两列货车,那么客车行了

(千米)

并且与第m+1个站A的距离不超过

即 25(n+2)-56m≤6(1) 千米,从而

-7m≤

(1)式表明25的某个倍数,除以56后,余数≤6。

不难通过验算发现25×9=225=56×4+1,所以在第5个站与第6个站之间,客车遇到三列货车。

接下去满足(1)式的是 25×9×2=56×4×2+2

但这时,n+1=9×2-1=17.客车遇到第n+1列货车后,只能再与一列货车相遇 所以本题的答案是:在第5个站与第6个站之间,客车与三列货车相遇。

【注】如果本题货车有19列或更多列,那么在第9个站与第10个站之间,客车也与三列货车相遇。

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